2014高考数学考前冲刺

绝密★启用前 试卷类型：A山东省2014年高考仿真模拟冲刺卷（二）理科数学满分150分 考试用时120分钟参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）; 如果事件A ，B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P （B ）．如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概 率：).,,2,1,0()1()(n k p p C k P k n k knn =-=-第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集U R =，集合1{|()2}2xA x =≥和2{|lg(1)}B y y x ==+，则=B A C U )(（ ） A ．{|1x x ≤-或0}x ≥ B ．{(,)|1,0}x y x y ≤-≥C ．{|0}x x ≥D ．{|1}x x >- 2．下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（ ）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-A ．23,p pB ．12,p pC ．,p p 24D ．,p p 343．“1k =”是“直线0x y k -+=与圆221x y +=相交”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．已知数列{}111,n n n a a a a n +==+中,，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是 （ ）A ．8?n ≤B ．9?n ≤C ．10?n ≤D ．11?n ≤5．已知向量b a 、，其中2=a ，2=b ，且a b)a ⊥-（，则向量a 和b 的夹角是 （ ）A ．4πB ．2πC ．43πD ．π6．已知实数y x ,满足的约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥622y x y x 则y x z 42+=的最大值为（ ）A ．20B ．24C ．16D ．127．函数f （x ）的定义域为R ，f （-1）=2，对任意x R ∈，'()2f x >，则()24f x x >+的解集为（ ）A ．（-1，1）B ．（-1，+∞）C ．（-∞，-l ）D ．（-∞，+∞）8．若函数cos 2y x =与函数sin()y x ϕ=+在[0,]2π上的单调性相同，则ϕ的一个值为（ ）A ．6πB ．4πC ．3π D ．2π9．222:π=+y x O 圆内的正弦曲线y=sinx 与x 轴围成的区域记为D ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是 （ ）A ．24πB ．34πC ．22πD ．32π10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，x x f 21)(=，则满足21)(-=x f 的x 的值是 （ ）A ．2()Z n n ∈B ．21()Z n n -∈C ．41()Z n n +∈D ．41()Z n n -∈第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．方程1313313x x-+=-的实数解为_________________; 12．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=1，)1(31≥=+n s a n n ，则6a =________.13．已知抛物线28y x =的焦点与双曲线2221x y a-=的一个焦点重合，则该双曲线的离心率为______________; 14．设二项式53)1(xx -的展开式中常数项为A ，则=A ________. 15．具有性质：1()()f f x x=-的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：①1;y x x =-②1;y x x =+③,(01)0,(1)1(1)x x y x x x⎧⎪<<⎪==⎨⎪⎪->⎩中满足“倒负”变换的函数是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且232cos cos sin()sin cos()25A B B A B B A C ---++=-. （Ⅰ）求cos A 的值;（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC方向上的投影.下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率;（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望;（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）在如图1所示的等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，且12AB A D BC CD a ====，E 为CD 中点．若沿AE 将三角形DAE 折起，使平面DAE ⊥平面ABCE ，连结,DB DC ，得到如图2所示的几何体D ABCE -，在图2中解答以下问题： （Ⅰ）设F 为AB 中点，求证：DF AC ⊥； （Ⅱ）求二面角A BD C --的正弦值．设n S 是数列{}n a （*N n ∈）的前n 项和，已知41=a ，n n n S a 31+=+，设nn n S b 3-=． （Ⅰ）证明：数列{}n b 是等比数列，并求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log 22+-=nn n b nb c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ．已知函数xxx g kx x f ln )(,)(==。

