第三讲 一元二次方程的判别式与表达式

一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆.（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.k x k x x 有实根，求方程已知关于0132=--a x a x a x 为一元二次方程，求方程已知关于03)2(2=++-数根？）方程有两个不等的实（数根？）方程有两个相等的实（？）方程只有一个实数根（为何值时，当的方程例：已知关于32101)1(2)2(2m m x m x m x =++---的值。

求没有实数根求的值。

有两个相等的实数根，，有两个不相等的实数根的一元二次方程关于为整数、已知n m n x m x n x m x n x m x x n m ,01)4(06)4(03)7(,,2222=++--=++++=++-+2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0. 根与系数的关系（韦达定理）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅-=+acx x a bx x 2121常见变形：2212x x += 1211x x +=12(5)(5)x x -- =12||x x -==+3231x x例1、若1x 和2x 分别是一元二次方程03522=-+x x 的两根．（1）求12||x x -（2）求221211x x +（3）求3231x x +变式训练1、212,046x x m x x x 有两个实数根的一元二次方程已知关于=++-（1）的取值范围求m（2）的值求满足若m x x x x ,23,2121+=例2、设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程20x qx p ++=的两实根，则p = ，q = ．变式训练1、。

cte471uip
一元二次方程判别式
• • • • 做练习：不解方程试判断下列方程的根的情况 2 （1）3x -7x+2=0 （2）9x2 +6x+1=0 2 （3）2x -（2+√2）x+3+√2=0 例2：关于x的方程2x2 +mx-2=2x-m，当m为何值时方程 有两个相等的根？并求出它的根 解；原方程可以整理成；2x +（m-2）x+m-2=0 a=2, b=m-2, c=-2+m ，b-4ac=（m-2）-4×2（-2+m） 据题意有m -12m+20=0∴m1=2， m2 =10 当m=2时，x1 =x2 =0；当m=10时x1=x2 =-2
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax +bx+c=0 （a≠0）的根与b -4ac的 符号有会么关系？ 因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 2 -b ± √b -4ac x= 2a 2 故对于方程ax +bx+c=0 （a≠0）有下列关系： 当b -4ac≥0时，方程有两个不相等的根 2 2 -b+√b -4ac -b-√b -4ac x2= x1= 2a 2a b 2 当b-4ac=0时，方程有两个相等的根x1=x2 = 2a 2 2 当b - 4ac＜0时，方程没有实数根.
2
2
一元二次方程判别式
• 二、例1，不解下列方程判别下列方程的根的情况 1 2 2 2 • （1）3x -4x+7=0 （2） x +x+1=0 （3）2x- √6x-1=0 4 1 解：a= 4 ，b=1， 解：a=2 解：a=3， c=1 b=√6，c=-1 2 b=-4，c=7， b -4ac 2 2 1 b -4ac b -4ac =1-4× 4 ×1=0， =6-4×2×（-1） 所以原方程有两 =16-4×3×7 ＜0 个相等的实数根 =14＞0，所以原 所以原方程没有实 方程有两个不相 数根 等的根

