数字图像的分数阶微分自适应增强

2009-06-19 收到，2010-03-09 改回 国家 863 计划项目(2007AA12E142)和高等学校博士学科点专项科研 基金(200802880018)资助课题 通信作者：张军 phil_zj@
在灰度变化不大的区域容易产生“阶梯效应”。 针对SAR图像去噪中的纹理保持及 “阶梯效应” 抑制，本文利用分数阶导数和负指数Sobolev空间建 模，提出一种新的分数阶多尺度SAR图像去噪变分 PDE模型，并利用图像局部方差等统计特征以及小 波分解后的小波系数与函数正则性之间的关系给出 了模型参数自适应选择方法，在此基础上提出了自 适应去噪算法。理论分析和实验表明，这种新的方 法可以在图像的非纹理区域有效去除噪声及抑制 “阶梯效应” ，在图像的边缘、纹理区域可以较好地 保持图像的边缘和纹理。
Fractional-Order Multi-scale Variation PDE Model and Adaptive Algorithm for SAR Image Denoising
Zhang Jun
① ② ①
Wei Zhi-hui
②
(School of Science, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)
j =0 L
(2) 其中 | D αu |= (Dxαu )2 + (Dyαu )2 ，Dxαu 和 Dyαu 分别为 u 关于 x 和 y 的 α 阶偏导数。特别地，当 α = 1 时， 式(2)就是 AA 模型。利用变分法，可得到式(2)的 Euler-Lagrange 方程为 f −u u ⋅ H α (u ) − λ ⋅ =0 (3) u α α 其 中 H α (u ) = (−1)α [Dxα (Dxαu / | D αu |) + Dy (Dx u/ α α α [5] | D u |)] ， D 为分数阶导数算子 D 的共轭算子 。 已有研究表明负指数 Sobolev 空间有利于对图 像纹理的建模[6]。在式(3)中， (f − u )/ u 实际包含了 图像的噪声及纹理，由于纹理是具有多尺度的，因 此本文考虑用不同的负指数 Sobolev 空间对纹理的 不同尺度部分进行建模。首先利用正交小波分解与 重构， 得到 λ(f − u )/ u 在不同尺度下的子图像 [λ( f − u )/ u ]j ， j = 0,1,2, ", L ，然后用负指数 Sobolev 空 −s 间 H j 对各尺度子图像进行建模。根据 Sobolev 空 间的多尺度分析[7]，可将式(3)改进为下面的分数阶 多尺度变分 PDE 模型： L −2 js ⎡ λ( f − u ) ⎤ ⎥ =0 u ⋅ H α (u ) − ∑ 2 j ⎢ (4) u ⎣⎢ ⎦⎥ j j =0 其中 0 ≤ s j ≤ 1 , j = 0,1, 2, ", L 为各尺度对应的负指 −s 数 Sobolev 空间 H j 的空间参数。 引入时间变量，设初值为 u(x , y; 0) = f (x , y ) ，利 用梯度下降法将式(4)的求解转化为求解下面的偏微 分方程： L f −u⎞ ∂u −2 js ⎛ ⎟ = −u ⋅ H α (u ) + ∑ 2 j ⎜ λ⋅ (5) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ u ⎠ ∂t j j =0

分数阶微分增强的脑部MRI图像边缘检测张艳珠;王凡迪;朱啸天【摘要】针对传统边缘检测方法提取医学图像的边缘不理想问题,利用分数阶微分掩模算子预先对图像边缘做增强处理,同时根据分形理论,将可调的分数阶微分阶次与能够反应图像自身特点的分形维数相结合,提出脑部MRI图像的分数阶微分阶次和分形维数之间的对应关系,从而在微分阶次区间内选出最佳微分阶数,使得图像更利于细节边缘提取.通过仿真对比,由该方法检测出的脑部MRI图像边缘比传统整数阶提取的更加细致,保留更多的纹理细节.【期刊名称】《沈阳理工大学学报》【年(卷),期】2016(035)002【总页数】5页(P30-34)【关键词】边缘检测;脑部MRI;分数阶微分;分形理论【作者】张艳珠;王凡迪;朱啸天【作者单位】沈阳理工大学信息科学与工程学院,沈阳110159;沈阳理工大学信息科学与工程学院,沈阳110159;沈阳理工大学信息科学与工程学院,沈阳110159【正文语种】中文【中图分类】TP391在医学领域，图像增强及边缘检测是最重要的图像处理方法[1-2]。