2014年安徽省高考数学冲刺试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.设i是虚数单位，是复数z=+i的共轭复数，则z2•=（）A.+iB.-iC.-+iD.--i【答案】A【解析】解：由z=+i，得，∴z2•===．故选：A．直接利用复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题．2.设集合A={x|x2-x＜0}，B={x|-2＜x＜2}则（）A.A∪B=AB.A∪B=RC.A∩B=AD.A∩B=∅【答案】C【解析】解：∵A={x|x2-x＜0}={x|0＜x＜1}，又B={x|-2＜x＜2}，∴A⊆B．则A∩B=A．故选：C．求解一元二次不等式化简集合A，然后由交集及子集的运算性质得答案．本题考查交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．3.命题“∀x∈R，x2-2x+4≤0”的否定为（）A.∀x∈R，x2-2x+4≥0B.∃x∈R，x2-2x+4＞0C.∀x∉R，x2-2x+4≤0D.∃x∉R，x2-2x+4＞0【答案】B【解析】解：∵命题“∀x∈R，x2-2x+4≤0”，∴命题的否定是“∃x∈R，x2-2x+4＞0”故选B．本题中的命题是一个全称命题，其否定是特称命题，依据全称命题的否定书写形式写出命题的否定即可．本题考查命题的否定，解题的关键是掌握并理解命题否定的书写方法规则，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，书写时注意量词的变化．4.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）A.94B.274C.282D.283【答案】D【解析】解：当a=3时，执行完循环体，a=10，不满足退出循环的条件；当a=10时，执行完循环体，a=31，不满足退出循环的条件；当a=31时，执行完循环体，a=94，不满足退出循环的条件；当a=94时，执行完循环体，a=283，满足退出循环的条件；故输出结果为283，故选：D由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．5.设向量，是同一平面内所有向量的一组基底，若（λ+）∥（-2），则实数λ的值为（）A.2B.-2C.D.-【答案】D【解析】解：∵（λ+）∥（-2），∴存在实数k使得，化为=，∵向量，是同一平面内所有向量的一组基底，∴，解得λ=k=-．故选：D．利用向量共线定理和平面向量基本定理即可得出．本题考查了向量共线定理和平面向量基本定理，属于基础题．6.若x，y满足约束条件，则2x-y的最小值为（）A.-6B.-4C.-3D.-1【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．设z=2x-y，得y=2x-z，平移直线y=2x-z，由图象可知当直线y=2x-z经过点A时，直线y=2x-z的截距最大，此时z最小．由，解得，即A（-1，2）代入目标函数z=2x-y，得z=-2-2=-4．故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．7.设公差不为0的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S8=S21，a k=0，则k=（）A.14B.15C.16D.21【答案】B【解析】解：在等差数列{a n}中，由S8=S21，得：a9+a10+…+a21=0，又a9+a21=a10+a20=…=2a15，∴13a15=0．即a15=0．∴k=15．故选：B．直接由已知结合等差数列的性质得答案．本题考查了等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.πB.πC.6πD.8+π【答案】A【解析】解：由三视图可知几何体是上部为底面半径与高为2的半圆锥，下部为底面半径为2，高为1的班圆柱，几何体的体积为：=．故选：A．由题意判断几何体的形状，结合三视图的数据，求解几何体的体积即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键．9.已知定义在R上函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-，则f（2014）=（）A.-B.-C.D.【答案】D【解析】解：∵f（x+2）=-f（x），∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即函数的周期是4，则f（2014）=f（503×4+2）=f（2）=-f（0）=-[（）0-]=）=-1=，故选：D由f（x+2）=-f（x），得到函数的周期为4，利用函数的周期性将条件进行转化即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用条件求出函数的周期性是解决本题的关键．10.若三个互不相等的正数x1，x2，x3满足方程x i+lnx i=m i（i=1，2，3），且m1+m3=2m2，则下列关系式正确的是（）A.x1x3＜x22B.x1x3≤x22C.x1x3＞x22D.x1x3≥x22【答案】A【解析】解：设f（x）=x+lnx，f′（x）=1+＞0，∴f（x）单调递增，f（）=+ln＞+ln=，∵m1+m3=2m2，∴f（x1）+f（x3）=2f（x2）＜2f（），则＜，又由f（x1）+f（x3）=2f（x2）可得ln=2x2-（x1+x3）＜0，∴＜，故选A．设f（x）=x+lnx，利用导数可判断f（x）递增，利用不等式可正f（）＞，又m1+m3=2m2，得f（x1）+f（x3）=2f（x2）＜2f（），从而＜，再由f（x1）+f（x3）=2f（x2）可得ln=2x2-（x1+x3）＜0，于是可得答案．本题考查函数单调性及其应用、函数与方程思想，解决该题的关键构造函数f（x）=x+lnx，利用函数性质解决问题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点，则实数m的值是______ ．【答案】1【解析】解：椭圆得∴c1=，∴焦点坐标为（，0）（-，0），双曲线：的焦点必在x轴上，则半焦距c2=∴则实数m=1故答案为：1．先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得m，答案可得．此题考查学生掌握圆锥曲线的共同特征，考查椭圆、双曲线的标准方程，以及椭圆、双曲线的简单性质的应用，利用条件求出a，b，c值，是解题的关键．12.在某电视台举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差是______ ．【答案】【解析】解：去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84，84，86，84，87，其平均值为=（84+84+86+84+87）=85，方差为s2=[（84-85）2+（84-85）2+（86-85）2+（84-85）2+（87-85）2]=，故答案为．根据茎叶图所给的数据，利用平均数、方差公式直接计算即可．本题考查用样本的平均数、方差来估计总体的平均数、方差，属基础题，熟记样本的平均数、方差公式是解答好本题的关键．13.已知函数f（x）=2sin（2x+）（x∈[-，a]），若f（x）的值域是[-1，2]，则a的最大值是______ ．【答案】解：x∈[-，a]⇒-≤2x+≤+2a，因为f（x）的值域是[-1，2]，所以≤+2a≤，解得≤a≤，即a的最大值是．