初中数学“一图一课”式专题复习教学

初中数学“一图一课”式专题复习教学作者：***

来源：《初中生世界·初中教学研究》2020年第07期

一、教学设计与意图

1.操作与回顾。

操作：已知⊙O（如图1），请按要求画图。

（1）如果在⊙O所在的平面上有一点A，请画出点A。（学生通过画图发现，点A的位置有无数种可能。）

问题1：这无数种可能有几种类型？

生1：三种类型，分别是点在圆内、点在圆上以及点在圆外。

问题2：用什么方法可以判断？如何判断？

生2：用d表示点A到圆心的距离，用r表示圆的半径，然后比较d与r的大小。当d>r 时，点在圆外;当d=r时，点在圆上;当d

（2）过点A画直线l。（学生通过画图发现，直线l的位置也有无数种可能。）

问题3：这无数种可能有几种类型？

生3：三种类型，分别是直线与圆相交、相切、相离。

问题4：用什么方法可以判断？如何判断？

生4：用d1表示圆心到直线的距离，用r表示圆的半径，然后比较d1与r的大小。当

d1>r时，直线与圆相离;当d1=r时，直线与圆相切;当d1

图3设计意图：以上两个环节都是通过动手画图引出知识，学生在画图过程中自然唤醒了点与圆、直线与圆的位置关系等知识。学生在作图的过程中培养了发散性思维，体会了分类的必要性，渗透了分类和数形结合的数学思想。

问题5：如图4，过点A画直线，都可以画出图3的三种位置关系吗？动手试一试。

生5：点A在圆内时，只能画出相交;点A在圆上时，既可以画出相交也可以画出相切;点A在圆外时，三种情况都可以画出。

问题6：d1=r是d1与r在数量上的特殊情况，也是临界情况。那么，请过点A画出⊙O 的切线并说出你的依据。

生6：依据的是切线的判定定理，过半径的外端点且垂直于半径的直线是圆的切线。（如图5）

设计意图：通过追问“过点A都能画出三种位置关系类型的图形吗”，让学生进一步理解判断直线与圆位置关系的本质。通过画切线，再次唤醒学生对切线性质定理、判定定理以及圆周角性质的回顾，在解决问题的过程中培养学生综合分析问题的能力。

（3）在图6的⊙O上另取一点B，过点B画一条与⊙O相切的直线，设所画直线与过点A的切线（A为切点）相交于点M，如图7。

问题7：你想到了什么知识？

生7：切线长定理，过圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。

問题8：这幅图还给你哪些数学美感？由此你还能得出哪些结论？

设计意图：学生通过画图得到切线长定理，并通过开放性的问题“寻找数学美”，便自然地用数学的眼光观察图形得出图形的轴对称性，再次利用几何图形的性质，寻找并得出图形中各边、角之间的联系。这培养了学生的观察和分析的能力，渗透了数形结合思想。

（4）在图7的⊙O上再另取一点C，过点C作一条切线与前两条切线相交，交点为N、T。（学生通过画图发现，图形又有两种可能的情况。）

1当C取在优弧上时。

问题9：从这个图中（图8），我们看到了什么？想到了哪些相关知识？

生8：三角形三边与圆相切，即三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形的内心，是三角形三个内角角平分线的交点，到三角形三边的距离相等。

问题10：若顺次连接A、B、C呢？

生9：能得到三角形的外接圆。外接圆的圆心是三角形的外心、三角形三边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点的距离相等。

2当C取在劣弧上时。

问题11：对于这个图（图9），你有什么想说的吗？

生10：图9也得到了三角形和圆，不过圆在

三角形旁边与三角形相切了，可以取个名字叫它“旁切圆”，这也是一种位置关系。

师：这个名字取得很好，不过这个“旁切圆”的大小不受三角形的控制，我们的教材中没有研究。我们的教材只研究了三角形的内切圆、三角形的外接圆。当三角形确定时，它的内切圆、外接圆都确定了。

问题12：内切圆的半径通常用什么方法来求呢？

生11：因为相切，所以过切点的半径与三边垂直，垂线段可以看成三角形的高线，所以用面积法可以计算出内切圆的半径r内=2S△MNT÷C△MNT。

问题13：如果选取的点B能使得两条切线MB、MA互相垂直，此时的内切圆的半径还有其他方法来求吗？

生12：此时得到了一个直角三角形（如图10），可以得出四边形AMBO为正方形，利用切线长定理可以得出r内=（MN+MT-NT）÷2。

问题14：三角形的内切圆、外接圆，包括你们取的“旁切圆”，都属于三角形与圆的位置关系。那么，与圆有关的位置关系接下来还会往哪个方向研究呢？

生：四边形与圆，多边形与圆（图11）......

