最新精品高考数学专题复习考点36选修部分(几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式选讲)【学生版】

坐标系与参数方程知识点1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy y的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为.有序数对(,)叫做点M的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M直角坐标(,)x y极坐标(,)互化公式cossinxy222tan(0)x yyxx在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点,半径为r的圆(02) r圆心为(,0)r,半径为r的圆2cos()22 r圆心为(,)2r,半径为r的圆2sin(0) r过极点,倾斜角为的直线(1)()()R R 或(2)(0)(0)和过点(,0)a ,与极轴垂直的直线cos()22a 过点(,)2a ,与极轴平行的直线sin(0)a 注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程,点(,)44M 可以表示为5(,2)(,2),444444或或(-)等多种形式,其中,只有(,)44的极坐标满足方程.二、参数方程1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x f t yg t ①,并且对于t 的每一个允许值,由方程组①所确定的点(,)M x y 都在这条曲线上,那么方程①就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y 的变数t 叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y 中的一个与参数t 的关系,例如()x f t ,把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系()y g t ,那么()()x f t yg t 就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y 的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。

选修新编坐标系与参数方程知识点及经典例题 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#坐标系与参数方程*选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：1．坐标系：① 理解坐标系的作用.② 了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.③ 能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.④ 能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.2．参数方程：① 了解参数方程，了解参数的意义.② 能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.第一讲一、平面直角坐标系伸缩变换：设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

方法1：求伸缩变换后的图形。

由伸缩变换公式解出x 、y,代入已知曲线方程就可求得伸缩变换后的曲线方程。

例:：在一个平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形。

方法2：待定系数法求伸缩变换。

求伸缩变换时，先设出变换，再代入原方程或变换后的方程，求出其中系数即可。

例：在同一平面直角坐标系中,求下列图形变换的伸缩变换:二、极坐标1.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

2.点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。

所以点
P
x＝ 的轨迹的参数方程是
2 2 sin
2α，
y＝－ 22－ 22cos 2α
α 为参数，π4<α<34π.
[把脉考情] 1.极坐标方程及其应用
考什么 2.参数方程及其应用 3.极坐标方程和参数方程的综合问题
考多深 在解答题中考查，难度中等偏低，分值 10 分 多与圆的方程，直线与圆的位置关系，直线与椭圆的 位置关系交汇考查，还需结合三角函数的最值、点到
增分方略 1．直线的参数方程的应用 直线的标准参数方程主要用来解决过定点的直线与圆锥曲 线相交时的弦长或距离问题．它可以避免求交点时解方程组的 繁琐运算，但应用直线的参数方程时，需先判断是否是标准形 式再考虑参数的几何意义．
2．结论要记 根据直线的参数方程的标准式中 t 的几何意义，有如下常 用结论： 过定点 M0 的直线与圆锥曲线相交，交点为 M1，M2，所对 应的参数分别为 t1，t2. (1)弦长 l＝|t1－t2|； (2)弦 M1M2 的中点⇒t1＋t2＝0； (3)|M0M1||M0M2|＝|t1t2|.
圆 C 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－2(1＋ 2)ρsin θ＋3＋
2 2＝0.
(2)设 Aπ2，ρ1，Bπ4，ρ2，将 θ＝π2代入(1)中圆 C 的极坐标 方程，得 ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3＋2 2＝0，解得 ρ1＝1＋ 2.
将 θ＝π4代入(1)中圆 C 的极坐标方程，得 ρ2－2(1＋ 2)ρ＋3
(1)求直线 l1 和圆 C 的极坐标方程； (2)若直线 l2 的极坐标方程为 θ＝π4(ρ∈R )，设直线 l1，l2 与 圆 C 的公共点分别为 A，B，求△OAB 的面积．
[解] (1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，

y＝2sin θ ( θ 为参数 ) ，在极坐标系 ( 与直角坐标系 xOy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x 轴
π 正半轴为极轴 ) 中，直线 l 的方程为 ρsin( θ＋ 4 ) ＝2 2. (1) 求曲线 C 在极坐标系中的方程； (2) 求直线 l 被曲线 C 截得的弦长．
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x＝1＋ cos θ， 2．(2014 ·西安质检 ) 若直线 3x＋4y＋ m＝0 与圆
y＝－ 2＋sin θ
( θ 为参数 ) 相切，则实
数 m的值是 ________． 3．(2014 ·武汉调研 ) 在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐
x＝－ t ， 标系．已知直线
线 π 过点 a， 2 ，与极轴平行的直
线
图形
极坐标方程
ρ＝ r(0 ≤θ＜ 2π）
π
π
ρ＝ 2rcos_ θ － 2 ≤θ≤ 2
ρ＝ 2rsin_ θ(0 ≤θ＜π )
(1) θ＝α ( ρ∈ R) 或 θ＝π＋α ( ρ∈ R) (2) θ＝α ( ρ≥ 0) 和 θ＝π＋α ( ρ≥ 0)
π
π
x＝1＋2t ，
[ 练一练 ] ：1．若直线的参数方程为
(t 为参数 ) ，则直线的斜率为 ________．
y＝2－3t
2
2
3
3
A. 3
B．－ 3 C. 2 D ．－ 2
x＝3t 2＋2 2．参数方程为 y＝t 2－ 1
(0 ≤t ≤5) 的曲线为 __________(填“线段”、“双曲线”、“圆
π 变式：在本例 (1) 的条件下， 求曲线 C与曲线 C1：ρcos θ＝ 3( ρ≥ 0,0 ≤θ＜2 ) 交点的极坐标 . [ 类题通法 ] ：求曲线的极坐标方程的步骤 (1) 建立适当的极坐标系，设 P(ρ，θ ) 是曲线上任意一点； (2) 由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径 ρ 和极角 θ 之间的关系式； (3) 将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．