故答案为：．x∈[-，a]⇒-≤2x+≤+2a，依题意，利用正弦函数的单调性可知≤+2a≤，从而可得≤a≤．本题考查正弦函数的单调性与最值，由f（x）的值域是[-1，2]得到≤+2a≤是关键，属于中档题．14.已知点A（0，-3），B（4，0），点P是圆x2+y2-2y=0上任意一点，则△ABP面积的最小值是______ ．【答案】【解析】解：直线AB的方程为+=0，即3x-4y-12=0，圆心（0，1）到直线的距离为d==，则点P到直线的距离的最小值为d-r=-1=，∴△ABP面积的最小值为×AB×=，故答案为：．用截距式求直线的方程，用点到直线的距离公式求得圆心到直线AB的距离，再将此距离减去半径，可得△ABP面积最小时AB边上的高，从而求得△ABP面积的最小值．本题主要考查用截距式求直线的方程，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．15.函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得满足：f（x）在[a，b]上是单调函数且在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为函数f（x）的“和谐区间”．下列函数中存在“和谐区间”的是______①f（x）=x3（x∈R）②f（x）=（x∈R，x≠0）③f（x）=（x∈R）④f（x）=e x（x∈R）⑤f（x）=lg|x|+2（x∈R，x≠0）【答案】①②③⑤解：对于①，易知f（x）x3在[a，b]上单调递增，由题意设，解得当或或时，满足条件；对于②f（x）在（0，+∞）上单调递减，取区间[a，b]⊆（0，+∞），由题意设，所以只需即可，满足条件；对于③，f（x）在[-1，1]上单调递增，取区间[a，b]⊆[-1，1]，由题意设，解得当或或时，满足条件；对于④，易知f（x）=e x递增，由题意设，即a，b是方程e x=2x的两个根，由于两函数没有交点，故对应方程无解，所以不满足条件；对于⑤f（x）在（0，+∞）上单调递增，取区间[a，b]⊆（0，+∞），由题意设，即a，b是方程lgx+2=2x的两个根，由于两函数有两个交点，故对应方程有两个根，即存在a，b满足条件．所以存在“和谐区间”的是①②③⑤．故答案为：①②③⑤．根据“和谐区间”的定义只需逐个验证函数是否满足两个条件即可．本题考查函数的单调性、函数的值域求解，考查函数与方程思想，考查学生的阅读理解能力及解决新问题的能力．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且有sin（2A+）+sin（A+C+）=1+2cos2A．（Ⅰ）求A、B的值；（Ⅱ）若a2+c2=b-ac+2，求a的值．【答案】解：（Ⅰ）由已知得：sin2A+cos2A+sin（B-）=2+cos2A，即sin2A+sin（B-）=2，∵sin2A≤1，sin（B-）≤1，∴sin2A=1，sin（B-）=1，∵0＜2A＜2π，-＜B-＜，∴2A=，B-=，则A=，B=；（Ⅱ）∵cos B=-，∴由余弦定理得：b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+ac，∵a2+c2=b-ac+2，∴b2-b-2=0，解得：b=2（负值舍去），则由正弦定理得：a===．【解析】（Ⅰ）已知等式变形后，根据正弦函数值域确定出sin2A与sin（B-）的值，进而确定出A与B的度数；（Ⅱ）由cos B的值，利用余弦定理列出关系式，结合已知等式求出b的值，再由b，sin A，sin B的值，利用正弦定理即可求出a的值．此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．17.为丰富广大中学生的课余文化生活，拓展知识面，某市教育局举办了太空天文知识竞赛活动．题目均为选择题，共50题，每答对一题得2分，满分100分，每题的正确答案只有一个，现随机抽取了某中学50名学生本次竞赛的成绩，整理并制成如表：（Ⅰ）绘制出被抽查的学生成绩的频率分布直方图；（Ⅱ）若从成绩在[40，50）中随机选出1名学生，从成绩在[90，100]中随机选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40，50）组中的学生A1和[90，100]组中的学生B1同时被选中的概率．【答案】解：（Ⅰ）各组的概率分别为0.04，0.06，0.28，0.30，0.24，0.08，所以图中各组的纵坐标分别为：0.004，0.006，0.028，0.030，0.024，0.008．（Ⅱ）记[40，50）中的学生为A1、A2，[90，100）中的学生为B1、B2、B3、B4，由题意可得，基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4共12个事件“A1B1同时被选中”发生有：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4三个，所以由古典概型知，P（A）==．【解析】（Ⅰ）由题意可知各组的概率即图中各组的纵坐标，即可绘制出被抽查的学生成绩的频率分布直方图；（Ⅱ）分别列举出所有可能的基本事件的个数和所求事件所含的基本事件的个数，用古典概型的概率求法公式即可得解．本题考查频率分布直方图和古典概型，要求会用频率分布直方图，掌握古典概型的求法，属简单题．18.如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，平面PAB⊥底面ABCD，PA=AD=AB=1，BC=2．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PDC；（Ⅱ）若∠PAB=120°，求三棱锥P-BCD的体积．【答案】解：（1）证明：取PC、BC的中点E、F，连结DF，DE，EF，由已知得：PD=CD，∴DE⊥PC．∵平面PAB⊥底面ABCD，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，又PC、BC的中点E、F，∴EF∥PB，DF∥AB，∴BC⊥平面DEF，∴BC⊥DE，∵BC∩PC=C，∴DE⊥平面PBC，又DE⊂平面PDC，∴平面PBC⊥平面PDC．（2）延长BA，过P作PG⊥BA，垂足为G，则PG⊥平面ABCD，由已知条件可得PG=，∴三棱锥P-BCD的体积．【解析】（1）取PC、BC的中点E、F，连结DF，DE，EF，证明DE⊥平面PBC，根据面面垂直判定定理，即可证出平面PBC⊥平面PDC；（2）延长BA，过P作PG⊥BA，垂足为G，得到PG⊥平面ABCD，算出PG，即可算出三棱锥P-BCD的体积．本题给出特殊四棱锥，求证面面垂直并求锥体的体积．着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和锥体体积求法等知识，属于中档题．19.