伞齿轮的设计规范
造型设计与机构设计(以下简称"设计")孰先孰后, 一直是一个矛盾的话题.造型是为了设计的须要, 或设计完成之后才能进行造型, 因产品特性的不同很难一概而论。
如果造型的过程其特征可以等于是设计流程的再现, 也就是说造型不单单只有"形状要素", 还能具备设计的"机能要素". 两者之间的意图会比较明确。
(举例): 造型进行1/3时, 即可进行设计, 设计进行到1/3时即可进行生产准备, 缩短产品开发时程是否为Top Down的目标之一。
Top down的运用目的如果是这样的话, 关于伞齿轮到底造型或设计孰先, 以及Top Down 概念, 我想会是一个相当好的考验. 不过也不一定硬要遵循, 能够顺利完成就好了.
不知大部分的机械业界是否会将造型与设计分工, 不过想必有一部分公司的设计人员会同时担任造型, 有(机构)设计底子的人, 在学习造型的过程中,对于只有形状要素的参考书或例题, 往往比较难以适应.
下图是伞齿轮加工图面及尺寸标注的标准范例, 比较进化的伞齿轮要项尺寸计算(表, 程序)中, 其尺寸, 强度计算项目的顺序也都是依伞齿轮设计的程序顺次排序. 其目的非常明显。
除了Mitter Gear(两齿数相同的伞齿轮组合)外, 伞齿轮的设计必须连同相咬合的伞齿轮一并加以考量(单一伞齿轮是不具意义, 无从设计的), 除了齿数的组合之外,正确的咬合也是很重要的。
下图是伞齿轮的咬合示意图, 如果以齿的正面为基准考量, 其与正齿轮的咬合非常近似。
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伞齿轮的制造方法大致上可分为几个主流: 其研发不仅伞齿轮设计及加工原理, 还包括加工设备(切齿, 咬合测试, 热处理等). 请注意要项尺寸的计算公式各制造法并不完全相同. 1) 美国系的Gleason制造法. 采用此法的厂商不少. 其制造方法曾取得50年的专利. (现己过期).
2) 欧洲系(很抱歉其制造方法称呼一时无法查明).印象中是由FIAT汽车公司所研发, 交由相关厂商制造.
3) 铣床铣制法.
4) 其它制造法(不知前苏联或东欧国家是否有研发). 中国大陆也有生产伞齿轮加工设备, 但其设计及加工原理不清楚.
不同组合设计的伞齿轮, 不同制造方法的伞齿轮, 不具有互换性.
如要更严格说, 既使使用相同的加工设备, 不同制造批次的伞齿轮
也不具有互换性的(噪音)
3.2高速级齿轮传动的设计 3.2.1传动齿轮的设计要求 1)齿轮材料：软齿面齿轮传动 小齿轮：45号钢，调质处理，齿面硬度为240HBS； 大齿轮：45号钢，正火处理，齿面硬度为200HBS。 2)轴向力指向轴的非伸出端； 3)每年300日，每班8小时，两班制 4)齿宽系数； 5)螺旋角； 6)中心距取整，分度圆直径精确计算(保留小数点后两位)。 3.2.2选择齿轮类型，精度等级及齿数 1)参考表10.6，取通用减速器精度等级为7级精度 2)取小齿轮齿数为，齿数比，即大齿轮齿数 ,取； 3)选择斜齿圆柱齿轮，取压力角°； 4)初选螺旋角. 3.2.3按齿面接触疲劳强度设计 1.计算小齿轮的分度圆直径，即 ≥ 1)确定公式中的各参数值 a)试选载荷系数=1.3 b)计算小齿轮传递的转矩
=9.55*?=9.55**4.496/1450(N?mm)=2.96*N?mm c)取齿宽系数=1.0 d)由图10.20查得区域系数=2.433； e)由表10.5查得材料的弹性影响系数=189.8 f)计算接触疲劳强度用重合度系数 =arctan(tan/tan)=arctan(tan20/tan14)=20.562° =arccos =arccos[24*cos20.562/(24+2*1*cos14)]=29.974 =arccos = 22.963 = =[24*(tan29.974-tan22.963)+115*(tan22.963-tan20.562)]/2 =1.474 ==1*24*tan14/=1.905 = g)螺旋角系数===0.985 h)计算接触疲劳许用应力 由图10.25c,d查得小齿轮和大齿轮的接触疲劳极限分别为 =500MPa，=375MPa 应力循环次数分别为 =60=60*1450*1*(2*8*300*8)=3.341*
圆锥齿轮参数设计 0.概述 锥齿轮是圆锥齿轮的简称，它用来实现两相交轴之间的传动,两轴交角S称为轴角，其值可根据传动需要确定，一般多采用90°。锥齿轮的轮齿排列在截圆锥体上，轮齿由齿轮的大端到小端逐渐收缩变小，如下图所示。由于这一特点，对应于圆柱齿轮中的各有关"圆柱"在锥齿轮中就变成了"圆锥"，如分度锥、节锥、基锥、齿顶锥等。锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿和曲线齿等形式。直齿和斜齿锥齿轮设计、制造及安装均较简单，但噪声较大，用于低速传动（＜5m/s）；曲线齿锥齿轮具有传动平稳、噪声小及承载能力大等特点，用于高速重载的场合。本节只讨论S=90°的标准直齿锥齿轮传动。 1. 齿廓曲面的形成 直齿锥齿轮齿廓曲面的形成与圆柱齿轮类似。如下图所示，发生平面1与基锥2相切并作纯滚动，该平面上过锥顶点O的任一直线OK的轨迹即为渐开锥面。渐开锥面与以O为球心，以锥长R为半径的球面的交线AK为球面渐开线，它应是锥齿轮的大端齿廓曲线。但球面无法展开成平面，这就给锥齿轮的设计制造带来很多困难。为此产生一种代替球面渐开线的近似方法。