对于脑部MRI 图像的边缘检测，其边缘细节的清晰度会影响后续图像分割及分析研究。

目前，在图像边缘检测领域有诸如Prewitt算子等经典的整数阶算法，但其结果都会受到图像自身纹理复杂度以及噪声信号的影响而导致中低频信号无法得到保留，造成相当一部分的信息缺失。

针对整数阶微分算子检测边缘的缺点，蒲亦非等[3]将分数阶微分引入数字图像处理，论述了对于纹理细节信息丰富的图像而言，分数阶微分对灰度变化不大的平滑区域的增强明显优于整数阶微分运算。

为了使分数阶微分掩模算子足够增强图像纹理，如何选取合适的微分阶次来构造微分掩模是关键。

据此本文首先结合分形理论[4]，将分形维数应用到分数阶微分阶次的选取上，构造微分掩模来增强图像纹理；再结合整数阶边缘检测算法提取图像边缘。

通过验证，本文的分数阶微分掩模算子对图像纹理信息具有极大的增强效果，更有利于边缘检测的细化。

万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据万方数据分数阶微积分在图像处理中的研究综述作者：黄果， 许黎， 蒲亦非， HUANG Guo， XU Li， PU Yi-fei作者单位：黄果,HUANG Guo(乐山师范学院智能信息处理及应用实验室,四川乐山,614000)， 许黎,XU Li(乐山师范学院物电学院,四川乐山,614000)， 蒲亦非,PU Yi-fei(四川大学计算机学院,成都,610064)刊名：计算机应用研究英文刊名：Application Research of Computers年，卷(期)：2012,29(2)被引用次数：4次1.LEIBNIZ G W Correspondatice de Leibniz avec Hugens,van Zulichem et le Marquis de L' Hospital 18532.MANDELBROT B B;Van NESS J W The fractional brounian motions,fractional noises and applications 1968(04)3.MANDELBROT B B The fractal geometry of nature 19834.袁晓;张红雨;虞厥邦分数导数与数字微分器设计[期刊论文]-电子学报 2004(10)5.陶然;齐林;王越分数阶Fourier变换的原理与应用 20046.陶然;张峰;王越分数阶Fourier变换离散化的研究进展[期刊论文]-中国科学E辑 2008(04)7.薛定宇;赵春娜分数阶系统的分数阶PID控制器设计[期刊论文]-控制理论与应用 2007(05)8.PODLUBNY I Fractional-order systems and controllers[外文期刊] 1999(01)9.ZAYED A I On the relationship between the Fourier transform and fractional Fourier transform 1996(12)10.廖科分数阶微积分运算数字滤波器设计与电路实现及其应用[学位论文] 200611.RODIECK R W Quantitative analysis of cat retinal ganglion cell response to visual stimuli 1965(11)12.蒲亦非;袁晓;廖科一种实现任意分数阶神经型脉冲振荡器的格形模拟分抗电路[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版)2006(01)13.陈庆利;蒲亦非;黄果分数阶神经型脉冲振荡器[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版) 2011(01)14.蒲亦非;王卫星数字图像的分数阶微分掩模及其数值运算规则[期刊论文]-自动化学报 2007(11)15.PU Yi-fei;WANG Wei-xing;ZHOU Ji-liu Fractional differential approach to detecting textural features of digital image and its fractional differential filter implementation[期刊论文]-Science in China Series F:Information Sciences 2008(09)16.蒲亦非将分数阶微分演算引入数字图像处理[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版) 2007(03)17.蒲亦非分数阶微积分在现代信号分析与处理中的应用的研究[学位论文] 200618.蒲亦非;王卫星;周激流数字图像纹理细节的分数阶微分检测及其分数阶微分滤波器实现[期刊论文]-中国科学E辑 2008(12)19.蒲亦非将分数阶微分演算引入数字图像处理[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版) 2007(03)20.PU Yi-fei;ZHOU Ji-liu;YUAN Xiao Fractional differential mask:a fractional differential-based approach for multiscale texture enhancement 2010(02)21.黄果;蒲亦非;陈庆利非整数步长的分数阶微分滤波器在图像增强中的应用[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版) 2011(01)22.黄果;蒲亦非;陈庆利基于分数阶积分的图像去噪[期刊论文]-系统工程与电子技术 2011(04)23.杨柱中;周激流;黄梅基于分数阶微分的边缘检测[期刊论文]-四川大学学报(工程科学版) 2008(01)24.杨柱中;周激流;晏祥玉基于分数阶微分的图像增强[期刊论文]-计算机辅助设计与图形学学报 2008(03)25.杨柱中;周激流;黄梅用分数阶微分提取图像边缘[期刊论文]-计算机工程与应用 2007(35)26.MATHIEU B;MELCHIOR P;OUTSALOUP A Fractional differentiation for edge detection[外文期刊] 2003(11)27.李远禄;于盛林分数阶差分及边缘检测[期刊论文]-光电工程 2006(12)28.