设计意图：继续通过开放性的动手画图引出知识，学生在画图的过程中自然回顾了三角形的内切圆、外接圆以及“旁切圆”。问题11的追问以及解答，让学生进一步体会什么样的几何图形之间可以研究数量关系，为学生今后的自主学习提供了方法。问题12、13的提出，帮助学生进一步巩固了各个量之间的关系。这里渗透了分类、数形结合、方程模型的思想，提升了学生整体建构知识的能力，教学生学会学习。

2.尝试与巩固。

尝试：如图12，圆O的直径DE=8cm，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

BC=12cm。圆O以2cm/s的速度从左向右运动，在运动过程中，点D、E始终在直线BC上。设运动时间为t（s），当t=0s时，圆O在△ABC的左侧，OC=6cm。请结合复习的知识，尝试编一道相关的问题并解答。

设计意图：开放性的问题设计，旨在通过复习知识培养学生提出问题、解决问题的能力，让学生进一步体会研究几何问题的一般角度和方法，引导学生多角度解决问题，培养学生思维的发散性和深刻性。

二、教學反思

1.建构知识体系。

在复习课中，学生已具备了一定的知识基础，但知识体系不一定形成，需要在复习课中建构知识体系。新课标提倡，学生不是被动地接受知识，而是要在积极主动地参与下建构。几何知识往往跟图形分不开，因此，教师可以尝试带领学生画图，让学生亲自去发现尽可能多的东西，从而不断地丰富图形来建构知识体系。这样才能让学生全面认识、理解、掌握和运用知识，才能让知识内化为成长素养，才能真正满足成长需要。

本节课利用4个作图操作，让与圆有关的位置关系的所有知识慢慢地冒出新芽，自然生长，最终长成枝繁叶茂的大树。画图的过程既带领学生独立、主动地去参与、发现，又在流程设计上推陈出新，激发了学生的兴趣，培养了学生的动手能力。

2.激发数学思维。

为了使学生的能力在复习课中得到提升，复习课就不能对学过的知识机械地进行重复，因为机械重复会使学生感觉枯燥，失去学习的兴趣。除了在流程设计上推陈出新外，我们还要关注教师提出的问题给学生带来的数学思考，从而让学生在梳理知识的同时，感悟数学学习的方法，提炼基本数学学习策略，达到增长智慧的目的。

本节课设计的问题不是常规的习题，而是开放性问题，甚至让学生自己提出问题。第一、二、四个作图都是开放性作图，这样可以引领学生全面回顾点与圆、直线与圆、三角形与圆的位置关系。通过“寻找数学美”“你看到了什么”“你想到了什么”“还会向什么方向生长”“尝试编一道相关的问题并解答”等一系列的开放性问题引领学生自主探究，深入思考，增进认识;让学生充分感受数学知识的生长过程，有利于学生的问题意识、创新能力的提升，有利于学生的数学思维发散性、深刻性的培养。

3.落实核心素养。

复习课上，教师除了要帮助学生全面复习知识，建构知识体系之外，还应该有意识地向学生渗透数学思想，揭示数学本质。数学思想是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，我们的复习课需要关注思想，要让复习课堂因思想而厚重。

本节课通过4个作图操作串联知识，让学生在作图的过程中经历逐渐递进、深度探究。数学思想体现在以下方面：第一、二、四个作图的答案都不是唯一的，在求知答案的过程中学生迫切需要的就是分类的思想;在判断位置关系、图形各要素之间关系的过程中，数形结合思想、模型思想得到了淋漓尽致的体现;在如何作切线的过程中，画切线的问题最终转化成了画垂线的问题，体现了解决问题过程中的转化思想。学生在课堂中感受并体会到这些思想方法，并逐渐运用到后续的学习中，最终形成能力，提升数学素养。因此，在课堂教学中，教师应努力做到让学生因参与而构建，因追问而明晰，因反思而升华，因思想而开花。