2. 锥齿轮大端背锥、当量齿轮及当量齿数 (1) 背锥和当量齿轮 下图为一锥齿轮的轴向半剖面，其中DOAA为分度锥的轴剖面，锥长OA称锥距，用R 表示；以锥顶O为圆心，以R为半径的圆应为球面的投影。若以球面渐开线作锥齿轮的齿廓，则园弧bAc为轮齿球面大端与轴剖面的交线，该球面齿形是不能展开成平面的。为此，再过A作O1A⊥OA，交齿轮的轴线于点O1。设想以OO1为轴线，以O1A为母线作圆锥面O1AA，该圆锥称为锥齿轮的大端背锥。显然，该背锥与球面切于锥齿轮大端的分度圆。由于大端背锥母线1A与锥齿轮的分度锥母线相互垂直，将球面齿形的圆弧bAc投影到背锥上得到线段 b'Ac'，圆弧bAc与线段b'Ac'非常接近，且锥距R与锥齿轮大端模数m之比值愈大（一般R/m>30），两者就更接近。这说明：可用大端背锥上的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形。由于背锥可展开成平面并得到一扇形齿轮，扇形齿轮的模数m、压力角a和齿高系数ha*等参数分别与锥齿轮大端参数相同。再将扇形齿轮补足成完整的直齿圆柱齿轮，这个虚拟的圆柱齿轮称为该锥齿轮的大端当量齿轮。这样就可用大端当量齿轮的齿形近似地作为锥齿轮的大端齿形，即锥齿轮大端轮齿尺寸（ha、hf等）等于当量齿轮的轮齿尺寸。 (2) 基本参数 由于直齿锥齿轮大端的尺寸最大，测量方便。因此，规定锥齿轮的参数和几何尺寸均以大端为准。大端的模数m的值为标准值，按下表选取。在GB12369-90中规定了大端的压力角a=20。，齿顶高系数ha*=1，顶隙系数c*=0.2。
齿轮传动设计计算的步骤 （1）根据题目提供的工作情况等条件，确定传动形式，选定合适的齿轮材料和热处理方法，查表确定相应的许用应力。 （2）分析失效形式，根据设计准则，设计m或d1； （3）选择齿轮的主要参数； （4）计算主要集合尺寸，公式见表9-2.表9-10或表9-11； （5）根据设计准则校核接触强度或弯曲强度； （6）校核齿轮的圆周速度，选择齿轮传动的静的等级和润滑方式等；（7）绘制齿轮零件工作图。
以下为设计齿轮传动的例题： 例题 试设计一单级直齿圆柱齿轮减速器中得齿轮传动。已知：用电动机驱动，传递功率P=10KW ，小齿轮转速n 1=950r/min ，传动比i=4，单向运转，载荷平稳。使用寿命10年，单班制工作。 解：（1）选择材料与精度等级 小轮选用45钢，调质，硬度为229~286HBS （表9-4）大轮选用45钢，正火，硬度为169~217HBS(表9-4)。因为是普通减速器，由表9-13选IT8级精度。因硬度小于350HBS ，属软齿面，按接触疲劳强度设计，再校核弯曲疲劳强度。 （2）按接触疲劳强度设计 ①计算小轮传递的转矩为 T 1 =9.55×106 n1 P =9.55×106×95510 =105N ·mm ②载荷系数K 查表9-5取 K=1.1 ③齿数Z 和齿宽系数ψ d 取z 1=25，则 100254iz1z2=?== 因单级齿轮传动为对称布置，而齿轮齿面又为软齿面，由表9-12选取ψ d =1。 ④许用接触应力【 σ H 】 由图9-19（c ）查得 MPa H 5701 lim =σ MPa H 5302lim =σ 由9-7表查得S H =1 9h 11101.19=）8×5×52×10（×955×60=j 60=L n ?N ()8 9 1 2 10 34 1019.1i =N N ?=?= 查图9-18得 11 =Z N ， 1.082=Z N 由式（9-13）可得 []MPa H S Z H H N 5701570 11 lim 1 1=?= ?= σσ []MPa H S Z H H N 4.5721 530 08.12 lim 2 2 =?= ?=σσ 查表9-6得 MPa Z E 8.189=,故由式（9-14）得
锥齿轮计算 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
3.3.2 主减速器锥齿轮的主要参数选择 a)主、从动锥齿轮齿数z 1和z 2 选择主、从动锥齿轮齿数时应考虑如下因素； 为了啮合平稳、噪音小和具有高的疲劳强度，大小齿轮的齿数和不少于40在轿车主减速器中，小齿轮齿数不小于9。 查阅资料，经方案论证，主减速器的传动比为，初定主动齿轮齿数 z 1=6，从动齿轮齿数z 2 =38。 b）主、从动锥齿轮齿形参数计算 按照文献[3]中的设计计算方法进行设计和计算，结果见表3-1。 从动锥齿轮分度圆直径 取dm2=304mm 齿轮端面模数22 /304/388 m d z === 表3-1主、从动锥齿轮参数
c）中点螺旋角β 弧齿锥齿轮副的中点螺旋角是相等的。拖拉机主减速器弧齿锥齿轮螺旋角的平均螺旋角一般为35°～40°。拖拉机选用较小的β值以保证，使运转平稳，噪音低。取β=35°。 较大的ε F d）法向压力角α 法向压力角大一些可以增加轮齿强度，减少齿轮不发生根切的最少齿数，也可以使齿轮运转平稳，噪音低。对于拖拉机弧齿锥齿轮，α一般选用20°。 e) 螺旋方向 从锥齿轮锥顶看，齿形从中心线上半部向左倾斜为左旋，向右倾斜为右旋。主、从动锥齿轮的螺旋方向是相反的。螺旋方向与锥齿轮的旋转方向影响其所受轴向力的方向。当变速器挂前进挡时，应使主动齿轮的轴向力离开锥顶方向，这样可以使主、从动齿轮有分离趋势，防止轮齿卡死而损坏。 主减速器锥齿轮的材料 驱动桥锥齿轮的工作条件是相当恶劣的，与传动系其它齿轮相比，具有载荷大、作用时间长、变化多、有冲击等特点。因此，传动系中的主减速器齿轮是个薄弱环节。主减速器锥齿轮的材料应满足如下的要求：a）具有高的弯曲疲劳强度和表面接触疲劳强度，齿面高的硬度以保证有高的耐磨性。 b）齿轮芯部应有适当的韧性以适应冲击载荷，避免在冲击载荷下齿根折断。 