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函数的三要素

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函数的三要素复习专题

学习目标：

1. 了解构成函数的概念及其三要素,会求一些简单函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法，能根据不同的要求选择恰当的方法表示简单的函数。3．了解分段函数，能用分段函数来解决一些简单的数学问题。

一、函数1．定义：2．函数的三要素为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函数。3．函数的表示法有 、 、 。

类型一：函数的概念

例1.下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）.A. 1,xyyx B. 211,1yxxyxC. 33,yxyx D. 2||,()yxyx变式训练1：下列函数中，与函数y=x相同的函数是 （ ）

A.y=xx2 B.y=(x)2 C.y=lg10x D.y=x2log2

变式训练2： 已知集合{|02}Mxx，{|02}Nyy，再给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（ ）

变式训练3： 已知下列几组函数，其中表示同一函数的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

①2,fxxgxx； ②33,fxxgxx；

③21,11xfxgxxx； ④211,1fxxxgxx； 典型例题 基础过关 ⑤221fxxx，221gttt．

类型二：解析式的七种方法：

1、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1 设)(xf是一次函数，且34)]([xxff，求)(xf

2、配凑法：已知复合函数[()]fgx的表达式，求()fx的解析式，[()]fgx的表达式容易配成()gx的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数()fx的定义域不是原复合函数的定义域，而是()gx的值域。

例2 已知221)1(xxxxf )0(x ，求 ()fx的解析式

3、换元法：已知复合函数[()]fgx的表达式时，还可以用换元法求()fx的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3 已知xxxf2)1(，求)1(xf

4、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。

例4已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式

5、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5 设,)1(2)()(xxfxfxf满足求)(xf

例6 设)(xf为偶函数，)(xg为奇函数，又,11)()(xxgxf试求)()(xgxf和的解析式

6、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。

例7 已知：1)0(f，对于任意实数x、y，等式)12()()(yxyxfyxf恒成立，求)(xf

7、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。

例8 设)(xf是定义在N上的函数，满足1)1(f，对任意的自然数ba, 都有abbafbfaf)()()(，求)(xf

类型三：求函数的定义域：

1、若已知函数解析式，且没有特别要求定义域，则函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围．

当fx是整式时，定义域是全体实数；

当fx是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数；

当fx是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负实数的集合；

当fx是对数函数时，满足真数大于零；当对数或指数函数的底数中含参数时，底数须大于零且不等于1；

2、已知fgx的定义域为A，求fx的定义域，实质上求gx在A上的值域；已知函数fx的定义域为A，求函数fgx的定义域，实质上使gxA，解不等式即可．（定义域问题经常作为基本条件出现在试题中，具有一定的隐蔽性．所以在解决函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点．）

例1. 求下列函数的定义域：

（1）y=xxx||)1(0; (2)y=232531xx; (3)y=1·1xx.

变式训练1：求下列函数的定义域：

（1）y=212)2lg(xxx+(x-1)0 ; (2)y=)34lg(2xx+(5x-4)0;

例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域.

（1）y=f(3x); (2)y=f(x1);

(3)y=f()31()31xfx; (4)y=f(x+a)+f(x-a).

变式训练2：若函数f(x)的定义域是［0，1］，则f(x+a)·f(x-a)（0＜a＜21）的定义域是 （ ）

A. B.［a，1-a］ C.［-a，1+a］ D.［0，1］

类型四、求函数的值域：

一、直接法：（从自变量x的范围出发，推出()yfx的取值范围）

例1．求函数2xy的值域。

二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()Fxafxbfxc的函数的值域问题，均可使用配方法）

例2．求函数242yxx（[1,1]x）的值域。

三、反函数法

当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例3.求函数21xxy的值域。

四、判别式法

若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

例4求函数132222xxxxy的值域。

五、比例法 对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。

例5已知yx,∈R，且0543yx,求函数22yxz的值域。

六、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）

例6．求函数125xyx的值域。

七、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，如yaxbcxd（a、b、c、d均为常数，且0a）的函数常用此法求解。

例7．求函数212yxx的值域。

八、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数0kxkxy的值域（kx0时为减函数；kx时为增函数））

例8．求函数12yxx的值域。

九、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域) 例9求函数2211xyx的值域。

十、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）

例10．求函数11xxy的值域。

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专题1.1 函数概念及三要素(教师版)

专题1.1 函数概念及三要素(教师版)

