(整理)MATLAB光的干涉的研究.
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光的干涉的研究
湖南大学 XX 院系 XX 专业 XX 年级
姓名 学号
[问题1]光的双缝干涉
两束频率相同的单色光在空间某点相遇时，讨论光强和干涉条纹的分布规律。
[数学模型]根据波的叠加理论，两束同频率单色光在空间某一点光矢量的大小为
E 1 = E 10cos(ωt + φ10)，E 2 = E 20cos(ωt + φ20)， (7.1.1)
其中，E 10和E 20分别是两个光矢量的振幅，φ10和φ20分别是初相。
如果两个光矢量的方向相同，合成的光矢量为
E = E 0cos(ωt + φ0)， (7.1.2)
其中，振幅和初相分别为
0E = (7.1.3a)
10102020010102020
sin sin arctan cos cos E E E E ϕϕϕϕϕ+=+。
(7.1.3b) 在一定时间内观察到的平均光强I 与光矢量的平方的平均值成正比
2220102010202010[2cos()]I aE a E E E E ϕϕ==++-， (7.1.4)
其中a 是比例系数。
对于普通光源，两光波之间的相位差φ20 – φ10是随机变化的，平均值为零，因此
22102012I aE aE I I =+=+。
(7.1.5)
这就是光的非相干叠加，总光强等于两束光各自照射时的光强之和。
如果两束光的相位差恒定，则合成光强为
12I I I ϕ=++∆， (7.1.6a)
其中Δφ = φ20 – φ10，第三项是干涉项。
这就是光的相干叠加。
如果I 1 = I 2，则合成光强为
2112(1cos )4cos 2
I I I ϕϕ∆=+∆=。
(7.1.6b) [讨论]①当Δφ = 2k π时(k = 0, ±1, ±2,…)，满足这样条件的空间各点的光强最大
2M 12I I I =++=， (7.1.7a)
或 I M = 4I 1。
(7.1.7b) 这种干涉是光的相长干涉。
②当Δφ = (2k + 1)π时(k = 0, ±1, ±2,…)，满足这样条件的空间各点，合光强最小
2m 12I I I =+-=， (7.1.8a)
或 I m = 0。
(7.1.8b) 这种干涉是光的相消干涉。
[算法]当两个光源的强度相等时，相对光强为
*2122cos 4cos 2
I I I ϕϕ∆==+∆=。
(7.1.6b*) 干涉条纹用图像指令image 绘制，颜色用色图指令colormap 控制。
colormap 指令中有三个参数向量[r,g,b]构成颜色矩阵，分别表示红色，绿色和蓝色，其值在0到1之间。
在用红色画条纹时，变量r 取0到1共64的列向量，变量g 和b 都清零。
[程序]
%两束相干光的干涉强度和干涉条纹
clear %清除变量
n=3; %条纹的最高阶数
dphi=0.01; %相差的增量
phi=(-1:dphi:1)*n*2*pi; %相差向量
i=4*cos(phi/2).^2; %干涉的相对强度
fs=16; %字体大小
figure %创建图形窗口
subplot(2,1,1) %取子图
plot(phi,i) %画曲线
grid on %加网格
set(gca,'xtick',(-n:n)*2*pi) %改水平刻度
axis([-n*2*pi,n*2*pi,0,4]) %曲线范围
title('光的干涉强度分布','fontsize',fs)%标题
xlabel('相差\Delta\it\phi','fontsize',fs)%x 标签
ylabel('相对强度\itI/I\rm_1','fontsize',fs)%y 标签
subplot(2,1,2) %取子图
r=linspace(0,1,64)'; %红色的范围
g=zeros(size(r)); %不取绿色
b=zeros(size(r)); %不取蓝色
colormap([r g b]); %形成色图
image(i*16) %画红色条纹(乘以16放大强度,最大为64) axis off %隐轴
title('光的干涉条纹','fontsize',fs) %标题
P7.1
[图示]如P7.1图所示，两个相干光强度相同，发生干涉后最小相对光强为0，最大相对光强为4。
