数学建模短学期作业4
1.某卡车公司拨款8000000元用于购买新的运输工具，可供选择的运输工具有三种。
运输
工具A载重量为10t，平均时速为45km/h，价格为260000元；运输工具B载重为20t，平均时速为40km/h，价格为360000元；运输工具C是B的改进，增加了可代一个司机使用的卧铺，这一改变使载重量聊为18t，平均运行速度仍然是40km/h，但价格为420000元。
运输工具A需要一名司机，如果每天三班工作，每天平均可以运行18h，当地法律规定运输工具B和C需要两名司机，每天三班工作时B平均可以运行18h，而C可以运行21h，该公司目前每天有150名司机可供使用，而且在短期内无法招募到其他训练有素的司机。
当地的工会禁止任何一名司机每天工作超过一个班次。
此外，维修设备有限，所以购买的运输工具的数量不能超过30辆。
建立数学模型，帮助公司确定购买每种运输工具的数量，使工厂每天的总运力（t.km）最大。
解：由题意分析，工厂每天的总运力为三种车辆总运力之和，设总动力的表示符号为M
购买三种车辆的数量分别为x1,x2,x3.
那么，M=v(a)*t(a)*m(a)*x1+v（b)*t(b)*m(b)*x2+v(c)*t(c)*m(c)*x3,
v,t,m分别代表的是各种车的速度，运行时间，运载量，所以我们要求的问题就变为求出M的最大值。
要确定M的最大值，有以下几个条件进行约束：
x1+x2+x3<=总车辆的要求；
p1*x1+p2*x2+p3*x3<=总拨款;(p代表的是每种车的单价）
3*n1*x1+3*n2*x2+3*n3*x3<=总人数；（n代表的是每种车的配置人数）
Code:
MAX=10*45*18*X1+20*40*18*X2+18*40*21*X3;
X1+X2+X3<=30;
26*X1+36*X2+42*X3<=800;
X1+2*X2+2*X3<=50;
@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);
end
运行结果：
毕
2、某农户拥用100亩土地和25000元可供投资。
每年冬季（9月中旬至来年5月中旬），
该家庭的成员可以贡献3500h的劳动时间，而夏季为4000h。
如果这些劳动时间有富裕，该家庭中的年轻成员将去附近的农场打工，冬季每小时6.8元，夏季每小时7.0元。
现金收入来源于三种家作物（大豆、玉米和燕麦）以及两种家禽（奶牛和母鸡）。
农作物不需要付出投资，但每头奶牛需要400元的初始投资，每只母鸡需要3元的初始投资。
每头年需要使用1.5亩土地，并且冬季需要付出100h的劳动时间，夏季需要付出50h 的劳动时间，每年为家庭产生的净现金收入为450元；每只母鸡相应的数字为：不占土地，冬季0.6h，夏季0.3h，年净收入为3.5元，养鸡厂房最多只能容纳3000只母鸡，栅栏的大小限制了最多只能饲养32头奶牛。
根据估计，三种农作物每种植一亩需要的劳动时间和收入如下表所示，建立数学模型，帮助确定每种农作物应该种植多少亩，以及奶牛和母鸡应该各蓄养多少，使年净收入最大。
解：由题意分析，总净收入应该是各个项目的净收入之和，设总的净收入代表符号为Q，同时设种植大豆，玉米，燕麦的数量分别为n1,n2,n3,喂养小鸡的数目为n4，喂养牛的数目为n5，冬季打工时间为n6，夏季打工时间为n7。
那么，Q=p(1）*n1+p(2)*n2+p(3)*n3+p(4)*n4+p(5)*n5+p(6)*n6+p(7)*n7
P分别代表各个项目的单个净收入
此时，问题变为求出q的最大值所对应的各个项目的数目。
Q总的净收入受到以下几个条件的约束：
n1+n2+n3+1.5*n5<=总的田地的数量；
n4<=鸡的数量上线；
n5<=牛的数量上线;
n4*m(1)*n5*m(2）<=总投资（m代表的是每一个项目的单价投资）
t1(1)*n1+t1(2)*n2+t1（3）*n3+t1(4)*n4+t1(5)*n5+n6<=冬季打工的总时间（t1代表的是每个项目的所需的冬季打工时间）
t2(1)*n1+t2(2)*n2+t2(3)*n3+t2(4)*n4+t2(5)*n5+n7<=夏季打工的时间（t2代表的是每个项目的夏季所需的打工的时间）
code：
MAX=175*n1+300*n2+120*n3+3.2*n4+450*n5+6.8*n6+7*n7;
n4<=3000;
n5<=32;
n1+n2+n3+1.5*n5<=100;
3*n4+400*n5<=25000;
20*n1+35*n2+10*n3+0.6*n4+100*n5+n6<=3500;
30*n1+75*n2+40*n3+0.3*n4+50*n5+n7<=4000;
