数理统计中的随机抽样和抽样分布——概率论知识要点
概率论作为数理统计的基础，是研究随机现象及其规律的数学分支。在数理统计中，随机抽样和抽样分布是非常重要的概念，本文将对这两个概念进行详细介绍和解释。
一、随机抽样
随机抽样是指从总体中以随机的方式选择样本的过程。在进行随机抽样时，每个个体被选中的概率应该是相等的，这样才能保证样本的代表性和可靠性。随机抽样的方法有很多种，常用的包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
1. 简单随机抽样
简单随机抽样是最基本的抽样方法，它的特点是每个个体被选中的概率相等且相互独立。简单随机抽样可以通过随机数表、随机数发生器等工具来实现。在实际应用中，简单随机抽样常用于总体规模较小的情况。
2. 分层抽样
分层抽样是将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本。这种抽样方法可以保证不同层次的个体在样本中的比例与总体中的比例相同，从而提高样本的代表性。
3. 系统抽样
系统抽样是按照一定的规则从总体中选取样本的方法。例如，可以按照一定的间隔从总体中选择样本，这个间隔称为抽样间隔。系统抽样的优点是操作简便，但也存在可能引入系统误差的风险。
二、抽样分布 抽样分布是指在随机抽样的基础上，通过大量重复抽样得到的统计量的分布情况。在数理统计中，常用的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布等。
1. 正态分布
正态分布是一种重要的抽样分布，它具有对称、单峰和钟形曲线的特点。在大样本情况下，根据中心极限定理，样本均值的分布接近于正态分布。正态分布在数理统计中的应用非常广泛，例如用于估计总体均值和总体方差等。
2. t分布
t分布是用于小样本情况下的抽样分布。它相比于正态分布来说，具有更宽的尾部和更矮的峰值。t分布的形状取决于自由度，自由度越大，t分布越接近于正态分布。t分布在小样本情况下的参数估计和假设检验中经常被使用。
3. F分布
F分布是用于比较两个样本方差是否显著不同的抽样分布。F分布的形状取决于两个样本的自由度，它具有右偏和非对称的特点。F分布在方差分析和回归分析等领域有着广泛的应用。
第五章 抽样与抽样分布
一、单项选择题(以下每小题各有四项备选答案，其中只有一项是正确的。)
1．抽样推断的主要目的是( )。
A．用统计量来推算总体参数 B．对调查单位作深入研究
C．计算和控制抽样误差 D．广泛运用数学方法
[答案] A
[解析] 抽样调查是指从总体中按随机原则抽取部分单位作为样本，进行观察研究，并根据这部分单位的调查结果来推断总体，以达到认识总体的一种统计调查方法，因此，抽样推断的主要目的是用已知的统计量来推算未知的总体参数。
2．抽样调查中，无法消除的误差是( )。
A．抽样误差 B．责任心误差 C．登记误差 D．系统性误差
[答案] A
[解析] 抽样误差是指在遵循了随机原则的条件下，不包括登记误差和系统性误差在内的，用样本指标代表总体指标而产生的不可避免的误差。
3．在其他条件相同的情况下，重复抽样的抽样平均误差和不重复抽样相比，( )。
A．前者一定小于后者 B．前者一定大于后者
C．两者相等 D．前者可能大于，也可能小于后者
[答案] B
[解析] 以抽样平均数的抽样平均误差为例进行说明：在重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：；在不重复抽样条件下，抽样平均数的平均误差的计算公式：。因为，故。
4．拟分别对甲、乙两个地区大学毕业生在试用期的工薪收入进行抽样调查。据估计甲地区大学毕业生试用期月工薪的方差要比乙区高出一倍。在样本量和抽样方法相同的情况下，甲区的抽样误差要比乙区高( )。
A．41.4% B．42.4% C．46.8% D．48.8%
[答案] A
[解析] 假设乙地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为σ2，甲地区的大学毕业生试用期月工薪的方差为2σ2，则：，那么，在样本量和抽样方法相同的，情况下，甲区的抽样误差要比乙区高=41.4%。
统计学简答题及参考答案
1.简述描述统计学的概念、研究内容与目的。
概念：它是研究数据收集、整理和描述的统计学分支。
研究内容：搜集数据、整理数据、展示数据和描述性分析的理论与方法。
研究目的：描述数据的特征；找出数据的根本数量规律。
2.简述推断统计学的概念、研究内容与目的。
概念：它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计学分支。
研究内容：参数估计和假设检验的理论与方法。
研究目的：对总体特征作出统计推断。
总体和样本？
总体是指所研究的全部个体(数据)的集合，其中的每一个元素称为个体〔也称为总体单位〕。
可分为有限总体和无限总体：
•有限总体的范围能够明确确定，且元素的数目是有限的，可数的。
•无限总体所包括的元素数目是无限的，不可数的。
总体单位数可用N表示。
样本就是从总体中抽取的一局部元素的集合。构成样本的元素的数目称为样本容量，记为n 。
4.什么是普查？它有哪些特点？ 普查就是为了特定的研究目的，而专门组织的、非经常性的全面调查。它有以下的特点：
1) 通常是一次性或周期性的
2) 一般需要规定统一的标准调查时间
3) 数据的标准化程度较高
4) 应用范围比拟狭窄。
5.什么是抽样调查？它有哪些特点？
抽样调查是指从总体中随机抽取一局部单位作为样本进展调查，并根据样本调查结果来推断总体特征的数据搜集方法和统计推断方法。
它具有经济性好、时效性强、适应面广、准确性高等特点。
6.简述统计调查方案的概念及应包括的根本内容。
答：统计调查方案就是统计调查前所制订的实施方案，它是指导整个调查过程的纲领性文件，是保证调查工作有方案、有组织、有系统地进展的方案书。
它应包括的根本内容有：
〈1〉明确调查目的；
〈2〉确定调查对象和调查单位；
〈3〉设计调查工程；
〈4〉设计调查表格和问卷；
〈5〉确定调查时间；
〈6〉组织实施调查方案； 〈7〉调查报告的撰写，等等。
7.简述统计分组的概念、原那么和具体方法。
抽样方法与总体分布的估计
一、高考考点梳理
1.随机抽样
例1.对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则（ ）
A.p1=p2
2.用样本估计总体
通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的频率分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征
（1）用样本的频率分布估计总体的频率分布
①频率分布直方图的理解
a.纵轴表示组距频率，即小长方形的高=组距频率；
b.小长方形的面积=组距×组距频率=频率；
c.数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积总和等于1.
②频率分布折线图
a.频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图；
b.总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数不断增多，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近一条光滑曲线，即总体密度曲线。
③茎叶图的特点
茎是指中间的一列数，通常为十位；
叶是从茎的旁边生长出来的数，通常为个位。
（2）用样本的数字特征估计总体的数字特征
①平均数、中位数、众数
数字特征
样本数据
平均数 样本数据的算数平均数
中位数 将数据按大小顺序依次排列，
处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
众数 出现次数最多的数据
②样本方差与标准差
设样本的元素为nxxx,,,21，样本的平均数为x，则
a.样本方差：
2222121sxxxxxxnn
b.样本标准差：
222211sxxxxxxnn
③关于平均数、方差的有关性质
a.若nxxx,,,21的平均数为x，则a,,,21nmxamxamx的平均数为axm；
