2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题(解析版)
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第 1 页 共 15 页 2016-2017学年辽宁省实验中学、沈阳市东北育才学校等五校高一下学期期末联考数学试题
一、选择题
1．sin1470（ ）
A. 32 B. 12 C. 12 D. 32
【答案】B
【解析】1sin1470sin144030sin302，故选B.
2．设向量a与b的夹角为，且2,1,22,3aab，则cos（ ）
A. 35 B. 35
C. 55 D. 255
【答案】A
【解析】试题分析：因为224,2abab，所以2,1b，所以413cos555abab，故选A.
【考点】1、平面向量的坐标运算；2、向量的夹角公式.
3．某校为了解1000名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取40名同学进行检查，将学生从进行编号，现已知第18组抽取的号码为443，则第一组用简单随机抽样抽取的号码为（）
A. 16 B. 17 C. 18 D. 19
【答案】C
【解析】试题分析：第一组用简单随机抽样抽取的号码为，选C．
【考点】系统抽样法
4．已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C 第 2 页 共 15 页 【解析】.
5．已知下列命题：（ ）
①向量a， b不共线，则向量ab与向量ab一定不共线
②对任意向量a， b，则||abab恒成立
③在同一平面内，对两两均不共线的向量a， b， c，若给定单位向量b和正数，总存在单位向量c和实数，使得acb
则正确的序号为（ ）
A. ①②③ B. ①③ C. ②③ D. ①②
【答案】D
【解析】对于①，假设向量ab与向量ab共线，故存在常数使得abab成立，即11ab，由于向量a， b不共线，故10{ 10无解，故假设不成立，即向量ab与向量ab一定不共线，故①正确；
2222cosabaabb， 2222abaabb，由于2cos2abab，故||abab恒成立，即②正确；对于③，取4,4a，
2， 1,0b，无论取何值，向量b都平行于x轴，而向量c的模恒等于2，要使acb成立，根据平行四边形法则，向量c的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量c使等式成立，故③错误；故选D.
6．已知,,OAB三地在同一水平面内， A地在O地正东方向2km处， B地在O地正北方向2km处，某测绘队员在A、B之间的直线公路上任选一点C作为测绘点，用测绘仪进行测绘， O地为一磁场，在其不超过3km的范围内会对测绘仪等电子形成干扰，使测绘结果不准确，则该测绘队员能够得到准确数据的概率是（ ）
A. 212 B. 22 C. 312 D. 12
【答案】A
【解析】试题分析：如图,当点设在线段上测绘结果不准确,由于,因此,由于,所以,因此测绘时得到不准确数据的概率为,所以测绘时得到准确数据的概率为第 3 页 共 15 页 ,应选A.
【考点】几何概型的计算公式．
【易错点晴】本题将解三角形和概率有机地结合在一起,重点考查的是几何概型的计算公式和求解方法.解答时充分借助题设中提供的有效信息,以点为圆心半径为画圆,记交点为,从而将问题转化为求线段的长的问题.由于,点到的距离为,运用勾股定理求出了.然后依据题设求出得到准确数据的概率为.
7．如图所示的茎叶图（图一）为高三某班50名学生的化学考试成绩，图（二）的算法框图中输入的ia为茎叶图中的学生成绩，则输出的m， n分别是（ ）
A. 38m， 12n B. 26m， 12n
C. 12m， 12n D. 24m， 10n
【答案】B
【解析】试题分析：分析程序框图可知， n为50名学生中成绩在80,的人数， m为50名学生中成绩在60,80的人数，而分析茎叶图即可知12n， 26m，故选B.
【考点】1.统计的运用；2.程序框图．
8．在ABC中，内角A， B， C所对的边分别为a， b， c.已知ab， 5a，
6c， 3sin5B，则sin2A（ ）
A. 21313 B. 45 C. 1365 D. 1313 第 4 页 共 15 页 【答案】A
【解析】在ABC中，∵ab，故由3sin5B，可得4cos5B，由已知及余弦定理，有22242cos2536256135bacacB，∴13b，由正弦定理sinsinabAB，得sin313sin13aBAb，∴3213sincos121313AA，故选A.
