2019-2020学年湖北省恩施州巴东县九年级(上)期中数学试卷试题及答案(Word版)

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．75．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：36．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．212．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a220．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是．（写出一个即可）22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分．）在四个选项中只有一项是正确的．1．下列说法正确的是（）A．各有一个角是70°的等腰三角形相似B．各有一个角是95°的等腰三角形相似C．所有的矩形相似D．所有的菱形相似【分析】A、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；B、根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定定理进行判断；C、D根据相似图形的定义进行判断．【解答】解：A、若一个等腰三角形的顶角为70°，而另一个的顶角为40°，则此两个等腰三角形不相似，故本选项错误；B、95°的角只能是顶角，则顶角为95°的两个等腰三角形相似，故本选项正确；C、所有的矩形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；D、所有的菱形是形状不唯一确定的图形，不一定是相似形，故本选项错误；故选：B．2．在△ABC中，∠C=90°，sinB=，则tanA的值为（）A．B．1 C．D．【分析】先根据特殊角的三角函数值得出∠B，从而得出∠A，即可计算出结果．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∵sinB=，∴∠B=30°，∴∠A=60°，∴tanA=．故选A．3．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一座凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，则凉亭的位置应选在（）A．△ABC三条中线的交点B．△ABC三边的垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．【解答】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC三条角平分线的交点上．故选C．4．如图，在△ABC中，已知∠AED=∠B，DE=6；AB=10，AE=5，则BC的长为（）A．3 B．12 C．D．7【分析】由公共角和已知条件证明△ADE∽△ACB，得出对应边成比例，即可求出BC的长．【解答】解：∵∠A=∠A，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：BC=12．故选：B．5．如图，在△ABC中，D、E分别为AB，AC的中点，连接BE，DC交于F点，则△DEF与△BDF 的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．4：9 D．1：3【分析】证明DE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，得出△DEF∽△CBF，得出对应边成比例EF：BF=DE：BC=1：2，得出△DEF与△BDF的面积比=EF：BF，即可得出结果．【解答】解：∵D、E分别为AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE=BC，∴△DEF∽△CBF，∴EF：BF=DE：BC=1：2，∴△DEF与△BDF的面积比=EF：BF=1：2；故选：A．6．如图，D，E，F分别是OA，OB，OC的中点，下面的说法中：①△ABC与△DEF是位似图形；②△ABC与△DEF的相似比为1：2；③△ABC与△DEF的周长之比为2：1；④△ABC与△DEF的面积之比为4：1．正确的是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，且相似比是：=2，③△ABC与△DEF的周长比等于相似比，即2：1，④根据面积比等于相似比的平方，则△ABC与△DEF的面积比为4：1．综上所述，正确的结论是：①③④．故选：B．7．如图，点F是▱ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E，则下列结论错误的是（）A．B．C．D．【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，然后平行线分线段成比例定理，对各项进行分析即可求得答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，AD∥BC，CD=AB，AD=BC，∴，故A正确；∴，∴，故B正确；∴，故C错误；∴，∴，故D正确．故选C．8．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①②③④四个三角形．若OA：OC=OB：OD，则下列结论中一定正确的是（）A．①②相似B．①③相似C．①④相似D．②相似【分析】由两边成比例和夹角相等（对顶角相等），即可得出△AOB∽△COD，即可得出结果．【解答】解：∵OA：OC=OB：OD，∠AOB=∠COD，∴△AOB∽△COD，C正确；故选：C．9．在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（）A．10tan50°B．10cos50°C．10sin50°D．【分析】根据三角函数的定义即可求解．【解答】解：∵cosB=，∴BC=ABcosB=10cos50°．故选：B．10．如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为（）A．5m B．m C．m D．m【分析】可利用勾股定理及所给的比值得到所求的线段长．【解答】解：∵AB=10米，tanA==．∴设BC=x，AC=2x，由勾股定理得，AB2=AC2+BC2，即100=x2+4x2，解得x=2，∴AC=4，BC=2米．故选B．11．正方形网格中，∠AOB如图放置，则sin∠AOB=（）A．B． C．D．2【分析】找出以∠AOB为内角的直角三角形，根据正弦函数的定义，即直角三角形中∠AOB的对边与斜边的比，就可以求出．【解答】解：如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=，∴sin∠AOB===．故选B．12．如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米【分析】首先根据题意分析图形；本题涉及到两个直角三角形，应利用其公共边AB及CD=DC﹣BC=20构造方程关系式，进而可解，即可求出答案．【解答】解：∵在直角三角形ADB中，∠D=30°，∴=tan30°∴BD==AB∵在直角三角形ABC中，∠ACB=60°，∴BC==AB∵CD=20∴CD=BD﹣BC=A B﹣AB=20解得：AB=10．故选A．13．如图，⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，P是弦AB上一点，若OP的长是整数，则满足条件的点P有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【分析】首先过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，由垂径定理可求得OP的取值范围为3≤OP≤5，而OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，故符合条件的点P有5个．【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OB，∵⊙O的直径为10cm，弦AB为8cm，∴BC=AB=4（cm），OB=5cm，∴OC==3（cm），∴3cm≤OP≤5cm，∵OP的长是整数，∴OP=3的点只有一个，OP=4的点有2个，OP=5的点有2个，∴满足条件的点P有5个．故选D．14．如图，已知A，B，C三点在⊙O上，AC⊥BO于O，∠B=55°，则∠BOC的度数为（）A．45°B．35°C．70°D．80°【分析】根据三角形的内角和得到∠A=35°，根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：∵AC⊥BO于O，∠B=55°，∴∠A=35°，∴∠BOC=2∠A=70°，故选C．15．如图，⊙O的圆心O到直线m的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线m向右（垂直于m 的方向）平移，使m与⊙O相切，则平移的距离为（）A．1cm B．2cm C．4cm D．2cm或4cm【分析】直线m向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况，分别讨论解答即可．【解答】解：∵圆心O到直线m的距离为3cm，半径为1cm，∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2cm，当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4cm，故选D．16．如图，两个同心圆的半径分别为3cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（）A．3cm B．4cm C．6cm D．8cm【分析】连接OC和OB，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，知OC⊥AB，应用勾股定理可将BC的长求出，从而求出AB的长．【解答】解：连接OC和OB，∵弦AB与小圆相切，∴OC⊥AB，在Rt△OBC中，BC===4cm，∴AB=2BC=8cm．故选D．17．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点是A、B，已知∠P=60°，0A=3，那么∠AOB所对弧的长度为（）A．6πB．5πC．3πD．2π【分析】由于PA、PB是⊙O的切线，由此得到∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，然后利用四边形的内角和即可求出∠AOB然后利用已知条件和弧长公式即可求出∠AOB所对弧的长度．【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP=∠OBP=90°，而∠P=60°，∴∠AOB=120°，∠AOB所对弧的长度==2π．故选D．18．如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为（）A． B．C．D．【分析】首先利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积，用S半+S△AOB﹣S扇形AOB可求出阴影部分的面积．圆【解答】解：在Rt△AOB中，AB==，S半圆=π×（）2=π，S△AOB=OB×OA=，S扇形OBA==，故S阴影=S半圆+S△AOB﹣S扇形AOB=．故选C．19．边长为a的正六边形的面积为（）A． a B．4a2C．a2D．a2【分析】边长为a的正六边形的面积是边长是a的等边三角形的面积的6倍，据此即可求解．【解答】解：边长为a的等边三角形的面积=a2=a2，则边长为a的正六边形的面积等于6×a2=a2．故选C．20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（）A．CM=DM B．=C．∠ACD=∠ADC D．OM=MD【分析】由直径AB垂直于弦CD，利用垂径定理得到M为CD的中点，B为劣弧的中点，可得出A和B选项成立，再由AM为公共边，一对直角相等，CM=DM，利用SAS可得出三角形ACM 与三角形ADM全等，根据全等三角形的对应角相等可得出选项C成立，而OM不一定等于MD，得出选项D不成立．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，∴M为CD的中点，即CM=DM，选项A成立；B为的中点，即=，选项B成立；在△ACM和△ADM中，∵，∴△ACM≌△ADM（SAS），∴∠ACD=∠ADC，选项C成立；而OM与MD不一定相等，选项D不成立．故选：D二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．）21．如图所示，已知∠DAB=∠CAE，再添加一个条件就能使△ADE∽△ABC，则这个条件可能是∠D=∠B．（写出一个即可）【分析】先证出∠DAE=∠BAC，再由∠D=∠B，根据三角形相似的判定方法即可得出△ADE∽△ABC．【解答】解：这个条件可能是∠D=∠B；理由如下：∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，又∵∠D=∠B，∴△ADE∽△ABC．22．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且（sinA﹣）2+（tanB﹣1）2=0，则∠C=75°．【分析】根据偶次幂具有非负性可得sinA﹣=0，tanB﹣1=0，再根据特殊角的三角函数值可得：∠A=60°，∠B=45°，然后再利用三角形内角和定理可得答案．【解答】解：由题意得：sinA﹣=0，tanB﹣1=0，解得：∠A=60°，∠B=45°，则∠C=180°﹣60°﹣45°=75°，故答案为：75°．23．如图，△ABC内接于⊙O，若∠B=30°，AC=3，则⊙O的直径为6．【分析】过C作直径CD，连AD，根据圆周角定理及推论得到∠CAD=90°和∠D=∠B=30°，再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半即可得到圆的直径．