如图，A1（-2，0），A2（2，0）是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的两个端点，M是椭圆上不同于A1，A2的点，且MA1与MA2的斜率之积为-，F（c，0）为椭圆C的右焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线MA1，MA2分别与直线x=相交于点P，Q，证明：FP⊥FQ．【答案】（Ⅰ）解：设M（x，y），（x≠±2），则=，=，∵=-，∴，化简，得，（x≠±2），∵M在椭圆上，且A1（-2，0），A2（2，0）也适合上述方程，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）证明：∵椭圆C的方程为，∴=4，F（1，0），设P（4，y P），Q（4，y Q），∵MA1与MA2的斜率之积为-，∴=，解得y P•y Q=-9，∴k FP•k FQ=，∴FP⊥FQ．【解析】（Ⅰ）设M（x，y），（x≠±2），由已知条件推导出，由此能求出椭圆C 的方程．（Ⅱ）由椭圆C的方程为，得=4，F（1，0），设P（4，y P），Q（4，y Q），由已知条件推导出y P•y Q=-9，由此能证明FP⊥FQ．本题考查椭圆方程的求法，考查两直线的证明，解题时要认真审题，注意直线斜率、椭圆性质、直线与椭圆的位置关系等知识点的合理运用．20.已知等比数列{a n}各项都是正数，a1=2，a n•a n+1=m•4n，n∈N*（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：＜4．【答案】解：（Ⅰ）由①得，n≥2时，，②①，得，得q2=4，又q＞0，②∴q=2，又a1=2，∴a n=2n，n∈N*．（Ⅱ）===，∴••…•=••…•=，令，①则②①-②，得-=-＜1，∴S＜2，∴••…•=2S＜22=4．【解析】（Ⅰ）由，得到当n≥2时，，两式相除，计算可得公比，再进一步算通项公式．（Ⅱ）由（Ⅰ），计算••…•=••…•=，令，利用错位相乘法计算S得表达式，得到S＜2，从而使不等式得到证明．数列是高考题中的常见题型，本题的考查涉及到迭代的方法和错位相乘法，这两种方法是数列中经常考查的方法，除此之外，在数列求和时还有倒序相加法，分组求和法，裂项相消法，构造等比、等差数列法等等．21.已知函数f（x）=ax2+bx+c+lnx（a≠0），曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y=x-1．（Ⅰ）试用a表示b、c；（Ⅱ）讨论f（x）的定义域上的单调性．【答案】解：（Ⅰ）∵f′（x）=2ax+b+，∴f′（1）=2a+b+1，又曲线y=f（x）在点（1，f （1））处的切线方程是y=x-1，∴2a+b+1=1，f（1）=a+b+c=0，∴b=-2a，c=a （Ⅱ）由（Ⅰ）可知f′（x）=2ax-2a+=（x＞0），①当a＜0时，1-＞0，令f′（x）=0得＜，＞，∴当，时，′＞，f（x）单调递增，当，∞时，′＜，f（x）单调递减；②当0＜a≤2时，1-≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞2时，1-＜，令f′（x）=0得＞，，当x，时，′＞，f（x）单调递增，当x，时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈，∞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．【解析】第（1）问较简单，先将（1，f（1））代入切线方程求出f（1），再将（1，f（1））代入f（x）得到一个关于a，b，c的方程，再利用f′（1）=1得到第二个关于a，b，c的方程．联立即可用a表示b，c．第（2）问应该先求定义域，然后求导，将讨论单调性的问题转化为一个讨论不等式的问题，一般是将不等式化归为一元二次不等式的问题，然后结合二次函数的图象对不等式的解进行讨论．研究函数的单调性，本质上就是求解不等式的问题，一般的思路是求定义域、求导数、化简成一元二次不等式、解不等式．最后一个环节往往是借助于不等式所对应的二次函数图象分类讨论解决问题．这是一个高考的重点，也是热点问题．。

ABlC1CCB1B1AA2014届高三数学冲刺高考真题训练1(文)一．填空题（本大题满分44分）本大题共有11题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．方程9131=-x 的解是 ． 2．函数11)(-=x x f 的反函数=-)(1x f ．3．直线014=-+y x 的倾斜角=θ ． 4．函数πsec cos 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期=T ．5．以双曲线15422=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是 ．6．若向量a b ，的夹角为60，1==b a ，则()a ab -= ． 7．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，90=∠ACB ， 21=AA ，1==BC AC ，则异面直线B A 1与AC 所成角的 大小是 （结果用反三角函数值表示）．8．某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工 序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 ． 9．在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． 10．对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立： ① 01≠+aa ； ② 2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ． 11．如图，A B ，是直线l 上的两点，且2=AB ．两个半径相等的动圆分别与l 相切于A B ，点，C 是这两个圆的公共点，则圆弧AC ，CB 与线段AB 围成图形面积S 的取值范围是 ．二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4 题，每题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分．12．已知a b ∈R ，，且i 3,i 2++b a （i 是虚数单位）是一个实系数一元二次方程的两个根，那么a b ，的值分别是（ ）Ａ．32a b =-=， Ｂ．32a b ==-， Ｃ．32a b =-=-， Ｄ．32a b ==，13．圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是（ ） Ａ．21)2()3(22=-++y x Ｂ．21)2()3(22=++-y x Ｃ．2)2()3(22=-++y xＤ．2)2()3(22=++-y x14．