第一节 n维向量的概念

定理1 向量b能由向量组A线性表示的充分必要
条件是矩阵 A ( 1， 2， , m )的秩等于矩阵 B ( 1， 2， , m , b)的秩.
定义２ 设有两个向量组
A : 1 , 2 , , m 及B : 1 , 2 , , s . 若B组中的每个向量都能由 向量组A线性表示，则 称 向量组B能由向量组A线性表示 . 若向量组A与向 量组B能相互线性表示，则称 这两个向量组等价．
类似，若矩阵A经初等列变换变成B，则A的 列向量组与B的列向量组等价.
对方程组A的各个方程做线性运算所得到的 一个方程就称为方程组A的一个线性组合；若方 程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就 称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组 A的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组 B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等 价的方程组一定同解.
向量组 a1, a 2 ,, a n 称为矩阵A的列向量组.
类似地,矩阵A1 a12 a 21 a 22 A ai1 ai 2 a m1 am 2
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
若记A 1 , 2 , , m )和B b1 , b2 , , bs ).B （ （ 能由A线性表示，即对每个向量b j ( j 1, 2, , s )存 在数k1 j , k2 j , kmj , 使
b j k1 j 1 k2 j 2 kmj m
a1 a2 a a n
注意
１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量；
２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； ３．当没有明确说明是行向量还是列向量时， 都当作列向量.

x 1
AX
1 , 2
n
x2
xn
x 1 1
x 2 2
x n n
二、向量组的线性相关性
定义２ 对于向量组A: 1, 2, …, m, 如果存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使关系式
k 11 k 22 .. k .mm 0
成立,则称向量组1, 2, …, m 线性相关.
例1：设有向量
1
1 4
2 2 3
1
0
n阶单位矩阵 I n 的n个列向量分别记为：
1
0
0
e 0 ,e 1 e
1 2
n 0
0
0
1
称为n维基本向量
第二节 n维向量的线性运算
定义1 设 (a 1 ,a 2 , ,a n )T , (b 1 ,b 2 , ,b n )T 是 n 维实
K是实数域中的一个数，则向量的加法
和数乘k向 分量 别定义
8 1 即数 1是数乘向量运算的单位 元
例1
1 ， 2 ， 3 ， 4 T 1 ， 2 ， 3 ， 4 T
(1) 求，的负向量
(2) 计算 43
第三节 向量组的线性相关性
一、线性组合
定义１:
给 定 向 量 组 A:{1， 2， L， m}， iRn,i1,2,L,m 对 任 何 一 组 实 数 k1,k2,L,km,称 k11k22Lkmm
例如 矩阵 A(aij)mn有n个m维列向量
aa 11
aa 22
aj
an
a11 a12 a1j a1n
Aa 21
a22 a2j a2n
am1 am2 amj amn
向a量 1,a 2 , 组 ,a n称为 A 的 矩 列 .阵 向

第三章 n维向量
一. n维向量及其线性运算 二. 线性相关性 三. 向量组的秩 四. 向量空间
五. 内积与正交化
第Байду номын сангаас节 n维向量及其线性运算
(一) n维向量的概念
定义
由n 个有数 a1 , a2 ,
, an 组成的有序数组 a1 , a2 ,
, an
称为一个n 维向量。 这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 a i 称为第i个分量。 分量全为实数的向量称为实向量， 分量全为复数的向量称为复向量.
2
0
0 3 1 2 0 3 1 2 2 0 1 1 2 0 1 1 0 1 1 b 0 0 0 b 2 0 0 a 1 0 1 a 2 0
1 0 0 0
T T T (2, 5,1) , (10,1, 5) , (4,1, 1) , 求 . 其中 1 2 3
解 3 1 3 2 2 2 5 3 5 ,
6 3 1 2 2 5 3 ,
1 ( 3 1 2 2 5 3 ) (1, 2, 3)T . 6
一般用希腊字母 , , 等表示 n 维向量。
a1 , a2 , 向量通常写成一行：
, an 称为行向量。
a1 a 2 有时也写成一列： 称为 列向量 。它们的区别只是 写法上的不同。 an
分量全为零的向量 0,0,
,0 称为零向量，记为 0。
, km称为这个线性组合的系数。 , m ,和向量 ， 如果存在
m m
定义2：给定向量组 A : 1 , 2 , 一组实数 1 , 2 , m , 使得 1 1 2 2

当n维向量α记为α＝（a1, a2, …, a n）时，称 它为n维行向量。行向量其实就是行矩阵。当n
维向量α记为
⎡a1 ⎤
α
=
⎢ ⎢
a
2
⎥ ⎥
⎢#⎥
⎢⎢⎣a n ⎥⎥⎦
时，称为n维列向量。列向量其实就是列矩阵。
行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单 就向量的概念而言，它强调的是n个数排成的 有序数组，它可以排成行向量的形式，也可以 排成列向量的形式。
定义2 设α＝（a1, a2, …, an），β＝（b1, b2, …, bn）是两个n维向量，如果这两个向量的 对应分量相等，即
aj＝bj, ( j＝1, 2, …， n ) 则称α＝β。分量全为0的向量称为零向量，记
为0。
定义3 设α＝（a1, a2, …, a n）， β＝（b1, b2, …, b n）
注意：n维向量作为3维向量的直接推广, 有很多性质是和3维向量类似的。但是， 三维向量可以用空间中的有向线段直观 地表示出来，而n维向量（当n > 3时）就 没有这种直观的几何意义了，只是沿用 几何的术语而也。以后大家在学习n维向 量的性质时，如果要分析其几何意义，
那么最好是回到三维的情形来思考。
是两个n维向量，λ是一个实数，则:
（1）向量（a1 + b1, a2 + b2, …, a n + b n）称为 向量α，β的和，记为α＋β。即
α＋β＝（a1 + b1, 2 + b2, …, a n + b n）。 （2）向量（λa1, λa2, …, λa n）称为数λ与向量
α的乘积，记为λα或αλ，即
第三章 向量组的线性相关性
第一节 n维向量