第一讲 函数的概念及三要素

1．函数与映射

函数 映射

两个集合A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合

对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应 如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y与之对应

名称 称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法 函数y＝f(x)，x∈A 映射：f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 【套路秘籍】---千里之行始于足下

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

考向一 函数、映射的判断

【例1】（1）若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )

（2）集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是( )

A．f：x→y＝12x B．f：x→y＝13x

C．f：x→y＝23x D．f：x→y＝x

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【数学套路】

1. 是否为函数关系的判断

（1）两个非空数集，即函数的定义域和值域是否为空，函数的定义域和值域不能为空

高中数学必修1函数讲义--函数的三要素

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一、求函数定义域

1、使得x在实数范围内让解析式可以正常运算的x的范围。

① 分式的分母不等于0；

② 偶次根式被开方式大于等于0；

③ 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1；

④ 指数为0时，底数不等于0

【例1】求下列函数的定义域

（1）2021(1)log(324)xxxy （2）225lgcosyxx

(3)y=lg(ax-kbx) (a,b>0且a,b≠1，k∈R)

[解析]（1）依题有21021021032403241xxxxx

4112052log31xxxxx

∴函数的定义域为415{|0,1,log31}22xxx且

(2)依题意有2250cos0xx 5522()22xkxkkz

∴函数的定义域为33[5,)(,)(,5]2222

（3）要使函数有意义，则ax-kbx>0，即xakb

①当k≤0时，定义域为R

②当k>0时，（Ⅰ）若a>b>0,则logabxk 定义域为{x|logabxk}

(Ⅱ)若0

(Ⅲ)若a=b>0，则当0

[评析]把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组)。

2、抽象函数的定义域：

(1)已知)(xf的定义域，求))((xgf的定义域。

例：已知)(xf定义域为[0,1]，求函数)32(xfy的定义域

(2)已知))((xgf的定义域，求)(xf的定义域。

例：已知)2(2xfy定义域为[-1,0]，求函数)(xf的定义域； 资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除

第一讲 函数概念及三要素(教师)

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新思维学校 L3数学团队专用 2013暑假复习专题资料 教师版 L3成功法则：目标＋兴趣＋信心＋方法＋勤奋成功

追求卓越 成就梦想 版权所有 翻印必究 1 第一讲 函数概念及三要素

一、知识梳理

1、映射的定义：

设A、B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任何一个元素,在B中有且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射。记作：映射BAf:。集合A中的元素a对应集合B中的元素b叫a的象，记作)(afb，a叫b的原象。

若A中元素m个，B中元素n个，则：A到B的映射有mn个；B到A的映射有nm个.

2、函数的概念：

设BA,是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个

数x，在集合B中都有唯一确定的数)(xf和它对应，那么就称BAf:为从集合A到

集合B的一个函数（function），记作Axxfy),(。其中，x叫做自变量，x的取值范

围A叫做函数的定义域（domain），与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合

}|)({Axxf叫做函数的值域(range)。

3、函数的定义域：函数)(xfy中，自变量x的取值范围A叫做函数)(xfy的定义域。

由表达式决定的定义域，常见情况有：

①1()fx要求()0fx； ②nxf2)(要求0)(xf；

③0)(xf要求0)(xf； ④log()afx要求0)(xf且01a；

高三一轮复习函数及其表示 (1)

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第四课时 函数及其表示

考纲要求：函数的概念(B)

知识梳理：

1．函数与映射的概念

函数 映射

定义 建立在两个非空数集A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 建立在两个非空集合A到B的一种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应

记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B

2.函数的三要素

函数由定义域、对应关系和值域三个要素构成，对函数y＝f(x)，x∈A，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做值域．

3．函数的表示法

表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．

4．分段函数

若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

基础训练：

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数是建立在其定义域到值域的映射．( )

(2)函数y＝f(x)的图象与直线x＝a最多有2个交点．( )

(3)函数f(x)＝x2－2x与g(t)＝t2－2t是同一函数．( )

(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数．( )

(5)若A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|，其对应是从A到B的映射．( )

(6)分段函数是由两个或几个函数组成的．( )

(7)分段函数的定义域等于各段定义域的并集，值域等于各段值域的并集．( )

答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)× (7)√

2．下列四组函数中，表示同一函数的是________．(填序号)

①y＝x－1与y＝x－12；

②y＝x－1与y＝x－1x－1；

③y＝4lg x与y＝2lg x2；

④y＝lg x－2与y＝lgx100.