【解答】解：过C作直径CD，连AD，∴∠D=∠B=30°，∠CAD=90°，∴CD=2AC=6，∴⊙O的直径为6；故答案为：6．24．如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的两侧，过点C作CP的垂线与PB的延长线交于点Q．已知⊙O的直径为5，tan∠ABC=，则CQ的最大值为．【分析】由AB为直径和PC⊥CQ可得出∠PCQ=90°=∠ACB，又由∠P与∠A为同弦所对的圆周角，可得出∠P=∠A，从而得出△ACB∽△PCQ，即得出CQ=•CP，由tan∠ABC=得出CQ=CP，当CP最大时，CQ也最大，而CP为圆内一弦，故CP最大为直径，由此得出CQ的最大值．【解答】解：∵线段AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°．∵CQ⊥PC，∴∠PCQ=90°=∠ACB，又∵∠P=∠A（同弦圆周角相等），∴△ACB∽△PCQ，∴．在Rt△ACB中，tan∠ABC=，∴=，∴CQ=•CP=CP．∵线段CP是⊙O内一弦，∴当CP过圆心O时，CP最大，且此时CP=5．∴CQ=×5=．故答案为：．三、解答题（本大题共5个小题，共48分．）解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．如图，在△ABC中，已知：∠A=30°，∠C=105°，AC=4，求AB和BC的长．【分析】过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，由∠A=30°，AC=4，求得CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，根据三角形的内角和得到∠B=45°，在Rt△BCD中，根据BD=CD=2，BC=2，即可得到AB=2+2．【解答】解：过C作CD⊥AB于D，则∠CDA=∠CDB=90°，在Rt△ACD中，∵∠A=30°，AC=4，∴CD=AC•sinA=2，AD=AC，cosA=2，∵∠A=30°，∠ACB=105°，∴∠B=45°，在Rt△BCD中，BD=CD=2，BC=2，∴AB=2+2．26．如图，等边三角形ABC的边长为5，点E为BC边上一点，且BE=2，点D为AC边上一点，若∠AED=60°，求CD的长？【分析】由等边三角形的性质得出AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，证明△ABE∽△ECD，得出对应边成比例=，即可求出CD的长．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=5，∠B=∠C=60°，∵∠AEC=∠AED+∠DEC，∠AEC=∠B+∠BAE，∴∠AED+∠DEC=∠B+∠BAE，又∵∠AED=∠B=60°，∴∠DEC=∠BAE，∴△ABE∽△ECD，∴=，∵BE=2，BC=5，∴EC=3，∴CD===．27．如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CD是斜边AB上的高．（1）求证：CD2=AD•BD；（2）若AC=3，BC=4，求BD的长和求sin∠BCD的值．【分析】（1）由互余两角的关系得出∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，证出△ACD∽△CBD，得出对应边成比例，即可得出结论；（2）由相似三角形的性质得出，由勾股定理求出AB，由三角形的面积求出CD，得出BD，即可得出sin∠BCD的值．【解答】（1）证明：∵∠ACB=90°，∠ACD+∠DCB=90°，∵CD是斜边AB上的高，∴∠B+∠DCB=90°，∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∠DCB=∠A，∴△ACD∽△CBD，∴，即CD2=AD•BD；（2）解：由（1）知：△ACD∽△CBD，∴，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴AB==5，由△ABC的面积得：AB•CD=AC•BC，∴5CD=3×4，∴CD=，∴，解得：BD=，sin∠BCD===．28．已知：如图，AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE切⊙O于点D，交BC于点E．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果CD=4，CE=3，求⊙O的半径．【分析】本题由已知DE是⊙O的切线，可联想到常作的一条辅助线，即“见切点，连半径，得垂直”，然后再把要证的垂直与已有的垂直进行联系，即可得出证法．【解答】（1）证明：连接OD，（1分）∵DE切⊙O于点D，∴DE⊥OD，∴∠ODE=90°，（2分）又∵AD=DC，AO=OB，∴OD是中位线，∴OD∥BC，（3分）∴∠DEC=∠ODE=90°，∴DE⊥BC；（4分）（2）解：连接BD，（5分）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，（6分）∴BD⊥AC，∴∠BDC=90°，又∵DE⊥BC，Rt△CDB∽Rt△CED，（7分）∴，∴BC=，（9分）又∵OD=BC，∴OD=，即⊙O的半径为．（10分）29．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF经过点C，AD⊥EF于点D，∠DAC=∠BAC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，∠ACD=30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OC，由OA=OC，利用等边对等角得到∠OAC=∠OCA，由∠DAC=∠BAC，等量代换得到一对内错角相等，得到AD与OC平行，由AD垂直于EF，得到OC垂直于EF，即可得到EF为圆O的切线；（2）由∠ACD的度数求出∠OCA为60°，确定出三角形AOC为等边三角形，由半径为2求出AC 的长，在直角三角形ACD中，由30度所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，再利用勾股定理求出CD的长，由扇形AOC面积减去三角形AOC面积求出弓形的面积，再由三角形ACD面积减去弓形面积即可求出阴影部分面积．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵∠DAC=∠BAC，∴∠DAC=∠OCA，∴AD∥OC，∵AD⊥EF，∴OC⊥EF，则EF为圆O的切线；（2）∵∠ACD=30°，∠ADC=90°，∴∠CAD=∠OCA=60°，∴△AOC为等边三角形，∴AC=OC=OA=2，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，∴AD=AC=1，根据勾股定理得：CD=，∴S阴影=S△ACD﹣（S扇形AOC﹣S△AOC）=×1×﹣（﹣×22）=﹣．。

湖北省恩施州2020年中考数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）1．9的相反数是（）A．﹣9 B．9 C．D．2．恩施州2013年建筑业生产总值为36900万元，将数36900用科学记数法表示为（）A．3.69×105B．36.9×104C．3.69×104D．0.369×1053．下列图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．下列计算正确的是（）A．2a3+3a3=5a6B．（x5）3=x8C．﹣2m（m﹣3）=﹣2m2﹣6m D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）=9a2﹣45．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°6．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠27．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是（）A．B．C．D．8．在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字．如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（）A．恩B．施C．城D．同9．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（）A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜010．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A．8 B．20 C．36 D．1811．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD 的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm12．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a+b+c＞0；③5a﹣c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（本题共有4个小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2b﹣10ab+25b=．14．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=．15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．16．观察下列等式：1+2+3+4+…+n=n（n+1）；1+3+6+10+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35+…n（n+1）（n+2）（n+3）=．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．（8分）先化简，再求值：÷（a+2），其中a=﹣3．18．（8分）如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．19．（8分）在恩施州2016年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有32万名学生参加比赛活动，其中有8万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题．获奖等级频数一等奖100二等奖a三等奖275（1）表格中a的值为．（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为度．（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？20．（8分）如图，在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点，且俯角为45°，从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）21．（8分）如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x 轴，垂足为Q，已知∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PF⊥x轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．（1）求点B的坐标；（2）求四边形AOPE的面积．22．（10分）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m3，每辆小车每天运送渣土120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．（1）施工方共有多少种租车方案？（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？23．（10分）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O 于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求证：OC2=OE•OP；（3）求线段EG的长．24．（12分）如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．（1）求点E，F的坐标；（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖北省恩施州中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分）1．9的相反数是（）A．﹣9 B．9 C．D．【考点】相反数．【分析】根据相反数的定义即可求解．【解答】解：9的相反数是﹣9，故选A．【点评】此题主要考查相反数的定义，比较简单．2．恩施州2013年建筑业生产总值为36900万元，将数36900用科学记数法表示为（）A．3.69×105B．36.9×104C．3.69×104D．0.369×105【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】数据绝对值大于10或小于1时科学记数法的表示形式为a×10n的形式．其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：36900=3.69×104；故选C．【点评】本题考查的是科学记数法．任意一个绝对值大于10或绝对值小于1的数都可写成a×10n的形式，其中1≤|a|＜10．对于绝对值大于10的数，指数n 等于原数的整数位数减去1．3．下列图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确；故选D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．4．下列计算正确的是（）A．