《2018年高考文科数学分类汇编》
第十三篇：极坐标与参数方程
解答题
1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
2cos 30ρρθ+-=.
（1）求2C 的直角坐标方程； （2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.
2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点．
（1）求的取值范围；
（2）求中点的轨迹的参数方程．
4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26
ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．
参考答案
解答题
1.解： （1）由cos x ρθ=，sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22
(1)4x y ++=． （2）由（1）知2C 是圆心为(1,0)A -，半径为2的圆．
由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l ．由于B 在圆2C 的外面，故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点，或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．
当
1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=，故
43
k =-或0k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43
k =-
时，1l 与2C 只有一个公共点，2l 与2C 有两个公共点． 当
2l 与2C 只有一个公共点时，A 到2l 所在直线的距离为2，2=，故0k =或43
k =． 经检验，当0k =时，1l 与2C 没有公共点；当43
k =时，2l 与2C 没有公共点． 综上，所求1C 的方程为4||23
y x =-+．
2.解：（1）曲线C 的直角坐标方程为116
42
2=+y x ． 当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则． 又由①得α
αα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ，故， 于是直线的斜率．
3.解：（1）的直角坐标方程为．
当时，与交于两点．
当时，记，则的方程为．与交于两点当且仅当，解得或，即或． 综上，的取值范围是．
（2）的参数方程为为参数，．
设，，对应的参数分别为，，，则，且，满足．
于是，．又点的坐标满足
所以点的轨迹的参数方程是为参数，．
4.解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，
所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．
因为直线l 的极坐标方程为πsin()26
ρθ-=，
则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6
． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =
π2，
所以π4cos 6
AB ==
因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为