数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n⎧⎪⎪=⎨⎪⎪-⎩，≤≤，，≥， 则数列{}n a 的极限值（ ） Ａ．等于0 Ｂ．等于1Ｃ．等于0或1Ｄ．不存在15．设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ ）Ａ．若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立 Ｂ．若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立 Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立 Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立三．解答题（本大题满分90分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 16．（本题满分12分）在正四棱锥ABCD P -中，2=PA ，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，求正四棱锥ABCD P -的体积V ．PCD17．（本题满分14分）在ABC △中，a bc ，，分别是三个内角A B C ，，的对边．若4π,2==C a ，5522cos=B ，求ABC △的面积S ． 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．近年来，太阳能技术运用的步伐日益加快．2002年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦，年生产量的增长率为34%． 以后四年中，年生产量的增长率逐年递增2%（如，2003年的年生产量的增长率为36%）．（1）求2006年全球太阳电池的年生产量（结果精确到0.1兆瓦）；（2）目前太阳电池产业存在的主要问题是市场安装量远小于生产量，2006年的实际安装量为1420兆瓦．假设以后若干年内太阳电池的年生产量的增长率保持在42%，到2010年，要使年安装量与年生产量基本持平（即年安装量不少于年生产量的95%），这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到多少（结果精确到0.1%）？19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ．（1）当2=a 时，解不等式12)1()(->--x x f x f ； （2）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由．y O 1A2B2A 1B. . . M1FF2Fx. 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分．如果有穷数列123m a a a a ，，，，（m 为正整数）满足条件m a a =1，12-=m a a ，…，1a a m =，即1+-=i m i a a （12i m =，，，），我们称其为“对称数列”．例如，数列12521，，，，与数列842248，，，，，都是“对称数列”．（1）设{}n b 是7项的“对称数列”，其中1234b b b b ，，，是等差数列，且21=b ，114=b ．依次写出{}n b 的每一项；（2）设{}n c 是49项的“对称数列”，其中252649c c c ，，，是首项为1，公比为2的等比数列，求{}n c 各项的和S ；（3）设{}n d 是100项的“对称数列”，其中5152100d d d ，，，是首项为2，公差为3的等差数列．求{}n d 前n 项的和n S (12100)n =，，，．21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分9分．我们把由半椭圆12222=+b y a x (0)x ≥与半椭圆12222=+cx b y (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx b y(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时， P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．PBCADO2007年全国普通高等学校招生统一考试（上海卷）数学试卷(文史类)答案要点一、填空题（第1题至第11题） 1． 1-=x 2． )0(11≠+x x3． 4arctan π- 4． π 5． x y 122= 6．217． 66arccos8． 39． 3.010． ② ④11． π022⎛⎤- ⎥⎝⎦，二、选择题（第12题至第15题）题 号 1213 1415答 案ACB D三、解答题（第16题至第21题）16．解：作⊥PO 平面ABCD ，垂足为O ．连接AO ，O 是 正方形ABCD 的中心，PAO ∠是直线PA 与平面 A B C D 所成的角．PAO ∠＝ 60，2=PA ．∴ 3=PO ．1=AO ，2=AB ，112332333ABCD V PO S ∴==⨯⨯=．17．解： 由题意，得3cos 5B B =，为锐角，54sin =B ，10274π3sin )πsin(sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=B C B A ， 由正弦定理得 710=c ， ∴ 111048sin 222757S ac B ==⨯⨯⨯=．18．解：（1） 由已知得2003，2004，2005，2006年太阳电池的年生产量的增长率依次为%36，%38，%40，%42． 则2006年全球太阳电池的年生产量为8.249942.140.138.136.1670≈⨯⨯⨯⨯(兆瓦)．（2）设太阳电池的年安装量的平均增长率为x ，则441420(1)95%2499.8(142%)x ++≥． 解得0.615x ≥．因此，这四年中太阳电池的年安装量的平均增长率至少应达到%5.61．19．解： （1）1212)1(222->----+x x x x x ， 0122>--x x ， 0)1(<-x x ． ∴ 原不等式的解为10<<x ． （2）当0=a 时，2)(x x f =， 对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，)()()(22x f x x x f ==-=-，)(x f ∴为偶函数．当0≠a 时，2()(00)af x x a x x=+≠≠，， 取1±=x ，得 (1)(1)20(1)(1)20f f f f a -+=≠--=-≠，， (1)(1)(1)f f f f ∴-≠--≠，，∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数．