2024届高中毕业生四月模拟考试数学试卷本试题卷共4页，19小题，全卷满分150分．考试用时120分钟．祝考试顺利注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设()1,2a =- ，()34b =-, ，()32c =,，则()2a b c +⋅ 等于（）A ．()15,12-B ．0C ．3-D ．11-2．已知集合{}12A y y x x ==-++∣，B x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，则A B = （）A ．)+∞B ．⎡⎣C ．[)3,+∞D ．(⎤⎦3．下面四个数中，最大的是（）A ．ln3B ．()ln ln3C ．1ln3D ．()2ln34．数列{}n a 的首项为1，前n 项和为n S ，若n m n m S S S ++=，（,N m n *∈）则，9a =（）A ．9B ．1C ．8D ．455．复数212a iz i-=+（a ∈R ）在复平面上对应的点不可能位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．函数()12e e ln xxf x x =--的图象大致为（）A ．B ．C ．D．7．能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（）A ．228B ．210C ．240D ．2388．抛物线2:2x y Γ=上有四点A ，B ，C ，D ，直线AC ，BD 交于点P ，且PC PA λ=，()01PD PB λλ=<< ．过,A B 分别作Γ的切线交于点Q ，若23ABP ABQ S S = ，则λ=（）A．2B ．23C．3D ．13二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（）A ．0B ．4C ．8D ．1610．已知函数()()ππ0,,22f x x t t ωϕωϕ⎛⎫++>-<<∈ ⎪⎝⎭Z 有最小正零点34，()01f =，若()f x 在94,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则（）A ．πω=B ．5π3ω=C ．()19f =D ．()91f =-11．如图，三棱台111ABC A B C -的底面ABC 为锐角三角形，点D ，H ，E 分别为棱1AA ，BC ，11C A 的中点，且1122BC B C ==，4AC AB +=；侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为6，则下列说法可能但不一定正确的是（）A ．该三棱台的体积最小值为74B ．2DH =C ．111128E ADH ABC A B C V --=D ．EH ∈⎝⎭三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．写出函数()ln 2e xx xf x x =--的一条斜率为正的切线方程：．13．两个连续随机变量X ，Y 满足23X Y +=，且()23,X N σ ，若()100.14P X +≤=，则()20P Y +>=．14．双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点分别为1F ，2F ，以实轴为直径作圆O ，过圆O上一点E 作圆O 的切线交双曲线的渐近线于A ，B 两点（B 在第一象限），若2BF c =，1AF 与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．15．数列{}n a 中，11a =，29a =，且2128n n n a a a +++=+，(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足2n n b a =，10n n b b +<，求n S ．16．已知椭圆2212:1x C y a+=和()2222:10x C y a b b +=>>的离心率相同，设1C 的右顶点为1A ，2C 的左顶点为2A ，()0,1B ，(1)证明：12BA BA ⊥；(2)设直线1BA 与2C 的另一个交点为P ，直线2BA 与1C 的另一个交点为Q ，连PQ ，求PQ 的最大值．参考公式：()()3322m n m n m mn n +=+-+17．空间中有一个平面α和两条直线m ，n ，其中m ，n 与α的交点分别为A ，B ，1AB =，设直线m 与n 之间的夹角为π3，(1)如图1，若直线m ，n 交于点C ，求点C 到平面α距离的最大值；(2)如图2，若直线m ，n 互为异面直线，直线m 上一点P 和直线n 上一点Q 满足//PQ α，P Q n⊥且PQ m ⊥，（i ）求直线m ，n 与平面α的夹角之和；（ii ）设()01PQ d d =<<，求点P 到平面α距离的最大值关于d 的函数()f d ．18．已知函数()()2ln 1f x ax x x =-++，a ∈R ，(1)若对定义域内任意非零实数1x ，2x ，均有()()12120f x f x x x >，求a ；(2)记1112n t n =++⋅⋅⋅+，证明：()5ln 16n n t n t -<+<．19．欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n 为正整数，集合{}1,2,,1n X n =⋅⋅⋅-，欧拉函数)(n ϕ的值等于集合n X 中与n 互质的正整数的个数；记(,)M x y 表示x 除以y 的余数（x 和y均为正整数），(1)求(6)ϕ和(15)ϕ；(2)现有三个素数p ，q ，()e p q e <<，n pq =，存在正整数d 满足(,())1M de n ϕ=；已知对素数a 和a x X ∈，均有1,)1(a M x a -=，证明：若n x X ∈，则([(,)],)c d x M M x n n =；(3)设n 为两个未知素数的乘积，1e ，2e 为另两个更大的已知素数，且12231e e =+；又11(,)e c M x n =，22(,)e c M x n =，n x X ∈，试用1c ，2c 和n 求出x 的值．1．C【分析】先求出2a b +的坐标，然后根据向量数量积坐标运算公式求解即可【详解】因为()1,2a =- ，()34b =-,，所以2(1,2)2(3,4)(5,6)a b +=-+-=-，因为()32c =,，所以()253623a b c +⋅=-⨯+⨯=-，故选：C 2．B【分析】由绝对值三角不等式求得[)3,A =+∞，然后由解析式有意义求得(B =，再由交集运算可得.【详解】由()()12123x x x x -++≥--+=，当且仅当()()120x x -+≤，即21x -≤≤时，等号成立，得[)3,A =+∞；由2100x ->得x <，即(B =.所以A B ⎡⋂=⎣.故选：B 3．D【分析】先根据对数函数单调性求得1<ln32<，然后可判断最大项.【详解】因为2lne<ln3ln e <，即1<ln32<，所以()ln ln3ln 21<<，11ln3<，故B ，C 错误；又()()2ln3ln3ln31ln30-=->，所以()2ln3ln3>.故选：D 4．B【分析】根据题意，令1m =，得到111n n S S S +-==，等差数列{}n S 是等差数列，求得n S n =，结合998a S S =-，即可求解.【详解】由题意知，数列{}n a 的首项为1，且n m n m S S S ++=，令1m =，可得11n n S S S ++=，即111n n S S S +-==，所以数列{}n S 是首项为1，公差为1的等差数列，所以1(1)1n S n n =+-⨯=，则9981a S S =-=.故选：B.5．A【分析】先利用复数代数形式乘除运算法则求出复数z ，由此能求出结果.【详解】()()()()()2124212422121212555a i i a a i a i a a z i i i i ----+--+====-++-，当4a >时，4220,055a a -+>-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限；当24a -<<时，4220,055a a -+<-<，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第三象限；当2a <-时，4220,055a a -+<->，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限；当2a =-或4a =时，405a -=或2205a +-=，则复数对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭在坐标轴上，不属于任何象限.故复数42255a a z i -+=-对应的点422,55a a -+⎛⎫- ⎪⎝⎭不可能位于第一象限.故选：A.【点睛】本题考查复数在复平面上对应的点所在象限的判断，考查复数代数形式乘除运算法则及复数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．6．A【分析】根据0x <时的单调性可排除BC ；再由奇偶性可排除D.【详解】()()1121e e 2ln ,0e e ln e e 2ln ,0x x x xx x x x f x x x x ⎧---<⎪=--=⎨⎪-->⎩，因为当0x <时，()1e ,e ,2ln x x y y y x ==-=--都为增函数，所以，()1e e 2ln ,0x x y x x =---<单调递增，故B ，C 错误；又因为()()12e eln xxf x x f x ---=--≠-，所以()f x 不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D 错误.故选：A 7．A【分析】根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列或每组各选一个，求出3的倍数的三位数个数即可.【详解】然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，所以3的倍数的三位数有：3332111311233433343332(A A A A )(C C C A C C A )228++-+-=个.故选：A.8．D【分析】由题意可得AB ∥CD ，取弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+代抛物线，由韦达定理可得Mx k =，2M y k m =+，N x k =，从而得P 在直线MN 上，根据切线方程可得Q x k =，作出图象，可得Q y m =-，2(1)22P k m y λλ--=，再根据23ABP ABQS S = 求解即可.