专题9.1 直线的方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知识点一 直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的范围是[0，π)． 知识点二 直线的斜率(1)定义：若直线的倾斜角θ不是90°，则斜率k ＝tan θ.(2)计算公式：若由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)确定的直线不垂直于x 轴，则k ＝y 2－y 1x 2－x 1 .知识点三 直线方程的五种形式考点一 直线的倾斜角与斜率【典例1】（山西平遥中学2019届模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．【方法技巧】直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此求倾斜角或斜率的范围时，要分⎣⎡⎭⎫0，π2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫π2和⎝⎛⎭⎫π2，π三种情况讨论．当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2时，斜率k ∈[0，＋∞)；当α＝π2时，斜率不存在；当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，斜率k ∈(－∞，0)．【变式1】（湖南浏阳一中2019届模拟）直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，π4 B.⎣⎡⎭⎫3π4，πC.⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎦⎤π2，π D.⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π【答案】B【解析】因为a 2＋1≠0，所以直线的斜截式方程为y ＝－1a 2＋1x －1a 2＋1，所以斜率k ＝－1a 2＋1，即tan α＝－1a 2＋1，所以－1≤tan α<0，解得3π4≤α<π，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 考点二 直线方程的求法【典例2】（ 北京师范大学实验中学2019届模拟）根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式． 设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 【方法技巧】求直线方程的两种方法(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程．(2)待定系数法：设出所求直线方程的某种形式，由条件建立所求参数的方程(组)，解这个方程(组)求出参数，再把参数的值代入所设直线方程即可．【变式2】（河北正定中学2019届模拟）过点P (3，1)，且比直线l ：x ＋3y －1＝0的倾斜角小30°的直线方程为__________．【答案】 3x ＋y －4＝0【解析】直线l ：x ＋3y －1＝0的斜率为－33，所以其倾斜角为150°，则所求直线的倾斜角为120°，因此所求直线的斜率k ＝－ 3.又直线过点P (3，1)，所以所求直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x＋y －4＝0.考点三 直线方程的综合应用【典例3】（ 辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k4－k ＝12×(12＋12) ＝12， 当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0. 【方法技巧】(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．【变式3】（吉林长春市实验中学2019届模拟）当k ＞0时，两直线kx －y ＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积的最大值为__________．【答案】24【解析】因为2x ＋ky －2＝0与x 轴交于点(1,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝0，2x ＋ky －2＝0，解得y ＝2kk 2＋2，所以两直线kx －y＝0,2x ＋ky －2＝0与x 轴围成的三角形面积为12×1×2k k 2＋2＝1k ＋2k≤122，故三角形面积的最大值为24.考点四 综合考查【典例4】（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( )A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.【变式4】（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋152723．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 24．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( ) A ．(1，－2) B ．(1,2) C ．(－1,2) D ．(－1，－2)5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12 C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝014．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2]B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π416．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5 C.52D. 5 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求： (1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12 D.12- 2．（2019·浙江高三学业考试）直线210x y +-=经过点（ ）A.（1，0）B.（0，1）C.11,22⎛⎫⎪⎝⎭D.11,2⎛⎫⎪⎝⎭专题9.1 直线的方程1．（江苏省无锡一中2019届期中）直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0，则直线l 的倾斜角为( ) A ．150° B ．120° C ．60°D ．30°【答案】A【解析】由直线l 的方程为3x ＋3y －1＝0可得直线l 的斜率为k ＝－33，设直线l 的倾斜角为α(0°≤α<180°)，则tan α＝－33，所以α＝150°.故选A. 2．（河南省鹤壁一中2019届期末）若函数y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，函数y 2＝x 2＋3，则(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为( )A.2π12B.＋272C.＋212D.－33＋272【答案】B【解析】设z ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则z 的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．因为y 1＝sin 2x 1－32⎝⎛⎭⎫x 1∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以y 1′＝2cos 2x 1.因为函数y 2＝x 2＋3的斜率为1，所以令y 1′＝2cos 2x 1＝1，解得x 1＝π6，则y 1＝0，即函数在⎝⎛⎭⎫π6，0处的切线和直线y 2＝x 2＋3平行，则最短距离为d ＝⎪⎪⎪⎪π6＋32.所以(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫⎪⎪⎪⎪π6＋322＝＋272.故选B.3．（山西省晋城一中2019届质检）如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2【答案】D【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.4．（湖北省黄石一中2019届月考）若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( )A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)【答案】A【解析】因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．5．(陕西师大附中2019届月考)如果AB ＞0，且BC ＜0，则直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以直线不经过第三象限． 6．（黑龙江省牡丹江一中2019届期中）设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线ax ＋y ＋2＝0与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，－52∪⎣⎡⎭⎫43，＋∞ B.⎝⎛⎭⎫－43，52 C.⎣⎡⎦⎤－52，43 D.⎝⎛⎦⎤－∞，－43∪⎣⎡⎭⎫52，＋∞ 【答案】B【解析】易知直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a .因为k MA ＝3－－－2－0＝－52， k MB ＝2－－3－0＝43， 由图可知－a ＞－52且－a ＜43，所以a ∈⎝⎛⎭⎫－43，52. 7．（ 浙江省舟山一中2019届期末）直线l 过原点且平分▱ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为B (1,4)，D (5,0)，则直线l 的方程为________．【答案】y ＝23x 【解析】直线l 平分平行四边形ABCD 的面积，则直线l 过BD 的中点(3,2)，则直线l ：y ＝23x . 8．