2a3+3a3=5a6B．（x5）3=x8C．﹣2m（m﹣3）=﹣2m2﹣6m D．（﹣3a﹣2）（﹣3a+2）=9a2﹣4【考点】整式的混合运算．【分析】A、原式合并得到结果，即可作出判断；B、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断；C、原式利用单项式乘多项式法则计算得到结果，即可作出判断；D、原式利用平方差公式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式=5a3，错误；B、原式=x15，错误；C、原式=﹣2m2+6m，错误；D、原式=9a2﹣4，正确，故选D【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．已知∠AOB=70°，以O为端点作射线OC，使∠AOC=42°，则∠BOC的度数为（）A．28°B．112°C．28°或112°D．68°【考点】角的计算．【分析】根据题意画出图形，利用数形结合求解即可．【解答】解：如图，当点C与点C1重合时，∠BOC=∠AOB﹣∠AOC=70°﹣42°=28°；当点C与点C2重合时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=70°+42°=112°．故选C．【点评】本题考查的是角的计算，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．6．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≥﹣1 B．x≥﹣1且x≠2 C．x≠±2 D．x＞﹣1且x≠2【考点】函数自变量的取值范围．【分析】根据二次根式有意义的条件是：被开方数是非负数，以及分母不等于0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：，解得x≥﹣1且x≠2．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．有6张看上去无差别的卡片，上面分别写着1，2，3，4，5，6，随机抽取一张后，放回并混在一起，再随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率是A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】画树状图展示所有36种等可能的结果数，再找出两次抽取的数字的积为奇数的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其中两次抽取的数字的积为奇数的结果数为9，所以随机抽取一张，两次抽取的数字的积为奇数的概率==．故选B．【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．8．在广场的电子屏幕上有一个旋转的正方体，正方体的六个面上分别标有“恩施六城同创”六个字．如图是小明在三个不同时刻所观察到的图形，请你帮小明确定与“创”相对的面上的字是（）A．恩B．施C．城D．同【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．【分析】根据图象思想确定和六相邻的是施、城、同、创，和创相邻的是恩、施、六、城由此即可解决问题．【解答】解：由题意可知和六相邻的是施、城、同、创，所以和六相对的是恩．因为和创相邻的是恩、施、六、城，所以和创相对的是同．【点评】本题考查正方体相对面上的文字，解题的关键是先确定或某一个字相邻的字是什么，得出相对的面的字，属于中考常考题型．9．关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为（）A．m≥﹣1 B．m＜0 C．﹣1≤m＜0 D．﹣1＜m＜0【考点】一元一次不等式组的整数解．【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据恰有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．【解答】解：在中，解不等式①可得x＞m，解不等式②可得x≤3，由题意可知原不等式组有解，∴原不等式组的解集为m＜x≤3，∵该不等式组恰好有四个整数解，∴整数解为0，1，2，3，∴﹣1≤m＜0，故选C．【点评】本题主要考查解不等式组，求得不等式组的解集是解题的关键，注意恰有四个整数解的应用．10．某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为（）A．8 B．20 C．36 D．18【考点】一元二次方程的应用．【分析】第一次降价后的单价是原来的（1﹣x），那么第二次降价后的单价是原来的（1﹣x）2，根据题意列方程解答即可．【解答】解：根据题意列方程得100×（1﹣x%）2=100﹣36解得x1=20，x2=180（不符合题意，舍去）．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD 的周长为13cm，则AE的长为（）A．3cm B．6cm C．12cm D．16cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=AC，求出AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出AC，即可得出答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，AE=CE=AC，∵△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，∴AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，∴AC=6cm，∴AE=3cm，故选A．【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．12．抛物线y1=ax2+bx+c与直线y2=mx+n的图象如图所示，下列判断中：①abc ＜0；②a+b+c＞0；③5a﹣c=0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．【分析】①直接根据二次函数的性质来判定；②观察图象：当x=1时，对应的y的值；③当x=1时与对称轴为x=3列方程组可得结论；④直接看图象得出结论．【解答】解：①∵二次函数开口向上，∴a＞0，∵二次函数与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵二次函数对称轴在y轴右侧，∴b＜0，∴abc＜0，所以此选项正确；②由图象可知：二次函数与x轴交于两点分别是（1，0）、（5，0），当x=1时，y=0，则a+b+c=0，所以此选项错误；③∵二次函数对称轴为：x=3，则﹣=3，b=﹣6a，代入a+b+c=0中得：a﹣6a+c=0，5a﹣c=0，所以此选项正确；④由图象得：当x＜或x＞6时，y1＞y2；所以此选项正确．【点评】本题综合考查了二次函数和一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的性质是关键：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置；当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a 与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异），反之也成立；③常数项c由抛物线与y轴交点的位置确定；④利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围．二、填空题（本题共有4个小题，每小题3分，共12分）13．因式分解：a2b﹣10ab+25b=b（a﹣5）2．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式=b（a2﹣10a+25）=b（a﹣5）2，故答案为：b（a﹣5）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．14．已知一元二次方程2x2﹣5x+1=0的两根为m，n，则m2+n2=．【考点】根与系数的关系．【分析】先由根与系数的关系得：两根和与两根积，再将m2+n2进行变形，化成和或积的形式，代入即可．【解答】解：由根与系数的关系得：m+n=，mn=，∴m2+n2=（m+n）2﹣2mn=﹣2×=，故答案为：．【点评】本题考查了利用根与系数的关系求代数式的值，先将一元二次方程化为一般形式，写出两根的和与积的值，再将所求式子进行变形；如、x12+x22等等，本题是常考题型，利用完全平方公式进行转化．15．如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积．【分析】可运用相似三角形的性质求出GF、MN，从而求出OF、OM，进而可求出阴影部分的面积．【解答】解：如图，∵GF∥HC，∴△AGF∽△AHC，∴==，∴GF=HC=，∴OF=OG﹣GF=2﹣=．同理MN=，则有OM=．=××=，∴S△OFM=．∴S阴影=1﹣故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积公式，求得△OFM的面积是解决本题的关键．16．观察下列等式：1+2+3+4+…+n=n（n+1）；1+3+6+10+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）；则有：1+5+15+35+…n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．【考点】整式的混合运算．【分析】根据已知等式发现分母依次乘以2、乘以3、乘以4，据此作答即可．【解答】解：∵1+2+3+4+…+n=n（n+1）=n（n+1）；1+3+6+10+…+n（n+1）=n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）；1+4+10+20+…+n（n+1）（n+2）=n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3），∴1+5+15+35+…n（n+1）（n+2）（n+3）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）=n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4），故答案为：n（n+1）（n+2）（n+3）（n+4）．【点评】本题主要考查数字的变化规律，由已知等式发现变化部分的变化规律及不变的部分是解题的关键．三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）17．先化简，再求值：÷（a+2），其中a=﹣3．【考点】分式的化简求值．【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．【解答】解：原式=÷=•=，当a=﹣3时，原式==．【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．18．如图，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，BE=CD．求证：AB=AC．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】通过全等三角形（Rt△CBE≌Rt△BCD）的对应角相等得到∠ECB=∠DBC，则AB=AC．【解答】证明：∵BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠CEB=∠BDC=90°．∵在Rt△CBE与Rt△BCD中，，∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL），∴∠ECB=∠DBC，∴AB=AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．19．在恩施州2016年“书香校园，经典诵读”比赛活动中，有32万名学生参加比赛活动，其中有8万名学生分别获得一、二、三等奖，从获奖学生中随机抽取部分，绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表解答下列问题．获奖等级频数一等奖100二等奖a三等奖275（1）表格中a的值为125．（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为72度．（3）估计全州有多少名学生获得三等奖？【考点】频数（率）分布表；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）由一等奖学生数及其所占百分比求得被调查学生总数，根据各组频数之和等于总数即可得a；（2）用360°乘以获得一等奖所对应百分比即可得；（3）用全州获奖学生总数乘以样本中获三等奖所占比例．【解答】解：（1）∵抽取的获奖学生有100÷20%=500（人），∴a=500﹣100﹣275=125，故答案为：125；（2）扇形统计图中表示获得一等奖的扇形的圆心角为360°×20%=72°，故答案为：72；（3）8×=4.4（万人），答：估计全州有4.4万名学生获得三等奖．【点评】本题主要考查频数分布表与扇形统计图及用样本估计总体，从统计图表中获取解题所需信息是解题的关键．20．如图，在办公楼AB和实验楼CD之间有一旗杆EF，从办公楼AB顶部A点处经过旗杆顶部E点恰好看到实验楼CD的底部D点，且俯角为45°，从实验楼CD顶部C点处经过旗杆顶部E点恰好看到办公楼AB的G点，BG=1米，且俯角为30°，已知旗杆EF=9米，求办公楼AB的高度．（结果精确到1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△GEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△AGP中，继而可求出AB的长度．