光强曲线最大的地方对应明条纹的中央，相差为2π的整数倍；光强曲线为零的地方对应暗条纹中央，相差为π的奇数倍。
[问题2] 牛顿环
如B7.4图所示，取一块表面平整的玻璃板，将一半径很大的平凸透镜的凸面与平板玻璃接在一起，平凸透镜的凸面与平板玻璃表面搭出一个空气薄膜。
用波长为λ的单色光垂直照射时，可观察到一系列明暗相间的同心圆环，这一现象最先被牛顿观察到，史称牛顿环。
牛顿环的干涉条纹的分布规律是什么？
[数学模型]半径很大的凸透镜与平板玻璃接近平行时，空气厚度很小。
当单色光垂直入射时，在凸透镜下表面与空气的交界面同时发生反射和透射，反射光为a ，透射光在平板玻璃的上表面再发生反射，反射光为b 。
a 和b 是同一束光的两部分，因而是相干光，相遇时就发生干涉。
a 光反射时没有半波损失，
b 光反射时有半波损失。
空气的折射率n = 1，在空气厚度为e 的地方，两列光的光程差为
δ = 2e + λ/2。
(7.4.1) 明环形成的条件为
δ = 2e + λ/2 = k λ，(k = 1,2,3,…) (7.4.2a)
暗环形成的条件为 δ = 2e + λ/2 = (2k + 1)λ/2，(k = 0,1,2,…) (7.4.2b)
干涉级次k 越大，对应的厚度e 也越大，明环和暗环距离中心越远。
相邻明环或暗环之间的厚度差为
Δe = λ/2。
(7.4.3)
可知：相邻明环或暗环的厚度差相同，
设凸透镜的半径为R ，光环的半径为r ，由于
r 2 = R 2 - (R - e )2 ≈ 2Re ， (7.4.4)
第k 级明环的半径为
(k = 1,2,3,…) (7.4.5a)
第k 级暗环的半径为
(k = 0,1,2,…) (7.4.5b)
B7.4图
其中k = 0时的暗环半径为零，表示中央是暗斑。
透射光和反射光是互补的，因此在反射光明条纹处透射光形成暗条纹，在反射光暗条纹处透射光形成明条纹。
当平行光垂直照射时，光强可表示为
22
00cos cos (π)2I I I ϕ
δ
λ∆==，
将(7.4.1)式代入上式得
2021
cos [π()]2e I I λ=+，
利用(7.4.4)式得
2
201
cos [π()]2r I I R λ=+。
(7.4.6) [算法]
I 0为光强单位，则相对光强为
*2*20
1
cos [π()]2I
I r I ==+。
(7.4.6*)
其中*r r =
[程序]P7_4.m 如下。
%牛顿环
clear %清除变量
rm=5; %最大半径(相对坐标)
r=-rm:0.01:rm; %横坐标或纵坐标向量
[X,Y]=meshgrid(r); %横坐标和纵坐标矩阵
R=sqrt(X.^2+Y.^2); %求各点到圆心的距离
I=cos(pi*(R.^2+1/2)).^2; %反射光的相对光强
I(R>rm)=nan; %最大半径外的光强改为非数(将方形图改为圆形图,四角为黑色)
c=linspace(0,1,64)'; %颜色范围
figure %开创图形窗口
colormap([c c*0 c*0]) %形成红色色图
image(I*64) %画图像
axis off equal %隐轴
title('牛顿环(反射光)','fontsize',16) %标题
[说明]如果修改色图指令
colormap([c c c*0])
条纹的颜色是黄色。
如果修改色图指令
colormap([c c c])
条纹的颜色是白色。
修改色图指令，还可以用其他颜色表示条纹。
如果将光强指令改写(标题也要改)
I=cos(pi*R.^2).^2;
则可得透射光的牛顿环。
[图示](1)如P7.4a图所示，牛顿环中央是暗斑，随着半径的增加，条纹间距越来越小，分布越来越密。
这是因为相邻明环或暗环的厚度差相同，从里到外空气厚度迅速增加的缘故。
(2)透射光的牛顿环如P7.4b图所示，其光强与反射光的光强正好相反。
P7.4a图P7.4b图
[结论]
本文对光的双缝干涉进行了分析，应用MA TLAB的指令，画出光强的曲线和干涉图样，掌握了光的干涉的规律。
本文还对牛顿环干涉条件的进行分析，巧妙利用无量纲的波长，画出牛顿环反向光环和透射光环，与实验观察的结果相同。
计算机模拟不但能够再现实验过程和结果，更能理解和掌握光学规律。
