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勒让德多项式展开例题
《勒让德多项式展开例题》
勒让德多项式展开是一种常见的数学方法，用于将多项式分解成更小的多项式。
它通常用于解决积分和微分方程，以及计算数学表达式的值。
勒让德多项式展开的例题如下：
(x^2 + 2x + 1)^3 = x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1
这里，x^2 + 2x + 1 是一个三次多项式，x^6 + 6x^5 + 15x^4 + 20x^3 + 15x^2 + 6x + 1 是它展开后的结果，其中每一项都是由一个系数和一个幂次组成的。
勒让德多项式展开的公式是：(a_0 + a_1x + a_2x^2 + … + a_nx^n)^m = a_0^m + m*a_0^(m-1)*a_1x + m*(m-1)*a_0^(m-2)*a_1^2x^2 + … + a_n^mx^(mn)
该公式可以用来计算任何多项式的展开式，只要确定多项式的系数和指数即可。
勒让德多项式展开是一种强大的数学方法，它可以用来解决复杂的数学问题，如积分和微分方程，以及计算数学表达式的值。
此外，它还可以用来计算多项式的展开式，以及计算函数的极值点。
勒让德多项式证明题勒让德方程（Legendre equation）：(1−x2)y″−2xy′+n(n−1)y=0n∈N+实际上它也是在球坐标系下求解拉普拉斯方程（等方程）的时候出现的。
并且还有一点不一样。
但是勒让德方程的泛用性远远没有贝塞尔方程那么高。
求解关于x=0 的解。
易知，x=0 的方程的平凡点，则代入：y=∑n=0∞cnxn ,化简得:[n(n+1)c0+2c2]+[(n−1)(n+2)c1+6c3]x+∑k=0∞[(k+1)(k+2ck+2+(n−k)(n+k+1)ck)]xk =0得：{n(n+1)c0+2c2=0(n−1)(n+2)c1+6c3=0(k+1)(k+2)ck+2+(n−k)(n+k+1)ck=0∈{c2=−n( n+1)2!c0c3=−(n−1)(n+2)3!c1ck+2=−(n−k)(n+k+1)(k+1)(k+2)由于是二项递推，那么就只需要直接带进去就可以了：k=2c4=−(n−2)(n+3)4∈3c2=(n−2)n(n+1)(n+3)4!c0k=3c5=−(n−3)(n+4)5∈4c3=(n−3)( n−1)(n+2)(n+4)5!c1k=4c6=−(n−4)(n+5)6∈5c4=−(n−4)(n−2)n(n+1)(n+3)(n+5)6!c0k=5c7 =−(n−5)(n+6)7∈6c5=−(n−5)(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)(n+6)7!c1......由于最近的奇点是x=±1 ，那么至少在|x|<1 的区间上，就有两个不含任意常数的（特）解：y1(x)=1−n(n+1)2!x2+(n−2)n(n+1)(n+3)4!x4−(n−4)(n−2)n(n+1)(n+3)(n+5)6!x6+...y2(x)=x−(n−1)(n+2)3!x3+(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)5!x5−(n−5)(n−3)(n−1)(n+2)(n+4)(n +6)7!x7+...注意到y1(x) 与y2(x) 分子的连乘里面(n−k) 项并不是相同的，那么便可分奇偶讨论：n 为偶数时。