c）锻造性能、切削加工性能以及热处理性能良好，热处理后变形小或变形规律易控制。 d）选择合金材料是，尽量少用含镍、铬呀的材料，而选用含锰、钒、硼、钛、钼、硅等元素的合金钢。 拖拉机主减速器锥齿轮与差速器锥齿轮目前常用渗碳合金钢制造，主要有20CrMnTi、20MnVB、20MnTiB、22CrNiMo和16SiMn2WMoV。渗碳合金钢的优点是表面可得到含碳量较高的硬化层（一般碳的质量分数为%～%），具有相当高的耐磨性和抗压性，而芯部较软，具有良好的韧性。因此，这类材料的弯曲强度、表面接触强度和承受冲击的能力均较好。由于钢本身有较低的含碳量，使锻造性能和切削加工性能较好。其主要缺点是热处理费用较高，表面硬化层以下的基底较软，在承受很大压力时可能产生塑性变形，如果渗碳层与芯部的含碳量相差过多，便会引起表面硬化层的剥落。 为改善新齿轮的磨合，防止其在余兴初期出现早期的磨损、擦伤、胶合或咬死，锥齿轮在热处理以及精加工后，作厚度为～0.020mm的磷化处
课程设计实训报告 课程名称: 《机械基础》 设计题目:齿轮传动的设计 系别: 机电工程系 专业班级: 机电一体化技术3班 学生姓名: 张波 学号: 20093121325 指导老师: 张传亮 设计时间: 2010年12月 河南质量工程学院
河南质量工程职业学院《机械基础》课程设计任务书
目录 1 方案的选择与确定 (2) 1.1 齿轮参数的选择 (3) 1.2设计和计算及说明 (3) 2轴的设计 (7) 2.1选择轴的材料 (7) 2.2轴的最小直径的估算： (7) 2.3轴的结构设计 (8) 2.4轴的结构工艺性 (9) 2.5提高轴疲劳强度的结构措施 (10) 3小结 (11) 4参考文献 (12) 1 方案的选择与确定
根据任务要求，选择齿轮传动设计，设计带式输送机的一级直齿圆柱齿轮减速器中的齿轮传动，该减速器由电动机驱动，齿轮传递的功率为20 KW，低速轴=200r/min，传动比i = 3.5，单向传动，长期使用，齿轮与轴的材料均转速n 2 为45钢。 1.1 齿轮参数的选择 1.1.1 齿数z 对于软齿面的闭式传动，在满足弯曲疲劳强度的条件下，宜采用较多齿数，=20～40。因为当中心距确定后，齿数多，则重合度大，可提高传动的一般取Z 1 平稳性。对于硬齿面的闭式传动，首先应具有足够大的模数以保持齿根弯曲强度， =17～20。 为减小传动尺寸，宜取较少齿数，但要避免发生根切，一般取Z 1 1.1.2、模数m 模数影响齿轮的抗弯强度，一般在满足齿轮弯曲疲劳强度的条件下，一去较小模数，以增大齿数，减小切齿量。 1.1.3 齿宽系数Ψd 之比，增大齿宽系数，可齿宽系数是大齿轮齿宽b和小齿轮分度圆直径d 1 减小齿轮传动装置的径向尺寸，降低齿轮的圆周速度。但是齿轮越大，载荷分布越不均匀。为便于装配和调整，常将小齿轮宽加大5～10 mm ，但设计计算时按大齿轮齿宽计算。 1.2设计和计算及说明 1.2.1.选择齿轮精度等级。 表1.1齿轮传动常用精度等级及其应用
标准齿轮模数尺数通用计算公式 齿轮的直径计算方法： 齿顶圆直径=（齿数+2）×模数 分度圆直径=齿数×模数 齿根圆直径=齿顶圆直径-(4.5×模数) 比如：M4 32齿34×3.5 齿顶圆直径=（32+2）×4=136mm 分度圆直径=32×4=128mm 齿根圆直径=136-4.5×4=118mm 7M 12齿 中心距D=（分度圆直径1+分度圆直径2）/2 就是 （12+2）×7=98mm 这种计算方法针对所有的模数齿轮（不包括变位齿轮）。 模数表示齿轮牙的大小。 齿轮模数=分度圆直径÷齿数 =齿轮外径÷（齿数-2） 齿轮模数是有国家标准的（GB1357-78） 模数标准系列（优先选用）1、1.25、1.5、2、2.5、3、4、5、6、8、10、12、14、16、20、25、32、40、50 模数标准系列（可以选用）1.75，2.25，2.75，3.5，4.5，5.5，7，9，14，18，22，28，36，45 模数标准系列（尽可能不用）3.25，3.75，6.5，11，30 上面数值以外为非标准齿轮，不要采用！ 塑胶齿轮注塑后要不要入水除应力 精确测定斜齿轮螺旋角的新方法
Circular Pitch （CP）周节 齿轮分度圆直径d的大小可以用模数(m)、径节(DP)或周节(CP)与齿数(z)表示 径节P(DP)是指按齿轮分度圆直径(以英寸计算)每英寸上所占有的齿数而言 径节与模数有这样的关系: m=25.4/DP CP1/8模=25.4/DP8=3.175 3.175/3.1416(π)=1.0106模 1) 什么是「模数」？ 模数表示轮齿的大小。 R模数是分度圆齿距与圆周率（π）之比,单位为毫米(mm)。 除模数外,表示轮齿大小的还有ＣＰ（周节：Circular pitch）与ＤＰ（径节：Diametral pitch）。 【参考】齿距是相邻两齿上相当点间的分度圆弧长。 2) 什么是「分度圆直径」？ 分度圆直径是齿轮的基准直径。 决定齿轮大小的两大要素是模数和齿数、 分度圆直径等于齿数与模数(端面)的乘积。 过去,分度圆直径被称为基准节径。最近,按ISO标准,统一称为分度圆直径。 3) 什么是「压力角」？ 齿形与分度圆交点的径向线与该点的齿形切线所夹的锐角被称为分度圆压力角。一般所说的压力角,都是指分度圆压力角。 最为普遍地使用的压力角为２０°,但是,也有使用１４．５°、１５°、１７．５°、２２．５°压力角的齿轮。 4) 单头与双头蜗杆的不同是什么？ 蜗杆的螺旋齿数被称为「头数」,相当于齿轮的轮齿数。 头数越多,导程角越大。 5) 如何区分Ｒ（右旋）?Ｌ（左旋）？ 齿轮轴垂直地面平放 轮齿向右上倾斜的是右旋齿轮、向左上倾斜的是左旋齿轮。 