S] 2, s2
4 2j，因此，有 3条根轨迹趋于无穷远，其渐近线倾角为
F面确定根轨迹的分离点和汇合点
D(s) s(0.05s2 0.4s 1) K0 0
10
3 题 4-1 j A
(b) (c)
题4-2
解：
由开环传 递函数容易得到 3,m 0 个极点分别为
(2k 1)
3 5
3 ，渐近线与实轴交点为 n m
(Pl) ( Zi)
11 i 1 ________
A n m Pl 0, P2 4 2j, P3
dK。 0.15s2 0.8s 1 0 8 0
$ 2齐 2年（舍去）
计算根轨迹的出射角与入射角 8 0
$ 2齐 2年（舍去）
P3 p2 63.4°
确定根轨迹与虚轴的交点
由开环传递函数容易得到 n 3,m 0 ,三个极点分别为 p, 0, P2 2, P3 4 ，因
令s j ,特征方程D(s)
0.4 2 K0 0
0.05 3 0.05 2 0.4j 1) K。
2.5
8 Ko K。 0或 0
题4-5
解:
此，有3条根轨迹趋于无穷远, 其渐近线倾角为 (2k 1)
3 3,詈，渐近线与实轴
n m
(Pl)
交占为 d---------------------- 」
n m (Zi)
2。
F面确定根轨迹的分离点和汇合点
D(s) s(s 2)(s 4) 坐 3s2 12s
ds K。 0
确定根轨迹与虚轴的交点 p2 ( arcta n 63.4° 题4-6
令s j ,特征方程D(s) j (j 2)( j 4) Ko
3.1
Pci 要产生阻尼振荡，需要
0且 0。当s. 2、孑3
2 时，K0 =3.08，所以，当 3
Ko 48时，系统呈阻尼振荡。
当Ko 48时，系统产生持续等幅振荡，振荡频率为 2,2
=0.5 arccos 0.5
过 s平面原点，与实轴负方向夹角为 60作射线，与根轨迹 60°
第四章 线性系统的根轨迹法习题及参考答案
自动控制原理 胡寿松 第二版 课后答案
4-1 解：系统的开环传递函数为
根轨迹如图所示
4-2 解：
4-3 解：
（1）系统的开环传递函数为
概略的根轨迹如下图所示：
（2）系统的开环传递函数为
根轨迹如下图所示
4-4 解：
（1）系统的开环传递函数为
（2）系统的开环传递函数为
有三个极点
一个零点：（-20，j0）。
起始角：
根轨迹如下图
4-5 （1）
（2）
（3）解：系统的开环传递函数
起始角：
根轨迹如下图所示
4-6 解
根轨迹图如下：
4-8 解：
所以系统闭环不稳定。
（2）若H(S)=2S+1,系统的开环传递函数为：
根轨迹如下：
第四章
4-1已知单位反馈系统的开环传递函数为()(1)(2)KGssss 试绘制该系统在正、负反馈情况下的根轨迹图。
解：（1）负反馈情况
令(1)(2)=0sss，解得 3个开环极点1230,1,2ppp
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)jjj 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为,2,1,0两段。
由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111nmijijapznm
渐近线与实轴正方向的夹角为2121=3akknm（）（），（k=0,1,2）
当k=0,1,2时，计算得a分别为60°，180°，-60°
确定分离点，由111++=012ddd解得120.42,1.58dd由于2d不是根轨迹上的点，故不是分离点，分离点坐标为1d
确定根轨迹与虚轴的交点：控制系统特征方程3232=0sssK令=sj
代入上式得3232=0jjK 写出实部和虚部方程
233=020K 可求得=0206KK或
因此，根轨迹在2处与虚轴相交，交点处的增益6K；另外实轴上的根轨迹分支在0处与虚轴相交。负反馈系统根轨迹如下图所示
（2）正反馈情况
令(1)(2)=0sss，解得 3个开环极点1230,1,2ppp
根轨迹分支数为3，起点分别为(0,0),(1,0),(2,0)jjj 终点均为无穷远处。
在实轴上的根轨迹为2,1,0,两段。 由n=3,m=0得轨迹有3条渐近线，它们在实轴上的交点坐标111nmijijapznm
渐近线与实轴正方向的夹角为2=3ak，（k=0,1,2）
当k=0,1,2时，计算得a分别为0°，120°，-120°
4-1 已知系统的零、极点分布如图，大致绘制出系统的根轨迹。
解:j
σ0ω(1)(2)j
σ0ω
(3)j
σ0ω(4)j
σ0ω600
900600
(5)jσ0ω(6)j
σ0ω
jσ0ω(7)(8)j
σ0ω600
45013503601080
4-2 已知开环传递函数，试用解析法绘制
出系统的根轨迹，并判断点(-2+j0),(0+j1),
(-3+j2)是否在根轨迹上。
解:K
r(s+1)G(s)=
K
rΦ(s)=s+1+K
r
K
r=0s=-1-K
rj
σ0ω系统的根轨迹
s=-1
-1K
r=→∞s=-∞
s=-2+j0-2
s=0+j10+j1-3+j2
s=-3+j2
σ jω
0 4-3 已知系统的开环传递函数，试绘制出
根轨迹图。
解: s(s+1)(s+5) (1) G(s)= Kr(s+1.5)(s+5.5)
1）开环零、极点
p1 p1=0 p
2 p2=-1 p3 p3=-5
2）实轴上根轨迹段
p1~p2 z1
z1=-1.5 z2 z2=-5.5
z1~p3 z2~-∞
3）根轨迹的渐近线
n-m= 1 θ= + 180o
4）分离点和会合点
A(s)B'(s)=A'(s)B(s)
A(s)=s3+6s2+5s
B(s)=s2+7s+8.25
A(s)'=3s2+12s+5
B(s)'=2s+7
s
1=-0.63
s
2=-2.5s
3=-3.6
s
4=-7.28解得
K
s(s+1)(s+4)(2) G(s)=r(s+1.5)
1）开环零、极点
p1p
1=0p2p
2=-1p3p
3=-4σjω0
2）实轴上根轨迹段
p
1~p
2z1z
1=-1.5
p
3~z
1
3）根轨迹的渐近线
n-m= 2θ= +90o
2σ=-1-4+1.5=-1.75-1.75
4）分离点和会合点
A(s)=s3+5s2+4s B(s)=s+1.5
A(s)'=3s2+10s+4
B(s)'=1
解得 s=-0.62
5）系统根轨迹
K
s(s+1)2(3) G(s)=r
1）开环零、极点