【详解】解：由PC PA λ= ，()01PD PB λλ=<<，可知AB ∥CD ，设弦AB ，CD 的中点分别为,M N ，设直线AB 的方程为：y kx m =+，代入22x y =，得2220x kx m --=，则2A B x x k +=，2A B x x m =-，所以M x k =，2M M y kx m k m =+=+，同理可得N x k =，由抛物线的几何意义可知点P 在直线MN 上，所以P x k =，因为22x y =，所以212y x =，y x '=，所以物线在A 处的切线为1:()A A A l y y x x x -=-，即2()2AA A x y x x x -=-，212A A y x x x =-，即A A x x y y=+同理可得物线在B 处的切线为221:2B B l y x x x =-，即B B x x y y =+,由221212A A B By x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得22A B A B x x x k x x y m +⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩，综上，M N P Q x x x x k ====，Q y m =-,所以,,,M N P Q 四点共线，且所在直线平行于y 轴，由PC PA λ=，得)((,),C P C P A P A P x x y y x x y y λ-=---，则(1)C A P x x x λλ=+-，(1)C A P y y y λλ=+-，又22C C x y =，所以有2[(1)]22(1)A P A P x x y y λλλλ+-=+-，又22A A x y =，化简得222(1)20P A A p P x x y x y λλλ-+--=，同理有222(1)20P B B p P x x y x y λλλ-+--=，由两式知直线AB 的方程为：222(1)20P p P x x y x y λλλ-+--=，因为P x k =，所以222(1)20P kx y k y λλλ-+--=，又直线AB 过点2(,)M k k m +，代入得2(1)22P k my λλ--=，2222()3(1)22ABP M P ABQM Q k m S y y PM S QM y y mk m m k λλ+--====-+---- ，整理得222360k m k m λλ--++=，即()()23120k m λ-+=，由题可得0Q y m =-<，所以0m >，所以130λ-=，解得13λ=.故选：D.【点睛】关键点睛：涉及直线与圆锥曲线的问题，作出图象，结合韦达定理求解.9．ACD【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可.【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，所以六个平行四边形中的矩形个数可能为0,2,4,6，所以各个表面的直角个数之和可能为0,8,16,24.故选：ACD 10．BC【分析】确定(1t ∈，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，不满足单调性，排除；当1t =时，计算0ϕ=，5π3ω=，代入计算得到答案．【详解】(0)1f t ϕ=+=，故(1t ∈-，33(sin()044f t ωϕ=++=，故[t ∈，故(1t ∈-，Z t ∈，故0=t 或1t =，当0=t 时，sin ϕ=，ππ22ϕ-<<，故π4ϕ=，π()4f x x ω=+，0ω>，()f x 有最小正零点34，*3ππ,N 44k k ω+=∈，*4ππ,N 33k k ω=-∈，914222T ≥-=，故2π1T ω=≥，2πω≤，故πω=，π())4f x x =+，当9(4,)2x ∈，π17π19ππ(,)444x +∈，函数不单调，排除；当1t =时，sin 0ϕ=，ππ22ϕ-<<，故0ϕ=，3sin()4ω=35π2π44k ω=+或37π2π44k ω=+，85ππ,N 33k k ω=+∈或87ππ,N 33k k ω=+∈，914222T ≥-=，故21T πω=≥，2ωπ≤，故5π3ω=，5π()sin()13f x x =+，验证满足条件，此时(9)11f =+=．综上，AD 错误，BC 正确.故选：BC ．11．BD【分析】根据题意可得点A 的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定A 的坐标范围，设三棱台的高为h ，由三棱台的体积最大值确定h 的范围，从而可判断A ；建立空间直角坐标系，根据两点之间的距离公式求解,DH EH 的取值范围，从而可判断B ，D ；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.【详解】由4AC AB +=，2BC =，可得点A 的轨迹为椭圆，如图则椭圆方程为22143x y +=，由于1b c =>=则090BAC ︒<∠<︒，又因为ABC 为锐角三角形，则090ABC ︒<∠<︒且090ACB ︒<∠<︒，所以32A y <≤01A x ≤<，所以()max 122ABC S =⨯= 1122BC B C ==，所以14A B C ABC S S '''= 设A B C S S '''= ，则4ABC S S =△，设三棱台的高为h ，则(11117433ABC A B C V h S S hS -=++=，因为该三棱台的体积最大值为6，max 4S =，所以max 2h =，由于,S h 无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A 不正确；对于三棱台111ABC A B C -有侧面11BCC B 为垂直于底面的等腰梯形，则如图，以H 为原点，在平面ABC 