数学培优卷6(答案)
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培优卷6. 探索最小值参考答案
1. 解：（1）连结AD，不难求得A（1，23）
OE=AD21，得E（0，3）
（2）因为抛物线y=cbxx7362过点A、E
由待定系数法得：c=3，b=7313
抛物线的解析式为y=3x7313x7362
（3）大家记得这样一个常识吗？
“牵牛从点A出发，到河边l喝水，再到点B处吃草，走哪条路径最短？”即确定l上的点P，方法是作点A关于l的对称点A'，连结A'B与l的交点P即为所求.
本题中的AC就是“河”，B、D分别为“出发点”和“草地”。
由引例并证明后，得先作点D关于AC的对称点D'，
连结BD'交AC于点P，则PB与PD的和取最小值，
即△PBD的周长L取最小值。
不难求得∠D'DC=30º
DF=3，DD'=23
求得点D'的坐标为（4，3）
直线BD'的解析式为：53yx+53
直线AC的解析式为：33x3y
求直线BD'与AC的交点可得点P的坐标（37，332）。
此时BD'=22G'DBG=22)3(5=27
所以△PBD的最小周长L为27+2
把点P的坐标代入y=3x7313x7362成立，所以此时点P在抛物线上。
A B
l A
B C O D E y
x
A
B C O D E y
x P D'
F
G
2.解：(1)E(3,1)；F(1,2)；
(2)在Rt△EBF中,∠B=900，所以EF=.设点P的坐标为(0,n),其中n＞0,因为顶点F(1,2),所以设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+2(a≠0) ．
①如图1,当EF=PF时,EF2=PF2,所以12+(n-2)2=5,解得n1=0(舍去),n2=4,所以P(0,4),所以4=a(0-1)2+2,解得a=2,所以抛物线的解析式为y=2(x-1)2+2．
②如图2,当EP=FP时,EP2=FP2,所以(2-n)2+1=(1-n)2+9,解得n=－(舍去) ．
③当EF=EP时,EP=＜3,这种情况不存在.
综上所述,符合条件的抛物线为y=2(x-1)2+2．
(3)存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小．
如图3,作点E关于x轴的对称点E/,作点F关于y轴的对称点F/,连接E/F/,分别与x轴、y轴交于点M、N,则点M、N就是所求.所以E/(3,-1)、F/(-1,2),NF=NF/,ME=ME/,所以BF/=4,BE/=3,所以FN+NM+ME=F/N+NM+ME/=F/E/==5.又因为EF=,所以FN+MN+ME+EF=5+,此时四边形MNFE的周长最小值为5+.
3.解:(1)依题意,得2230axaxa(0)a
解得13x,21x
∵B点在A点右侧
∴A点坐标为(30),,B点坐标为(10),
∵直线l:333yx
当3x时,3(3)303y
∴点A在直线l上
(2)∵点H、B关于过A点的直线l:333yx对称
∴4AHAB
过顶点H作HCAB交AB于C点
则122ACAB,23HC
∴顶点(1,23)H
代入二次函数解析式,解得32a
∴二次函数解析式为2333322yxx
(3)直线AH的解析式为333yx
直线BK的解析式为33yx
由33333yxyx 解得323xy 即(3,23)K,则4BK
∵点H、B关于直线AK对称
∴HNMN的最小值是MB,23KDKE
过点K作直线AH的对称点Q,连接QK,交直线AH于E
则QMMK,23QEEK,AEQK
∴BMMK的最小值是BQ,即BQ的长是HNNMMK的最小值
∵BK∥AH
∴90BKQHEQ
由勾股定理得8QB
∴HNNMMK的最小值为8
ABKHxyCOABKHNMDEQxyOl4. 解：
（2）向上平移点C一个单位，做对称点，联立方程组。)32,1(),35,1(PQ