9．若将函数8sin2yx的图像向左平移(0)个单位长度，得到的函数图象关于原点对称，则44cossin（ ）
A. 1 B. 12
C. 14 D. 18
【答案】A
【解析】试题分析：将函数8sin2yx的图像向左平移(0)个单位长度，得，由其图象关于原点对称得，即，当为偶数时，，当为奇数时，，故选A．
【考点】三角函数的图象变换．
10．有一块半径为（是正常数）的半圆形空地，开发商计划征地建一个矩形的游泳池和其附属设施，附属设施占地形状是等腰，其中为圆心，，在圆的直径上，，，在半圆周上，如图.设，征地面积为，当满足取得最大值时，开发效果最佳，开发效果最佳的角和的最大值分别为（ ）
第 5 页 共 15 页 A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
连结，，在中，，，∴，∴，，，令，则，，∴，令，则在上单调递增，∴当，即时，取得最大值，故选B.
点睛：本题考查了函数模型的应用，考查函数最值的计算及其几何意义，属于中档题；连结，用表示出，，代入梯形面积公式即可得出，则，令，利用换元法求出的最值及对应的.
11．已知向量,,abc满足2,3abab，若2203cacb，则bc的最小值是（ ）
A. 23 B. 23 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】试题分析：建立如所示的平面直角坐标系,则由题设得02,60,1,3,24,03abOMbODa, 再由题设2203cacb可得点（向量c对应的点,其中）在第 6 页 共 15 页 以为直径的圆上,圆心坐标为,半径,向量b对应的点为,bc的几何意义是圆上动点与点的连线段的最小值.由于,所以bc的最小值为.
【考点】向量的知识和综合运用．
【易错点晴】本题以向量的坐标形式为背景，考查的是向量的有关知识在解题中的运用.解答本题的难点是搞清bc的几何意义,也解答好本题的关键,求解时充分借助题设条件,将所提供的有效信息进行合理的分析和利用,最后使得问题化难为简避繁就简,体现数学中转化与化归数形结合的的数学思想的理解和巧妙运用.本题中的隐含信息2203cacb的利用是非常关键的.
12．设ABC中，内角A， B， C所对的边分别为a， b， c，且3coscos5aBbAc，则tanAB的最大值为（ ）
A. 35 B. 13 C. 38 D. 34
【答案】D
【解析】∵3coscos5aBbAc，即3sincossincossin5ABBAC①∵sinsinsinsincoscossinCABABABAB（）（）②，将②代入①中，整理得sincos4coABAB，∴sinsin4coscosABAB，即tan4taAB；∵2tantan3tan33tan11tantan14tan44tantanABBABABBBB（），∴tanAB的最大值为34，故选D.
点睛：本题考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式、两角差的正切公式、同角的三角函数的基本关系式、均值不等式等基础知识，考查了基本运算能力；首先利用正弦定理化边为角，，然后利用诱导公式、同角的三角函数的基本关系式及两角和与差的正弦公式可得tan4tanAB，再根据两角差的正切公式、均值不等式求解即可. 第 7 页 共 15 页
二、填空题
13．三个数390, 455,546的最大公约数
【答案】13
【解析】试题分析：455=390×1+65
390=65×6
∴390，455的最大公约数是65
546=455×1+91
455=91×5
故455，546的最大公约数为91
又65，91的最大公约数为13
三个数390，455，546的最大公约数是13
【考点】用辗转相除计算最大公约数
14．已知12,xx是函数2sin2cos2fxxxm在0,2内的两个零点，则12sinxx .
【答案】255
【解析】试题分析：因为2sin2cos25sin2fxxxmxm，其中（21cos,sin55），由函数fx在0,2内的两个零点，知方程5sin20xm在0,2内有两个根，即函数ym与5sin2yx的图象在0,2内有两个交点，且12,xx关于直线42x对称，所以12xx＝2，所以1225sinsincos25xx.
【考点】1、三角函数的图象与性质；2、辅助角公式.
【方法点睛】函数图象的应用常与函数零点有关，一般为讨论函数f(x)零点的个数或由零点(根)的个数求参数取值（范围），，此时题中涉及的函数f(x)的图象一般不易直接画出，但可将其转化为与fx有一定关系的函数gx和hx的图象问题，且gx和hx的图象易得.
15．已知点O为ABC的外心，外接圆半径为1，且满足2340OAOBOC，则ABC的面积为__________．
