高中数学《数列的性质及递推公式》导学案

第2课时 数列的性质及递推公式

1.数列的递推公式

如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项□01an－1(n≥2，n∈N*)(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的□02递推公式．

2．通项公式与递推公式的区别与联系

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)递推公式也是表示数列的一种方法．( )

(2)所有数列都有递推公式．( )

(3)仅由数列{an}的关系式an＝an－1＋2(n≥2，n∈N*)就能确定这个数列．( )

答案 (1)√ (2)× (3)×

2．做一做

(1)数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝an－5，则a4＝________.

(2)数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝nan，则a3＝________.

(3)数列{an}中，若an＋1－an－n＝0，则a2020－a2019＝________.

(4)(教材改编P33T4)在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝an＋(2n－1)(n∈N*)，根据数列的前4项，归纳出通项公式为________．

答案 (1)－17 (2)2 (3)2019 (4)an＝(n－1)2

探究1 由递推公式写出数列的项

例1 已知数列{an}的第一项a1＝1，以后的各项由公式an＋1＝2anan＋2给出，试写出这个数列的前5项．

解 ∵a1＝1，an＋1＝2anan＋2，

∴a2＝2a1a1＋2＝23，a3＝2a2a2＋2＝2×2323＋2＝12，a4＝2a3a3＋2＝2×1212＋2＝25，a5＝2a4a4＋2＝2×2525＋2＝13.

故该数列的前5项为1，23，12，25，13.

拓展提升

根据递推公式写出数列的前几项，要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算即可．另外，解答这类问题时还需注意：若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．

【跟踪训练1】 设数列满足a1＝1，an＝2＋1an－1(n>1)，试写出这个数列的前4项．

解 ∵a1＝1，∴an＝2＋1an－1(n>1)，

∴a2＝2＋1a1＝3，

a3＝2＋1a2＝2＋13＝73，

∴a4＝2＋1a3＝2＋37＝177.

探究2 由数列的递推公式求通项公式

例2 (1)已知a1＝1，an＋1－an＝2(n∈N*)，求{an}的通项公式；

(2)已知a1＝1，an＋1＝2an(n∈N*)，求{an}的通项公式．

解 (1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2(n－1)＋1＝2n－1.

(2)an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝2n－1.

[条件探究] 本例(2)中，把“an＋1＝2an”改为“an＋1＝nn＋1aan”，其他条件不变，该数列的通项公式又如何呢？

解 ∵an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1＝n－1n·n－2n－1·…·12·1＝1n.

拓展提升

由数列的递推公式求通项公式的常用方法

(1)累加法：当an＝an－1＋f(n)时，常用an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1求通项．

(2)累乘法：当anan－1＝g(n)时，常用an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1求通项．

【跟踪训练2】 已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝anan＋1.

(1)写出数列{an}的前5项；

(2)求数列{an}的通项公式．

解 (1)∵a1＝1，且an＋1＝anan＋1， ∴a2＝11＋1＝12，a3＝1212＋1＝13，

a4＝1313＋1＝14，a5＝1414＋1＝15.

(2)由an＋1＝anan＋1且a1＝1知an>0，

所以1an＋1＝an＋1an＝1an＋1，

即1an＋1－1an＝1，

于是1an＝1a1＋1a2－1a1＋1a3－1a2＋…＋1an－1an－1

＝1＋1＋1＋…＋1

＝n，

∴an＝1n(n∈N*)．

探究3 周期数列问题

例3 在数列{an}中，a1＝12，an＝1－1an－1(n≥2，n∈N*)．

(1)求证：an＋3＝an；

(2)求a2018.

解 (1)证明：an＋3＝1－1an＋2＝1－11－1an＋1 ＝1－11－11－1an＝1－11－anan－1＝1－1an－1－anan－1

＝1－1－1an－1＝1－(1－an)＝an.

∴an＋3＝an.

(2)由(1)知数列{an}的周期T＝3，a1＝12，a2＝－1，a3＝2.又∵a2018＝a3×672＋2＝a2＝－1，∴a2018＝－1.

拓展提升

求周期数列周期的方法

周期数列问题是数列中的一个重要题型，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中．解决周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而得解．

【跟踪训练3】 已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2018＝( )

A．3 B．6

C．－3 D．－6

答案 B

解析 a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，

a4＝a3－a2＝－3，

a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，

a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，

a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，

∴数列{an}的周期为6，

∴a2018＝a6×336＋2＝a2＝6.故选B.