感谢您的观看
计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。

有什么关系？
一元二次方程判别式
• 猜一猜：对于一般ax2+bx+c=0 （a≠0）的根与b -24ac的 符号有会么关系？
因为ax2 +bx+c=0（a≠0）的求根公式是 x= -b±√b -24ac 2a
故对于方程ax2 +bx+c=0 （a≠0）有下列关系：
当b2-4ac≥0时，方程有两个不相等的根
b2-4ac =6-4×2×（-1）
所以原方程没有实
个相等的实数根 =14＞0，所以原
方程有两个不相
以把它叫一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别 式。记作“△”读作“delta”
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争取权利。 （12）就当矿难的悲哀正在褪去的时候，媒体上一个很不起眼报道终于被我看到了。 一个名叫常远的 律师，带领着自己的小团队义务承揽下了所有死难矿工的索赔事务。这条很小的信息，却因为这个熟悉而又陌生的名字而让我震惊。 （13）我立刻致电李信律师的时候，他确认道“没错，就是他，我也很佩服这小子。” （14）“您觉得他接这个案子是为了出名吗？”我问道。 （15）“还真不 是。你记得他曾经在青海一个矿区的酒吧演出过一段时间吧。”老李继 续说道。 “那地方就在茫崖。听常远的爸说，常远在那生活的一段时间，很了解矿工们的生活状况。他自己后来跑回来要继续考律师时就跟他爸说，以后要帮请不起律师的穷人打官司。” （16）我听老李说完这些，沉默了 许久，最后，我发自内心地说了一句：“后生可畏啊！” （17）电话那头老李肯定地重复道：“后生可畏！” （选自《新华文摘》2016年第13期，有删改） （1）文中写到常远的哪些经历？请按顺序补充完整 ﹣﹣﹣被迫备考律师﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣帮助穷人打官司 （2）读文中 划线句子，完成题目 ①简析第一段中划线句子的描写手法及其表达效果 ②第十二段中划线句子为什么说“我”对常远的名字熟悉而又陌生 （3）联系内容分析，常远的哪些品质让“我”和老李觉得“后生可畏”？ （4）小说主人公是常远，作者却以大部分内容写“我”和老李，这样写有什么 好处？ 代谢：12、（1）想当摇滚乐手 继续备考律师 承揽死难矿工索赔 （2）①这个句子运用了神态与动作描写，形象生动地表现出看书备考的常远心不在焉，为下文“我”和老李对年轻人的感慨作铺垫； ②因为在报上看到常远的名字与事迹之前，我对他的爱好及经历已有所了解，所以说“ 熟悉”；但我所知道的常远是一个不务正业，与父母反叛，不愿作律师的青年，现在他不仅当上了律师，还自愿免费为穷苦人打官司，让我惊讶，所以说“陌生”． （3）①他个性鲜明，有主见．父亲让他当律师，而他却根据自己的爱好选择当一名摇滚乐手．②他有社会责任感，勇于担当．他 到青海茫崖矿区演出，了解到矿工生活状况后，就决定回来考律师，为请不起律师的穷人打官司．③他不计名利，有奉献精神．矿难发生，他带领律师团队，义务为矿工打官司． （4）①“我”和老李的对话构成小说的基本框架．先写我们“上辈人”对他的不满，再写对他的佩服，先抑后扬， 波澜起伏，曲折有致．②通过“我”和老李的叙述侧面描写了常远这个有个性、敢于担当的人物形象，真实可信，给人以宽广的想象空间．③通过“我”和老李的态度变化，表现了要正确看待年轻人这一主题． （2017山东枣庄）8．（15分）阅读下面文章，完成下面各题 嘱托 格?鲍姆特 就在 彼得动身前往华沙参加一九五五年世界青年联欢节的前一晚，有人来敲门。原来是一位邻居。他从衣兜里掏出一个红色的小包包，然后摆在桌面上，摊开来。里头是一张相片、一封信和一张字条。 他讲述了有关这个红小包的一段经历﹣﹣ 一九三九年，第二次世界大战爆发后，德国法西斯的第 一个目标就是波兰。这样，大批的波兰人被弄到德国去。那时候，这位邻居正在一家锯木厂当工人，他曾答应帮助一个波兰囚犯实现他的托付。 一天，锯木厂的一个工棚失火了。人们都在交头接耳，心里明白是囚徒们干的好事，他们想用这样的方式把斗争进行下去。一群身穿黑制服的党卫队员 朝工厂一拥而入，带走了许多做苦工的囚犯。 当党卫队员冲进邻居工作的那个车间时，他正与那位囚犯在干活，这位波兰人迅速地从裤兜里摸出一个红色的小包包，塞到德国工人的手里，“老婆和孩子……多替我问候﹣﹣要是战争完蛋了。”他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话，党卫队就 把他带走了，作为对这次纵火的报复。 一九四六年夏天，这位邻居发了一封信给囚犯的太太，她的地址就写在那张纸条上。可是，他并没有得到回音。一年半之后，他又试图再投一信﹣﹣然而，一切依旧是徒劳的。现在好了，终于有了这一天，他可以托人将这个小包包直接带到波兰去。这位邻 居把小红包郑重地递给彼得。 彼得注视着这张相片。相片上是一位妇女，手里抱着一个大约两岁左右的小姑娘。信呢，不言而喻是遇害者留给他家属的最后诀语。