6) Ｍ（模数）与ＣＰ（周节）的不同是什么？ ＣＰ（周节：Circular pitch）是在分度圆上的圆周齿距。单位与模数相同为毫米。 ＣＰ除以圆周率（π）得Ｍ（模数)。 Ｍ（模数）与ＣＰ得关系式如下所示。 Ｍ（模数)＝ＣＰ／π（圆周率） 两者都是表示轮齿大小的单位。 (分度圆周长=πd=zp d=z p/π p/π称为模数) 7)什么是「齿隙」？ 一对齿轮啮合时,齿面间的间隙。 齿隙是齿轮啮合圆滑运转所必须的参数。 8) 弯曲强度与齿面强度的不同是什么？ 齿轮的强度一般应从弯曲和齿面强度的两方面考虑。 弯曲强度是传递动力的轮齿抵抗由于弯曲力的作用,轮齿在齿根部折断的强度。齿面强度是啮合的轮齿在反复接触中,齿面的抗摩擦强度。 9) 弯曲强度和齿面强度中,以什么强度为基准选定齿轮为好？ 一般情况下,需要同时讨论弯曲和齿面的强度。 但是,在选定使用频度少的齿轮、手摇齿轮、低速啮合齿轮时,有仅以弯曲强度选定的情况。最终,应该由设计者自己决定。 10) 什么是螺旋方向与推力方向？ 轮齿平行于轴心的正齿轮以外的齿轮均发生推力。 各类型齿轮变化如下所示。
齿轮传动设计- 图文 一、转矩与功率 式中：P──齿轮传递的功率（kW）；T──传递的转矩（N.m）；n──齿轮的转速(r/min)。二、传动比i计算 式中：n1、n2分别为两齿轮的转速（r/min）。 三、圆柱齿轮传动简化设计计算公式 齿轮类型直齿轮斜齿轮式中：K──载荷系数， 接触强度弯曲强度。载荷平稳、精度高、速度较低、齿轮对称于轴承布置、 ， 斜齿轮时，应取小值；反之，取大值。T1──小齿轮传递的额定转矩（N.m）。齿宽系数：；齿数比： ，z1、z2分别为小齿轮、大齿轮的齿数；YFS──复合齿形系数； 。 为试验齿轮的接触疲劳极限应用 ──许用弯曲应力 为抗弯强度计 ──许用接触应用（N/mm2），（N/mm2），（N/mm2）， 为接触强度计算的最小安全系数，一般大小1.1。 ， 为齿轮材料的弯曲疲劳强度基本值， 算的最小安全系数，一般应大小1.4。 四、齿轮疲劳强度校核公式 项目强度条件齿面接触疲劳强度或齿根弯曲疲劳强度或×计算应力N/mm2 许
用应用N/mm2 安全系数式中：mn──法面模数（mm）；b──齿宽（mm）；d1──小齿轮分度圆直径（mm）；Ft──分度圆上的圆周力（N）；KA──使用系数；KV──动载系数；KHβ、KFβ──齿向载荷分布系数；KHα、KFα──齿间载荷分配系数； ──计算接触应力（N/mm2）；ZE──材料弹性系数， （）；ZH──节点区域系数；──接触强度计算的重合度与螺旋角系数；─ ─许用接触应力（N/mm2）；──试验齿轮的接触疲劳极限应力（N/mm2）；ZNT──接触计算的寿命系数；ZLVR──润滑油膜影响系数；ZW──工作硬化系数；ZX──接触强度计算的尺寸系数；SHlim──接触强度最小安全系数；系数； ──计算弯曲应力（N/mm2）；YFS──复合齿形 ──许用弯曲应力（N/mm2）； ───相 ──抗弯强度计算的重合度与螺旋角系数； ─齿轮材料的弯曲疲劳强度基本值（N/mm2）；YNT──抗弯强度计算的寿命系数；对齿根圆角敏感系数； ──相对齿根表面状况系数；YX──抗弯强度计算的尺寸系数。 五、校核计算公式中各系数 （1）分度圆上的圆周力Ft（N） 计算公式： 式中：T──传递的转矩，N.m；d──分度圆直径，mm。 （2）使用系数KA 使用系数是考虑由于原动机和工作机的载荷变动、冲击、过载等对齿轮产生的外部附加动载荷 影响的系数。可按表1选取。表1 使用系数KA 原动机工作特性均匀平稳轻微振动中等振动强烈振动工作机工作特性均匀平稳 1.00 1.10 1.25 1.50 轻微振动 1.25 1.35 1.50 1.75 中等振动1.50 1.60 1.75 2.0 强烈振动1.75 1.85 2.0 2.25 注：1. 对于增速传动，建议取表中数值的1.1倍。 2. 当外部机械与齿轮装置之间有挠性联接时，通常KA值可适当减小。 （3）动载系数KV
齿轮传动设计参数的选择： 1）压力角α的选择 2）小齿轮齿数Z1的选择 3）齿宽系数fd的选择 齿轮传动的许用应力 精度选择 压力角α的选择 由《机械原理》可知，增大压力角α，齿轮的齿厚及节点处的齿廓曲率半径亦皆随之增加，有利于提高齿轮传动的弯曲强度及接触强度。我国对一般用途的齿轮传动规定的压力角为α=20o。为增强航空有齿轮传动的弯曲强度及接触强度，我国航空齿轮传动标准还规定了α=25o的标准压力角。但增大压力角并不一定都对传动有利。对重合度接近2的高速齿轮传动，推荐采用齿顶高系数为1～1.2，压力角为16 o～18 o的齿轮，这样做可增加齿轮的柔性，降低噪声和动载荷。 小齿轮齿数Z1的选择 若保持齿轮传动的中心距α不变，增加齿数，除能增大重合度、改善传动的平稳性外，还可减小模数，降低齿高，因而减少金属切削量，节省制造费用。另外，降低齿高还能减小滑动速度，减少磨损及减小胶合的可能性。但模数小了，齿厚
随之减薄，则要降低齿轮的弯曲强度。不过在一定的齿数围，尤其是当承载能力主要取决于齿面接触强度时，以齿数多一些为好。 闭式齿轮传动一般转速较高，为了提高传动的平稳性，减小冲击振动，以齿数多一些为好，小一些为好，小齿轮的齿数可取为z1=2040。开式（半开式）齿轮传动，由于轮齿主要为磨损失效，为使齿轮不致过小，故小齿轮不亦选用过多的齿数，一般可取z1=1720。 为使齿轮免于根切，对于α=20o的标准支持圆柱齿轮，应取z1≥17。Z2=u·z1。 齿宽系数d的选择 由齿轮的强度公式可知，轮齿越宽，承载能力也愈高，因而轮齿不宜过窄；但增大齿宽又会使齿面上的载荷分布更趋不均匀，故齿宽系数应取得适合。圆柱齿轮齿宽系数的荐用值列于下表。对于标准圆柱齿轮减速器，齿宽系数取为 所以对于外捏合齿轮传动a的值规定为0.2，0.25，0.30，0.40，0.50，0.60，0.80，1.0，1.2。运用设计计算公式时，对于标准减速器，可先选定再用上式计算出相应的d值