20．解：（1）设数列{}n b 的公差为d ，则1132314=+=+=d d b b ，解得 3=d ， ∴数列{}n b 为25811852，，，，，，． （2）4921c c c S +++= 25492625)(2c c c c -+++= ()122212242-++++= ()3211222625-=--==67108861．（3）51100223(501)149d d ==+⨯-=，．由题意得 1250d d d ，，，是首项为149，公差为3-的等差数列． 当50n ≤时，n n d d d S +++= 21 n n n n n 230123)3(2)1(1492+-=--+=．当51100n ≤≤时，n n d d d S +++= 21()n d d d S ++++= 525150 (50)(51)37752(50)32n n n --=+-+⨯75002299232+-=n n ． 综上所述，22330115022329975005110022n n n n S n n n ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤．21．解：（1） ()()2222012(0)00F c F b c F b c ---，，，，，， ()222220212121F F bc c b F F b c ∴=-+===-=，，于是22223744c a b c ==+=，，所求“果圆”方程为2241(0)7x y x +=≥，2241(0)3y x x +=≤．（2）设()P x y ，，则 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222()1()04b a c x a c x b c x c ⎛⎫-=---++- ⎪⎝⎭，≤≤， 0122<-cb ，∴ 2||PM 的最小值只能在0=x 或c x -=处取到．即当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处．（3）||||21MA M A = ，且1B 和2B 同时位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b +=≥和半椭圆22221(0)y x x b c +=≤上，所以，由（2）知，只需研究P 位于“果圆”的半椭圆22221(0)x y x a b+=≥上的情形即可． 2222||y c a x PM +⎪⎭⎫ ⎝⎛--=22222222224)(4)(2)(c c a a c a b c c a a x a c ---++⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=．当22()2a a c x a c -=≤，即2a c ≤时，2||PM 的最小值在222)(cc a a x -=时取到， 此时P 的横坐标是222)(cc a a -． 当a cc a a x >-=222)(，即c a 2>时，由于2||PM 在a x <时是递减的，2||PM 的最小值在a x =时取到，此时P 的横坐标是a ．综上所述，若2a c ≤，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是222)(cc a a -；若c a 2>，当||PM 取得最小值时，点P 的横坐标是a 或c -．。

2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学 (文科)测试卷（二）本试题卷分选择题和非选择题两部分。

满分150分, 考试时间120分钟。

注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。

2.每小题选出后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2V =Sh球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34πR 3 台体的体积公式 其中R 表示球的半径 V =31h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积， V =31Sh h 表示台体的高其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么P (A +B )=P (A )+P (B )选择题部分（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 是虚数单位，复数z 满足：2)1()21(i z i +=-，则z 的值是 ( ▲ )A ．i 5254+-B. i 5352+-C. i 5254- D. i 5352-2．设集合M=}21{≤<x x ，N=}{a x x ≤，若M N C M R =⋂)(，a 的取值范围是 ( ▲ )A ．(−∞，1）B ．(−∞，1]C ．[1，+∞)D ．(2，+∞）3．设R d c b a ∈,,,，则“d c b a >>,”是“bd ac >”成立的 ( ▲ )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是( ▲ )A ．2B ．-2C ．3D ．-35．如果函数)4cos(ax y +=π的图象关于直线π=x 对称，则正实 数a 的最小值是( ▲ )（第11题）正视图侧视图俯视图24444A ．41=a B ．21=a C ．43=a D ．1=a 6．一个口袋中装有形状和大小完全相同的3个红球和2个白球，甲从这个口袋中任意摸取2个球， 则甲摸得的2个球恰好都是红球的概率是（ ▲ ）A ．103 B ．52 C ．53 D ．327．对于定义在R 上的函数)(x f ，以下四个命题中错误的是 （ ▲ ） A ．若)(x f 是奇函数，则)2(-x f 的图象关于点A （2，0）对称 B ．若函数)2(-x f 的图象关于直线2=x 对称，则)(x f 为偶函数 C ．若对R x ∈，有),()2(x f x f -=-则4是)(x f 的周期 D ．函数)2()2(x f y x f y -=-=与的图象关于直线0=x 对称 8. 若实数x ，y 满足：01243=-+y x ，则x y x 222++的最小值是 （ ▲ ）A. 2B. 3C. 5D. 89． 在△ABC 中，已知4=⋅3=BC ，M 、N 分别是BC边上的三等分点，则AN AM ⋅ 的值是（ ▲ ）A ．5B ．421C ． 6D ． 8 10. 正四面体ABCD 的棱长为1，其中线段AB //平面α，E ，F 分别是线段AD 和BC 的中点，当正四面体绕以AB 为轴旋转时，线段EF 在平面α上的射影11F E 长的范围是（ ▲ ）A.[0，22] B. [66，22] C. [36，22] D. [21，22] 非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分． 