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变 量（一）
【小故事】函数概念的历史变迁
当自变量在其取值范围内的每个值，因变量都有惟一的值与其对应时，我们就说这个因变量是自变量的函数。本章我们是在初步了解函数。
最初是笛卡尔引入的函数概念，17世纪末，德国数学家莱布尼兹首先使 用了“函数”这一术语，不过当时它是被用来表示“幂”、“坐标”、“切线长”等概念。在这一意义上的“函数”与现在所指的函数是全然不同的。
到了18世纪，瑞士数学家约翰·贝努利和法国数学家达朗贝尔给函数下的定义，才更接近于现在函数的定义。但其只是我们现在的研究的函数的一种表达形式——解析法。
1748年，瑞士数学家欧拉明确定义“函数”是解析表达式：“变量的函数是一个解析表达式，它是由这个变量和一些常量以任何方式组成的。”1775年欧拉又给出了另一种定义：“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，那么前面的变量称为后面变量的函数。”
最早提出与现行课本上函数类似定义的是19世纪的法国数学家柯西。1837年，德国数学家狄里克莱提出函数是一种对应关系，与柯西同时代的德国数学家黎曼也提出了类似的想法。
以上我们看到：函数这一概念可谓是历尽沧桑，经历了“解析的函数概念”、“图象的函数概念”直至“对应关系的函数概念”。现行中学教材所采用的是“对应关系的函数概念”。
【知识要点】
1．变量：在某一变化过程中不断变化的数量叫变量。若一个变量y随着另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
2．借助表格，可以表示因变量随自变量的变化情况：
3．表示变量之间的关系式：
自变量 因变量
联 系 都是某一过程中变化的数量
如何确定初中函数实际问题中自变量X的取值范围 浅谈函数中如何增强学生解决实际问题能力的培养
南川区小河中学 李洪运
《数学课程标准》2011版指出；“尝试从日常生活中发现并提出简单的数学问题，并运用一些知识加以解决。能探索分析和解决简单问题的有效方法，了解解决问题方法的多样性。能回顾解决问题的过程，初步判断结果的合理性。” 这里的问题，并不是数学习题那类专门为复习和训练设计的问题，也不是仅仅依靠记忆题型和套用公式去解决的问题，而是展开数学课程的“问题”和应用数学去解决问题。这些“问题”又往往与生活、生产实际相联系，这样，一方面是学生接受数学知识时，探索这些知识的实用价值。另一方面在遇到实际问题时，自然地产生利用数学观点、数学理论解释现实现象和触决实际问题的意识。下面我从实例来说明数学问题的应用。
一，函数实际问题中自变量X的取值范围，培养学生的数学应用意识
学生在学习函数时，为了保证函数解析式有意义，学生必须能正确确定自变量X的取值范围。对于一般的函数解析式，确定自变量X的取值范围学生比较容易，但在实际问题中确定自变量X的取值范围时，学生往往由于缺乏整体的考虑，顾此失彼，无法正确确定自变量X的取值范围。为了解决这一问题，我给学生总结了用如下的方法确定实际问题中自变量X的取值范围： 首先考虑自变量X能不能为负数;（一般都不能）
然后考虑自变量X能不能为0；
再考虑自变量X能不能为小数；
最后考虑需不需要不等式或不等式组来确定自变量X的取值范围．（往往需要）
例如：今有450本图书，借给学生阅读，每人9本，求余下的本数Y(本)与借阅人数X(人)之间的函数关系式，并求自变量X的取值范围。
解:根据题意可列函数解析式Y=360－9X
求取值范围时，自变量X表示学生人数，根据上面提供的方法可获得如下信息：自变量X不能为负数，可以为0（即X≥0)，不能为小数，因为所剩本数Y是非负数又不能超过360本，因此可列不等式组:0≤360－9X≤360，解得0≤X≤40
通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出√(2－3x) 的值域。
解：由算术平方根的性质，知√(2－3x)≥0，
故3+√(2－3x)≥3。
∴函数的知域为 .
点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0，1，2，3，4，5｝）
二．反函数法
当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。
点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y<－1或y>1｝）
三．配方法
当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域
例3：求函数y=√(－x2+x+2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。
解：由－x2+x+2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1，2]。此时－x2+x+2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0，9/4]
∴0≤√－x2+x+2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]
点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。
一次函数测试题
一、相信你一定能填对！（每小题3分，共30分）
1．下列函数中，自变量x的取值范围是x≥2的是（ ）
A．y=2x B．y=12x C．y=24x D．y=2x·2x
2．下面哪个点在函数y=12x+1的图象上（ ）
A．（2，1） B．（-2，1） C．（2，0） D．（-2，0）
3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ）
A．y=2x-1 B．y=3x C．y=2x2 D．y=-2x+1
]
4．一次函数y=-5x+3的图象经过的象限是（ ）
A．一、二、三 B．二、三、四
C．一、二、四 D．一、三、四
6．若一次函数y=（3-k）x-k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是（ ）
A．k>3 B．0
7．已知一次函数的图象与直线y=-x+1平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为（ ）
A．y=-x-2 B．y=-x-6 C．y=-x+10 D．y=-x-1
8．汽车开始行驶时，油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间t（时）的函数关系用图象表示应为下图中的（ ）
&
9．李老师骑自行车上班，最初以某一速度匀速行进，•中途由于自行车发生故障，停下修车耽误了几分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，仍保持匀速行进，如果准时到校．在课堂上，李老师请学生画出他行进的路程y•（千米）与行进时间t（小时）的函数图象的示意图，同学们画出的图象如图所示，你认为正确的是（ ）
10．一次函数y=kx+b的图象经过点（2，-1）和（0，3），•那么这个一次函数的解析式为（ ）
A．y=-2x+3 B．y=-3x+2 C．y=3x-2 D．y=12x-3