（作者单位：江苏省扬州市江都区国际学校）

一图一课，简约深刻——例谈初中数学专题复习课教学的有效设计

一图一课，简约深刻——例谈初中数学专题复习课教学的有效设计 摘要：学生经历一时段的学习后，渐渐地形成了一个个知识点和方法点。但 这些“点”是零散的，在初中数学教学中，可以通过“一图（题）一课”式的 专题复习将之连成线、融成面、合成体。这种专题复习是以核心知识点为线索展 开的，通过变式教学，将核心思想方法穿插其间，从而提高学生的数学思维能力 和数学素养。 关键词：专题复习；变式教学；数学素养 数学家希尔伯特说：“算数记号是写下的图形，几何图形是画下来的公式．”一个定理对应着相应图形，一个图形反映某个定理．对于定理，学生不仅要搞清 条件、结论，更重要的是要能画出对应的图形，让条件和结论落实到图形上。 一、提供图形线索，梳理相关知识 课堂教学引入方式众多，其中，让学生的动手操作以及积极参与融入其中是 非常重要的．从一个基本图形出发，学生通过折叠、剪拼图形、画图、测量以及 合作交流等活动，对图形的多种性质有了亲身感受、积极的参与和思考，激活学 生已有的知识积淀，然后逐渐变换条件、变换图形或者赋予图形不同的背景，让 学生清晰地了解变式图形的基本要素之间的关系，找到解决问题的核心知识点与 方法点。笔者在教学实践中围绕“特殊平行四边形的判定”准备了一节专题复习课，教学环节如下。 问题一：观察老师画的是什么图形？为什么？ 生1：这是平行四边形，因为两组对边分别相等。 问题二: 当点E、F分别为为AD，BC的中点时，连接EF，图中多了几个平行 四边形?

生2：多了两个平行四边形。 问题三: 再连接BE,DF，此时多了几个平行四边形？ 生3：多了一个平行四边形。 问题四: 继续连接AF,交BE于点H，连接CE交DF于点G，此时又多了几个 平行四边形？ 生4：多了两个平行四边形。 师：看来，同学们对平行四边形的判定都掌握得不错，那还有没有别的判定 方法。 复习课的教学首先要帮助学生梳理基础知识，建立知识体系，形成认知网络；更重要的是帮助学生深入体验数学思想方法，感悟数学基本经验，从而有效提升 学生的自主学习能力.而为了实现这些目标，就必须有良好的问题框架进行有效 驱动.纵观本节课的教学设计，我以读图识图作为基本手段，从尺规作图入手， 以1个基本图形和4个紧密衔接的问题进行有效串联，由局部到整体层层深入， 让学生的思维有一个自主建构的过程.因为在画图时，学生会先思考我们要怎样 才能画出图形，实际就是先要确定在什么条件下才能得到平行四边形，也就是平 行四边形的判定是什么？同时明确本节课研究的内容，培养学生自觉地利用“旧”问题解决“新”问题的能力，同时培养分解图形的能力. 既符合学生的认知心理，兼顾了不同层次学生的不同复习要求，体现了简约自然的风格。 二、突出本质特征，强化基本方法 通过基本图形的变式或者赋予不同的图形背景，逐渐过渡到专题的核心知 识，并因此“伴生”出其他知识点，引导学生自己提出问题，同时解决问题，把 散落的“珍珠”（零散的“知识点”）串成美丽的“项链”（联成“知识线”）。这里所说的“知识”是知识、技能与数学思想方法的总称。“知识线”可以是 “针对一个核心知识点，串联而成的线”，也可以是“针对相关的几个核心知识点，并联而成的线”。

