教学大纲_数学分析I

《数学分析Ⅰ》教学大纲

课程编号：120127A

课程类型：□√通识教育必修课 □通识教育选修课

□专业必修课 □专业选修课

□学科基础课

总 学 时：112 讲课学时：96 实验（上机）学时：16

学 分：7

适用对象：数学专业学生、统计学专业学生

先修课程：无

毕业要求:

1.扎实的数学基础和完整的统计知识体系

2.掌握数学、统计及计算机的基本理论和方法

3.建立数学、统计等模型解决金融实际问题

4.具备国际视野，能够与同行及社会公众进行有效沟通和交流

一、课程的教学目标

《数学分析》是大学数学专业与统计学专业最重要的一门基础课程，是几乎所有后继课程的必备基础，对培养学生的数学素养至关重要。通过本课程的教学，引导学生领会极限的思想和方法，掌握数学分析的基本理论和论证方法，培养学生严瑾的逻辑思维能力和推理论证能力、演算技能和应用能力等数学素质，为学习后继课程打下扎实的基础。《数学分析I》是其第一部分。

二、教学基本要求

（一）教学内容及要求

《数学分析I》主要教学内容包括实数集与函数、数列极限、函数极限、函数的连续性、导数与微分、微分中值定理及其应用、实数的完备性、不定积分、定积分及其应用、反常积分等。在教学过程中要细讲极限理论，为本课程学习打下扎实的理论基础；精讲极限、导数、微分、不定积分和定积分等基本概念、基本性质及相关理论，使学生建立基本的知识框架；对于难点，如极限理论、微分中值定理和实数完备理论，需要讲透理论，并且结合实例加深理解。

（二）教学方法和教学手段

在课堂教学中，以启发式教学为主进行课堂讲授，板书教学和多媒体教学结合。课堂上加强与学生的互动，引导学生探索讨论，激发学生的学习兴趣，调动学生的学习主动性，提高课堂学习效率。

