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(word完整版)☆排列组合解题技巧归纳总结,推荐文档

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1 排列组合解题技巧归纳总结 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合 问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题； 其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学内容 1. 分类计数原理（加法原理） 完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有mi种不同的方法，在第2类办法中有 m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： N m1 m2 L mn 种不同的方法. 2. 分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有mi种不同的方法，做第2步有m2种 不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有： N mi m2 L mn 种不同的方法. 3. 分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个 事件. 解决排列组合综合性问题的一般过程如下：

1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确 定分多少步及多少类。 3. 确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及 取出多少个元素. 4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一. 特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位

先排末位共有C3 然后排首位共有c4 最后排其它位置共有

由分步计数原理得C：C3A： 288

c4 A4 c1

4 4 3

位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法 ，若以元素分析为主，需 2

先安排特殊元素，再处理其它元素.若以位置分析为主，需先满足特殊位置的要求 ，再处理其它位 置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件

练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两 端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二. 相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合 元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原 理可得共有AAA 480种不同的排法

要求某几个元素必须排在一起的问题 ，可以用捆绑法来解决问题 •即将需要相邻的元素合并 为一个元素，再与其它元素一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列 •

练习题：某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数 为20 三. 不相邻问题插空策略 例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场，则节 目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一 步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 A4不同的方法，由分步计数原理, 节目的不同顺序共有A5A4 _____________________ 种

元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节 目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法 的种数为30

四. 定序问题倍缩空位插入策略 例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一 起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，则共有 不同排法种数是：A7/A

3

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 A；种方法，其余的三 个位置甲乙丙共有 丄种坐法，则共有 与种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗？ （插入法）先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 3

方法 定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插

练习题:10人身咼各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身咼逐渐增加， 共有多少排法？ Cio

五. 重排问题求幕策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法 解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分 配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原理共有76种不同的排法

允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素 的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在 m个位置上的排列数为 mn种

练习题： 1. 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目. 如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 _42_ 2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78

六. 环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？

解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人 A

：

并从此位置把圆形展成直线其余 7人共有(8-1 )!种排法即7 !

D 萨 A0B 'J A:

F H G

一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法•如果从n个不同元素中取出 m个元素作圆 1

形排列共有一A

：

n

练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 120 七•多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法 解:8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A2种,再排后4个位置上的特殊元素丙有A4种,其余的5人在5个位置上任意

排列有生种,则共有A4A4A；种 前排—" 后"排i

ABCDEFGHA 4

般地，元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研 练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排 中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的 装法.

解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素（包含一 个复合元素）装入4个不同的盒内有A4种方法，根据分步计数原理装球的方 法共有C；A

：

解决排列组合混合问题，先选后排是最基本的指导思想 •此法与相邻元素捆绑策略相似吗 ？ 练习题：一个班有6名战士 ,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务， 每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种 九•小集团问题先整体后局部策略 例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1, 5在两个奇数 之间,这样的五位数有多少个？

解：把1 , 5 , 2 , 4当作一个小集团与3排队共有 A2种排法，再排小集团内部共 有A2A

2

种排法，由分步计数原理共有A2A2A2种非法. 绢1524 3

小集团排列问题中，先整体后局部，再结合其它策略进行处理。 练习题： 1 .计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画，4幅油画，5幅国画，排成一行陈列， 要求

同一 品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方 式的种数为A2A：A

：

2. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻,女生也相邻的排法有A；A：A5种 十•元素相同问题隔板策略 例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？ 解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额分成7份，对应地分给7个班 级，每一种插板方法对应一种分法共有 C；种分法。 o|o o|o

班 将n个相同的元素分成 m份(n, m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板, 插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为 C 5

练习题： 1. 10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？ C； 2 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数 C

103

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,234,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶 数,不同的 取法有多少种？ 解：这问题中如果直接求不小于 10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数 字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有C；,只含有1个 偶数的取法有C5c£,和为偶数的取法共有c5c； C；。再淘汰和小于「0的偶数共9 种，符合条件的取法共有C5CS C53 9

有些排列组合问题，正面直接考虑比较复杂，而它的反面往往比较简捷，可以先求出 它的反面，再从整体中淘汰.

练习题：我们班里有43位同学，从中任抽5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人 在内的 抽法有多少种？ 十二•平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？ 解：分三步取书得C；C：C；种方法,但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为 ABCDE,若第一步取 AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF), 则 C：

C：C； 中 还 有 (AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有 A 种取 法，而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有C；C：C；/A3种分法。

平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以 An (n为均分的 组数)避免重复计数。

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排列组合知识点汇总及典型例题(全)(K12教育文档)

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一．基本原理1．加法原理：做一件事有n 类办法,则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。

2．乘法原理：做一件事分n 步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。

注：做一件事时，元素或位置允许重复使用,求方法数时常用基本原理求解。

二．排列：从n 个不同元素中，任取m （m ≤n ）个元素，按照一定的顺序排成一.m n mn A 有排列的个数记为个元素的一个排列，所个不同元素中取出列，叫做从1。

公式：1.()()()()!!121m n n m n n n n A m n -=+---=……2。

规定：0!1=(1）!(1)!,(1)!(1)!n n n n n n =⨯-+⨯=+ (2) ![(1)1]!(1)!!(1)!!n n n n n n n n n ⨯=+-⨯=+⨯-=+-； (3）111111(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!n n n n n n n n n +-+==-=-+++++三．组合:从n 个不同元素中任取m(m ≤n ）个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，记作 Cn 。