3. 3. 2主减速器锥齿轮的主要参数选择 R主、从动锥齿轮齿数N和z： 选择主、从动锥齿轮齿数时应考虑如下因素； 为了啮合平稳、噪音小和具有高的疲劳强度，大小齿轮的齿数和不少于40 在轿车主减速器中，小齿轮齿数不小于9。 查阅资料，经方案论证，主减速器的传动比为6. 33,初定主动齿轮齿数z产6, 从动齿轮齿数z：=38o b）主、从动锥齿轮齿形参数计算 按照文献［3］中的设计计算方法进行设计和计算，结果见表3-1 o 从动锥齿轮分度圆直径心:二14引10190二303. 51mm 取d=2=304mm 齿轮端而模数w = 6/2/^2 = 304/38 = 8 弧齿锥齿轮副的中点螺旋角是相等的。拖拉机主减速器弧齿锥齿轮螺旋角的平均螺旋角一般为35°?40°。拖拉机选用较小的B值以保证较大的一，使运转平稳，噪音低。取B二35°。
d）法向压力角ci 法向压力角大一些可以增加轮齿强度，减少齿轮不发生根切的最少齿数， 也可以使齿轮运转平稳，噪音低。对于拖拉机弧齿锥齿轮，a —般选用20°。 e）螺旋方向 从锥齿轮锥顶看，齿形从中心线上半部向左倾斜为左旋，向右倾斜为右旋。主、从动锥齿轮的螺旋方向是相反的。螺旋方向与锥齿轮的旋转方向影响其所受轴向力的方向。肖变速器挂前进挡时，应使主动齿轮的轴向力离开锥顶方向, 这样可以使主、从动齿轮有分离趋势，防止轮齿卡死而损坏。 3. 4主减速器锥齿轮的材料 驱动桥锥齿轮的工作条件是相当恶劣的，与传动系其它齿轮相比，具有载荷大、作用时间长、变化多、有冲击等特点。因此，传动系中的主减速器齿轮是个薄弱环节。主减速器锥齿轮的材料应满足如下的要求： a）具有高的弯曲疲劳强度和表面接触疲劳强度，齿面高的硕度以保证有高的耐磨性。 b）齿轮芯部应有适当的韧性以适应冲击载荷，避免在冲击载荷下齿根折断。 c）锻造性能、切削加工性能以及热处理性能良好，热处理后变形小或变形规律易控制。 d）选择合金材料是，尽量少用含傑、铮呀的材料，而选用含猛、飢、硼、钛、钮、硅等元素的合金钢。 拖拉机主减速器锥齿轮与差速器锥齿轮LT前常用渗碳合金钢制造，主要有20CrMnTi、20MnVB、20MnTiB、22CrNiMo 和16SiMn2WMoV。渗碳合金钢的优点是表面可得到含碳量较高的硬化层（一般碳的质量分数为0.8%?1.2%）,具有相当高的耐磨性和抗压性，而芯部较软，具有良好的韧性。因此，这类材料的弯曲强度、表面接触强度和承受冲击的能力均较好。山于钢本身有较低的含碳量，使锻造性能和切削加工性能较好。其主要缺点是热处理费用较高，表面硬化层以下的基底较软，在承受很大压力时可能产生塑性变形，如果渗碳层与芯部的含碳量相差过多，便会引起表面硬化层的剥落。 为改善新齿轮的磨合，防止其在余兴初期出现早期的磨损、擦伤、胶合或咬死，锥齿轮在热处理以及精加工后，作厚度为0.005?0.020mm的磷化处理或镀铜、镀锡处理。对齿面进行应力喷丸处理，可提高25%的齿轮寿命。对于滑动速度高的齿轮，可进行渗硫处理以提高耐磨性。 3. 5主减速器锥齿轮的强度计算 3. 5.1单位齿长圆周力 按发动机最大转矩计算时 P二很九5代心 nD[b?
齿轮的直径计算方法： 齿顶圆直径=（齿数+2）*模数 分度圆直径=齿数*模数 齿根圆直径=齿顶圆直径-(4.5×模数) 比如：M4 32齿34*3.5 齿顶圆直径=（32+2）*4=136 分度圆直径=32*4=128 齿根圆直径=136-4.5*4=118 7M 12齿 中心距（分度圆直径1+分度圆直径2）/2 就是（12+2）*7=98 这种计算方法针对所有的模数齿轮（不包括变位齿轮）。 模数表示齿轮牙的大小。 齿轮模数=分度圆直径÷齿数 =齿轮外径÷（齿数-2） 齿轮模数是有国家标准的（1357-78） 模数标准系列（优先选用）1、1.25、1.5、2、2.5、3、4、5、6、8、10、12、14、16、20、25、32、40、50 模数标准系列（可以选用）1.75，2.25，2.75，3.5，4.5，5.5，7，9，14，18，22，28，36，45 模数标准系列（尽可能不用）3.25，3.75，6.5，11，30
上面数值以外为非标准齿轮，不要采用！ 塑胶齿轮注塑后要不要入水除应力 精确测定斜齿轮螺旋角的新方法 （）周节 齿轮分度圆直径d的大小可以用模数(m)、径节()或周节()与齿数(z)表示 径节P()是指按齿轮分度圆直径(以英寸计算)每英寸上所占有的齿数而言
径节与模数有这样的关系: 25.4 1/8模=25.48=3.175 3.175/3.1416(π)=1.0106模 1) 什么是「模数」？ 模数表示轮齿的大小。 R模数是分度圆齿距与圆周率（π）之比,单位为毫米()。 除模数外,表示轮齿大小的还有ＣＰ（周节：）与ＤＰ（径节：）。【参考】齿距是相邻两齿上相当点间的分度圆弧长。 2) 什么是「分度圆直径」？ 分度圆直径是齿轮的基准直径。 决定齿轮大小的两大要素是模数和齿数、 分度圆直径等于齿数与模数(端面)的乘积。 过去,分度圆直径被称为基准节径。最近,按标准,统一称为分度圆直径。 3) 什么是「压力角」？ 齿形与分度圆交点的径向线与该点的齿形切线所夹的锐角被称为分度圆压力角。一般所说的压力角,都是指分度圆压力角。 最为普遍地使用的压力角为２０°,但是,也有使用１４．５°、１５°、１７．５°、２２．５°压力角的齿轮。 4) 单头与双头蜗杆的不同是什么？ 蜗杆的螺旋齿数被称为「头数」,相当于齿轮的轮齿数。