数学人教版九年级下册一图一课与反比例函数与一次函数的综合问题

教学设计 一图一课之 反比例函数与一次函数的综合问题 李玥（广东省珠海市第四中学） 数学复习课是一种重要课型，它的有效性直接影响学生复习的效果，如何更好地践行课程标准的核心理念？如何在课堂上避免就题论题，避免“题海战术”的低效教学？张奠宙教授曾对复习课研究提出一些指导意见.笔者认为，复习课授课方式的选择，内容的精心设计，是关键的环节。从近两年一些期刊的刊载文章来看，展示出教师们对复习课型的最新思考和教学实践，笔者也收益其中.适逢国家“一师一优课，一课一名师”的活动，笔者也构思了一节“一图一课”，本文记录了该课的教学设计与教学反思，与更多的同行分享与研讨. 一、教学内容分析 1 内容分析 反比例函数与一次函数是初中数学函数部分的核心知识，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型，其中数形结合、变化与对应等重要思想有着重要的体现，也是学生今后进一步在高中学习函数和解析几何曲线方程的基础，近年来，将反比例函数、一次函数与几何图形结合来编制中考综合解答题一直是常见的题型，所以在复习课中安排反比例函数与一次函数的综合问题是十分必要的. 2 学情分析 从知识储备来看，学生在之前的学习中，已经系统学习了反比例函数与一次函数的解析式、图像与性质，并能运用函数知识来解决一些实际问题，但大多数学生对这些知识的认知还是零散的，机械的，没有形成完整的知识网络结构，更没有深刻理解其本质与关联. 从学习过程来看，以上内容分散在不同的章节中，学生易割裂相关内容之间的联系，导致思维定式，问题解决方法单一. 从思维水平来看，九年级学生已具备基本的分析问题、解决问题的能力，但综合问题的深刻性、抽象性对于大多数学生来说还有一定的难度，本班学生不太擅长表达，思维敏捷的同学不多. 因此这就要求教师在做教学设计时必须立足于学生的现状，通过设计有效的课堂活动，让学生都能参与进来，在不断解决困惑的过程中获得成功的体验，提高学习的兴趣和自信心. 3 教学目标 知识与技能：通过一图一课，让学生进一步熟练掌握反比例函数与一次函数的核心知识，能够进一步理解代数与几何之间的关联和培养学生利用综合知识解决求线段长度、比例关系、三角形面积等问题的能力. 过程与方法：培养学生的问题意识，从一个基本图形出发，通过“多维度递进式问题串”的设计，培养学生从多角度、多层面去提出问题、解决问题，体会转化、数形结合、函数方程的数学思想. 情感、态度、价值观：通过问题的不断深入拓展，增强学生思维的深刻性与灵活性，培养学生的反思意识、自主归纳能力以及严谨细致的学习态度和勇于实践的科学精神.

“一图一课”，提高几何专题复习课效率的实践探究-以《图形旋转探究》专题复习课为例

“一图一课”，提高几何专题复习课效率的实践探究 -以《图形旋转探究》专 题复习课为例 摘要：初三学生经过三年的知识学习，逐步形成了一个个的知识点。但这些 知识点的零乱的，在初三的几何总复习当中，可以通过精选基本图形，以“一图 一课”的专题复习课形式将知识点进行有机串联，提炼基本方法和数学思想，再 通过变式教学，将方法迁移应用，从而提高学生的数学思维和核心素养. 关键词：基本图形；专题复习；一图一课 一、“一图一课”式专题复习课 “一图一课”的课型设计：指以一个图形为起始图形,通过“添枝加叶”衍 生出本课的全部内容,达到完整展示某一知识体系或训练某一种思想方法的目的 或者是将一个图形进行层层递进式的剖析归纳,引领学生思考,达到深入学习的目的;或者是指将几个衔接紧密的问题进行有效串联,生动相融,体现出知识的关联、思想方法的关联或用途方面的关联,为学生制造较为强烈的学习体验等为思路而 设计的课型。 常见课型有：内涵发展型、层层递进型、基本图形识别型。1 下面以一节基本图形专题课——《图形旋转探究》为例，进行介绍。 （一）问题思考，提炼知识 新课程基本理念要求：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上的 得到不同的收获。为此，通过研究教材，寻找切入点，将问题的逻辑点定位在班 级最后十名学生的知识起点上，让基础较差的学生也有收获，找到学习信心。

让学生感受图形的旋转，并能说出具体的旋转过程，由此回顾旋转三要素： 旋转中心、旋转角度和旋转方向，再通过两个问题串的形式引导学生回顾旋转基 本性质：全等性、保距性以及保角性。同时通过简单问题的设置，学生积极举手 回答问题、参与课堂，很好的活跃了课堂氛围。 （二）课堂精炼，巩固性质 2.在上述旋转过程中，当点D恰好落在AC上时，若∠A＝60°，AB＝2，则 旋转角为___度,AD＝＿，连接CE，则CE＿＿ 通过旋转过程中特殊点位置的习题呈现，不断梳理完善旋转的性质，让学生 掌握建构知识的方法和解决问题的思路和方法，形成较为完整的知识及方法体系。在课堂中，生1在讲台上讲解解决CE长度的过程中，用到了DE2-CD2=CE2，学生 及时提出质疑：“∠DCE并不知道90°”，引发全班同学思考，很多学生此时争 先恐后想要优化方法： 生2：可以通过证明△BDE≌△CDE（SAS），可以得到CE=BE，进而求出线段CE。 生3：进一步优化，根据旋转角相等，∴∠CBE=∠ABD=60°，BC=BE，进而得 到△ECB为等边三角形，直接求出EC长度 此时，全班其他同学们豁然开朗，不自主地想起阵阵掌声，老师此时顺势而为，继续追问：在此图中有几个等边三角形？再次让学生体会到旋转60°会形成 新的等边三角形这一常见结论。