混合策略纳什均衡

思考
如何分析“不存在”纳什均衡 或存在多个纳什均衡的博弈？
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 （一）案例：小偷与守卫的猫鼠博弈 守卫 睡 不睡 偷 8，-2 -2，0 小偷 0，8 0，0 不偷
小偷与守卫博弈
无纳什均衡，如何分析？
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 （二）混合策略 1.表述 参与人按照一定概率，随机从策略 组合中选择一种策略作为实际行动 随机行动的目的：使自己的行为不被 对手预测
二、研究方法：反应函数法
三、反应函数 2. Dela ： Jim卖表的概率越小， Dela 剪发越好
UDel=2q(1-3p)+2p
1, ifp 1 / 3, 此时1 3p 0, q越大越好 q [0,1], ifp 1 / 3 0, ifp 1 / 3, 此时1 3p 0, q越小越好
第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 （二）数学刻画
1 ( p, q ) pi q j aij
i 1 j 1 m n
m
n
2( p, q ) pi q j bij
i 1 j 1
第一节 混合策略与期望支付
三、混合策略纳什均衡 给定策略式博弈G= ｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及混合策略组 合p*=（p1*,…,pi*,…pn*） 对于所有i和pi∈∑i， ∑i——i的混合策 略空间 如果有：πi(pi*,p-i*)≥πi(pi’,p-i*) 则：混合策略组合p*=（p1*,…,pi*,…pn*） 为G的混合策略纳什均衡
二、研究方法：反应函数法
四、反应函数曲 线 p 1.交点（1，0） 1 双方支付为2 2.交点（0，1） 双方支付为2 1/3 3.交点（1/3，1/3） 双方支付为2/3
互相为对方着 想，期望支付 变小
1/3
q 1
作业
利用反应函数法求解“社会福利博弈” 是否需要调整数据？ 可得出有关社会保障体系改革的结 论？
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小 （二）分析：偏离损失比较法 1.甲：单独偏离均衡的损失 （1）偏离“作弊”：9-8=1 （2）偏离“不作弊”：7-0=7
友军博弈
英 国 支持巴顿 支持蒙帅 支持巴顿 4，3 2，2 美国 1，1 3，4 支持蒙帅
友军博弈特征
两个（多个）纳什均衡 问题：博弈的最终结果？
第三章 混合策略纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择 标准
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益更大 （一）案例：战争与和平 C国 鹰战略 鸽战 略 -5，-5 8，-10 鹰战略 -10，8 10，10 A国 鸽战略
二、研究方法：反应函数法
三、反应函数 1.Jim：Dela剪发的概率越小，Jim卖 表越好
UJim=2p(1-3q)+2q
1, i来自百度文库q 1 / 3, 此时1 3q 0, p越大越好 p [0,1], ifq 1 / 3 0, ifq 1 / 3, 此时1 3q 0, p越小越好
第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 （一）分析 1.概率 （偷，睡）的概率：pq （偷，不睡）的概率：p(1-q) （不偷，睡）的概率：(1-p)q （不偷，不睡）的概率：(1-p)(1-q)
第一节 混合策略与期望支付
二、期望支付 （一）分析 2.期望支付 U小偷=8pq+（-2）p(1-q)+0(1-p)q+0(1p)(1-q)=2p(5q-1) U守卫= （-2） pq+0p(1-q)+8(1p)q+0(1-p)(1-q)=2q(4-5p)
混合策略纳什均衡
第一节 基本概念：混合策略 与期望支付
社会福利博弈：无纳什均衡
政府 流浪汉 寻找工作 游荡 救济 不救济
你救济，他就游 荡；你游荡，他 就不救济
3，2 -1，1
-1，3 0，0
社会福利博弈的特征
不存在纳什均衡 类似：父母与啃老族 回望：另一个不正常的博弈 情侣博弈——两个纳什均衡
第三节 多重纳什均衡的选择标准
一、帕累托优势标准：得益更大 （二）纳什均衡的选择标准 帕累托优势标准 按照支付大小筛选纳什均衡
-5，-5 -10，8 8，-10 10，10
第三节多重纳什均衡的选择标准
二、风险优势标准：风险更小？ （一）案例：串通作弊博弈 帕累托优 学生乙 势？ 作弊 不作弊 作弊 9，9 0，8 学生甲 8，0 7，7 不作弊
第二节 研究方法：反应函数法
——最佳反应函数曲线交叉法 一、案例：麦琪的礼物 Dela 剪发q 保留（1-q） 卖表p -2，-2 2，2 Jim 2，2 0，0 保留（1-p）
二、研究方法：反应函数法
二、期望支付 1.UJim=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1p)(1-q)=2p(1-3q)+2q 整理原则：一项含p，一项不含p 2.UDel=(-2)pq+2p(1-q)+2(1-p)q+0(1p)(1-q)=2q(1-3p)+2p 整理原则：一项含q，一项不含q
混合策略
小偷的混合策略 以p的概率偷，（p，1-p） 守卫的混合策略 以q的概率睡（q，1-q）
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 （二）混合策略 2.相对概念：纯策略 每个参与人的非随机性选择 纯粹行动计划，p=100%,1-p=0
第一节 混合策略与期望支付
一、混合策略 （二）混合策略 3.数学刻画 给定博弈G=｛S1，…,Sn;u1,…,un｝以及参 与人i的纯策略Si= ｛si1,…,sik｝ 概率分布pi=（pi1,…,pik）为混合策略 其中：0≤ pik ≤1，∑ pik=1， pik=p（ sik ） 混合策略组合p=（p1,…,pi,…pn）