一、电动机的选择与运动参数的计算 1. 电动机的选择 ① 电动机类型的选择 ② 选择电动机的容量 （1） 工作机所需功率 Pw=Fv/1000=4.16kw （见《机械设计课 程设计》P7?9） （2） 传动装置的总效率为:n = n 1 n 2…n n 按《机械设计课程设计》P8表2-2确定各部分的效率为：V 带传 动n 1=0.95 ;滚动轴承（每一对）效率：n 2=0.99，圆柱齿轮传 动效率n 3=0.96；弹性联轴器效率n 4=0.995,卷筒轴滑动轴承效 率:n 5=0.96.则： n =0.96*0.993*0.962*0.995*0.96 ?0.828 （3 ） 确定电动机的转速。 由转轮的线速度"晟（朋河推出转轮的速度为: 般选用同步转速为 1000 r/min 或1500r/min 的电动机作为 原动机 通常V 带传动常用传动范围i 仁2~4，圆柱齿轮3~6，则电机 转速 n d =n w i 带i 1i 2= （2*3?4*5 ） *95.497=572.982?1909.94 因载荷平稳，电动机的额定功率 Ped 大于Pd 即可，由表17-1选 Y132S-4型电动机，额定功率为 5.5kw ，转速为:n m =1440 r/min 6 104v = D 6 104 1.6 320 95.49
表2-5电动机主要性能参数、尺寸 ③计算传动装置的总传动比及分配各级传动比 ④ 2.3.1 总传动比：Q = n m=l440= 15.07 n w 95.49 ⑤分配各级传动比 选取V带传动的传动比：i带2，则i2为圆柱齿轮减速器的传动比。由i总i带i i i2, h 1.1i2 得：i1 2.87, i2 2.61 （4）计算机传动装置的运动参数和动力参数 0轴——电机轴 1轴一一高速轴 R T P0 1 n 。i 带 P o n o T o P d4.16kw n m 1440r / min P 9550」27.58N ?m 4.16 1440 2 9550 旦 n n o 0.95 720 9550遊 720 3.95KW r/m in 52.41N ?m
题目齿轮传动的设计 系别机械工程系 专业车辆工程 班级141 学生姓名周六圆 学号1608140134 指导教师陈丰 摘要 齿轮传动式机械中最重要的应用最广泛的一种传动形式，对齿轮传动的最基本要求是运转平稳且有足够的承载能力。齿轮传动具有承载能力大，效率高，允许速度高，尺寸紧凑寿命长等特点，因此传动系统中一般首先采用齿轮传动，并且齿轮机构可以用来传递在任意两轴间的运动和动力，是现代机器应用最广泛的一种机械传动机构。
1 传动装置总体设计 1.1设计任务书 1设计任务 设计带式输送机的传动系统，采用两级圆柱直齿齿轮减速器传动。 2 设计要求 （1）外形美观，结构合理，性能可靠，工艺性好； （2）多有图纸符合国家标准要求； （3）按毕业设计（论文）要求完成相关资料整理装订工作。 3 原始数据 （1）运输带工作拉力 F=4KN （2）运输带工作速度V=2.0m/s (3)输送带滚筒直径 D=450mm η （4）传动效率96 .0 = 4工作条件 两班制工作，空载起动，载荷平稳，常温下连续（单向）运转，工作环境多尘，中小批量生产，使用期限10年，年工作300天。 1.2 确定传动方案 图1-1(a)展开式两级圆柱齿轮减速器
图1-1(b) 同轴式两级圆柱齿轮减速器 方案（a ）为展开式两级圆柱齿轮减速器，其推荐传动比ī=8～40。展开式圆柱齿轮减速器的特点是其结构简单，但齿轮的位置不对称。高速级齿轮布置在远离转矩输入端，可使轴在转矩作用下产生的扭转变形和轴在弯矩作用下产生的弯矩变形部分地互相抵消，以减缓沿齿宽载荷分布不均匀的现象。 方案（b ）为同轴式两级圆柱齿轮减速器，其推荐传动比ī=8～40。同轴式圆柱齿轮减速器的特点是减速器横向尺寸较小，两对齿轮浸入油中深度大致相同。但轴向尺寸和重量较大，且中间轴较长、刚度差，使载荷沿齿宽分布不均匀，高速级齿轮的承载能力难于充分利用。 综合比较展开式与同轴式圆柱齿轮减速器的优缺点，在本设计中，我将采用展开式圆柱齿轮减速器为设计模版。 1.3电动机的选择 1.3.1 电动机的容量选择 根据已知条件可以计算出工作机所需有效功率 = w P 81000 .240001000=?=FV .0 kW 设 w η—— 输送机滚筒轴至输送带间的传动效率； c η—— 联轴器效率， c η=0.99 g η—— 闭式圆柱齿轮传动效率， g η=0.97
例1 设计用于带式输送机传动装置的闭式单级直齿圆柱齿轮传动。传递功率P=2.7kW ，小齿轮转速n 1=350r/min ，传动比i=3.57。输送机工作平稳，单向运转，两班工作制，齿轮对称布置，预期寿命10年，每年工作300天。 解：1. 选择齿轮精度等级、材料、齿数 1）带式输送机属于一般机械，且转速不高，故初选择8级精度。 2）因载荷平稳，传递功率较小，可采用软齿面齿轮。参考表5-6，小齿轮选用45钢调质处理，齿面硬度220~250HBS ，σHLim1=595MPa ，σFE1=230MPa ；大齿轮选用45钢正火处理，齿面硬度170~200HBS ，σHLim2=520MPa ，σFE2=200MPa 。 3）初选小齿轮齿数z 1=24，则z 2=iz 1=3.57×24=85.68，取z 2=87。故实际传动比i=z 2/z 1=87/24=3.62，与要求的传动比3.57的误差小于3%。 对于齿面硬度小于350 HBS 的闭式软齿面齿轮传动，应按齿面接触强度设计，再按齿根弯曲强度校核。 2. 按齿面接触强度设计 设计公式5-48 1d ≥1）查表5-8，原动机为电动机，工作机械是输送机，且工作平稳，取载荷系数K=1.2。 2）小齿轮传递的转矩 11 2.7955095507 3.671350 P N m n T =?=?=? 3）查表5-13，齿轮为软齿面，对称布置，取齿宽系数φd =1。