在那个小小的纸片上，用大大的字迹写着这样一个地址：“Z和M?尼波耶夫斯卡华沙斯巴索夫斯基大街十八号”。 “一定的，我会去 找她的，并将事情的一切转告她，这件事您完全可以信赖我。”彼得说。 那时候，当这位邻居把这个小红包交给他的时候，彼得觉得一切都很简单：只要去到华沙，把事情一讲，东西一交，不就完了嘛！然而，当彼得后来抵达那条街的时候，十八号的门牌怎样找也找不到。在那块空地上，从前 确实有过十二至二十六号门牌的房子，现在只见一群孩子在空地上踢着足球。在警察所，彼得也得不到一点答复。她们现在究竟住在哪儿呢？这个，彼得反而横下一条心，非找到她们不可了。 来到华沙，彼得有一种难以形容的求知的渴念，他见得越多，什么活动都想参加一下的要求就更大。 大约在联欢节开始后一个星期，他的朋友们建议他去与一些波兰小伙子和姑娘相会一下。开头他想不太好吧，但朋友们干脆连拉带扯地把他推拥走了。跳舞的时候，每个人都得找个舞伴，这时在彼得而前就站着一位姑娘，她羞赧地望着他，并且邀请他跳舞。就这样，德国、波兰的小伙子和姑娘 们相聚在一起。他们尽力地用手势比划着交谈，大伙笑着，欢快地跳着。 自这个晚上邂逅相遇后，彼得与玛留莎每天都要相会。 世界青年联欢节的最后一天终于到来了，整个华沙城都陷入一片欢腾之中，在大广场上，阿拉伯青年与瑞典青年，中国青年与黑人青年，伊朗青年与德国青年都在纵 情地载歌载舞地狂欢，然后他们慢慢地拥向火车站。 彼得伴随玛留莎在火车站站台上来来回回地溜达，广播员用广播催促大家赶快上车，彼得才恋恋不舍地攀上了车厢，将身子从车窗里探出来。他们相互凝视着，一时无言以对。 “地址，”玛留莎突然想起来，她的喊声就象呼救那样。 彼得摸 出笔记本，撕下一页，将他的地址记在上面。这时，他一下子才想起了那个小红包，于是赶忙把它掏出来。 “玛留莎，请帮助找一找，”他说，然后把这个小红包按在她的手心上。 “打开看看！”他大声说，他见她一时还未领悟他的意思。 她打开这个小红包，念起来了。火车慢慢地挪动了。 玛留莎脚下象是生了根似的，粘住了。她几乎要被那些跟着火车而跑的人撞倒。“玛留莎，”彼得喊了她一声。玛留莎抬起头来一望，开始随火车跑起来，接着她停下脚来，摆着手，手里的那块红包纸就象一方告别的红头巾。彼得还在望着她，一时间留给他最深的印象是，她整个脸庞都叫泪水 湿透了。 “为什么她哭得这样厉害？”彼得思忖着，这时他已缩在一个角落里。“我将给她写信，”他这样想着。彼得拿出她的地址来，他念着念着，脸色越变越白，一直白到额头。原来，上面留下这样的名字：“玛留莎?尼波耶夫斯卡”，也就是那个小红包里的纸条上写着的名字。 （1）谈 谈本文以“嘱托”为题的含义。 （2）划线的段落在文中有什么作用？ （3）发挥想象，请将下面句子中省略号的内容补充出来。 “老婆和孩子……多替我问候﹣要是战争完蛋了。” （4）赏析下面句子的表达效果。 ①他脸急得煞白，压低嗓门刚说出这几句话…… ②他念着念着，脸色越变越 白，一直白到额头。 （5）小说的构思富有特色，请简要谈谈你的理解。 【分析】本文以“嘱托”为题，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯战士的尊重和敬意． 【解答】（1）本题考查标题的含义及阅读感悟表达的能力．解答此题关键要理解文章内容， 标题中的关键词往往为一种具体事物，具有多层含义，除了表面上意义之外，文章还赋予了它更深刻的内涵，要深入思考结合主旨挖掘出来．结合文章内容，可以看出以“嘱托”为题，高度概括了本文的主要故事情节，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯 战士的尊重和敬意． （2）本题考查对段落作用的分析能力， 要从内容和结构两方面考虑． 内容是一般是对前文内容的总结或补充，或者引起下文．结构上根据位置不同，作用也不同来区分．划线的段落点明故事发生的背景，交代事件的起因，推动情节的发展，为下文的嘱托做铺垫． （3） 本题考查标点符号的使用能力．解答时学生需要读懂全文，根据人物的对话，推断出省略的内容．示例：如果战争结束了，拜托您按照字条上的地址把相片和信交给我的家人，告诉她们这里发生的一切．我爱她们，请她们多保重． （4）本题考查对重点句子的赏析能力．赏析句子时首先考虑运 用了描写，还是使用了修辞，或者词语运用准确．然后结合句子的含义内容进行赏析． ①运用动作和神态描写，写出了这位波兰人在当时危机情形下的孝心和急切．②运用神态描写，写出了彼得的震惊之情． （5）本题考查对文本的理解与分析能力．解答时，结合全文进行分析摘录即可．本文 以小红包为线索，两次设置悬念，把小说情节推向高潮；小说的结尾安排巧妙，出人意料却又在情理之中，引人入胜． 代谢：（1）以“嘱托”为题，高度概括了本文的主要故事情节，表现了波兰人英勇无畏的斗争精神；通过完成”“嘱托”表达了对反法西斯战士的尊重和敬意． （2）点明故 事发生的背景，交代事件的起因，推动情节的发展，为下文的嘱托做铺垫． （3）示例：如果战争结束了，拜托您按照字条上的地址把相片和信交给我的家人，告诉她们这里发生的一切．我爱她们，请她们多保重． （4）①运用动作和神态描写，写出了这位波兰人在当时危机情形下的孝心和急 切．②运用神态描写，写出了彼得的震惊之情． （5）