勒让德多项式及球函数

球的表面积公式6种推导球是一种常见的几何体，在生活中我们经常会接触到它，比如足球、篮球、乒乓球等等。

球的表面积是一个比较基础的数学问题，不同的推导方法可以帮助我们更好地理解球体的结构和特性。

本文将介绍6种球的表面积公式的推导方法。

一、解析几何推导法球的方程为：x + y + z = r其中，r为球的半径。

我们可以通过对球的方程进行求导，得到球的面积公式：S = 4πr二、微积分推导法我们可以将球体分成无数个微小的面元，每个面元的面积为dS。

将所有面元的面积加起来，就可以得到球的表面积S。

假设球的方程为：x + y + z = r则球的面积可以表示为：S = dS = cosθdxdy其中，θ为面元法向量与z轴的夹角。

将球的方程代入上式，可以得到：S = 2πr∫[0,π]cosθsinθdθ = 4πr三、向量叉积推导法我们可以用向量叉积来推导球的表面积公式。

假设球心在原点，球的方程为：x + y + z = r可以将球面表示为：r(θ,φ) = rcosθsinφi + rsinθsinφj + rcosφk 其中，r为球的半径，θ为经度，φ为纬度。

i、j、k为标准基向量。

对于球面上的两个向量a和b，它们的叉积为：a ×b = rsinφ(cosθ1 - cosθ2)i + rsinφ(sinθ2 - sin θ1)j + r(sinφ/2)(θ2 - θ1)k其中，θ1、θ2为两个经度，φ为纬度。

我们可以将球面分成无数个小面元，每个小面元的面积为dS。

对于每个小面元，可以找到两个向量a和b，它们的叉积即为该小面元的面积。

将所有小面元的面积加起来，即可得到球的表面积公式： S = dS = rsinφdφdθ = 4πr四、球坐标系推导法球坐标系是一种常见的坐标系，它可以用来描述球体的结构和特性。

在球坐标系下，球的方程为：r = r其中，r为球的半径，θ为极角，φ为方位角。

球的面积可以表示为：S = dS = rsinφdφdθ = 4πr五、三重积分推导法我们可以用三重积分来推导球的表面积公式。

勒让德函数（Legendre functions）是一类特殊的数学函数，它们是勒让德微分方程的解。

勒让德函数在物理学和工程学等领域中具有广泛的应用，特别是在描述球形对称问题和电势分布中常被使用。

勒让德函数包括勒让德多项式和勒让德球谐函数两种形式。

1. 勒让德多项式（Legendre polynomials）通常表示为Pn(x)，其中n是多项式的次数。

勒让德多项式具有以下特点：
-是关于自变量x的多项式；
-是正交函数，即在一定区间上的内积为零；
-满足勒让德微分方程。

2. 勒让德球谐函数（Legendre spherical harmonics）通常表示为Ylm(θ, φ)，其中l和m 是整数，θ和φ是球坐标系中的角度。

勒让德球谐函数具有以下特点：-描述球形对称问题中的解；
-与勒让德多项式有关，也涉及球坐标系的角度。

勒让德函数可以通过递推关系、积分定义和级数展开等方式求解。

它们在物理学中的应用包括描述量子力学中的杂化原子轨道、球形边界值问题中的电势、地球的引力场等。

此外，勒让德函数还与球面谐振子、球谐函数叠加和球形天体力学等领域密切相关。

第十三章 勒让德多项式 球函数（13）一、内容摘要1．幂级数解法：就是在某个任意点0z 的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数。

不失一般性，我们讨论复变函数()w z 的线性二阶常微分方程的级数解：()()()()2200010, 'd w dw p z q z w dzdzw z C w z C ++===．如果函数()p z 和()q z 在点0z 的领域中解析，则称0z 为方程的常点，如果0z 是函数()p z 或()q z 的奇点，则称0z 为方程的奇点。

定理:如果函数()p z 和()q z 在点0z 的邻域0z z R -<中解析, 则常微分方程在圆0z z R -=内存在唯一的满足相应定解条件的解析解。

既然在常点的邻域内存在唯一的解析解，就可以把它在该邻域内表示为Taylor 级数形式：()()00kk k w z a z z ∞==-∑。

2．勒让德方程的级数解:（1）0m =时的连带Legendre 方程称为Legendre 方程()()2221210d ydy x xl l y dxdx--++=由幂级数解法可得()0kkk y x ax∞==∑的系数的递推公式：()()()()()()()()21112121k k k k k l l k l k l a a a k k k k ++-+-++==++++这样l 阶Legendre 方程的级数解是：()()()()()()()()00112031;11,2!12.3!y x a y x a y x l l y x x l l y x x x =+-+=++-+=++可以判断l 阶 Legendre 方程的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散且在1x =±处发散。