上作Hx ⊥面11BCC B ，在面11BCC B 作Hz ⊥面ABC ，则()()()11110,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,,,0,22H B C B h C h ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设(),,0A x y ，则1,,22x y A h ⎛⎫ ⎪⎝⎭，33,,442x y h D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,,44x y E h -⎛⎫⎪⎝⎭，所以HD =，由于[)0,1x ∈，(]0,2h ∈，所以48HD ⎛∈ ⎝⎭，又248⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故B 可能正确；同理3,82EH ⎛=⎝⎦，又3448⎛⎫⎛⎤⊆ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，故D 可能正确；如图，将三棱台补成三棱锥-P ABC ，设点C 到平面PAH 的距离为d ，则11177774778443ABC A B C P ABC P ACH D ACH D ACH C ADH ADH V V V V V V dS ------===⋅=== ，又11124E ADH C ADH C ADH V V V ---==，所以111128E ADH ABC A B C V V --=，故C 一定正确.故选：BD.【点睛】思路点睛：本题考查空间几何与平面解析几何综合运用，解决本题中的问题涉及的思路有：（1）根据椭圆的定义确定动点A 的轨迹，利用解析几何的性质缩小点A 坐标范围；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间中两点距离公式确定线段长的取值范围；（3）体积关系的建立，需将三棱台补成三棱锥，由三棱锥的体积转换特点分析体积比例.12．2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）【分析】根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的点作切点，求斜率与切点坐标即可得切线方程.【详解】()ln 2e x x x f x x =--，0x >，则()1112e x x f x x-'=--，取切点为()()2,2f ，则斜率为()221121122e 2ek f -=--='=，又()222222ln21ln22e ef =--=--，则切线方程为：()2211ln22e ey x -++=-，即2221ln2e e x y -=+--.故答案为：2221ln2e ex y -=+--（答案不唯一）13．0.86##4350【分析】利用期望和方差的性质可得210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，然后由对称性即可求解.【详解】因为23X Y +=，所以142X Y +=-，因为()100.14P X +≤=，所以()4200.14P Y -≤=，即()20.14P Y ≥=又1322Y X =-+，所以()()13022E Y E X =-+=，()()21144D Y D X σ==，所以210,4Y N σ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()()()()202121210.140.86P Y P Y P Y P Y +>=>-=-<-=->=-=.故答案为：0.8614．2【分析】先根据几何关系证明点E 必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.【详解】记1AF 与渐近线OB 的交点为H ，根据题意，作图如下：2tan bBOF a∠=，()20,πBOF ∠∈，故2cos a BOF c∠==；则在△2BOF 中，设OB x =，又2BF c =，由余弦定理可得2222cos 2x c c aBOF cx c+-∠==，解得2x a =，即2OB a =；在△BOE 中，1cos 22OE a BOE OBa ∠===，又()0,πBOE ∠∈，故π3BOE ∠=；又左焦点(),0c -到直线by xa=的距离d b ==，即1F H b =，又1OF c =，故OH a ==，则H 在圆O 上，即1AF 与圆O 相切；显然AHO AEO ≅ ，则AOH EOA ∠=∠，又πAOH EOA BOE ∠+∠+∠=，又π3BOE ∠=，故可得π3AOH ∠=，根据对称性，1π26BOy AOH ∠=∠=，故2π3BOF ∠=，故2,,O E F 三点共线，E 点是唯一的，根据题意，E 必为双曲线右顶点；此时显然有πtan 3b a ==2c a ==.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能够1AF 与渐近线垂直，以及2BF c =，确定点E 的位置，进而求解离心率.15．(1)2441n a n n =-+(2)答案见解析【分析】（1）依题意可得2118n n n n a a a a +++-=-+，即可得到{}1n n a a +-为等差数列，即可得到18n n a a n +-=，再利用累加法计算可得；（2）由（1）可得()21n b n =±-，由10n n b b +<，得到n b 与2n b +同号，再对1b 分类讨论，利用并项求和法计算可得.