【解答】解：由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，∴FD=EF=9米，AB=BD在Rt△GEH中，∵tan∠EGH==，即，∴BF=8，∴PG=BD=BF+FD=8+9，AB=（8+9）米≈23米，答：办公楼AB的高度约为23米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．21．如图，直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，直角边AB垂直x轴，垂足为Q，已知∠ACB=60°，点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，分别作PF ⊥x轴于F，AD⊥y轴于D，延长DA，FP交于点E，且点P为EF的中点．（1）求点B的坐标；（2）求四边形AOPE的面积．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据∠ACB=60°，求出tan60°==，设点A（a，b），根据点A，C，P均在反比例函数y=的图象上，求出A点的坐标，从而得出C点的坐标，然后即可得出点B的坐标；（2）先求出AQ、PF的长，设点P的坐标是（m，n），则n=，根据点P在反比例函数y=的图象上，求出m和S△OPF ，再求出S长方形DEFO，最后根据S四边形AOPE =S长方形DEFO﹣S△AOD﹣S△OPF，代入计算即可．【解答】解：（1）∵∠ACB=60°，∴∠AOQ=60°，∴tan60°==，设点A（a，b），则，解得：或（不合题意，舍去）∴点A的坐标是（2，2），∴点C的坐标是（﹣2，﹣2），∴点B的坐标是（2，﹣2），（2）∵点A的坐标是（2，2），∴AQ=2，∴EF=AQ=2，∵点P为EF的中点，∴PF=，设点P的坐标是（m，n），则n=∵点P在反比例函数y=的图象上，∴=，S△OPF=|4|=2，∴m=4，∴OF=4，∴S长方形DEFO=OF•OD=4×2=8，∵点A在反比例函数y=的图象上，∴S△AOD=|4|=2，∴S四边形AOPE =S长方形DEFO﹣S△AOD﹣S△OPF=8﹣2﹣2=4．【点评】此题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．22．（10分）（2016•恩施州）在清江河污水网管改造建设中，需要确保在汛期来临前将建设过程中产生的渣土清运完毕，每天至少需要清运渣土12720m3，施工方准备每天租用大、小两种运输车共80辆．已知每辆大车每天运送渣土200m3，每辆小车每天运送渣土120m3，大、小车每天每辆租车费用分别为1200元，900元，且要求每天租车的总费用不超过85300元．（1）施工方共有多少种租车方案？（2）哪种租车方案费用最低，最低费用是多少？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设大车租x辆，则小车租（80﹣x）辆．列出不等式组，求整数解即可解决问题．（2）设租车费用为w元，则w=1200x+900（80﹣x）=300x+7200，利用一次函数的增减性，即可解决问题．【解答】解：（1）设大车租x辆，则小车租（80﹣x）辆．由题意，解得39≤x≤44.5，∵x为整数，∴x=39或40或41或42或43或44．∴施工方共有6种租车方案．（2）设租车费用为w元，则w=1200x+900（80﹣x）=300x+7200，∵300＞0，∴w随x增大而增大，∴x=39时，w最小，最小值为18900元．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，一次函数的性质等整数，解题的关键是学会构建不等式组解决实际问题，学会构建一次函数，利用一次函数的性质解决问题，属于中考常考题型．23．（10分）（2016•恩施州）如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于E，过点A作∠DAF=∠DAB，过点D作AF的垂线，垂足为F，交AB的延长线于点P，连接CO并延长交⊙O于点G，连接EG，已知DE=4，AE=8．（1）求证：DF是⊙O的切线；（2）求证：OC2=OE•OP；（3）求线段EG的长．【考点】圆的综合题．【分析】（1）连接OD，由等腰三角形的性质得出∠DAB=∠ADO，再由已知条件得出∠ADO=∠DAF，证出OD∥AF，由已知DF⊥AF，得出DF⊥OD，即可得出结论；（2）由射影定理得出OD2=OE•OP，由OC=OD，即可得出OC2=OE•OP；（3）由垂径定理得出DE=CE=4，∠OEC=90°，由相交弦定理得出DE2=AE×BE，求出BE=2，得出直径CG=AB=AE+BE=10，半径OC=CG=5，由三角函数的定义得出cosC==，在△CEG中，由余弦定理求出EG2，即可得出EG的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵OA=OD，∴∠DAB=∠ADO，∵∠DAF=∠DAB，∴∠ADO=∠DAF，∴OD∥AF，又∵DF⊥AF，∴DF⊥OD，∴DF是⊙O的切线；（2）证明：由（1）得：DF⊥OD，∴∠ODF=90°，∵AB⊥CD，∴由射影定理得：OD2=OE•OP，∵OC=OD，∴OC2=OE•OP；（3）解：∵AB⊥CD，∴DE=CE=4，∠OEC=90°，由相交弦定理得：DE2=AE×BE，即42=8×BE，解得：BE=2，∴CG=AB=AE+BE=8+2=10，∴OC=CG=5，∴cosC==，在△CEG中，由余弦定理得：EG2=CG2+CE2﹣2×CG×CE×cosC=102+42﹣2×10×4×=52，∴EG==2．【点评】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、等腰三角形的性质、平行线的判定、射影定理、相交弦定理、余弦定理、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（3）中，需要运用相交弦定理、三角函数和余弦定理采才能得出结果．24．（12分）（2016•恩施州）如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G．（1）求点E，F的坐标；（2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式；（3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长；（4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由点E在直线l上，设出点E的坐标，由翻折的特性可知OE=OC，利用两点间的距离公式即可得出关于x的无理方程，解方程即可求出x值，在代入点E的坐标中即可得出点E、F的坐标；（2）由OG=OC即可得出点G的坐标，根据点E、F、G的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（3）设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m，利用ED=CD，FD=CD即可得出关于m的无理方程，解方程即可求出m的值，从而得出CD的长度；（4）假设存在，设点P的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），由两点间的距离公式找出PE、PF、EF的长，根据三个角分别为直角，利用勾股定理即可得出关于n的方程，解方程即可求出n的值，再代入点P坐标即可得出结论．【解答】解：（1）∵点E在直线l：y=﹣x+7上，∴设点E的坐标为（x，﹣x+7），∵OE=OC=5，∴=5，解得：x1=3，x2=4，∴点E的坐标为（3，4），点F的坐标为（4，3）．（2）∵OG=OC=5，且点G在x正半轴上，∴G（5，0）．设经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，将E（3，4）、F（4，3）、G（5，0）代入y=ax2+bx+c中，得：，解得：，∴经过E，F，G三点的抛物线的解析式为y=﹣x2+6x﹣5．（3）∵BC∥x轴，且OC=5，∴设点D的坐标为（m，5）（m＞0），则CD=m．∵ED=CD或FD=CD，∴=m或=m，解得：m=或m=．∴当点C的对应点落在直线l上时，CD的长为或．（4）假设存在，设点P的坐标为（n，﹣n2+6n﹣5），∵E（3，4），F（4，3），∴EF==，PE=，PF=．以E，F，P为顶点的直角三角形有三种情况：①当∠EFP为直角时，有PE2=PF2+EF2，即（n﹣3）2+（﹣n2+6n﹣9）2=2+（n﹣4）2+（﹣n2+6n﹣8）2，解得：n1=1，n2=4（舍去），此时点P的坐标为（1，0）；②当∠FEP为直角时，有PF2=PE2+EF2，即（n﹣4）2+（﹣n2+6n﹣8）2=2+（n﹣3）2+（﹣n2+6n﹣9）2，解得：n3=2，n4=3（舍去），此时点P的坐标为（2，3）；③当∠EPF为直角时，有EF2=PE2+PF2，即2=（n﹣3）2+（﹣n2+6n﹣9）2+（n﹣4）2+（﹣n2+6n﹣8）2，整理得：（n﹣4）（n﹣3）（n2﹣5n+7）=0，∵在n2﹣5n+7中△=（﹣5）2﹣4×7=﹣3＜0，∴n2﹣5n+7≠0．解得：n5=3（舍去），n6=4（舍去）．综上可知：在（2）中的抛物线上存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形，点P的坐标为（1，0）或（2，3）．【点评】本题考查了两点间的距离公式、待定系数法求函数解析式以及勾股定理，解题的关键是：（1）根据OE=OC得出关于x的无理方程；（2）利用待定系数法求出抛物线解析式；（3）根据ED=CD（FD=CD）找出关于m的方程；（4）分三个角分别为直角三种情况考虑．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，解决该题型题目时，利用翻折的性质以及两点间的距离公式找出方程是关键．。

2019-2020学年九年级上学期期中考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图是一根空心方管，它的俯视图是()A. B. C. D.【答案】B【解析】解：如图所示：俯视图应该是．故选：B．俯视图是从物体的上面看，所得到的图形；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．本题考查了作图−三视图，注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示.画物体的三视图的口诀为：主、俯：长对正；主、左：高平齐；俯、左：宽相等2.一元二次方程3x2−7x+5=0的根的情况是()A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根【答案】D【解析】解：∵a=3，b=−7，c=5，∴△=b2−4ac=(−7)2−4×3×5=−11<0，∴一元二次方程3x2−7x+5=0没有实数根．故选：D．根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=−11<0，进而即可得出该方程没有实数根．本题考查了根的判别式，牢记“当△<0时，方程无实数根”是解题的关键．3.已知点A(2,−3)在双曲线y=k上，则下列哪个点也在此双曲线上()xA. (2,3)B. (1,6)C. (−1,6)D. (−2,−3)【答案】C上，【解析】解：解：∵点M(−2,3)在双曲线y=kx∴k=xy=(−2)×3=−6，∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为−6的点在函数图象上．A、因为3×(2)=6≠k，所以该点不在双曲线y=k上.故A选项错误；xB、因为()×()=6≠k，所以该点不在双曲线y=k上.故B选项错误；xC、因为−1×6=−6=k，所以该点在双曲线y=k上.故C选项正确；xD、因为−3×(−2)=6≠k，所以该点不在双曲线y=k上.故D选项错误．x故选：C．只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是−6的，就在此函数图象上．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．4.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有18个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么估计盒子中小球的个数n 为()A. 40B. 48C. 56D. 60【答案】D=30%，解得n=60，【解析】解：根据题意得18n所以这个不透明的盒子里大约有60个除颜色外其他完全相同的小球．故选：D．根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为30%，然后根据概率公式计算n的值．本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．5.下列各组中的四条线段成比例的是()A. a=√2，b=3，c=2，d=√3B. a=4，b=6，c=5，d=10C. a=2，b=√5，c=2√3，d=√15D. a=2，b=3，c=4，d=1【答案】C【解析】解：A．√2×3≠2×√3，故本选项错误；B.4×10≠5×6，故本选项错误；C.2×√15=√5×2√3，故本选项正确；D.4×1≠3×2，故本选项错误；故选：C．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．此题考查了比例线段，理解成比例线段的概念和变形是解题的关键，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．6.已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为()A. 32B. 8C. 4D. 16【答案】C【解析】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，=4．∴△DEF的面积为：16×14故选：C．由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．此题考查了相似三角形的性质.此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方的性质的应用．7.