@gin(n4);@gin(n5);@gin(n6);@gin(n7);
end
运行结果：
毕
3.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。
根据经验，每天不同时间段所需要的服务员数量如下表所示，储蓄所可以雇用全时和半时两类服务员。
全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h的午餐时间。
储蓄所每天可以雇用不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h，报酬40元。
问该储蓄所应该如何雇用全时和半时两类服务员。
如果不能雇用半时服务员，每天至少增加多少费用？如果雇用的半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用？
解：由题意分析，总的费用应该是全时费用和半时费用之和，总的费用用Q表示，设全时的人数为A，半时的人数为B，那么B为各个时间段增加的半时人数之和，上面有8个时间段，记每个时间段的半时增加的人数为b（i)。
那么，Q总的费用=p(1)*A+p(2)*B (p代表的是每种服务人员的费用）
Q受到以下的条件进行约束：
在12到1,1到2这两个时间段内全时人员必须进行吃饭
每个时间段的人数必须大于所要求的服务员的数量
Code（1）：
min=a*100+(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8)*40;
a+b1>=4;
a+b1+b2>=3;
a+b1+b2+b3>=4;
a+b1+b2+b3+b4-y>=6;
y<=a;
b2+b3+b4+b5+y>=5;
b3+b4+b5+b6+a>=6;
b4+b5+b6+b7+a>=8;
b5+b6+b7+b8+a>=8;
b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8<=3;
@gin(a);@gin(y);
@gin(b1);@gin(b2);
@gin(b3);@gin(b4);
@gin(b5);@gin(b6);
@gin(b7);@gin(b8);
end
运行结果：
Code（2）：
min=a*100;
a>=4;
a>=3;
a>=4;
a-y>=6;
y<=a;
y>=5;
a>=6;
a>=8;
a>=8;
@gin(a);@gin(y); end
运行结果：
Code（3）：
min=a*100+(b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8)*40; a+b1>=4;
a+b1+b2>=3;
a+b1+b2+b3>=4;
a+b1+b2+b3+b4-y>=6;
y<=a;
b2+b3+b4+b5+y>=5;
b3+b4+b5+b6+a>=6;
b4+b5+b6+b7+a>=8;
b5+b6+b7+b8+a>=8;
@gin(a);@gin(y);
@gin(b1);@gin(b2);
@gin(b3);@gin(b4);
@gin(b5);@gin(b6);
@gin(b7);@gin(b8);
end
执行结果：
毕4、某海岛小有12个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y表示，距离单位：km）和居住的人数（R）如下表所示，现在准备在岛上建立一个服务中心为居民提供各种服务，那么服务中心应该建立在何处？
解：由题意分析，设服务中心建立的地点为（x1，y1），我们记每个人到该服务中心的总路程为S。
那么，S=sum（R*(（x1-x(i))^2+(y1-y(i))^2)^1/2)
此时的问题就变为求出S的最小值
S收到的约束条件如下：
x1属于[min（x),max(x)]
y1属于[min(y),max(y)]
code：
sets:
location/1..12/:x,y,R;
endsets
data:
x=0,8.2,0.5,5.7,0.77,2.87,4.43,2.58,0.72,9.76,3.19,5.55;
y=0,0.5,4.9,5,6.49,8.76,3.26,9.32,9.96,3.16,7.2,7.88;
R=600,1000,800,1400,1200,700,600,800,1000,1200,1000,1100;
enddata
min=@sum(location:((x-x1)^2+(y-y1)^2)^(1/2)*R);
end
运行结果：
那么x1,y1就是服务中心的位置。
毕。