1. 公式： ()()()C A A n n n m m n m n m n mn m mm==--+=-11……!!!! 10=n C 规定：组合数性质：.2 nn nn n m n m n m n m n n m n C C C C C C C C 21011=+++=+=+--……，， ①；②;③；④11112111212211r r r r r r r r r r r rr r r r r r n n r r r n n r r n n n C C C C C C C C C C C C C C C +++++-+++-++-+++++=++++=+++=注：若12m m1212m =m m +m n n n C C ==则或四．处理排列组合应用题 1.①明确要完成的是一件什么事(审题） ②有序还是无序 ③分步还是分类。

(完整word版)高中数学复习排列组合基础篇

(完整word版)高中数学复习排列组合基础篇

排列、组合、二项式定理学习指导排列、组合与二项式定理是高中数学中相对独立的内容，不论是思考方法还是解题技巧，与其它章节都有很大的是同。

本章内容比较抽象,解题方法比较灵活，重在抽象思维能力与逻辑思维能力的培养与提升.因此在学习过程中,要重视教材的基础作用，重视过程的学习。

二项式定理的学习要从基础出发，对二项式的展开式、通项公式、二项式系数的性质等，要弄懂原理,牢固掌握，并会灵活运用。

要在练习中领悟原理公式与概念的实质，注意计算的准确性和解题的规范性，从而形成解题方法和能力.排列、组合、二项式定理之一――基础篇一、要点导读1、分类计数原理： ； 分步计数原理： .2、 叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列,排列数mn A ＝_____________________________=_________。

3、 叫做从n 个不同元素中取出m 元素的一个组合，组合数m n C ＝_____________ _________=_______________.4、组合数的性质：（1）m n C ＝ ；（2）m n C ＋1-m n C ＝ .5、二项式定理的内容是 .其通项为1+r T ＝ ；二项式系数的性质是① ；② ;③ .二、思维点拔1、两个计数原理的区别在于一个和“分类"有关，一个和“分步”有关。

在使用两个基本原理时，要认真审题，特别要理解题中所讲的“事情”是什么？明确完成这件事情需要“分类”还是“分步”,还是既要“分类”又要“分步",并注意“分类”或“分步”的标准.在分析过程中，如能借助图形、表格帮助分析,则可使问题更加直观、清楚，而且可防止“分类"或“分步”中的重复和遗漏现象。

2、排列中最具典型的两类问题是“排数"和“排队”。

无论是哪类问题，无外乎“元素”与“位置”的关系，即“某个元素排在什么位置"或“某个位置上排什么元素”。

如按元素与位置的多少分类，排列组合大体上可分为三类：元素个数多于位置个数、元素个数等于位置个数、元素个数少于位置个数。

(完整word版)高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页(可编辑修改word版)

(完整word版)高中数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法10页(可编辑修改word版)

高考数学轻松搞定排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排 列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。

教学目标1. 进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。

2. 掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。

提高学生解决问题分析问题的能力3. 学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固1. 分类计数原理(加法原理)完成一件事，有n 类办法，在第 1 类办法中有m 1 种不同的方法，在第 2 类办法中有m 2 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．2. 分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成n 个步骤，做第 1 步有m 1 种不同的方法，做第 2 步有m 2 种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有：种不同的方法．3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完 成整个事件．解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1. 认真审题弄清要做什么事 2. 怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。

3. 确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素.4. 解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例 1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,两个位置.N = m 1 ⨯ m 2 ⨯ ⨯ m nN = m 1 + m 2 + + m n344 4 3 45 2 2 56 5 6位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。

完整版)排列组合方法归纳

完整版)排列组合方法归纳

完整版)排列组合方法归纳如果你想要成功，就需要有恒心作为良友，经验作为参谋，小心作为兄弟，希望作为哨兵。

这是成功的关键。

1、特殊元素和位置的优先法在排列和组合问题中，如果有特殊的元素或位置要求，就需要优先满足这些要求。

例如，要求从0、1、2、3、4、5中选出不重复的五位奇数的数量是多少。

首先，末位必须是奇数，因此应该优先安排末位，共有C3种选择。

然后，首位不能是0，因此应该优先安排首位，共有C4种选择。

最后，安排其他位置，共有A4^3种选择。

根据分步计数原理，可以得出总共有C3*C4*A4^3=288种不重复的五位奇数。

2、相邻问题的捆绑法如果题目规定了相邻的元素必须在一起，可以将它们捆绑成一个大元素，参与排列。

例如，如果A、B、C、D、E五个人并排站成一排，要求A和B必须相邻且B在A的右边，那么可以将A和B看作一个人，且B固定在A的右边，问题就变成了4个人的全排列，共有A4=24种不同的排列方式。

3、相离问题的插空法如果元素不能相邻，可以先将无位置要求的元素全排列，然后将规定的不能相邻的元素插入到这些元素的空位和两端。

例如，七个人并排站成一排，要求甲和乙不能相邻，那么除了甲和乙以外的其他5个人有A5种排列方式。

然后，甲和乙可以插入6个空位中的任意两个，共有A6种插法。

因此，总共有A5*A6=3600种不同的排列方式。

4、选排问题的先选后排法如果需要从一组元素中选出符合要求的元素，然后安排它们的位置，可以使用先选后排法。

例如，有四个不同的球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，问恰有一个空盒的放法有多少种。

首先从四个球中选出两个球作为一组，其余两个球各自为一组，共有C4种选法。

然后，将三个球放入四个盒子中，共有A4种排列方式。

因此，总共有C4*A4=144种放法。

5、相同元素分配问题的隔板法如果需要将n个相同的元素分成m份，并且每份至少有一个元素，可以使用隔板法。

将m-1块隔板插入n个元素排成的n-1个空隙中，所有分法数为C(n-1)。