（湖北省鄂州一中2019届期中）过点M (－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________．【答案】y ＝－53x 或x －y ＋8＝0 【解析】当直线过原点时，直线方程为y ＝－53x ；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋y －a＝1，即x －y ＝a .代入点(－3,5)，得a ＝－8.即直线方程为x －y ＋8＝0.9．（江西省南昌二中2019届期末）若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为________．【答案】16【解析】根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b ＝1，又C (－2，－2)在该直线上，故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，可得ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16，当且仅当a ＝b ＝－4时，等号成立．故ab 的最小值为16.10．（河北衡水中学2019届期中）已知点A (3,4)，分别求出满足下列条件的直线方程．(1)经过点A 且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．【解析】(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a .①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)，所以直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0. ②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a ＝1.又点(3,4)在直线上，所以3a ＋4a＝1，所以a ＝7.所以直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0.(2)由题意可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．故所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.11．（江西省鹰潭一中2019届模拟）在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )【答案】B【解析】由题意l 1：y ＝－ax －b ，l 2：y ＝－bx －a ，当a ＞0，b ＞0时，－a ＜0，－b ＜0.选项B 符合．12．（广东惠州一中2019届质检）直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－1，15B.⎝⎛⎭⎫－1，12C ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞D ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【答案】D【解析】设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k＜3，解不等式得k ＜－1或k ＞12. 13．（安徽省亳州一中2019届模拟）在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0 B.3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0【答案】C【解析】因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.14．（广西省来宾一中2019届模拟）若直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )A ．[－2,2] B.(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．[－2,0)∪(0,2]D ．(－∞，＋∞)【答案】C【解析】令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所求三角形面积为12⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14b 2，且b ≠0，因为14b 2≤1，所以b 2≤4，所以b 的取值范围是[－2,0)∪(0,2]． 15．（山东省滨州一中2019届质检）已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】D【解析】由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知，函数f (x )的图象关于x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为k ＝a b ＝－1，又直线倾斜角的取值范围为[0，π)，所以该直线的倾斜角为3π4，故选D.16．（四川省德阳一中2019届模拟）设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx－y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )(点P 与点A ，B 不重合)，则△P AB 的面积最大值是( )A ．2 5B ．5C.52D. 5 【答案】C【解析】由题意可知动直线x ＋my ＝0过定点A (0,0)．动直线mx －y －m ＋3＝0⇒m (x －1)＋3－y ＝0，因此直线过定点B (1,3)．当m ＝0时，两条直线分别为x ＝0，y ＝3，交点P (0,3)，S △P AB ＝12×1×3＝32.当m ≠0时，两条直线的斜率分别为－1m ，m ，则－1m·m ＝－1，因此两条直线相互垂直．当|P A |＝|PB |时，△P AB 的面积取得最大值．由2|P A |＝|AB |＝12＋32＝10，解得|P A |＝ 5.所以S △P AB ＝12|P A |2＝52.综上可得，△P AB 的面积最大值是52. 17．（陕西省渭南一中2019届模拟）已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为__________________．【答案】4x －3y －4＝0【解析】由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α，因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12， 所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)， 即4x －3y －4＝0.18. （广东省云浮一中2019届模拟）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角，过点P (1，0)的直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线y ＝12x 上时，则直线AB 的方程为____________________________．【答案】(3＋3)x －2y －3－3＝0【解析】由题意可得k OA ＝tan 45°＝1，k OB ＝tan(180°－30°)＝－33， 所以直线l OA ：y ＝x ，l OB ：y ＝－33x . 设A (m ，m )，B (－3n ，n )，所以AB 的中点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫m －3n 2，m ＋n 2， 由点C 在直线y ＝12x 上，且A ，P ，B 三点共线得 ⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n 2＝12·m －3n 2，m －0m －1＝n －0－3n －1，解得m ＝3，所以A (3，3)．又P (1,0)，所以k AB ＝k AP ＝33－1＝3＋32， 所以l AB ：y ＝3＋32(x －1)， 即直线AB 的方程为(3＋3)x －2y －3－3＝0.19．（ 甘肃省兰州一中2019届调研）已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)；(2)斜率为16. 【解析】(1)由题意知，直线l 存在斜率．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k－3,3k ＋4， 由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83. 故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.20．（四川省雅安一中2019届模拟）已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：(1)BC 边所在直线的方程；(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程；(3)BC 边的垂直平分线DE 所在直线的方程．【解析】(1)因为直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得BC 的方程为y －13－1＝x －2－2－2， 即x ＋2y －4＝0.(2)设BC 边的中点D 的坐标为(x ，y )，则x ＝2－22＝0，y ＝1＋32＝2. BC 边的中线AD 经过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为x －3＋y 2＝1， 即2x －3y ＋6＝0.(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－12， 则BC 的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2.由(2)知，点D 的坐标为(0,2)．由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0.1.（2019·浙江高三学业考试）直线y -26x =+的斜率为( )A.2B.-2C.12D.12- 【答案】B【解析】由26y x =-+可知斜率2k =-，本题选B 。