【详解】（1）因为2128n n n a a a +++=+，所以2118n n n n a a a a +++-=-+，所以数列{}1n n a a +-是公差为8的等差数列，其首项为218a a -=，于是18n n a a n +-=，则()181n n a a n --=-，()1282n n a a n ---=-，L ，3282a a -=⨯，218a a -=，所以()()()2111181218442n n n a a n n n +---=++⋅⋅⋅+-=⨯=-，所以()24412n a n n n =-+≥；而11a =符合该式，故2441n a n n =-+.（2）由（1）问知，()221n a n =-，则()21n b n =±-，又10n n b b +<，则120n n b b ++<，两式相乘得2120n n n b b b ++>，即20n n b b +>，因此n b 与2n b +同号，因为120b b <，所以当11b =时，23b =-，此时21,12,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=-⨯=，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=-⨯=-；当11b =-时，23b =，此时12,21,n n n b n n -⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，当n 为奇数时，()()()123421122n n n n n n S b b b b b b b b n ---=++++⋅⋅⋅+++=+⨯=-，当n 为偶数时，()()()1234122n n n nS b b b b b b n -=++++⋅⋅⋅++=⨯=；综上，当11b =时，()11n n S n -=-⋅；当11b =-时，()1nn S n =-⋅.16．(1)证明见解析；(2)2.【分析】（1）根据离心率相等可得221a b =，然后求出直线1BA 和2BA 的斜率，利用斜率即可得证；（2）联立直线和椭圆方程求出,P Q 的坐标，从而可得PQ 的中点坐标，根据（1）中结论可得2PQ BC =，利用导数即可求解.【详解】（1）当1a >时，1C的离心率1e =，当01a <<时，1C的离心率1e =；当1b >时，2C的离心率2e =当01b <<时，2C的离心率2e =；因为a b ¹=，得221a b =，又0a b >>，所以1ab =，且10>>>a b ；由题意知()1,0A a ，()2,0A b -，即21,0A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2:1A B l y ax =+，1:1A B xl y a =-+，它们的斜率之积为11a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，因此12BA BA ⊥.（2）由（1）问知，2222:1C a x y +=，联立1A B l 与2C 的方程22211x y a a x y ⎧=-+⎪⎨⎪+=⎩，将y 消去得：222120xa x a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得10x =，2421ax a =+，又()0,1B 在曲线2C 上，则421P a x a =+，44111P P x a y a a -=-+=+，联立2A B l 与1C 的方程22211y ax x y a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，将y 消去得：222120a x ax a ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得10x =，32421a x a =-+，又()0,1B 在曲线1C 上，则3421Q a x a =-+，44111Q Q a y ax a -=+=+，因此PQ 的中点34,01a a C a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭，连BC ，因为12BA BA ⊥，即BP BQ ⊥，所以2PQ BC ==，记()()3411a af a a a -=>+，当()f a 最大时，PQ 也最大；可知()()()()()24332431141a a a a af a a -+--+'=()()()()()426242224433114111a a a aa a a a+-++-+-==++，令()0f a '>得42410a a -+->，解得222a <<，又1a >，则(a ∈，令()0f a '<得)a ∞∈+，因此()f a在a =且最大值为14f=，因此PQ 最大值为max2PQ ==.17．(2)（i ）证明见解析，（ii ）())012f d d =<<【分析】（1）设点C 到平面α的距离为h ，结合余弦定理、三角形，面积公式，基本不等式即可求得大值；（2）利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证明结论；再根据点到平面的距离，结合（1）中结论即可得答案.【详解】（1）设点C 到平面α的距离为h ，作CH AB ⊥于点H ，可知h CH ≤，设=CA b ，=CB a ，在ABC 中，由余弦定理可知：2222cos 1a b ab ACB AB +-∠==，由于直线m 与n 之间的夹角为π3，且它们交于点C ，则π3ACB ∠=或2π3ABC ∠=，若π3ACB ∠=，则221a b ab +-=，又22a b ab ab +-≥，则1ab ≤（1a b ==时取等）；因为11sin 22ABC S ab ACB AB CH =∠=⋅△，所以CH =≤，所以点C 到平面α的距离h ≤若2π3ACB ∠=，同理可得最大值为12.