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初二上勾股定理经典题型

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第十九章 几何证明

——勾股定理及两点之间的距离公式

【知识回顾】

1、勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有222cba（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。）

3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a,b,c有关系，222cba，那么这个三角形是直角三角形。

4、常见的勾股数：（3n,4n,5n）,(5n,12n,13n)，(8n,15n,17n)，(7n,24n,25n)，(9n,40n,41n)…..

5、勾股定理的证明图

6、两点之间的距离公式：212212)()(yyxxAB

【例题讲解】

例题1、细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题

（1）请用含n（n是整数数）的等式表示上述变化规律；

（2）求出 的值。

例题3、已知等腰三角形的周长是16cm，底边上的高是4cm，根据这些条件是否能求出这个等腰三角形的腰长和腰上高的长？若能，请把它们求出来，若不能，要说明理由。

例题2、如图所示，已知△ABC的三边,25,20,15ACBCAB求△ABC最长边上的高？

例题4、已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°， 求证：EF2=BE2+FC2．

例题5、如图，已知0090,60DBA，AB=2，CD=1，求BC、AD的长。

例题6、一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？

例题7、如图一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是多少？

A B 例题8、在直角坐标平面有点A（3，4），且AB=5，根据下列条件，求点B的坐标：

（1）点B在x轴上； （2）点B在y轴上；

（3）点B在第一、三象限的角平分线上； （4）点B与y轴的距离等于1。

例题9、已知：如图，等边△ABC的边长是4，D是边BC上的一个动点（与点B、C不重合），联结AD，作AD的垂直平分线分别与边AB、AC交于点E、F．

（1）求△BDE和△DCF的周长和；

（2）设CD长为x，△BDE的周长为y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；

（3）当△BDE是直角三角形时，求CD的长．

FEDCBA

【巩固练习】

1、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）

A、242cm B、36 2cm C、482cm D、602cm

2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）

A. 13 B. 26 C. 47 D. 94

3、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为 ，此三角形 为 。

4、已知三角形三边的比为1：3：2，则其最小角为 。

5、有四个斜边为c、两直角边长为a,b的全等三角形，拼成如图所示的五边形，利用这个图形证明勾股定理。

6、 如图字母B所代表的正方形的面积是 ( )

B16925ABCDEABCMDGHFE A. 12 B. 13 C. 144 D. 194

7、下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )

A. 1.5, 2, 3; B. 7, 24, 25; C. 6 ,8, 10; D. 9, 12, 15.

8、适合下列条件的△ABC中, 是直角三角形的个数为 ( )

①;51,41,31cba ②,6a∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580;

④ ;25,24,7cba ⑤.4,2,2cba

A. 2个; B. 3个; C. 4个; D. 5个.

9、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是 ( )

A 钝角三角形; B. 锐角三角形; C. 直角三角形; D. 等腰三角形.

10．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A、25海里 B、30海里 C、35海里 D、40海里

11、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，恰与AE重合，则CD等于（ ）

A、2㎝ B、3㎝ C、4㎝ D、5㎝

12、如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面8.2米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部6.9米处，那么这根旗杆被吹断裂前至少有多高？ 北

南 A 东

第10题图 A

C D B E

第11题图 ACD

13、“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪正前方30米处，过了2秒后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？

14、如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

15．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A、C到直线l的距离AE、CF分别A B

C D L

观测点 小汽车 小汽车

BCA2.8米9.6米ABCDEF为1和2，求正方形的面积

16．如图，长方形ABCD中，AD = 10，AB = 8，将长方形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的F点，求EF及AE的长

17．已知A（0，3），B（0，-1），ABC是等边三角形，求点C的坐标

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人教新版八年级数学上册经典勾股定理的应用总结(含答案)(最新整理)

人教新版八年级数学上册经典勾股定理的应用总结(含答案)(最新整理)

1勾股定理的应用

应用1：勾股定理的直接用法 //在Rt△ABC中，∠C=90° (1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a. 思路点拨: 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。

解析：(1) 在△ABC中，∠C=90°，a=6，c=10,b=

(2) 在△ABC中，∠C=90°，a=40，b=9,c=

(3) 在△ABC中，∠C=90°，c=25，b=15,a= 应用2：勾股定理的构造应用

例、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

解析：作于D，则因，

∴（的两个锐角互余）

∴（在中，如果一个锐角等于， 那么它所对的直角边等于斜边的一半）.

根据勾股定理，在中， .

根据勾股定理，在中， .

∴ .

