北大随机过程课件：第 4 章 第 2 讲 随机分析

lim E ξ (t 0 + h) − ξ (t 0 )
h →0 h →0 h →0
{
2
= lim E ξ (t 0 + h)ξ (t 0 + h) − ξ (t 0 + h)ξ (t 0 ) − ξ (t 0 )ξ (t 0 + h) + ξ (t 0 )ξ (t 0 ) = lim E{R (t 0 + h, t 0 + h) − R (t 0 + h, t 0 ) − R(t 0 , t 0 + h) + R (t 0 , t 0 )} =0
E ξ n− ξ m
2
≤⎧ ⎨ E ξ n− ξ ⎩
[
= E (ξ n − ξ ) − (ξ − ξ m )
2 1/ 2 m
2
] + [E ξ − ξ ]
2 1/ 2
⎫ ⎬ ⎭
2
当 m,n 趋于无穷时，上式右边趋于零。因此有上式左边趋于零，定理的必要性 得到证明。
1.7 定理 6：Loeve 准则
2 2 n 2 2 n
2
即，
E ξn
同理可得，
{ }− E{ξ } ≤ E{ξ
2 2 2 2 n
n
−ξ
2
}
{ }− E{ξ } ≤ E{ξ − ξ } 当 n → ∞ ， limE { ξ − ξ } = 0 ，则有
Eξ
2 n
2 n
lim E ξ n
n →∞
⎧ ⎨ l.i. m ξ { } = lim E { ξ } = E ⎩
n →∞ n →∞
{
}
2
关于 lim E
n →∞
⎧ ⎨ l.i. m ξ {ξ } = E {ξ } = E ⎩
2 2 n n →∞
n
⎫ ⎬ ⎭
+ Eη
2
利用三角不等式， E ξ + η 可以得到，
2
≤ Eξ
2
E ξn
{ } = E { ξ + (ξ − ξ ) } ≤ { E { ξ } + E { ξ − ξ }}
lim E ξ (t + h) − ξ (t )
h→0
{
2
}= 0
它们的均值是连续的，即
lim E{ξ (t + h)} = E{ξ (t )}
h→0
2.4 定理 3：宽平稳过程的均方连续
设二阶矩随机过程 ξ (t ) ， − ∞ < t < ∞ ，是宽平稳随机过程，则以下的各论断是等 价的： ① ξ (t ) 均方连续；即
n →∞ n →∞
证明： 考虑 E (ξ n − η )(ξ n − η ) = E ξ
{
} {
n
ξ
n
}− E{η ξ }− E{ξ η } + E{ηη }
n n
当 n 趋于无穷时，上式左右两边分别用 ξ 、 η 代入， 左边是 E
{ξ − η }，右边是 E{ηη }− E{ηη } − E{ηη } + E{ηη } = 0
E{ξ n } − E{ξ } = E{ξ n − ξ } ≤ E ξ n − ξ ≤ E ξ n − ξ
由于 l.i. m ξ n = ξ ，即
n →∞
n −>∞
}
lim E ξ n − ξ
{
2
} = 0 ，故当 n → ∞ 时，有
lim E {ξ n } = E {ξ } = E l.i. m ξ n
随机分析
概述
¾
基本不等式
6 6 6
Schwartz 不等式 均方不等式 三角不等式
2 2 E{ξ ⋅ η } ≤ {E ξ }2 {E η }2 1 1
Eξ ≤ Eξ
Eξ +η
2
{ },
1 2 2
[E ξ ]
2
2
≤ Eξ
2
{ }
2
≤ Eξ
+ Eη
¾
概念
6
均方极限 6 均方连续 6 均方导数 6 随机积分 ¾ 充分必要条件 6 均方极限 柯西准则 Loeve 准则 6 均方连续 均方连续的充分必要条件是它的自相关函数连续（定理） 6 均方导数 均方可导的充分必要条件是它的自相关函数二阶偏微商存在（定理） 6 随机积分 均方可积的充分必要条件是它的自相关函数均方可积（定理） ¾ 基本性质 6 极限、连续、导数、积分与期望运算的可交换性 6 均方极限 6 极限运算与期望运算的可交换性 6 均方极限条件下的两个随机变量相等，则它们的均值和均方值相等 6 线性变换的均方极限 6 乘积的均方极限 6 均方极限唯一性 6 函数的均方极限 均方连续 6 二阶矩过程的连续性 均方连续的二阶矩过程是均值是连续的 6 广义平稳二阶矩过程的连续性 均方连续、在 t=0 处均方连续、自相关函数连续、自相关函数在 τ = 0 处连续 等命题是等价的