综上，点C 到平面α距离的最大值为2.（2）（i ）证：如图，过点P 作直线//l n ，由题知直线l 与平面α必相交于一点，设其为点D ，连接DA ，DB ，则P ，Q ，D ，B 共面，又//PQ α且DB α⊂，于是//PQ DB ，又//l n ，则四边形PQBD 为平行四边形，则DB PQ d ==，因为P Q n ⊥且PQ m ⊥，所以BD n ⊥且BD m ⊥，所以BD l ⊥，又,,l m P l m =⊂ 平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD ，作PH AD ⊥于H ，因为PH ⊂平面PAD ，则PH BD ⊥，又,,AD BD D AD BD α=⊂ ，则PH α⊥，设PH h =，则P 到平面α的距离也为h ，且直线m ，n 与平面α的夹角分别为PAH ∠和PDH ∠；由于直线m 与n 之间的夹角为π3，则直线m 与l 之间的夹角也为π3，则π3APD ∠=或2π3APD ∠=，于是2ππ3PAH PDH APD ∠+∠=-∠=，或π3PAH PDH ∠+∠=即直线m ，n 与平面α的夹角之和为2π3或π3；（ii ）因为BD ⊥平面PAD ，而AD ⊂平面PAD ，所以BD AD ⊥，ABD △中，22221AD AB BD d =-=-，则AD =，又π3APD ∠=或2π3APD ∠=，由（1）问同法算得PH ≤PH ≤=，即点P 到平面α距离h 的最大值为()()012f d d =<<.18．(1)12a =(2)证明见解析【分析】（1）求导可得() 00f '=，再分0a ≤与0a >两种情况分析原函数的单调性，当0a >时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定a 的值；（2）由（1）问的结论可知，21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，再累加结合放缩方法证明即可.【详解】（1）()f x 的定义域为()1,-+∞，且()00f =；()112122111x f x ax ax x a x x x ⎛⎫'=-+=-=- ⎪+++⎝⎭，因此() 00f '=；i.0a ≤时，1201a x -<+，则此时令()0f x ¢>有()1,0x ∈-，令()0f x '<有()0,x ∈+∞，则()f x 在()1,0-上单调递增，()0,∞+上单调递减，又()00f =，于是()0f x ≤，此时令120x x <，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；ii.0a >时，()f x '有零点0和0112x a=-，若00x <，即12a >，此时令()0f x '<有()0,0x x ∈，()f x 在()0,0x 上单调递减，又()00f =，则()00f x >，令1>0x ，02x x =，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x >，即102a <<，此时令()0f x '<有()00,x x ∈，()f x 在()00,x 上单调递减，又()00f =，则()00f x <，令12010,x x x -<<=，有()()12120f x f x x x <，不符合题意；若00x =，即12a =，此时()201x f x x +'=>，()f x 在()1,-+∞上单调递增，又()00f =，则0x >时()0f x >，0x <时()0f x <；则0x ≠时()0f x x>，也即对120x x ≠，()()12120f x f x x x >，综上，12a =（2）证：由（1）问的结论可知，0a =时，()()ln 10f x x x =-++≤；且12a =时0x >，()()21ln 102f x x x x =-++>；则0x >时，()21ln 12x x x x -<+<，令1x n =，有21111ln 12n n n n⎛⎫-<+< ⎪⎝⎭，即()2111ln 1ln 2n n n n n-<+-<，于是()()2111ln ln 11121n n n n n -<--<---11ln212-<<将上述n 个式子相加，()221111ln 122n n t n t n ⎛⎫-++⋅⋅⋅+<+< ⎪⎝⎭；欲证()5ln 16n n t n t -<+<，只需证2251111622n n t t n ⎛⎫-<-++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，只需证22115123n ++⋅⋅⋅+<；因为2221441124412121n n n n n ⎛⎫=<=- ⎪--+⎝⎭，所以22111111115251122355721213213n n n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<+-+-+⋅⋅⋅+-=-< ⎪-++⎝⎭，得证：于是得证()5ln 16n n t n t -<+<.【点睛】方法点睛：（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准，设极值点，并确定函数正负区间是解此题的关键；（2）对累加结构的不等式证明，一般需要应用前问的结论，取特定参数值，得出不等式累加证明，遇到不能累加的数列结构，需要进行放缩证明.19．