关于x的一元二次方程(m−1)x2+5x+m2−3m+2=0的常数项为0，则m等于()A. 1B. 2C. 1或2D. 0【答案】B【解析】解：根据题意，知，m−1≠0，{m2−3m+2=0解方程得：m=2．故选：B．根据一元二次方程成立的条件及常数项为0列出方程组，求出m的值即可．本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0(a,b，c是常数且a≠0)特别要注意a≠0的条件.这是在做题过程中容易忽视的知识点.在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项.其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．8.若点A(−6,y1)，B(−2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=a2+1(a为常数)的图象上，则xy1，y2，y3大小关系为()A. y1>y2>y3B. y2>y3>y1C. y3>y2>y1D. y3>y1>y2【答案】D【解析】解：∵a2≥0，∴a2+1≥1，∴反比例函数y=a2+1(a为常数)的图象位于第一三象限，x∵−6<−2，∴0>y1>y2，∵3>0，∴y3>0，∴y3>y1>y2．故选：D．先判断出反比例函数图象在第一三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，y随x的增大而减小判断．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键．9.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=31∘，则∠OBC的度数为()A. 31∘B. 49∘C. 59∘D. 69∘【答案】C【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，∴AB//CD，AB=BC，∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，在△AMO和△CNO中，∵{∠MAO=∠NCO AM=CN∠AMO=∠CNO，∴△AMO≌△CNO(ASA)，∴AO=CO，∵AB=BC，∴BO⊥AC，∴∠BOC=90∘，∵∠DAC=31∘，∴∠BCA=∠DAC=31∘，∴∠OBC=90∘−31∘=59∘．故选：C．根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质．10.如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，…，以此类推，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是()A. (21009,0)B. (0,21009)C. (21008,0)D. (0,21008)【答案】B【解析】解：∵正方形OA1B1C1的边长为1，∴OB1=√2∴OB2=2∴B2(0,2)，同理可知B3(−2,2)，B4(−4,0)，B5(−4,−4)，B6(0,−8)，B7(8,−8)，B9(16,16)，B10(0,32)．由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标的符号相同，每次正方形的边长变为原来的√2倍，∵2018÷8=252+2，∴B8n+2(0,24k+1)，∴B2018(0,1009)．故选：B．首先先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9、B10的坐标，找出这些坐标之间的规律，然后根据规律计算出点B2018的坐标．此题考查的是一个循环规律归纳的题目，解答此题的关键是确定几个点坐标为一个循环，再确定规律即可．二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.方程12x2=x的根是______．【答案】x1=0，x2=2【解析】解：12x2=x，12x2−x=0，x(12x−1)=0，x=0，12x−1=0，x1=0，x2=2．故答案为：x1=0，x2=2．移项，分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．12.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的延长线上一点，AE与CD交于点F，BC=2CE，若AB=6，则DF=______．【答案】4【解析】解：∵BC=2CE，∴BE=3CE．∵CF//AB，∴△EFC∽EAB．∴CFAB =CEEB=13，即CF6=13，解得CF=2．∵平行四边形ABCD中，CD=AB=6，∴DF=6−2=4．故答案为4．先证明△EFC∽EAB，通过比例式求出CF值，最后6−CF即可．本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，解题的关键是发现相似三角形常见的模型，从而得到比例式进行求解．13.如图，一次函数y1=x−1与反比例函数y2=2x的图象交于点A(2,1)、B(−1,−2)，则使y1>y2的x的取值范围是______．【答案】x>2或−1<x<0【解析】解：由图象易得在交点的右边，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的函数值，∵两图象交于点A(2,1)、B(−1,−2)，∴使y1>y2的x的取值范围是：x>2或−1<x<0．找到在交点的哪侧，对于相同的自变量，一次函数的函数值总大于反比例函数的值即可．用到的知识点为：求自变量的取值范围应该从交点入手思考；需注意反比例函数的自变量不能取0．14.如图矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13，P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别是E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是______．【答案】1≤BP≤5【解析】解：分两种情况：①如图，当F、D重合时，BP的值最小；根据折叠的性质知：AF=PF=13；∵在Rt△PFC中，PF=13，FC=5，∴PC=12，∴BP=13−12=1；②当E、B重合时，BP的值最大；根据折叠的性质，即可得到AB=BP=5，即BP的最大值为5．综上所述，BP的取值范围是1≤BP≤5．故答案为：1≤BP≤5．BP最小时，F、D重合，由折叠的性质知：AF=PF，在Rt△PFC中，利用勾股定理可求得PC的长，进而可求得BP的值，即BP的最小值；BP最大时，E、B重合，根据折叠的性质即可得到AB=BP=5，即BP的最大值为5；根据上述两种情况即可得到BP 的取值范围．本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．15.已知，如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E为线段AB上一动点(不与点A、点B重合)，先将矩形ABCD沿CE折叠，使点B落在点F处，CF交AD于点H，若折叠后，点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，则AE的长是______．【答案】24√2−28或8−4√3【解析】解：分两种情况：①当F在横对称轴MN上，如图所示，CD=4，CF=BC=12，此时CN=12∴FN=√CF2−CN2=8√2，∴MF=12−8√2，由折叠得，EF=BE，EM=4−BE，∵EM2+MF2=EF2，即(4−BE)2+(12−8√2)2=BE2，∴BE=36−24√2，∴AE=24√2−28；②当F在竖对称轴MN上时，如图所示，此时AB//MN//CD，∴∠BEC=∠FOE，∵∠BEC=∠FEC，∴∠FEC=∠FOE，∴EF=OF，由折叠的性质得，BE=EF，∠EFC=∠B=90∘，∵BN=CN，∴OC=OE，∴FO=OE，∴△EFO是等边三角形，∴∠FEC=60∘，∴∠BEC=60∘，BC=4√3，∴BE=√33∴AE=8−4√3．综上所述，点B的对应F落在矩形ABCD的对称轴上，此时AE的长是24√2−28或8−4√3．故答案为：24√2−28或8−4√3．依据点B的对应点F落在矩形ABCD的对称轴上，分两种情况讨论：F在横对称轴上与F 在竖对称轴上，分别求出BF 的长即可．本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为x ，然后根据折叠和轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．三、解答题（本大题共8小题，共75.0分） 16. 解方程：①9x 2+6x =8②4x 2−x =1【答案】解：①9x 2+6x −8=0， △=62−4×9×(−8)=36×9， x =−6±182×9，所以x 1=23，x 2=−43； ②4x 2−x −1=0，△=12−4×4×(−1)=17，x =1±√172×4所以x 1=1+√178，x 2=1−√178．【解析】①先变形为9x 2+6x −8=0，然后利用求根公式法解方程； ②利用求根公式法解方程．本题考查了解一元二次方程−公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.也考查了直接开平方法解一元二次方程．17. 为响应市政府关于“垃圾不落地⋅市区更美丽”的主题宣传活动，郑州外国语中学随机调查了部分学生对垃圾分类知识的掌握情况，调查选项分为“A ：非常了解；B ：比较了解；C ：了解较少；D ：不了解.”四种，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图.请根据图中提供的信息，解答下列问题； (1)求m =______，并补全条形统计图；(2)若我校学生人数为1000名，根据调查结果，估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有______名；(3)已知“非常了解”的是3名男生和1名女生，从中随机抽取2名向全校做垃圾分类的知识交流，请画树状图或列表的方法，求恰好抽到1男1女的概率．【答案】20 500【解析】解：(1)调查的总人数为4÷8%=50，B选项所占的百分比为2150×100%=42%，所以m%=1−8%−42%−30%=20%，即m=20，C选项的人数为30%×50=15(人)，D选项的人数为20%×50=10(人)，条形统计图为：故答案为20；(2)1000×(8%+42%)=500，所以估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生共有500名；故答案为500；(3)画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽到1男1女的结果数为6，所以恰好抽到1男1女的概率=612=12(1)先利用A选项的人数和它所占百分比计算出调查的总人数为50，再计算出B选项所占的百分比为42%，从而得到m%=20%，即m=20，然后计算出C、D选项的人数，最后补全条形统计图；(2)用1000乘以(8%+42%)可估计该校“非常了解”与“比较了解”的学生数；(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出抽到1男1女的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图．18.已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AE=10，BF=24，CE=7，求四边形ABCD的面积．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD//BC，∴∠DAE=∠AEB，∵∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠DAE=∠BAE，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE，同理可得AB=AF，∴AF=BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB=AF．∴四边形ABEF是菱形．(2)解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE=10，BF=24，∴AE⊥BF，OE=12AE=5，OB=12BF=12，∴BE=√OB2+OE2=13，∵S菱形ABEF =12⋅AE⋅BF=BE⋅FG，∴GF=12013，∴S平行四边形ABCD =BC⋅FG=240013【解析】(1)先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．(2)作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF =12⋅AE⋅BF=BE⋅FG，先求出FG即可解决问题．本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．19.如图，小明家窗外有一堵围墙AB，由于围墙的遮挡，清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处，中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处，小明测得窗子距地面的高度OD=1m，窗高CD=1.2m，并测得OE=1m，OF=3m，求围墙AB的高度．【答案】解：延长OD，∵DO⊥BF，∴∠DOE=90∘，∵OD=1m，OE=1m，∴∠DEB=45∘，∵AB⊥BF，∴∠BAE=45∘，∴AB=BE，设AB=EB=xm，∵AB⊥BF，CO⊥BF，∴AB//CO，∴△ABF∽△COF，∴ABBF =COOF，xx+(3−1)=1.2+13，解得：x=5.5．经检验：x=5.5是原方程的解．答：围墙AB的高度是5.5m．【解析】首先根据DO=OE=1m，可得∠DEB=45∘，然后证明AB=BE，再证明△ABF∽△COF，可得ABBF =COOF，然后代入数值可得方程，解出方程即可得到答案．