n →∞ n →∞ n →∞ m →∞
证明：
E{ξ mη =
≤ E ξ Eη n−η + E ξ m− ξ
{
} − E{ξ η } = E{ξ mη n − ξ η } E{ξ (η n − η ) + (ξ m − ξ )η + (ξ m − ξ )(η n − η )}
n 2
{
2
} + {E ξ Eη −η }
设有二阶矩随机序列 {ξ n } , n = 1, 2, 3," 及二阶矩随机变量 ξ ， 且 l.i. m ξ n = ξ ， 则有：
n →∞
lim E {ξ n } = E {ξ } = E l.i. m ξ n ，及 lim E ξ n
n →∞ n →∞
n →∞
{
}
{ } { }
2
=E ξ
2
2 ⎧ ⎫ = E ⎨ l.i. m ξ n ⎬ ， ⎩ n→∞ ⎭
2
{ξ }< ∞, n = 1,2,3" ；又 设有随机变量 ξ ，它也存在二阶矩，即 E {ξ }< ∞ ；当 n → ∞ 时， E {ξ − ξ } = 0 ，
2 n 2 n
n →∞
则称序列 {ξ n } 均方收敛于 ξ ，或序列的均方极限是 ξ ，记作 l.i. m ξ n = ξ 。
1.2 定理 1：均方极限下的均值和均方值
2 n n 2 1/ 2 2 n n
1/ 2 2
}
上式的推导使用了三角不等式，随着 n 趋于无穷，上式趋于零，因此有
l.i.m(aξ n + bη n ) = aξ + bη 。
n →∞
1.4 定理 3：乘积的均方极限
设二阶矩随机序列 {ξ n } , n = 1, 2, 3," 、{η n } , n = 1, 2,3," 均存在二阶矩，随机变 量 ξ 、 η ，均有二阶矩，且 l.i. m ξ n = ξ 、 l.i. mη n = η ，则 l.i. m(ξ mη n ) = ξη 。
2 1/ 2 n
m
−ξ Eη
2
2 1/ 2
}
2 1/ 2
上式的推导使用了三角不等式，随着 m,n 趋于无穷，上式趋于零，因此有
l.i. m(ξ mη n ) = ξη 。
n →∞ m →∞
1.5 定理 4：均方极限的唯一性
均方极限是唯一的， 即设 {ξ n } , n = 1, 2,3," 是具有二阶矩的随机变量序列，ξ 、 η 为两个具有二阶矩的随机变量，且 l.i. m ξ n = ξ 、 l.i. m ξ n = η ,则有 ξ = η 。
} ( )}
+ h)ξ (t0 + k ) − ξ (t0 )ξ (t0 + k ) + ξ (t0 )ξ (t0 + k ) − ξ (t0 )ξ (t0 )
}
= E (ξ (t0 + h) − ξ (t0 ) )ξ (t0 + k ) + ξ (t0 ) ξ (t0 + k ) − ξ (t0 )
2
因此有 ξ = η ，即极限是唯一的。
1.6 定理 5：柯西准则
设 {ξ n } , n = 1, 2, 3," 是随机变量序列，且 E 充要条件是 l im E
n →∞ m→∞
{ξ }< ∞ ，则 {ξ
2
n
n
} 均方收敛于 ξ 的
{ξ
n
−ξ m
2
}= 0
证明： （这里只给出了必要性的证明） 如果序列均方收敛于 ξ ，
2 2 n →∞ n →∞
2 n
⎫ ⎬ ⎭
1.3 定理 2：线性变换的均方极限
设二阶矩随机序列 {ξ n } , n = 1, 2,3," 、 {η n } , n = 1, 2,3," 和随机变量 ξ 、 η ，
E ξn
n →∞
{ }< ∞ 、 E{η }< ∞ 、 E{ξ }< ∞ 、 E{η }< ∞ ， l.i. m ξ = ξ 、
设{ ξ
n
} n = 1,2,3," 是随机序列，且 E {ξ则 {ξ
n
} 均方收敛于 ξ 的充要
条件是 lim (ξ 证明：
ξ * n ) =常数。
使用 Schwartz 不等式，有
E{(ξ − ξ n )ξ
m
} ≤ {E (ξ − ξ
2
n
)ξ
m
}
2
≤ E (ξ − ξ n ) E ξ
2 2 2 2 n
n →∞ n
l.i. mη n = η ，a、b 为任意常数，则 l.i.m(aξ n + bη n ) = aξ + bη