例、已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

解析：延长AD、BC交于E。 ∵∠A=∠60°，∠B=90°，∴∠E=30°。 ∴AE=2AB=8，CE=2CD=4，

∴BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE==。

∵DE2= CE2-CD2=42-22=12，∴DE==。

∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE

=

AB·BE-

CD·DE=

2应用3：勾股定理的实际应用

例、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿

北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

解析：（1）过B点作BE//AD

∴∠DAB=∠ABE=60°

∵30°+∠CBA+∠ABE=180°

∴∠CBA=90°

即△ABC为直角三角形

由已知可得：BC=500m，AB=

由勾股定理可得：

所以

（2）在Rt△ABC中，

∵BC=500m，AC=1000m

勾股定理经典题型（后附答案）

勾股定理经典题型（后附答案）

勾股定理经典题型（后附答案）

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勾股定理经典题型(后附答案)

⼀、经典例题精讲

题型⼀：直接考查勾股定理

例１.在ABC ?中，90C ∠=?．

⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长. ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长. 题型⼆：利⽤勾股定理测量长度

例题1 如果梯⼦的底端离建筑物9⽶，那么15⽶长的梯⼦可以到达建筑物的⾼度是多少⽶？

例题2 如图（8），⽔池中离岸边D 点1.5⽶的C 处，直⽴长着⼀根芦苇，出⽔部分BC 的长是0.5⽶，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求⽔池的深度AC.

题型三：勾股定理和逆定理并⽤——

例题3 如图3，正⽅形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上⼀点，且AB FB 41

=

那么△DEF 是直⾓三⾓形吗？为什么？

题型四：利⽤勾股定理求线段长度——

例题4 如图4，已知长⽅形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取⼀点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.

题型五：利⽤勾股定理逆定理判断垂直——

例题5 如图5，王师傅想要检测桌⼦的表⾯AD 边是否垂直与AB 边和CD 边，他测得AD=80cm ，AB=60cm ，BD=100c m，AD 边与AB 边垂直吗？怎样去验证AD 边与CD 边是否垂直？

例题6 有⼀个传感器控制的灯，安装在门上⽅，离地⾼4.5⽶的墙上，任何东西只要

移⾄5⽶以内，灯就⾃动打开，⼀个⾝⾼1.5⽶的学⽣，要⾛到离门多远的地⽅灯刚好打开？

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题型六：旋转问题：

例题7 如图，△ABC 是直⾓三⾓形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。

变式1: 如图，P 是等边三⾓形ABC 内⼀点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC 的边长.

变式2: 如图，△ABC 为等腰直⾓三⾓形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°，试探究22

(完整版)八年级勾股定理题型总结

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《勾股定理》典型例题解析

一、知识重点：

1、勾股定理

勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：假如直角三角形

的两直角边为 a、 b，斜边为 c ，那么 a 2 + b 2= c 2 。公式的变形： a2 = c 2- b 2， b 2= c 2-a 2 。2、勾股定理的逆定理

假如三角形 ABC的三边长分别是 a， b， c，且知足 a2 + b2= c2，那么三角形 ABC 是直角三

角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理 .

该定理在应用时，同学们要注意办理好以下几个重点：

① 已知的条件：某三角形的三条边的长度 .

②知足的条件：最大边的平方 =最小边的平方 +中间边的平方 .

③获得的结论：这个三角形是直角三角形，而且最大边的对角是直角 .

④假如不知足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。

3、勾股数

知足 a2 + b2= c2 的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数一定是正整数，不可以是分数

或小数。②一组勾股数扩大同样的正整数倍后，还是勾股数。常有勾股数有：

（3，4，5 ） (5 ，12， 13 ) ( 6， 8， 10 )

( 7，24， 25 ) ( 8，15， 17 )(9 ， 12，15 )

4、最短距离问题： 主要运用的依照是 两点之间线段最短。

二、考点解析

考点一：利用勾股定理求面积

1、求暗影部分面积：（1）暗影部分是正方形；（ 2）暗影部分是长方形；（ 3）暗影部分是半圆．

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2. 如图，以 Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆， 尝试究三个半圆的面积之间的关系．

3、以下图，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，其面积分别是 S1、S2、 S3，则

初中勾股定理常见题型

初中勾股定理常见题型

1. 在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，则AB的长度为？

A. 5（答案）

B. 6

C. 7

D. 8

2. 直角三角形的一条直角边长为8，斜边长为17，则另一条直角边的长为？

A. 15

B. 10（答案）

C. 12

D. 16

3. 勾股定理适用于哪种三角形？

A. 等腰三角形

B. 等边三角形

C. 直角三角形（答案）

D. 任意三角形

4. 若一个直角三角形的两直角边分别为6和8，则其斜边上的高为？

A. 4.8（答案）

B. 5

C. 6

D. 7.2

5. 在直角三角形中，如果斜边长为c，两直角边分别为a和b，那么勾股定理的表达式是？

A. a + b = c

B. a2 + b2 = c2（答案）

C. a2 - b2 = c2

D. ab = c2

6. 一个直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，则另一条直角边的平方是？

A. 144（答案）

B. 169

C. 196

D. 225

7. 直角三角形中，若斜边长为10，一条直角边比另一条直角边长2，则较短的直角边长为？

A. 4（答案）

B. 5

C. 6

D. 8

8. 已知直角三角形两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，若a和b都扩大2倍，则新的斜边长为？

A. c

B. 2c（答案）

C. 4c

D. c2

9. 勾股定理最早是由哪位数学家提出的？

A. 牛顿

B. 欧拉

C. 毕达哥拉斯（答案）

D. 高斯

10. 在直角三角形中，如果一条直角边长为12，斜边上的高为6.4，那么斜边的长为？

A. 15

B. 18（答案）

C. 20

D. 24