3-1_随机变量的数学期望

概率论与数理统计
第一节 数学期望
离散型随机变量的数学期望 连续型随机变量的数学期望 随机变量函数的数学期望 数学期望的性质 课堂练习
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2
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分 布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的 全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
分布为pij , i,j=1,2, …，则
E(Z) E[g(X ,Y )]
g(xi , y j ) pij
j1 i1
(2) 如果X、Y是连续型随机变量，联合概
率密度为f(x,y)，则
E(Z ) E[g( X ,Y )] g( x, y) f ( x, y)dxdy
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例4.6 设 ( X , Y ) 的分布律为
概率
1/6 3/6 2/6
一旅客8:20到车站,求他候车时间的数学期望.
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解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk 3 6
上表中例如
2 11 13 12 6 66 66 66
P{X 70} P(AB) P( A)P(B) 1 3 66
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例10 设二维连续型随机变量（X ,Y）的概率密度为
f
( x,
y)
Asin( x
y)
0 x
2
0
其它
(1)求系数A, (2)求E( X ), E( XY ).
解：（1）由于
f
( x,
y)dxdy

若




g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
绝对收敛,
则 Z g ( X , Y ) 的数学期望存在, 且有
E ( Z ) E ( g ( X , Y ))




g ( x , y ) f ( x , y ) dxdy
(6)
特例 E ( X )
定义1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{ X = x i } = p i , i = 1, 2,...
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若级数 xi p i 绝对收敛, 则称级数 xi p i 的和
i i
为 X 的数学期望, 简称期望或均值. 记为: E ( X ) = xi p i
的数学期望存在, 且有
E ( Z ) E ( g ( X , Y ))
g(x , y
i i j
j
) p ij
(5)
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2. 二维连续型随机变量函数的数学期望 设二维连续型随机变量 ( X , Y ) 的联合概率密度函数为
f ( x , y ),
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1. 二维离散型随机变量函数的数学期望 设二维离散型随机变量( X , Y ) 的联合分布律为
P X x i , Y y i p ij
( i , j 1, 2, )
若
g(x , y
i i j
j
) p ij 绝对收敛, 则 Z g ( X , Y )
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引例3 加权平均成绩
设某学生四年大学各门功课 成绩分别为 x1 , x2 ,, xn , 其学分分别为 ω1 ,ω2 ,, ωn , 则称
n x1 x2 xn 1 x xi n n i 1
为该生各门课程的算术平均成绩.
而
xω
xi
n i 1
引例1 分赌本问题(产生背景) A、B两人赌技相同, 各出赌金100元, 并约定 先胜三局者为胜, 取得全部 200元. 由于出现意外 情况, 在 A 胜 2 局、B 胜1局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?
分析 假设继续赌两局, 则结果有以下四种情况:
AA A胜B负 A胜B负 AB A胜B负 B胜A负 BA B胜A负 A胜B负 BB B胜A负 B胜A负
是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的
平均值, 它不因可能值的排列次序而改变.
3. 常见离散型随机变量的数学期望
例1 (二项分布) 设随机变量X~Bn, p, 求EX. 解 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
k PX k Cn pk 1 p n k , 0 p 1, k 0,1,2,, n.
因而泊松分布P的数学期望为 .
例3 (几何分布)设随机变量X 服从几何分布, 求E(X). 解 设随机变量X 的分布律为 PX k q k 1 p, q 1 p; k 1,2,,0 p 1 . 则有 k 1 k 1 k 1 EX k q p p k q p q k 1 k 1 k 1 1 1 1 p p 2 . 2 p p 1 q 1 k 1 k 1 . x x 1 这是因为 kx 1 x k 1 k 1

若 X 是连续型的,它的分布密度为 p(x) 则
E ( f ( X ))


f ( x ) p( x ) d x .
3. 二维随机变量函数的数学期望
(1 ) 设 X , Y 为离散型随机变量 数 ,则 E [ f ( X , Y )] , f ( x , y ) 为二元函 f ( x i , y j ) p ij .
(2) 常见连续型随机变量的数学期望
分布名称 均匀分布 X~U[a,b] 正态分布
X ~ N ( , )
2
概率密度
1 , x [a, b] p(x)= b a 0, 其他
1 2
( x ) 2
2 2
E( X )
ab 2
p(x)=
e

1
指数分布
X ~ E ( )
P { X k } p (1 p )
k 1 k
E (X )
k = 0 ,1
p
k n k
P { X k } C n p (1 p )
k = 0 ,1 ,2 ,… ,n
k
np
泊 松 分 布
k
P {X = k}=
X ~ P ( )
几何分布
e

k!
k = 0 ,1 ,2 ,… P { X = k } = (1 p ) k = 1 ,2 ,…
E(X )

k0
k

k

e

e

k!
e


k 1

k 1
( k 1 )!

e

.
几何分布