汪凯宇;肖亮;韦志辉基于图像整体变分和分数阶奇异性提取的图像恢复模型[期刊论文]-南京理工大学学报(自然科学版) 2003(04)29.刘红毅;韦志辉基于分数阶样条小波与IHS变换的图像融合[期刊论文]-南京理工大学学报(自然科学版) 2006(01)30.LIU Jun;CHEN Song-can;TAN Xiao-yang Fractional order singular value decomposition representation for face recognition 2007(01)31.左凯;孙同景;李振华二维分数阶卡尔曼滤波及其在图像处理中的应用[期刊论文]-电子与信息学报 2010(12)32.汪成亮;兰利彬;周尚波自适应分数阶微分在图像纹理增强中的应用[期刊论文]-重庆大学学报 2011(02)33.高朝邦;周激流基于四元数分数阶方向微分的图像增强[期刊论文]-自动化学报 2011(02)34.BAI Jian;FENG Xiang-chu Fractional-order anisotropic diffusion for image denoising[外文期刊] 2007(10)35.张军;韦志辉SAR图像去噪的分数阶多尺度变分PDE模型及自适应算法[期刊论文]-电子与信息学报 2010(07)36.张军;韦志辉一种基于卷积积分的图像去噪变分方法[期刊论文]-中国图象图形学报 2008(09)37.张军;韦志辉分数阶图像去噪变分模型及投影算法[期刊论文]-计算机工程与应用 2009(05)38.张军基于分数阶变分的图像建模与去噪算法研究[学位论文] 200939.ZHANG Jun;WEI Zhi-hui A class of fractional-order multi-scale variational models and alternating projection algorithm for image denoising 2011(05)40.沈淑君分数阶微分方程的数值解方法及误差分析 200541.庄平辉;刘发旺空间-时间分数阶扩散方程的显式差分近似 2005(51)42.MAINARDI F;LUCHKO Y;PAGNINI G;PARADISI G The fundamental solution of the space-time fractional diffusion2001(02)43.HUANG Feng-hui;LIU Fa-wang The fundamental solution of the space-time fractional advection dispersion equation 2005(1-2)44.TSCHUMPERLE D;DERICHE R Vector-valued image regularization with PDEs:a common framework for different applications[外文期刊] 2005(04)45.GILBOA G;SOCHEN N;ZEEVI Y V Variational denoising of partly textured images by spatially varying constraints [外文期刊] 2006(08)46.朱立新;王平安;夏德深引入耦合梯度保真项的非线性扩散图像去噪方法[期刊论文]-计算机研究与发展 2007(08)47.SUN Xiao-li;WANG Jun-ping;SONG Guo-xiang Anisotropic diffusion filtering method with a fidelity term[期刊论文] -Journal of Systems Engineering and Electronics 2008(08)48.陈利霞;冯象初;王卫卫加权变分的图像去噪算法[期刊论文]-系统工程与电子技术 2010(02)49.LEE S H;SEO J K Noise removal with Gauss curvature-driven diffusion[外文期刊] 2005(07)50.王新楼;乔明;邹谋炎一种基于偏微分方程的SAR图像去噪方法[期刊论文]-电子与信息学报 2005(09)51.PERONA P;MALIK J Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[外文期刊] 1990(07)52.RUDING L;OSHER S;FATEMI E Nonlinear total variation based noise removal algorithms 1992(1-4)53.OSHER S;RUDIN L I;FATEMI E Nonlinear total variation based noise removal algorithms 1992(03)54.LYSAKER M;LUNDERVOLD A;TAI X C Noise removal using fourth-order partial differential equation withapplications to medical magnetic resonance images in space and time[外文期刊] 2003(12)55.KASS M;WITKIN A;TERZOPOULOS D Snakes:active contour models 1988(04)56.XU Chen-yang;JERRY L P Snakes shapes and gradient vector flow 1998(03)57.XU Chen-yang;JERRY L P Generalized gradient vector flow external forces for active contours[外文期刊] 1998(02)1.勾荣基于Riemann-Liouville分数阶微分的图像增强[期刊论文]-制造业自动化2013(16)2.勾荣基于 G-L 分数阶微分的图像边缘检测[期刊论文]-计算机与现代化2013(11)3.勾荣基于分数阶微分的图像增强算法[期刊论文]-电子科技 2013(12)4.魏文力.李宝树.崔克彬.徐雪涛基于改进的最大熵航拍输电线路图像复原方法[期刊论文]-科学技术与工程 2013(32)本文链接：/Periodical_jsjyyyj201202003.aspx。