11. 设向量)cos ,1(θ=OA ，)tan ,21(θ-=，)23,2(ππθ∈，且OB OA ⊥，则=θ ▲ ．12．设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-0801050y x y x a y ，且目标函数y x z 52-=的最小值是10-，则a 的值是 ▲ .13．某几何体的三视图（单位：cm ）如右图所示，则此几何体的体积等于 ▲ cm 3． 14. 已知函数)(x f y =在R 上为偶函数，当0≥x 时，)1(log )(3+=x x f ，若)2()(t f t f ->，则实数t 的取值范围是 ▲15. 在数列{}n a 中，31=a ，2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈），则2014a 的值是 ▲16. 已知椭圆的方程C ：12222=+-my m m x （0≠m ），若椭圆的离心率)1,22(∈e ，则m 的取值范围是 ▲ .17. 已知函数⎩⎨⎧---=x x e x f x 21)(20<≥x x ，若关于x 的方程a x x f -=)(有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是 ▲ .三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）设ABC △的内角A B C ，，所对的边长分别为a b c ，，，且3=a ，A=︒60，23=+c b ．（Ⅰ）求函数()x A x f 22cos cos +=)(R x ∈ 的单调递增区间及最大值；（Ⅱ）求ABC △的面积的大小19．（本小题满分14分） 在数列{n a }中，11=a ，2111111=+-++n n a a )(*N n ∈，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）设n a b n 21+=（*N n ∈），求数列{}n b 的前10项和10S .20．（本小题满分15分）如图，ABC ∆在平面α内，090=∠ACB ，22==BC AB ，P 为平面α外一个动点，且PC=3，︒=∠60PBC（Ⅰ）问当PA 的长为多少时，PB AC ⊥（Ⅱ）当PAB ∆的面积取得最大值时，求直线BC 与平面PAB 所成角的大小18．（本小题满分15分） 已知函数x e x f x 22)(-=，m x x g +=2)(（R m ∈）.（Ⅰ）试讨论函数)(x f y =的单调性;（Ⅱ）设函数)()()(x g x f x h -=，]3,0[∈x ，当函数)(x h y =有零点时，求实数m 的最大值.22．（本小题满分14分）已知抛物线C ：px y 22= )0(>p ，点A 、B 在抛物线C 上.（Ⅰ）若直线AB 过点M （2p ，0），且AB =4p ，求过A ，B ，O （O 为坐标原点）三点的圆的方程；（Ⅱ） 设直线OA 、OB 的倾斜角分别为βα、，且4πβα=+，问直线AB 是否会过某一定点？若是，求出这一定点的坐标，若不是，请说明理由..2014年浙江省高考模拟冲刺卷（提优卷）数学文科（二）参考答案一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1． 【答案解析】A ．由已知得i z i 2)21(=-，两边同乘)21(i +化简得i z 5254+-=，故选A 2．【答案解析】B ．因为N C R ={x |xa >}，若M N CM R=⋂)(，则∈a (−∞，1]，故选B3．【答案解析】D ．若p 成立，q 不一定成立，例如取3,2,1,2-=-===d c b a ，反之，若q 成立，p 也不一定成立，如2,3,1,2=-==-=d c b a ，所以p 是q 的既不充分也不必要条件，故选D 4．【答案解析】C ．该程序运行后输出的值是3，故选C 5． 【答案解析】C ．由ππk ax =+4，当π=x 时，41-=k a )(Z k ∈，因为0>a ，所以当1=k 时，正数a 取得最小值43，故选C 6． 【答案解析】A ．设3个红球为A ，B ，C ，2个白球为X ，Y ，则取出2个的情况共有10种，其中符合要求的有3种，所求的概率为103，故选A 7． 【答案解析】D ．函数)2()2(x f y x f y -=-=与的图象关于直线2=x 对称，命题D 是错误的，故选D 8.【答案解析】D.由于 x y x 222++=1])1[(22-++y x ，而点（-1，0）到直线01243=-+y x 的距离为35123)1(=-⨯-=d ，所以22)1(y x ++的最小值为3，所以x y x 222++的最小值为8132=-，故选D9． 【答案解析】C设BC 的中点为O ，由4=⋅，即4)()(==+⋅+OB AO ，因为3=BC ，49=OB ，由此可得：425=AO ，而⋅=22OM AO -，由已知21=OM ，所以22OM AO -=641425=-，所以⋅=6，故选C10. 【答案解析】D.如图，取AC 中点为G ，结合已知可得GF //AB ，在正四面体中，AB ⊥CD ，又GE //CD ，所以GE ⊥GF,所以222GF GE EF +=，当四面体绕AB 旋转时，因为GF //平面α，GE 与GF的垂直性保持不变，显然，当CD 与平面α垂直时，GE 在平面上的射影长最短为0，此时EF 在平面α上的射影11F E 的长取得最小值21，当CD 与平面α平行时，GE 在平面上的射影长最长为21，11F E 取得最大值22，所以射影11F E 长的取值范围是 [21，22]，故选D 11. 【答案解析】65πθ=. 由已知得21sin =θ，因为 )23,2(ππθ∈，所以65πθ= 12． 【答案解析】a =2.作出平面区域，由题设画图分析可知，当⎩⎨⎧=-=a y a x 105时，y x z 52-=取得最小值，由此求得2=a .13． 【答案解析】332. 由题意，该几何体为一个四棱锥，其底面是边长为4的正方形，高为2，体积为33224312=⨯⨯ 14. 【答案解析】),1(+∞.由于函数)(x f y =的图象关于y 轴对称，且在0≥x 上为增函数，所以当)2()(t f t f ->时，t t ->2，由此解得1>t ，所以t 的取值范围是),1(+∞15. 【答案解析】42014=a .由2)2)(2(1=--+n n a a （*N n ∈）．可得：)2()2(2)2(12-=-=-++n n n a a a （*N n ∈），所以，数列{}n a 是一个周期数列，周期为2，由于22212-=-a a ，31=a ，所以2a =4，由周期性得2014a =4 16. 【答案解析】223<<m . 由⎩⎨⎧>>-0022m m m ，（1）当10<<m 时，)1,21(212222∈--=--=m m m m m m e ，φ∈m 当1>m 时，)1,21()1(22∈-=-=m m m m e ，223<<m 17. 