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是求出AB=BE，根据相似三角形的判定方法证明△ABF∽△COF．20.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，郑州市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和14.4万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？【答案】解：(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据题意得：10(1+x)2=14.4，解得：x1=0.2=20%，x2=−2.2(舍去)．答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为20%．(2)14.4×(1+20%)=17.28(万件)，17.28÷0.6=28.8(人)，∵21<28.8，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务．28.8−21=7.8(人)，∵所需快递投递业务员人数为整数，∴至少需要增加8名业务员才能完成快递投递任务．【解析】(1)设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x，根据今年三月份与五月份完成投递的快递总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；(2)由六月份需完成投递的快递总件数=五月份需完成投递的快递总件数×(1+增长率)可求出六月份需完成投递的快递总件数，用其除以平均每人每月最多可投递件数可求出完成该月任务所需人数，将其与21比较后可得出该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，再用该人数减21取其整数部分加1，即可得出需增加业务员人数．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．21.在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y1=k的图象与一次函数y2=ax+b的图象x交于点A(2,3)和点B(−3,m)．(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)点C是坐标平面内一点，BC//x轴，AD⊥BC交直线BC于点D，连接AC.若AC=√5CD，求点C的坐标．的图象过点A(2,3)，【答案】解：(1)∵反比例函数y1=kx∴k=2×3=6，∴反比例函数解析式为y1=6，x将B(−3,m)代入反比例解析式得：m=−2，即B(−3,−2)．将A与B坐标代入y2=ax+b得：3=2a+b，{−2=−3a+ba=1，解得：{b=1∴一次函数解析式为y2=x+1；(2)∵BC//x轴，AD⊥BC，且A(2,3)，B(−3,−2)，∴D(2,−2)，C(x,−2)，∴CD=|x−2|，AD=5．∴AC=√5CD=√5|x−2|，在Rt△ACD中，∠ADC=90∘，∴AD2+CD2=AC2，即25+(x−2)2=5(x−2)2，解得x1=4.5，x2=−1，2,−2)．∴C点的坐标为(4.5,−2)或(−12【解析】(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式中，确定出反比例函数的解析式，再把点B的横坐标代入反比例函数解析式中得到点B的坐标，最后把点A和点B的坐标分别代入一次函数解析式中即可确定出一次函数解析式；(2)由BC//x轴，AD⊥BC，且A(2,3)，B(−3,−2)，即可得到D(2,−2)，C(x,−2)，CD= |x−2|，AD=5，AC=√5CD=√5|x−2|，然后在Rt△ACD中利用勾股定理列出方程25+(x−2)2=5(x−2)2，解方程即可得到点C的坐标．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式以及勾股定理的运用，解题时注意：平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22.如图，在菱形四边形ABCD中，∠ABC=60∘，AB=4，对角线AC、BD交于点O，点P为直线BD上的动点(不与点B重合)，连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转60∘得到线段PE，连接CE、BE．(1)问题发现如图1，当点E在直线BD上时，线段BP与CE的数量关系为______；∠ECB=______ ∘.(2)拓展探究如图2，当点P在线段BO延长线上时，(1)的结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由；(3)问题解决当∠BEC=30∘时，请直接写出线段AP的长度．【答案】BP=CE90【解析】解：(1)问题发现如图，连接AE，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∘，∠ABC=30∘，AO=CO，∴AC⊥BD，∠ABD=12∴BD垂直平分AC，∴AE=CE，∵旋转∴AP=EP，∠APD=60∘，∴△AEP是等边三角形∴AP=AE，∠EAP=60∘∵∠APD=∠ABD+∠PAB∴∠PAB=60∘−30∘=30∘∴AP=PB∴AP=PB=AE =EC∵AB=BC，∠ABC=60∘∴∠ACB=60∘∵△AEP是等边三角形，AC⊥BD，∴∠EAO=30∘，∵AE=EC∴∠ECO=∠EAO=30∘，∵∠ECB=∠ECO+∠ACB∴∠ECB=90∘故答案为：BP=EC，90∘(2)拓展探究结论仍然成立，如图，连接AE，由(1)可知：△AEP，△ABC都是等边三角形，∴AE=AP，AB=AC，∠EAP=∠BAC=60∘∴∠EAC=∠BAP，且AE=AP，AB=AC，∴△AEC≌△APB(SAS)∴EC=BP，∠ABP=∠ACE=30∘∴∠ECB=∠ACE+∠ACB=90∘∴结论仍然成立；(3)问题解决如图，当点E在AC左侧时，∵∠BEC=30∘，∠ECB=90∘∴∠EBC=60∘，且∠ABC=60∘∴BE与AB重合，∵AB=BC=4，∠BEC=30∘，∠ECB=90∘∴BE=2BC=8，∴AE=BE−AB=4，∴△APE是等边三角形∴AP=AE=4(此时点P与点D重合)如图，若点E在AC右侧时，∵∠BEC=30∘，∠ECB=90∘，∴∠EBC=60∘，∵∠DBC=30∘∴∠DBE=∠DBC+∠EBC=90∘，∵BC=AB=4，∠EBC=90∘，∠BEC=30∘，∴BE=2BC=8，CE=√3BC=4√3，∵BP=CE，∴BP=4√3，在Rt△BEP中，EP=√BP2+BE2=4√7∵△APE是等边三角形∴AP=PE=4√7综上所述：AP的长为4或4√7(1)问题发现∠ABC=30∘，AO=CO，根据线连接AE，根据菱形的性质可得AC⊥BD，∠ABD=12段垂直平分线的性质可得AE=EC，由旋转的性质可得△AEP是等边三角形，可得AP= AE，∠EAP=60∘，根据三角形的外角的性质和等腰三角形的判定，可证AP=PB=AE= EC，由菱形的性质可得∠ACB=60∘，根据等边三角形的性质和等腰三角形的性质可得∠ACE=30∘，即可得∠ECB=90∘；(2)拓展探究由等边三角形的性质可得AE=AP，AB=AC，∠EAP=∠BAC=60∘，可得∠EAC=∠BAP，根据“SAS”可证△AEC≌△APB，可得EC=BP，∠ABP=∠ACE=30∘，即可得∠ECB=90∘；(3)问题解决分点E在AC左侧，点E在AC右侧两种情况讨论，根据直角三角形的性质和等边三角形的性质以及勾股定理可求点P的坐标．本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．23.如图，点O为矩形ABCD对角线交点，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从D，C，B三点同时出发，沿矩形的边DC、CB、BA匀速运动，点E的运动速度为2cm/s，点F的运动速度为6cm/s，点G的运动速度为3cm/s，当点F到达点B(点F与点B重合)时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EFC关于直线EF 的对称图形是△EFC′.设点E、F、G运动的时间为t(单位：s)(1)当t=______s时，四边形ECFC′为正方形；(2)若以点E、C、F为顶点的三角形与以点F、B、G为顶点的三角形相似，求t的值；(3)是否存在实数t，使得点C′与点O重合？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】1.25【解析】解：(1)若四边形ECFC′为正方形，则CE=CF，CE=10−2t，CF=6t，即：10−2t=6t，解得t=1.25，故答案为：1.25；(2)分两种情况，讨论如下：①若△ECF∽△FBG，则有CEBF =CFBG，即10−2t12−6t=6t3t，解得：t=1.4；②若△ECF∽△GBF，则有CEBG =CFBF，即10−2t3t=6t12−6t，解得：t=−7−√69(不合题意，舍去)或t=−7+√69．∴当t=1.4s或t=(−7+√69)s时，以点E、C、F为顶点的三角形与以点F，B，G为顶点的三角形相似．(3)假设存在实数t，使得点C′与点O重合．如图1，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=CF=6t，FM=12BC−CF= 6−6t，OM=5，由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+(6−6t)2=(6t)2解得：t=6172；过点O作ON⊥CD于点N，则在Rt△OEN中，OE=CE=10−2t，EN=CE−CN= 10−2t−5=5−2t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+(5−2t)2=(10−2t)2解得：t=1.85．∵6172≠1.85，∴不存在实数t，使得点C′与点O重合．(1)利用正方形的性质，得到CE=CF，列一元一次方程求解即可；(2)△ECF与△FBG相似，分两种情况，需要分类讨论，逐一分析计算；(3)本问为存在型问题.假设存在，则可以分别求出在不同条件下的t值，它们互相矛盾，所以不存在．本题为相似三角形的综合题，考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂，但需要仔细分析题意，认真作答.第(2)问中，需要分类讨论，避免漏解；第(3)问是存在型问题，可以先假设存在，然后通过推导出互相矛盾的结论，从而判定不存在．。

2023年恩施州初中学业水平考试数学试题卷本试卷共6页，24个小题，满分120分，考试用时120分钟注意事项：1．考生答题全部在答题卷上，答在试题卷上无效．2．请认真核对监考教师在答题卷上所粘贴条形码的姓名、准考证号码是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号码用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卷及试题卷上．3．选择题作答必须用2B 铅笔将答题卷上对应的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．非选择题作答必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卷上指定位置，在其他位置答题一律无效．4．作图必须用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．考生不得折叠答题卷，保持答题卷的整洁．考试结束后，请将试题卷和答题卷一并上交．一、选择题（本大题共有12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数是（ ）A. 9B. 19-C. 19D. 9-【答案】D【解析】【分析】先根据数轴得到A 表示的数，再求其相反数即可．【详解】解：由数轴可知，点A 表示的数是9，相反数为9-，故选：D ．【点睛】本题考查数轴和相反数，掌握相反数的定义是解题的关键．2. 下列4个图形中，是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，逐一判断即可得到答案．【详解】解：A 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；B 、是中心对称图形，符合题意，选项正确；C 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；D 、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了中心对称图形，熟练掌握其定义是解题关键．3. 下列实数：1-，0，12-，其中最小的是（ ）A. 1- B. 0 C. D. 12-【答案】A【解析】【分析】根据实数大小比较的法则解答．【详解】解：∵1102-<-<<，∴最小的数是1-，故选：A ．【点睛】此题考查了实数的大小比较：正数大于零，零大于负数，两个负数绝对值大的反而小，熟练掌握实数的大小比较法则是解题的关键．4. 用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )A. B. C. D.【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．【详解】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，故选C ．【点睛】本题考查了三视图知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．5. 下列运算正确的是（ ）A. ()2211m m -=- B. ()3326m m = C. 734m m m ¸= D. 257m m m +=【答案】C【解析】【分析】根据幂的运算法则，完全平方公式处理．