在特殊函数中的应用
1 作出0-4阶勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y0=legendre(0,x);
y1=legendre(1,x);
y2=legendre(2,x);
y3=legendre(3,x);
y4=legendre(4,x);
plot(x,y0(1,:),'g*',x,y1(1,:),'b+',x,y2(1,:),'ro',x,y3(1,:),'k:',x,y4(1 ,:),'r:')
>> legend('P_0','P_1','P_2','P_3','P_4');title('Legendre')
>>（仿真结果）
2 作出二阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y=legendre(2,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro')
>> legend('P_2^0','P_2^1','P_2^2')
3 作出三阶连带勒让德函数图形
>>x=0:0.01:1;
y=legendre(3,x);
plot(x,y(1,:),'g*',x,y(2,:),'b+',x,y(3,:),'ro',x,y(4,:),'k:') >>legend('P_3^0','P_3^1','P_3^2','P_3^3')
4 作出整数阶贝塞尔函数的图形
>>clear
y=besselj(0:5,(0:0.2:10)');
plot((0:0.2:10)',y)
ylabel('j_v(x)')
xlabel('x')
legend('J_0','J_1','J_2','J_3','J_4','J_5')
text(1,0.8,'J_0(x)')
text(2,0.6,'J_1(x)')
text(3,0.5,'J_2(x)')
text(4.2,0.4,'J_3(x)')
text(5.1,0.4,'J_4(x)')
>>text(6.5,0.4,'J_5(x)')
Legendre函数
2007年12月13日星期四 01:00
Legendre函数在解圆平台上电势场时必然遇到的，是在极坐标下考察纬度变量时必然会遇到的。
1. 氢原子波函数的角度部分：
用MATLAB来画一画：
l=0,m=0，即s轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y0n=legendre(0,cos(t),'sch');
polar(t,y0n(1,:).^2);
l=1,m=0,+1,-1 即p轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y1n=legendre(1,cos(t),'sch');
polar(t,y1n(1,:).^2,'r');
hold on;
polar(t,y1n(2,:).^2,'g');
l=2,m=0,+1,-1,+2,-2 即d轨道角度部分：
t=0:0.01:2*pi;
y2n=legendre(2,cos(t),'sch');
polar(t,y2n(1,:).^2,'r'); %d(z^2)
hold on;
polar(t,y2n(2,:).^2,'g');
polar(t,y2n(3,:).^2,'b');
Legendre多项式
函数
（7.12）
由于展开式
（7.13）
而称为Legendre（勒让德）多项式的母函数。展开项系数称为Legendre多项式，下节将证明它满足Legendre方程式（7.11）。称为阶。
将式（7.13）左边利用二项式定理展开，有
在上式中，含有的项只出现在含的项和以前各项中。在这些项中，将含的各项展成幂级数，并找出所有含的项，其系数合为
（7.13）
其中，
这是因为当时，求和中最低幂项是，当时，最低幂项是。Legendre多项式的具体形式写成
（7.14）Legendre多项式的另一微商表达式是Rodrigues（洛德利格）公式
（7.15）
（7.14）式和（7.15）的正确性可以代入Legendre方程式（7.11）直接证明。
由式（7.14）和（7.15）可得出前几阶Legendre 多项式具体形式
图7.1显示
在区间〔－1，1〕上的图形，一般有
图7.1 Legendre 函数4,40) 3, 2,1, 0, ( n x P n )( 第二类Legendre 函数
值得一提的式，Legendre 方程（7.11）应有另一个独立的解，这个解称为第二类Legendre 函数，记为 。其形式为
等一般的形式是
由于的对数形式，第二类Legendre函数在边界是无界的（并非全部）。因此不能构成Legendre方程的本征函数系，所以，对将不在作讨论。
Legnedre多项式的零点
的零点都是一阶的，全部位于区域〔－1，1〕内。且与的零点相互穿插，在的两个相邻零点之间必有一个的零点；反之亦然。
2.3 Legnedre多项式的性质
Legendre多项式的性质如下：
递推公式
① (7.16)
(7.17)
(7.18)
(7.19)
② (7.20)
对称性
③ (7.21)