（三）实践教学环节

本课程的实践教学环节以习题评析、实例讨论和应用研究为主，使学生能够理论联系实际，学以致用，从而逐步提高学生的知识运用能力和应用创新能力。

（四）学习要求

学生需要做好课前预习、课堂学习、课后复习、做作业等学习环节，以掌握本课程所学内容。

（五）考核方式

本课程采用闭卷考试的方式进行考核。考核成绩包括平时成绩与期末考试成绩。平时成绩（包括作业、考勤、课堂表现及期中考试）占40%，期末考试成绩占60%。

三、各教学环节学时分配

以表格方式表现各章节的学时分配，表格如下：

教学课时分配（单位：课时）

序号 章节内容 讲课 实验 其它 合计

1 第一章实数集与函数 第一节 实数第二节 数集、确界原理

第三节 函数概念

第四节 具有某些特性的函数 6 0 6

第二章数列极限 7 1 8 2 第一节 数列极限概念

第二节 收敛数列的性质

第三节 数列极限存在的条件

3 第三章函数极限

第一节 函数极限概念

第二节 函数极限的性质

第三节 函数极限存在的条件

第四节 两个重要的极限

第五节 无穷小量与无穷大量 12 2 14

4 第四章函数的连续性

第一节 连续性概念

第二节 连续函数的性质

第三节 初等函数的连续性 6 2 8

5 第五章 导数与微分

第一节 导数的概念

第二节 求导法则

第三节 参变量函数的导数

第四节 高阶导数

第五节 微分 10 2 12

6 第六章微分中值定理及其应用 第一节 拉格朗日定理和函数的单调性

第二节 柯西中值定理和不定式极限

第三节 泰勒公式

第四节 函数的极值与最值

第五节 函数的凸性与拐点

第六节 函数图像的讨论 14 2 16

7 第七章 实数的完备性

第一节 基本定理

第二节 闭区间上连续函数性质的证6 0 6 明

8

第八章不定积分 第一节 不定积分概念与基本积分公式

第二节 换元积分法与分部积分法

第三节 有理函数和可化为有理函数的不定积分

第八章习题课 10 2 12

9 第九章定积分 第一节 定积分概念

第二节 可积条件

第三节 定积分的性质

第四节 微积分学基本定理、

牛顿-莱布尼茨公式

第五节 定积分计算 12 2 14

10 第十章 定积分的应用

第一节 平面图形的面积

第二节由平行截面面积求体积

第三节 平面曲线的弧长与曲率

第四节 旋转曲面的面积

第五节 定积分在物理中的某些应用

第六节定积分的近似计算 6 2 8

11 第十一章 反常积分

第一节 反常积分概念

第二节 无穷积分的性质与收敛判别

第三节 瑕积分的性质与收敛判别 7 1 8

12 总复习 2 0 2

合计 96 16 112

四、教学内容

第一章 实数集与函数

第一节 实数 1、实数的概念

2、实数的性质

3、绝对值与不等式

第二节 数集确界理论

1、区间与邻域

2、有界集与无界集

3、上确界与下确界

4、确界原理

第三节 函数概念

1、函数的定义

2、函数的表示法

3、分段函数

4、函数的四则运算

5、复合函数

6、反函数

7、初等函数

第四节 具有某些特性的函数

1、有界函数

2、单调函数

3、奇函数与偶函数

4、周期函数

教学重点、难点：确界概念、确界原理和函数概念

课程的考核要求：了解数学的发展史与实数的概念，理解绝对值不等式的性质，会解绝对值不等式；弄清区间和邻域的概念, 理解确界概念、确界原理，会利用定义证明一些简单数集的确界；掌握函数的定义及函数的表示法，了解函数的运算；理解和掌握一些特殊类型的函数。

复习思考题：

1. 如何证明函数在某集合上无界？

2. 如何用定义验证某数集的上确界和下确界？并举例说明。 3. 常见的非初等函数有哪些？

第二章 数列极限

第一节 数列极限的概念

1、数列的定义

2、数列极限的概念

3、无穷小数列

第二节 收敛数列的性质

1、唯一性

2、有界性

3、保号性

4、单调性

5、四则运算法则

6、数列收敛与子列收敛的关系

第三节 数列极限存在的条件

1、单调有界准则

2、迫敛性法则

3、柯西收敛准则

教学重点、难点：数列极限概念与性质，单调有界定理、柯西收敛准则

课程的考核要求：逐步透彻理解和掌握数列极限的概念；掌握并能运用-N语言处理极限问题；掌握收敛数列的基本性质和数列极限的存在条件(单调有界函数和迫敛性定理)，并能灵活运用；理解数列极限的柯西收敛准则,理解子列的概念及其与数列极限的关系；理解无穷小数列的概念及其与数列极限的关系；掌握数列极限的求解方法。

复习思考题：

1. 在数列极限的N-定义中，和N的作用是什么？二者有什么关系？用该定义验证数列极限的方法是什么？

2. 若两个数列的收敛性不确定，讨论二者的和、差、积、商的收敛性。

3. 用柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件，并举例说明。

第三章 函数极限

第一节 函数极限概念

1、函数极限的概念

2、单侧极限的概念

第二节 函数极限的性质

1、唯一性

2、局部有界性

3、局部保号性

4、不等式性

5、迫敛性

第三节 函数极限存在的条件

1、归结原则（Heine定理）

2、柯西准则

第四节 两个重要的极限

第五节 无穷小量与无穷大量

1、无穷小量

2、无穷小量阶的比较

3、无穷大量

教学重点、难点：函数极限概念及其性质，两个重要极限，等价无穷小量，归结原则

课程的考核要求：理解和掌握函数极限的概念；掌握并能应用-, -X语言处理函数极限问题；理解函数的单侧极限，函数极限的柯西准则；掌握函数极限的性质和归结原则；熟练掌握两个重要极限和等价无穷小量来处理极限问题。

复习思考题：

1. 在函数极限的-定义中，和的作用是什么？二者有什么关系？用该定义验证函数极限的方法是什么？

2. 根据函数极限的柯西收敛准则，叙述函数极限不存在的充要条件，并举例说明。 3. 讨论无穷大量与无界变量的关系。

第四章 函数的连续性

第一节 连续性概念

1、一点连续的定义

2、区间连续的定义

3、单侧连续的定义

4、间断点及其分类；

第二节 连续函数的性质

1、局部性质及运算性质

2、闭区间上连续函数的性质

3、反函数的连续性

4、一致连续性

第三节 初等函数的连续性

教学重点、难点：连续性的定义，间断点的分类，闭区间上连续函数的性质，一致连续性

课程的考核要求：理解与掌握一元函数连续性、一致连续性的定义及其证明，理解与掌握函数间断点及其分类，连续函数的局部性质；理解单侧连续的概念；能正确叙述和简单应用闭区间上连续函数的性质；了解反函数的连续性，理解复合函数的连续性，初等函数的连续性。

复习思考题：

1. 在定义区间上每一点处均不连续的函数存在吗？

2. 连续与一致连续的区别与关系是什么？

第五章 导数和微分

第一节 导数的概念

1、导数的定义

2、单侧导数

3、导函数