【详解】解：A. ()22121m m m -=-+，原运算错误，本选项不合题意；B. ()3328m m =，原运算错误，本选项不合题意；C. 734m m m ¸=，符合运算法则，本选项符合题意；D. 25m m +，不能进一步运算化简，原运算错误，本选项不合题意；故选：C ．【点睛】本题考查乘法公式在整式乘法中的运用，幂的运算法则，掌握相关法则和公式是解题的关键．6. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：移植的棵数a1003006001000700015000成活的棵数b84279505847633713581成活的频率ba0.840.930.8420.8470.9050.905根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（ ）A. 0.905B. 0.90C. 0.9D. 0.8【答案】C【解析】【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．的【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，故选：C ．【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．7. 将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m n ∥，120Ð=°，则2Ð=（ ）A. 40°B. 30°C. 20°D. 15°【答案】A【解析】【分析】过点H 作HG m ∥，推出HG m n ∥∥，得到3,1FHG GHP Ð=ÐÐ=Ð，求出340Ð=°，利用对顶角相等求出答案．【详解】解：过点H 作HG m ∥，∵m n ∥，∴HG m n ∥∥．∴3,1FHG GHP Ð=ÐÐ=Ð．∵60FHG GHP Ð+Ð=°，∴3160Ð+Ð=°．∵120Ð=°，∴340Ð=°．∴2340Ð=Ð=°．故选：A ．【点睛】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．8. 分式方程131x x x x +=--的解是（ ）A. 3x = B. 3x =- C. 2x = D. 0x =【答案】B【解析】【分析】把分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【详解】由131x x x x +=--得：()()()113x x x x -=+-，2223x x x x -=--，3x =-，经检验：3x =-是原分式方程的解，故选：B ．【点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解题的关键是解分式方程注意要检验，避免出现增根．9. 如图，取一根长100cm 的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O 并将其吊起来，在中点O 的左侧距离中点()125cm 25cm O L =处挂一个重()19.8N 9.8N F =的物体，在中点O 的右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态．弹簧秤与中点O 的距离L （单位：cm ）及弹簧秤的示数F （单位：N ）满足11FL F L =．以L 的数值为横坐标，F 的数值为纵坐标建立直角坐标系．则F 关于L 的函数图象大致是（ ）A. B. C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意11FL F L =代入数据求得245F L=，即可求解．【详解】解：∵11FL F L =，125cm L =，19.8N F =，∴259.8245FL =´=，∴245F L=，函数为反比例函数，当35cm L =时，245735F ==，即245F L =函数图象经过点()35,7．故选：B ．【点睛】本题考查了反比例函数的应用以及函数图象，根据题意求出函数关系式是解题的关键．10. 如图，在ABC V 中，DE BC ∥分别交AC AB ，于点D ，E ，EF AC ∥交BC 于点F ，25AE BE =，8BF =，则DE 长为（ ）A. 165 B. 167 C. 2 D. 3【答案】A【解析】的【分析】先证得四边形DEFC 是平行四边形，得到DE FC =，再利用平行线截线段成比例列式求出FC 即可．【详解】∵DE BC ∥，EF AC ∥，∴四边形DEFC 是平行四边形，∴DE FC =，∵EF AC ∥，∴25FC AE BF BE ==，∵8BF =，∴165FC =，∴165DE =，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键．11. 如图，等圆1O e 和2O e 相交于A ，B 两点，1O e 经过2O e 的圆心2O ，若122O O =，则图中阴影部分的面积为（ ）A. 2pB. 43pC. pD. 23p 【答案】D【解析】【分析】先证明12ACO BCO V V ≌，再把阴影部分面积转换为扇形面积，最后代入扇形面积公式即可．【详解】如图，连接2O B ，1O B ，∵等圆1O e 和2O e 相交于A ，B 两点∴12O O AB ^,AC BC=∵1O e 和2O e 是等圆∴11212O A O O O B O B===∴12O O B V 是等边三角形∴1260O O B Ð=°∵1290ACO BCO Ð=Ð=°,AC BC =,21O A BO =∴12ACO BCO V V ≌∴121211*********ACO BCO BCO BCO BO O S S S S S S p p =+=+===V V 图形图形扇形．故选：D ．【点睛】本题考查了相交弦定理，全等的判定及性质，扇形的面积公式，转化思想是解题的关键．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线()20y ax bx c a =++¹的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间．下列结论：①20a b +>； ②0bc <；③13a c <-； ④若1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，则1230x x ×-<<．其中正确的有（ ）个．A. 1 B. 2 C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】由图象得 a<0，0c >，由对称轴12b x a=-=得20b a =->，20a b +=，0bc >；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，由对称性知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，得0y a b c =-+<，于是13a c <-，进一步推知30c a -<<，由根与系数关系知1230x x -<<g ；【详解】解：开口向下，得 a<0，与y 轴交于正半轴，0c >，对称轴12b x a=-=，20b a =->，20a b +=，故①20a b +>错误；0bc > 故②0bc <错误；抛物线与x 轴的一个交点位于()2,0，()3,0两点之间，对称轴为1x =，故知另一个交点在(1,0)-，(0,0)之间，故=1x -时，0y a b c =-+<∴(2)0a a c --+<，得13a c <-，故③13a c <-正确；由13a c <-，a<0，0c >知30c a-<<，∵1x ，2x 为方程20ax bx c ++=的两个根，∴12cx x a=g ∴1230x x -<<g ，故④正确；故选：B【点睛】本题考查二次函数图象性质，一元二次方程根与系数关系，不等式变形，掌握函数图象性质，注意利用特殊点是解题的关键．二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分）．13. =_________．【答案】6【解析】【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可．6==．故答案为：6．【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键．14. 因式分解：()21x x -+= ________．【答案】()21x -##()21x -【解析】【分析】利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()()2221211x x x x x -+=-+=-；故答案为：()21x -．【点睛】本题考查因式分解．熟练掌握完全平方公式是解题的关键．15. 《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是___________尺．【答案】8，6，10【解析】【分析】设竿的长为x 尺，则门高为()2x -尺，门宽为()4x -尺，利用勾股定理求解即可．【详解】解：设竿的长为x 尺，则门高为()2x -尺，门宽为()4x -尺，根据题意可得：()()22224x x x =-+-，解得：10x =或2x =（舍去），∴28x -=（尺），46x -=（尺），即门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺，故答案为：8，6，10．【点睛】本题考查勾股定理的应用和解一元二次方程，正确设未知数找到等量关系是解题的关键．16. 观察下列两行数，探究第②行数与第①行数的关系：2-，4，8-，16，32-，64，……①0，7，4-，21，26-，71，……②根据你的发现，完成填空：第①行数的第10个数为___________；取每行数的第2023个数，则这两个数的和为___________．【答案】①. 1024 ②. 202422024-+【解析】【分析】通过观察第一行数的规律为(2)n -，第二行数的规律为(2)1n n -++，代入数据即可.【详解】第一行数的规律为(2)n -，∴第①行数的第10个数为10(2)1024-=；第二行数的规律为(2)1n n -++，∴第①行数的第2023个数为2023(2)-，第②行数的第2023个数为2023(2)2024-+，∴202422024-+，故答案为：1024；202422024-+．【点睛】本题主要考查数字的变化，找其中的规律，是今年考试中常见的题型.三、解答题（本大题共有8个小题，共72分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．17. 先化简，再求值：22142x x x æö¸-ç÷--èø，其中2x =-．【答案】12x -+，【解析】【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x 的值计算即可．【详解】解：原式()()22222x xx x x --=¸+--()()22222x x x -=¸+--()()22·222x x x -=+--12x =-+当2x =-时,原式==．【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键．18. 如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，将矩形ABCD沿BE所在的直线折叠，C D，的对应点分别为C¢，D¢，连接AD¢交BC¢于点F．（1）若70DED¢Ð=°，求DAD¢Ð的度数；（2）连接EF，试判断四边形C D EF¢¢的形状，并说明理由．【答案】（1）DAD¢Ð度数为35°（2）矩形，理由见详解【解析】【分析】（1）根据点E是AD的中点，沿BE所在的直线折叠，可得AED¢△是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解；（2）如图所示，连接EF，点H是BE上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形BED F¢是平行四边形，如图所示，连接EC，EC¢，过点E作EG BC^于点G，可证四边形C D EF¢¢是平行四边形，再根据折叠的性质得90C D C D¢¢Ð=Ð=Ð=Ð=°，由此即可求证．【小问1详解】解：∵四边形ABCD是矩形，点E是AD的中点，∴AE DE=，∵沿BE所在的直线折叠，C D，的对应点分别为C¢，D¢，∴DE D E¢=，∴AE D E¢=，则AED¢△是等腰三角形，∴D AE AD E¢¢Ð=Ð，∵70DED¢Ð=°，即70D ED D AE AD E¢¢¢Ð=Ð+Ð=°，∴11703522D AE AD E DED¢¢¢Ð=Ð=Ð=´°=°，的∴DAD ¢Ð的度数为35°．【小问2详解】解：如图所示，连接EF ，点H 是BE 上的一点，∵四边形ABCD 是矩形，∴DE BC ∥，90C D Ð=Ð=°，即CD BC ^，∵沿BE 所在的直线折叠，C D ，的对应点分别为C ¢，D ¢，∴90C D C D ¢¢Ð=Ð=Ð=Ð=°，C F D E ¢¢P ，BE 是,CBC DED ¢¢ÐÐ的角平分线，由（1）可知，12EAD ED A DED ¢¢¢Ð=Ð=Ð，∴ED A D EH ¢¢Ð=Ð，∴AD BE ¢∥，且BF ED ¢∥，∴四边形BED F ¢是平行四边形，则BF ED ¢=，FD BE ¢=，如图所示，连接EC ，EC ¢，过点E 作EG BC ^于点G ，∵点E 是AD 的中点，EG BC ^，∴点G 是线段BC 中点，则AE DE BG CG ===，∴在,BEG CEG △△中，90BG CG BGE CGE EG EG =ìïÐ=Ð=°íï=î，的∴(SAS)BEG CEG △≌△，∴BE CE =，EBG ECG Ð=Ð，∵沿BE 所在的直线折叠，C D ，的对应点分别为C ¢，D ¢，∴90C D C D ¢¢Ð=Ð=Ð=Ð=°，C F D E ¢¢P ，GBE FBE Ð=Ð，在,BC E BCE ¢△△中，BC BC C BE CBE BE BE =ìïÐ=Тí=¢ïî，∴(SAS)BC E BCE ¢△≌△，∴EC EC ¢=，BC E BCE ¢Ð=Ð，∴EC EC EB ¢==，∴EC FD ¢¢=，∴四边形C D EF ¢¢是平行四边形，∵90C D C D ¢¢Ð=Ð=Ð=Ð=°，∴平行四边形C D EF ¢¢是矩形．【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键．