自适应滤波算法在图像增强中的应用图像增强是数字图像处理中常见的一种技术，它的目的是通过一系列的算法对原始图像进行处理，使得图像的质量得到提升。

在图像增强中，自适应滤波算法是一种经典的方法。

本文将探讨自适应滤波算法在图像增强中的应用。

一、概述自适应滤波算法是一种基于局部图像特征的滤波方法。

它的基本思想是在滤波的过程中，对于不同的像素点采用不同的滤波策略，以达到更好的滤波效果。

自适应滤波算法的核心是选择合适的权值函数，权值函数包含了图像中的一些信息，例如亮度、对比度等等。

权值函数的选择对于滤波效果具有至关重要的作用。

二、自适应滤波算法的具体实现在实际应用中，自适应滤波算法的实现有很多种方式。

其中一种比较常见的方式是基于均值滤波算法的改进。

均值滤波是一种常用的图像去噪方法，其核心思想是用一个大小为 $n \times n$ 的滤波模板覆盖图像，对于每个像素点，求出它和它周围邻域的像素点的平均值，作为该像素点的新值。

这样处理后，能够有效去除图像中的噪声点，但是对于图像边缘部分，由于邻域不完全，导致去噪效果较差。

基于均值滤波算法的改进之一是自适应均值滤波算法（Adaptive Mean Filter）。

该算法的具体实现如下：1. 对于图像中的每一个像素点，计算出它的邻域 $N(x,y)$ 的均值 $M(x,y)$ 和标准差 $S(x,y)$。

2. 如果当前像素点的灰度值 $z$ 与均值之差小于标准差的一半，那么该像素点不需要进行滤波处理，直接保留原有值。

3. 否则，根据如下公式进行滤波：$$f(x,y)= \begin{cases} M(x,y), & |z-M(x,y)|\leq T\times S(x,y) \\ z, & |z-M(x,y)|>T\times S(x,y) \end{cases}$$ 其中，$T$ 为阈值，$f(x,y)$ 为滤波后的像素值。

从实现上看，自适应均值滤波算法比传统的均值滤波算法更加灵活，能够更好地适应不同的图像情况。