由递推公式易知，当0,1,2l = 时，()0y x 和()1y x 必定有一个成为l 次多项式。

这样我们就可以得到满足自然边界条件的幂级数解。

最新勒让德（legendre）多项式及其性质勒让德（legendre ）多项式及其性质⼀．勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德⽅程的通解推导出来的，所以我们⾸先引⼊勒让德⽅程，以及勒让德⽅程的幂级数解，勒让德⽅程的表达式如下：2'''(1)2(1)0x y xy n n y --++= 其中n 为⾮负实数（1.1）它的幂级数解如下：12y y y =+ （1.2）其中：2241200(1)(2)(1)(3)[1]2!4!kk k n n n n n n y a x a x x ∞=+-++==-+∑ （1.3）213522110(1)(2)(1)(3)(2)(4)[]3!5!k k k n n n n n n y a xa x x x ∞++=-+--++==-++∑ （1.4）由达朗贝尔判别法可知，当0n ≥不为整数时，这两个级数的收敛半径为1，在（1.3）式和（1.4）式中，0a 与1a 可以任意取值，它们起着任意常数的作⽤，显然，在区间（－1，1）内1y 和2y 都是⽅程（1.1）的解，所以（1.2）是（1.1）的通解。

上⾯（1.3）和（1.4）幂级数当||1x <时级数收敛，此外级数是发散的。

并且，我们发现，当n 取⾮负整数时，1y 和2y 中有⼀个便退化为n 次多项式，它就是⽅程（1.1）在闭区间[-1,1]上的有界解。

此时，适当的选定这个多项式的最⾼次幂系数n a ，所得的多项式称为n 阶勒让德多项式或第⼀类勒让德函数，记作()n P x ，下⾯我们来推导勒让德多项式()nP x 的表达式。

①当n 为正偶数时1y 退化为n 次多项式。

为求得()n P x 的表达式，在1y 中我们通过n a 来表⽰其它各项的系数。

为此，将系数递推关系式改写成下列形式：2(2)(1)()(1)k k k k a a k n k n +++=-++ （1.5）在（1.5）式中取2kn =-，得：n n n n a a n --=-- （1.6）习惯上取n a 为 2(2)2(!)n nn a n = （1.7）于是有：2(1)2(21)(22)!2(21)2(1)!(1)(2!)n n n n n n n a n n n n n n ----=-----(22)!2(1)!(2)!nn n n -=--- （1.8）在（1.5）式中取4kn =-，并利⽤2n a -之值得：42(2)(3)4(23)n n n n a a n ----=--2(2)(3)(22)!(1)4(23)2(1)!(2)!n n n n n n n ---=----2(24)!(1)2(2!)(2)!(4)!nn n n -=--- （1.9）⼀般地，我们有()()222!12!()!(2)!mn m n n m a m n m n m --=--- （0,1,,2nm =）（1.10）我们将这些系数带⼊（1.3）中，并把此时的1y 记作()n P x ，可得：(22)!()(1)2!()!(2)!n mn mn n m n m p x x m n m n m -=-=---∑ （1.11）这就是当n 为正偶数时勒让德多项式。

§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=，在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=，其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数，它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ，()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程：()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=，当m=0，方程退化为勒让德方程：()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题：m=0，意味着Φ=常数，与φ（方位角）无关，这在物理上代表轴对称问题。

其中（1）受边界条件“在x =1处有限”的限制，构成本征值问题，本征值：()1l l +本征函数：()0y x ，当l 为偶数，()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ，当l 为奇数，()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑，()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为：()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式，反推全部系数，可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此，可将勒让德方程的解可以表示为：()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数，为奇数勒让德多项式举例：()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ ， 1. 基本性质（1）()21n P x +为奇，()2n P x 为偶（2）()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅（3） ()()()11,11ll l P P =-=- （4）()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式（Rodriguez ） 证明：()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理，经l 次求导，凡是幂次小于lx 的项最后都为0，所以最后结果值保留不小于l 次幂的项，即22l k l -≥，即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰，令()()21l f x x =-，由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路，此积分叫做施列夫利积分；将c 取为圆心在z=x ，半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中，可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1，很容易求得()11l P =；当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外，()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤（前提是11x -≤≤，但cos x θ=，所以肯定11x -≤≤）4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者：()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模：若k l =，有：()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为：2l N ，即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族，任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ，（只有第一类间断点，且是有限个第一类间断点，有限个极值点） 都可以以()l P x 为“基矢”展开，即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性，展开系数l C 可以用前述正交性求得：()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证：把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述：勒让德多项式()l P x 的正交、完备性，使之可以作为“基矢”，任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开，这样的性质类似于傅里叶级数展开，称之为广义傅里叶展开。