(1)(6)2ϕ=，(15)8ϕ=；(2)证明见解析；(3)201,)(x M a c n =.【分析】（1）利用欧拉函数)(n ϕ的定义直接求出(6)ϕ和(15)ϕ.（2）分析求出x 与n 不互质的数的个数，求得()()()11n p q ϕ=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，结合二项式展开式证明()(),1n M x n ϕ=，再按0st ≠与0st =分类求证即得.（3）利用(,)M x y 的定义，记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，再探求数列{}k n 项数及递推关系即可求得答案.【详解】（1）6X 中，与6互质的数有1和5，则()62ϕ=；15X 中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则()15ϕ=8.（2）因为n pq =，p 和q 为素数，则对n x X ∈，仅当x p +∈N 或xq+∈N 时，x 和n 不互质，又x n <，则x p =，2p ，…()1q p -，或x q =，2q ，…()1p q -时，x 与n 不互质，则()()()()()11111n n p q p q ϕ=-----=--，设(),M x p s =，(),M x q t =，可知s ，t 不全为0，下证0st ≠时，()(),1n M xn ϕ=；由题知，()()11,,1p q M s p M t q --==，又()()()()1121122111100C C ,p p p p p p p p p p x kp s kp kp s kpss N p s k N ----------+=+=++⋅⋅⋅++=+∈N ，所以()()11,,1p p M x p M s p --==，同理有()1,1q M x q -=；于是记()11q x kq k -+=+∈N ，()()()11111p n x kq N q N ϕ-+=+=+∈N ，即()(),1n M xq ϕ=，同理()(),1n M x p ϕ=，记()21n x N p ϕ=+，于是2111N p N q +=+，则21q N N p =⋅，因为q p +∉N ，所以1N p +∈N ，所以()1111n N N xpq n p pϕ=⋅+=⋅+，即()(),1n M xn ϕ=；（i ）0st ≠时，记(),c M x n c =，则()()()()1,,,k n d dcM c n M x n M xn ϕ+==，记10N k p=，又()()()(),,,1kk n n M x n M M x n n ϕρ⎛⎫⎡⎤== ⎪⎣⎦⎝⎭，而x n <，则()()1,k n M x n x ϕ+=，即(),d M c n x =，即(),,d e M M x n n x ⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭；（ii ）若0st =，不妨设0s =，于是()1q x k p k X =∈，所以()()()1,,,d dc dc dc M c n M x n M k p n ==，又()11,dc M k n k =，()1,1q M p q -=，所以()()()()()()()1111,,,,,1,k p k n d dc de q M c n M p k n pk M p q xM M p q q xM q x ϕ--⎛⎫⎡⎤===== ⎪⎣⎦⎝⎭；综上，(),,d c M M x n n x⎛⎫⎡⎤= ⎪⎣⎦⎝⎭，得证：（3）因为12231e e =+，所以12231e e x x +=，则()()12231,,e e M x n M x n +=，则()()2312,,M c n M xc n =，假设存在0a ，1a +∈N ，使得30211a c a n ⋅=+；记312n c =，0n n =，令()11,k k k n M n n +-=，那么k n +∈N ，且1k k n n +>，于是0k +∃∈N ，使01k n =，则010k n +=，从而数列{}k n 有且仅有01k +项，考虑使()()1101,kk k k k a n a n k k k +++-=-∈≤N 成立，则对于相邻项有()()1111111k k k k k k k k k k a n a n a n a n ++---⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，将两式相加并整理得：1111k k k k k k n n a a a n -+-+-=⋅+，令0k k =，得()00111k k a -+=-，又由于2n ，3n ，…，0k n 及0k 均由0n n =和312n c =确定，则数列{}k a 的各项也可根据n 和32c 确定，由上知()302,1M a c n =，()()2312,,M c n M xc n =，则()()()()()()233010202,,,,,1,M a c n M xa c n M M x n M a c n n M x nx ⎡⎤==⋅=⋅=⎣⎦，即()201,x M a c n =，其中0a 是根据n 和32c 唯一确定的.【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，涉及函数新定义问题，理解新定义，找出数量关系，联想与题意有关的数学知识和方法，再转化、抽象为相应的数学问题作答.。
