《解析几何》 各类竞赛试题选讲
一、选择题
1、（04湖南）已知曲线C ：x x y 22--=
与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C)
A ．)2,12(--
B ．)12,2(--
C ．)12,0[-
D ．)12,0(-
2. （05全国）方程
13
cos 2cos 3sin 2sin 2
2=-+-y x 表示的曲线是（ ） A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线
3、（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条。
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确
答案为C 。
4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 A 、2213,22y x y x =
= B 、2235
,22
y x y x == C 、22,3y x y x == D 、223,5y x y x == 5．若在抛物线)0(2
>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是 ( A )．
(A)
a 21 (B)a
1
(C)a (D)a 2 6. （06江苏）已知抛物线y 2
=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF
是直角三角形，则这样的点P 共有( B ) (A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个
7、（06全国）如图3，从双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 引圆
222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点。若M 为线段
FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为 ( ) A.||||MO MT b a ->- B.||||MO MT b a -=- C. ||||MO MT b a -<- D.不确定
8.（05四川）双曲线122
22=-b
y a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分
别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定( )
（A ）相交 （B ）内切 （C ）外切 （D ）相离
解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|2
1
||212112A A PF PF OC -==
，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切。 9、点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是 （ A ）
10.（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263）
（A ）双曲线 （B ）椭圆 （C ）椭圆的一部分 （D ）双曲线的一部分
11、（03全国）过抛物线)2(82
+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O
的直线。若此直线与抛物线交于A 、B 两
点，弦AB 的中垂线与轴交于点P ，则线段PF 的长等于（ ）（奥析263） （A ）
3
16
（B ）38 （C ）3316 （D ）38
二、填空题
1、若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax +by +c = 0被椭圆
22
128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为 2. （04湖南）设P 是椭圆19
162
2=+y x 上异于长轴端点的任意一点，1F 、2F 分别是其左、右焦点，O 为中心，则=+⋅2
21||||||OP PF PF ___25________.
3．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点)4,0(A 与点)0,8(B 重叠，若点)8,6(C 与点),(n m D 重叠，则
=+n m _______________;
解：可解得对称轴方程为62-=x y ，由
2
1
68,6)6(28-=---+=+m n m n 得2,7,6.7==n m ，所以8.14=+n m
4. 在正△ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则以B 、C 为焦点且过点D 、E 的双曲线的
1+ ．
5、（03全国）设F 1、F 2是椭圆14
92
2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，且|PF 1|：|PF 2|=2：1.则三角形PF 1F 2的面积为 . （奥析264）
6、（04全国）给定两点M （-1，2），N （1，4），点P 在x 轴上移动. 当MPN ∠取最大时，点P 的坐标为 . （奥析265）
7、（03山东）设曲线6422
2
+=+x y x 上与原点距离最大和最小的点分别为M 、N ，则|MN|= . （奥析266）
8、（04全国）已知}.|),{(},32|),{(2
2
b mx y y x N y x y x M +===+=若对于所有的R m ∈，均有