4）查表5-10，两齿轮材料都是锻钢，故取弹性系数Z E =189.8 MPa 1/2。 5）两齿轮为标准齿轮，且正确安装，故节点区域系数Z H =2.5，取重合度系数Z ε=0.9。 6）计算许用接触应力 N W X HLim H H Z Z Z S σσ??=?? ①应力循环次数 小齿轮N 1=60n 1jL h =60×350×1×(2×8×300×10)=10.08×108 大齿轮N 2= N 1/i=10.08×108/3.62=2.78×108 ②据齿轮材料、热处理以及N 1、N 2，查接触疲劳寿命系数图表，不允许出现点蚀，得接触疲劳寿命系数Z N1=1，Z N2=1，两齿轮均为软齿面故ZW=1，ZX=1。 ③一般传动，取安全系数S H =1.1。 ④计算许用接触应力 11115951540.91.1N W X HLim H H MPa Z Z Z S σσ???===??2222 5201427.71.1N W X HLim H H MPa Z Z Z S σσ???===?? 取小值[σH2]代入计算。 7）计算 1 81.56mm d = 8）计算主要尺寸 ①模数m=d 1/z 1=81.56/24=3.4mm 查表5-2，取标准值m=4mm 。 ②分度圆直径d 1=mz 1=4×24=96mm
模块九齿轮传动的设计与计算 【能力目标】具备齿轮传动机构的设计能力和维护保养能力 【课程内容】1.齿轮的形状、参数、加工及传动特点， 2.受力及失效分析，设计准则及设计计算， 3.材料选取与强度校核分析， 4.蜗轮蜗杆机构的设计计算分析。 【教学方法】通过观察了解齿轮传动的形式、工作特点，根据齿轮传动的失效形式，由给定的原始工作条件设计齿轮传动机构。 【教学手段】多媒体教学与实物实体模型示范分析解剖教学相结合 【教学地点】多媒体教室与齿轮拆装实训室、〝教学做合一〞实训中心 【教学重点】1.渐开线齿轮的主要参数及几何尺寸计算， 2.直齿圆柱齿轮的啮合传动， 3.蜗轮蜗杆传动。 【教学难点】1.渐开线齿轮的加工方法与根切， 2.标准齿轮的计算。 【实践内容】1.渐开线齿轮参数综合测定实验 2.齿轮范成化设计 【教学课时】理论5课时实践7课时 【理论授课内容】 齿轮传动特点、类型 一、齿轮传动的特点 齿轮传动用来传递任意两轴之间的运动和动力，其圆周速度可达300m/s,传递功率可达kW,齿轮直径可从1mm到150m以上，是现代机械中应用最广泛的一种机械传动。 齿轮传动的主要优点是： ①瞬时传动比恒定不变； ②机械效率高； ③寿命长，工作可靠性高； ④结构紧凑，适用的圆周速度和功率范围较广等。 齿轮传动的其主要缺点是：
①要求较高的制造和安装精度，成本较高； ②不适宜于远距离两轴之间的传动； ③低精度齿轮在传动时会产生噪声和振动 二、齿轮传动的类型、特点和应用 按照轮齿齿廓曲线的不同又可为渐开线齿轮、圆弧齿轮、摆线齿轮等。 按照工作条件的不同，齿轮传动又可分为开式齿轮传动和闭式齿轮传动。前者轮齿 外露，灰尘易于落在齿面，后者轮齿封闭在箱体内。 齿 轮 传 动 两轴平行 的齿轮（平面齿 轮传动） 圆柱齿轮 传动 直齿 外啮合 内啮合 齿轮齿条 斜齿 外啮合 内啮合 齿轮齿条 人字齿 两轴不平 行的齿轮机构 （空间齿轮传 动） 两轴相交 齿轮传动（锥齿 轮传动） 直齿 斜齿 曲线齿 两轴相交 错齿轮传动 交错轴齿轮传动 蜗轮蜗杆传动 齿廓啮合基本定律 一、齿廓啮合基本定律 不论两齿廓在任何位置接触，过接触点所作的两齿廓的公法线都必须与两轮的连心线交于一定点。 两齿轮圆心分别为O1、O2圆，两齿廓E1、E2啮合线也就是其公法线nn，nn与O1O2交于C点。可以推导出如下结果：
传动齿轮加工工艺设计 1.1、分析零件图 1、零件的作用 传动齿轮,，它是齿轮的一个主要一种，其功用是传递运动和运动方向，以适应传动机构运动的需要。 2、零件的工艺分析 传动齿轮零件如图所示，该零件主要加工表面及技术要求分析如下。 （1）同轴孔φ35H7，φ49H7和同轴外圆φ92.55k7, φ66的同轴度、径向圆跳动公差等级为8～9级，表面粗糙度为Ra≤1.6μm.。加工时最好在一次装夹下将两孔或两外圆同时加工。 （2）与基准孔有垂直度要求的端面，其端面圆跳动公差等级为7级，表面粗糙度为Ra≤3.2μm。工艺过程安排时应注意保证其位置精度。 （3）距中心平面74.5mm的两侧面,表面粗糙度为Ra≤6.3μm。 （4）φ35孔的尺寸精度要保证，但孔轴线的同轴度共差等级为9级及两孔公共轴线对基准孔（A1-A2）位置度公差值为0.06μm，应予以重视。 （5）各外圆位置度公差为，齿轮轮齿轮的跳动公差要保证。 （6）该零件选用材料为20CrMnTi，这种材料具有低碳合金钢的特性，切削性能和工艺性均较好。 由各加工方法的经济精度及一般机床所能达到的精度可知，该零件没有很难加工的表面，各表面的技术要求采用常规加工工艺均可达到。但是在加工过程中应注意齿轮端面的加工。 3零件图