19. 春节、清明、端午、中秋是我国四大传统节日，每个传统节日都有丰富的文化内涵，体现了厚重的家国情怀；在文化的传承与创新中让我们更加热爱传统文化，更加坚定文化自信．因此，端午节前，学校举行“传经典·乐端午”系列活动，活动设计的项目及要求如下：A -包粽子，B -划旱船，C -诵诗词，D -创美文；人人参加，每人限选一项．为了解学生的参与情况，校团支部随机抽取了部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下不完整的统计图，如图．请根据统计图中的信息，回答下列问题：（1）请直接写出统计图中m的值，并补全条形统计图；（2）若学校有1800名学生，请估计选择D类活动的人数；（3）甲、乙、丙、丁四名学生都是包粽子的能手，现从他们4人中选2人参加才艺展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙2人同时被选中的概率．【答案】（1）25，条形统计图见解析；（2）180 （3）1 6【解析】【分析】（1）根据划旱船的人数和所占的百分比可求得总人数，再用总人数乘以包粽子的人数所占的百分比即可得出m的值，再用总人数减去其他三项的人数，即可得到诵诗词的人数，补全条形统计图；（2）用1800乘以D类活动所占的百分比即可；（3）先画树状图，再根据概率公式求解即可．【小问1详解】解：总人数为：5050%100¸=（人）10025%25m=´=（人）10025501015---=（人）补全图形如下：【小问2详解】10100100%10%¸´=180010%180´=（人）答：选择D 类活动的人数大约有180人；【小问3详解】解：树状图如下：由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中同时选中甲和乙的有2种，所以同时选中甲和乙的概率为21126=．【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，样本估计总体以及树状图求概率，解题的关键是从统计图中获取有用信息，以及掌握画树状图的方法．20. 小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A ，B 处测出点D 的仰角度数，可以求出信号塔DE 的高．如图，AB 的长为5m ，高BC 为3m ．他在点A 处测得点D 的仰角为45°，在点B 处测得点D 的仰角为38.7°，A B C D E ，，，，在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE 的高吗？若能，请求出信号塔DE 的高；若不能，请说明理由．（参考数据：sin 38.70.625°»，cos38.70.780°»，tan 38.70.80°»，结果保留整数）【答案】能求出信号塔DE 的高，信号塔DE 的高为31m ；【解析】【分析】过B 作BF DE ^，垂足为F ，根据勾股定理及等腰直角三角形的性质AE DE =，进而设m DE x =根据锐角三角函数解答即可．【详解】解：过B 作BF DE ^，垂足为F ，∵90ACB Ð=°，90EDA Ð=°，∴四边形BCEF 是矩形，∴CE BF =，EF BC =．∵AB 的长为5m ，高BC 为3m ，∴3EF BC m ==．∴在Rt ABC △中，4AC ===(m )．∵90DEA Ð=°，45DAE =°∠，∴45ADE Ð=°．∴AE DE =．∴设m AE DE x ==．∴()=3m DF x -，()4m CE BF x ==+．∴tan DF DBF BFÐ=．∵38.7DBF Ð=°，tan 38.70.80°»，∴3tan38.74x x -°=+．∴30.84x x -=+．∴31x =．即信号塔的DE 高为31m ．∴能求出信号塔DE 的高，信号塔DE 的高为31m ．【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形性质，锐角三角函数，掌握锐角三角函数是解题的关键．21. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，直线2y x =+交y 轴于点A ，交x 轴于点B ，与双曲线()0k y k x=¹在一，三象限分别交于C ，D 两点，12AB BC =，连接CO ，DO ．（1）求k 的值；（2）求CDO V 的面积．【答案】（1）8k =；（2）6．【解析】【分析】（1）由一次函数解析式确定与坐标轴交点坐标，进而确定点C 的坐标，代入反比函数解析式，确定k 值；（2）联立解析式，确定图象交点坐标(4,2)D --，运用组合图形思想，CDO V 的面积6OAC OAD S S =+=V V ．【小问1详解】解：2y x =+，0x =时，2y =，0y =，2x =-，故(0,2)A ,(2,0)B -,Rt OAB V 中，2OA OB ==，AB ==，∵12AB BC =，∴2BC AB ==．设(,2)(0)C m m m +>，则2222(2)(2)BC m m =+++=，解得2m =，∴(2,4)C ．点C 在()0k y k x=¹上，故8k xy ==；小问2详解】联立28y x y x =+ìïí=ïî，解得24x y =ìí=î或42x y =-ìí=-î．∴点(4,2)D --．∴CDO V 的面积112224622OAC OAD S S =+=´´+´=V V ．【点睛】本题考查函数图象交点与方程组的联系，根据点坐标确定解析式，直角坐标系求三角形面积，理解函数图象与方程的联系是解题的关键．22. 为积极响应州政府“悦享成长·书香恩施”的号召，学校组织150名学生参加朗诵比赛，因活动需要，计划给每个学生购买一套服装．经市场调查得知，购买1套男装和1套女装共需220元；购买6套男装与购买5套女装的费用相同．（1）男装、女装的单价各是多少？（2）如果参加活动的男生人数不超过女生人数的23，购买服装的总费用不超过17000元，那么学校有几种购买方案？怎样购买才能使费用最低，最低费用是多少？【答案】（1）男装单价为100元，女装单价为120元．（2）学校有11种购买方案，当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元【解析】【分析】（1）设男装单价为x 元，女装单价为y 元，根据题意列方程组求解即可；（2）设参加活动的女生有a 人，则男生有()150a -人，列不等式组找到a 的取值范围，再设总费用为w 元，得到w 与a 的关系，根据一次函数的性质可得当a 取最小值时w 有最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：设男装单价为x 元，女装单价为y 元，根据题意得：22065x y x y+=ìí=î，【解得：100120x y =ìí=î．答：男装单价为100元，女装单价为120元．【小问2详解】解：设参加活动的女生有a 人，则男生有()150a -人， 根据题意可得()2150312010015017000a a a a ì-£ïíï+-£î，解得：90100a ££，∵a 为整数，∴a 可取90，91，92，93，94，95，96，97，98，99，100，一共11个数，故一共有11种方案，设总费用为w 元，则()1201001501500020w a a a =+-=+，∵200>，∴当90a =时，w 有最小值，最小值为15000209016800+´=（元）．此时，15060a -=（套）．答：当女装购买90套，男装购买60套时，所需费用最少，最少费用为16800元．【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，找到题中的等量关系或不等关系是解题的关键．23. 如图，ABC V 是等腰直角三角形，90ACB Ð=°，点O 为AB 的中点，连接CO 交O e 于点E ， O e 与AC 相切于点D ．（1）求证：BC 是O e 的切线；（2）延长CO 交O e 于点G ，连接AG 交O e 于点F，若AC =，求FG 的长．【答案】（1）见解析 （2【解析】【分析】（1）连接OD ，过点O 作OP BC ^于点P ，根据等腰三角形的性质得到45OCD OCP Ð=Ð=°，推出OD OP =，即可得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质求出OA ，OD 的长，勾股定理求出AG ，连接OF ，过O 作^OH AG 于点H ，利用面积法求出OH ，勾股定理求出H G ，即可根据等腰三角形的性质求出FG 的长．【小问1详解】证明：连接OD ，过点O 作OP BC ^于点P ，∵O e 与AC 相切于点D ．∴OD AC ^，∵ABC V 是等腰直角三角形，90ACB Ð=°，点O 为AB 的中点，∴45OCD OCP Ð=Ð=°，∴OD OP =，即OP 是O e 的半径，∴BC 是O e 的切线；【小问2详解】解：∵AC =，AB AC =，90ACB Ð=°，∴8AB ==，OC AB ^，∵点O 为AB 的中点，∴142OC OA AB ===，∵OD AC^∴12OD AC ==，在Rt AOG △中，AG ===连接OF ，过O 作^OH AG 于点H ，∴OA OG OH AG ×===，∴HG ===∵OF OG =，∴2FG HG ==．【点睛】此题考查了判定直线是圆的切线，切线的性质定理，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确掌握各知识点是解题的关键．24. 在平面直角坐标系xoy 中，O 为坐标原点，已知抛物线212y x bx c =-++与y 轴交于点A ，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ．（1）如图，若(A ，抛物线的对称轴为3x =．求抛物线的解析式，并直接写出y ³时x 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若P 为y 轴上的点，C 为x 轴上方抛物线上的点，当PBC V 为等边三角形时，求点P ，C 的坐标；（3）若抛物线212y x bx c =-++经过点(),2D m ，(),2E n ，()1,1F -，且m n <，求正整数m ，n 的值．【答案】（1）2132y x x =-+06x ££（2）23C æö+-ç÷ç÷èø；43P æöç÷èø或(C ,(0,P ；（3）2m =，7n =或3m =，4n =【解析】【分析】（1）根据(A ，抛物线的对称轴为3x =，待定系数法求解析式即可求解；当y =得x 的范围，进而结合函数图象即可求解；（2）①连接AB ，AC ，AC 交对称轴于点D ，由,,,A B C P 四点共圆，得60BAC BPC Ð=Ð=°，证明PAB CDB V V ≌，求出点D 的坐标，确定直线AD 的解析式，进而求得C 点的坐标，设()0,P p ，PB PC =，勾股定理即可求解；②由①可得60OAB Ð=°，则当C 与A 重合时也存在等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．（3）根据抛物线212y x bx c =-++经过点(),2D m ，(),2E n ，()1,1F -，可得抛物线对称为直线2m n x b +==，112b c -++=-则12b c +=-，则12c b =--，进而令2y =，求得b 的范围，进而根据函数图象可知2m =或3m =，进而分别讨论求得n 的值，即可求解．【小问1详解】解：∵(A ，抛物线的对称轴为3x =．∴3122c b ì=ïïí-=ï-´ïî解得：3c b ì=ïí=ïî∴抛物线解析式为2132y xx =-++，当y =时，即2132xx -++=解得：120,6x x ==，∴当y ³时，06x ££【小问2详解】解：①如图所示，连接AB ，AC ，AC 交对称轴于点D ，∵(A ，()3,0B∴3OA OB ==，则tan OAB Ð=∴60OAB Ð=°，120BAP Ð=°，∵PBC V 为等边三角形，∴60PCB PBC Ð=Ð=°，∴180PAB PCB Ð+Ð=°，∴,,,A B C P 四点共圆，∴60BAC BPC Ð=Ð=°，∵BD OA ∥，∴60ABD OAB Ð=Ð=°．∴ABD PBC Ð=，∴ABP DBC Ð=Ð，∵120BDC PAB Ð=Ð=°，PB BC =，∴()AAS PAB CDB V V ≌，∴BD BA ===，则(3,D ，设直线AD 的解析式为y kx =则3k +=解得：k =所以直线AC 的解析式为y x =+联立2132y x y x x ì=+ïïíï=-++ïî解得：x y =ìïí=ïî6x y ì=ïïíï=ïî∴23C æö+ç÷ç÷èø，∵()3,0B ，设()0,P p ，∵PC PB=∴22222363p p æöæö+=++-ç÷ç÷èøèø解得：43p =-∴43P æö-ç÷èø；②由①可得60OAB Ð=°，当C 与点A 重合时，PBC V 为等边三角形则P 与C对称，此时(C，(0,P ，综上所述；23C æö-ç÷ç÷èø；43P æö-ç÷èø或(C，(0,P ；【小问3详解】解：∵抛物线212y x bx c =-++经过点(),2D m ，(),2E n ，()1,1F -，∴抛物线对称为直线2m n x b +==，112b c -++=-则12b c +=-，则12c b =--∴抛物线解析式为21122y x bx b =-+--()22111222x b b b =--+--∴顶点坐标为211,22b b b æö--ç÷èø当211222b b --=时，解得：1b =或1b =+∵m n <，且,m n 为正整数，过点()1,1F -，则当1x =时0y <，∴2m =或3m =，当2m =时，将点()2,2代入解析式21122y x bx b =-+--，解得：92b =∵2m n b+=则7n =，当3m =时，将点()3,2代入解析式21122y x bx b =-+--解得：72b =∵2m n b+=则4n =，综上所述，2m =，7n =或3m =，4n =．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据特三角函数求角度，圆内接四边形对角互补，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。