探究4 数列的函数性质

例4 已知数列{an}的通项公式是an＝(n＋2)×78n(n∈N*)，试问数列{an}有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的位置序号；若没有，说明理由．

解 解法一：作差比较an＋1与an，判断{an}的单调性．

因为an＋1－an＝(n＋3)×78n＋1－(n＋2)×78n＝78n×5－n8.

当n<5时，an＋1－an>0，即an＋1>an；

当n＝5时，a6－a5＝0，即a6＝a5；

当n>5时，an＋1－an<0，即an＋1

故a1a7>a8>…，

所以当n＝5或n＝6时，数列{an}有最大值，即最大项a5＝a6＝7685.

解法二：作商比较an＋1与an，判断{an}的单调性，an＋1an＝n＋3×78n＋1n＋2×78n＝7n＋38n＋2.

令an＋1an>1，解得n<5；令an＋1an＝1，解得n＝5；

令an＋1an<1，解得n>5.

故有a1a7>…，所以n＝5 或6时，{an}有最大项，且最大项为a5＝a6＝7685.

解法三：解不等式．

假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则

 an≥an－1，an≥an＋1，即 n＋2×78n≥n＋1×78n－1，n＋2×78n≥n＋3×78n＋1，

解得 n≤6，n≥5，即5≤n≤6. 故当n＝5或6时，{an}有最大项a5和a6，且a5＝a6＝7685.

拓展提升

判定数列单调性的方法

(1)判断数列的单调性，作差比较an＋1与an的大小，即比较an＋1－an与0的大小；或作商比较an＋1与an的大小，即比较an＋1an与1的大小关系．但要注意项的符号一定时，使用作商比较法才方便．

(2)利用 an≥an－1，an≥an＋1(或 an≤an－1，an≤an＋1)确定n的取值范围，进而确定{an}的最大项(或最小项)，也是通常的处理途径．

【跟踪训练4】 一辆邮车每天从A地往B地运送邮件，沿途共有8站(包括A，B)，从A地出发时，装上发往后面7站的邮件各一个，到达各站后卸下前面各站发往该站的邮件，同时装上该站发往后面各站的邮件各一个．试写出邮车在各站装卸完毕后剩余邮件个数所成的数列，画出该数列的图象，并判断该数列的增减性．

解 将A，B之间所有站按序号1,2,3,4,5,6,7,8编号．通过计算，各站装卸完毕后剩余邮件个数依次构成数列7,12,15,16,15,12,7,0，如下表：

站号(n) 1 2 3 4 5 6 7 8

剩余邮件数(an) 7 12 15 16 15 12 7 0

该数列的图象如图所示．它在{1,2,3,4}上是递增的，在{4,5,6,7,8}上是递减的．

[规律小结]

1.数列的函数特性

数列的项与项数之间构成特殊的函数关系，数列的通项公式就是函数的解析式，因此常用函数的思想方法去解决数列问题，但需注意函数的定义域．

2.给出了递推公式求通项公式，常用累加、累乘、周期性、单调性等知识，即

(1)an－an－1＝f(n)满足一定规律时，可以有

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1累加．

(2)anan－1＝g(n)满足一定条件时，

可以有an＝anan－1·an－1an－2·…·a2a1·a1累乘．

(3){an}为周期数列，则周期为T(T为正整数)时，an＝an＋T，可将an转化为a1，a2，…，aT处理．

(4)单调性是数列的一个重要性质．若an＋1>an恒成立，则{an}为递增数列；若an＋1

[走出误区]

易错点⊳混淆函数与数列的单调性致误

[典例] 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋λn，且{an}满足a1

[错解档案] 因为an＝n2＋λn＝n＋λ22－λ24，利用二次函数的图象易知图象的对称轴为n＝－λ2，故当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递增数列．

[误区警示] 错解仅考虑了数列{an}为单调递增数列时的一种情形，事实上，n的值是离散的，当对称轴在(1,2)之间，且满足a1

[规范解答] (－3，＋∞)

解法一：因为an＝n2＋λn，其图象的对称轴为n＝－λ2，显然，当－λ2≤1，即λ≥－2时，数列{an}是单调递增数列．