图1 零件图 4热处理工序的安排 热处理工序主要用来改善材料的性能及消除应力。热处理的方法．次数和在工艺路线中的位置，应根据零件材料和热处理的目的而定。 齿轮加工工艺过程：毛坯的选择---热处理1---齿坯加工---齿面加工---齿端的加工---热处理2---精基准的修正。 2.3确定生产类型 已知零件的年生产纲领为10000件，零件质量约为3.6kg，查表1-1可知其生产类型为大批量生产，初步确定工艺安排的基本思路为：加工过程划分阶段；工序适当集中；加工设备以通用设备为主；大量采用专用工装。这样安排，生产准备工作投资较少，生产效率较高，且转产容易。 2.4确定毛坯 1、确定毛坯种类 根据零件材料确定毛坯为锻件。根据其桔构形状、尺寸大小、生产类型和材料性能，毛坯的铸
河南工业大学机电学院《机械基础》课程设计任务书
目录 一、设计任务书 (1) 二、概述 (2) 2.1 齿轮传动的特点和应用 (4) 2.2 齿轮传动的类型 (7) 2.3 齿廓啮合基本定律 (10) 三、原始数据及设计要求 (11) 四、设计过程 (12) 4.1选择精度等级 (13) 4.2选择材料与热处理及确定齿轮硬度 (13) 4.3确定设计公式及校核公式 (13) 4.4计算过程 (14) 4.5确定主要参数 (15) 4.6校核接触疲劳强度 (15) 4.7计算圆周速度 (16) 4.8结构设计及齿轮零件图 (17) 五、设计小结 (17)
二、概述 2.1 齿轮传动的特点和应用 齿轮传动是应用极为广泛的传动形式之一。 特点：能够传递任意两轴间的运动和动力，传动平稳、可靠，效率高，寿命长，结构紧凑，传动速度和功率范围广。但需要专门设备制造，加工精度和安装精度较高，且不适宜远距离传动。 2.2 齿轮传动的类型 齿轮传动的类型很多，按照两齿轮传动时的相对运动为平面运动或空间运动，可将其分为平面齿轮传动和空间齿轮传动两大类 齿轮传动的类型
2.3 齿廓啮合基本定律 齿轮传动要求准确平稳，即要求在传动过程中，瞬时传动比保持不变，以免产生冲击、振动和噪音。 不论齿廓在任何点接触，过接触点所作两齿廓的公法线必须与连心线交于一固定点，这就是齿廓啮合基本定律。 三、原始数据及设计要求 设计用于某减速器的一级直齿圆柱齿轮的齿轮传动，传递功率P=4KW，主动小齿轮的转速n1=1200r/min,传动比i=6，工作时有中等冲击，单向传动，两班制，使用10年。 设计过程 四、设计过程和结果如下所示： 4.1选择精度等级 该机械时一般工程机械，速度不是太高，故用6级精度。 4.2选择材料与热处理及确定齿轮硬度 制造齿轮的材料主要时各种钢材，其次是铸铁，还有其它非金属材料。 (1)钢 钢材可分为锻钢和铸钢两类，只有尺寸较大（d＞400～600），结构形状复杂的齿轮宜用铸钢外，一般都用锻钢制造齿轮。 软齿面齿轮多经调质或正火处理后切齿，常用45、45Cr等。因齿面硬度不高，易制造，成本低，故应用广，常用于对尺寸和重量无严格限制的场合。 由于在啮合过程中，小齿轮的轮齿接触次数比大齿轮多。因此，若两齿轮的材料和齿面硬度都相同时，则一般小齿轮的寿命较短。为了使大小齿轮的寿命接近，应使小齿轮的齿面硬度比大齿轮高出30～50HBS。对于高速、重载或重要的齿轮传动可采用硬齿面齿轮组合，齿面硬度可大致相同。
弧齿锥齿轮几何尺寸计算 名称代号小齿轮大齿轮 齿数比 u u=z2/z1（通常u=1~10） 大端分度圆直径 de1 de1=z1*me de2=z2*me 齿数 z z1 z2=z1*u 大端模数 me me1=de1/z1 me2=de2/z2 分锥度δδ1=90- δ2 δ2=arctanz2/z1 外锥距 Re Re1=de1/2sinδ1 Re2=de2/2sinδ2 齿宽系数ФR ФR=1/4~1/3常取0.3 齿宽 b b=ФR*Re适当取整 中点模数 mm mm=me（1-0.5ФR） 齿宽中点的螺旋角βm 等顶隙收缩齿的标准螺旋角βm=35°（0.610864722） 中点法向模数 mnm mnm=mm*cosβm 切向变位系数 xt xt1按表23.4-9选取 xt2= -xt1 径向变位系数 x x1=0.39（1-1/u*u） x2=-x1 齿形角 an an=20°（0.349065556） 齿顶高 ha ha1=（ha*+x1）me （ha*=0.85） Ha2=（ha*+x2）me 齿根高 hf hf1=（ha*+c*-x1）me hf2=（ha*+c*-x2）me 全齿高 h h1=ha1+hf1 h2=ha2+hf2 顶隙 c c=c*me （c*=0.188） 齿顶角θa θa1=θf2 θa2=θf1
齿根角θf θf1=arctanhf1/Re θf2=arctanhf2/Re 顶锥角δa δa1=δ1+θf2 δa2=δ2+θf2 根锥角δf δf1= δ1-θf1 δf2= δ2-θf2 齿顶圆直径 dae dae1=de1+2ha1cosδ1 dae2=de2+2ha2cosδ2 锥顶到轮冠距离 Ak Ak1=de2/2-ha1sinδ1 Ak2=de1/2-ha2sinδ2 中点法向齿厚 Smn Smn1=（0.5πcosβm+2xltanan+xtl）mm Smn2=πmmcosβm-Smnl 中点法向齿厚半角ψmn ψmn1=Smn1cosδ1cosβmcosβm/mm/z1 ψmn2=Smn2cosδ2cosβmcosβm/mm/z2 中点齿厚角系数Kψm n Kψmn1=1-ψmn1*ψmn1/6 Kψmn2=1-ψmn2*ψmn2/6 中点分度圆弦齿厚 /Smn /Smn1=Smn1Kψmn1 /Smn2=Smn2Kψmn2 中点分度圆弦齿高 /ham /ham1=ha1-0.5btanθf2+0.25Smn1ψmn1 /ham2=ha2-0.5btanθf1+0.25Smn2ψmn2