【答案解析】)0,49(-.如图，直线y=x-a 与函数1)(-==x e x f y 的图象在0≥x 处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时0=a ；直线a x y -= 与函数x x y 22--=)0(<x 的图象有一个切点，切点坐标是)43,23(-，此时相应49-=a ，观察图象可知，方程a x x f -=)(有三个不同的实根时，实数a 的取值范围是)0,49(-.18．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）()x x f 22cos 60cos -=︒x x 2cos 214322cos 141+=++=，由 ππππ2222+≤≤+k x k )(Z k ∈，可得函数()f x 的单调递增区间为)](,2[Z k k k ∈++ππππ，当且仅当)(Z k k x ∈+=ππ时，函数()f x 取得最大值，其最大值是45. （Ⅱ）．由余弦定理3cos2222πbc a c b =-+得3=bc ，由此可得4332323sin 21=⨯==∆A bc S ABC .19．（本小题满分14分）【答案解析】（Ⅰ）设1+=n n a c ，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n c 1是一个等差数列，其首项为21，公差也是21，所以221)1(211n n c n =-+=，所以12-=na n ， （Ⅱ）由（1）得1221221-==+=n n n n a b ，所以数列{}n b 的前10项和10S91092212]211[22121211⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++=ΛΛ5121023= 21．（本小题满分15分）【答案解析】（Ⅰ）因为090=∠ACB ，所以BC AC ⊥，当PC AC ⊥时，PBC AC 平面⊥，而PBC PB 平面⊂，所以PB AC ⊥，此时，63322=+=+=PC AC PA ，即当PA=6时，PB AC ⊥（Ⅱ）在PBC ∆中，因为PC=3，︒=∠60PBCBC=1，所以PC BC ⊥，当PAB ∆的面积取得最大值时，︒=∠90PBA ，（如图）在PBA Rt ∆中，因为AB=PB=2，由此可求得BD=2，又在BCD Rt ∆中，BC=1，所以CD=1，由于BCD PA 平面⊥，所以PBA BCD 平面平面⊥，所以CBD ∠就是直线BC 与平面PAB 所成角，在BCD Rt ∆中，因为BC=CD=1，所以︒=∠45CBD ，所以直线BC 与平面PAB 所成角的大小为︒45 19．（本小题满分15分）【答案解析】 （Ⅰ）令022)(=-='xe xf ，得0=x .当0≥x 时，0)(≥'x f ；当0<x 时，0)(<'x f ，故函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增，函数)(x f y =在区间)0,(-∞上单调递减.（Ⅱ）m x x e x h x---=222)(，x ex h x222)(--='令x e x g x222)(--=，当]3,0[∈x ，0)1(2)(>-='xe x g ，所以)(x g 在]3,0[∈x 上为增函数，对于任意]3,0[∈x ，有)0()(g x g >，即0)0(222)(='>--='h x ex h x，所以)(x h 在]3,0[∈x 上是增函数，)(x h 的最大值m e h --=152)3(3，故函数)(x h y =有零点时，实数m 的最大值是1523-e.22．（本小题满分14分）【答案解析】 （Ⅰ）直线p x 2=与抛物线y 2=2p x 的两个交点坐标分别是：M ()p p 2,2，N ()p p 2,2-，弦长)0(4>=p p MN ，故三角形ABO 是∆Rt ，所以过A ，B ，O 三点的圆方程是：2224)2(p y p x =+-（Ⅱ）解：设点),2(),,2(222121y py B y p y A ，直线AB 的方程为：b my x +=，它与抛物线相交，由方程组⎩⎨⎧=+=pxy b my x 22消去x 可得0222=--pb mpy y ，故mp y y 221=+，pb y y 221-=，这样，tan =4π()21212112212122111tan tan 1tan tan tan y y x x y x y x x x y y x y x y -+=-+=-+=+βαβαβα()2212142p y y y y p -+= 即1=p b mpppb mp p 2242222+-=--⋅，所以mp p b 22--=，所以直线AB 的方程可以写成为：mp p my x 22--=，即()p y m p x 22-=+，所以直线AB 过定点()p p ，22- .题号：03“数学史与不等式选讲”模块（10分）解(Ⅰ)由于1=++c b a ，所以222)3()2()1(+++++c b a)642()14(c b a c b a ++++++=)32(215c b a +++=，由柯西不等式14))(941()32(2=++++≤++c b a c b a ，当且仅当321cb a ==时， )32(c b a ++取得最大值14，又因为1=++c b a ，由此可得：当149,144,141===c b a 时，222)3()2()1(+++++c b a 取得最大值14215+(Ⅱ)因c b a ,,是正实数，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++a bc c ab c ab bac b ac a bc c ab b ac a bc 211)(=++≥b a c ，又因222c b a ca bc ab ++≤++，所以1)()(32=++≤++c b a ca bc ab 所以)(3ca bc ab cabb ac a bc ++≥++．题号：04“矩阵与变换和坐标系与参数方程”模块(10分) 解(Ⅰ)①当切线l 垂直于x 轴时，由题设可求得)712,712(A ，)712,712(-B ，（或)712,712(-'A ，)712,712(--'B ），故1-=⋅OB OA k k ，所以OB OA ⊥； ② 当切线l 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为：m kx y +=，解方程组⎩⎨⎧=-++=0124322y x m kx y 01248)43(222=-+++⇒m kmx x k ，设),(11y x A ，),(22y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=++-=221222143843124k km x x k m x x ，2212122121)())((m x x mk x x k m kx m kx y y +++=++=，所以222222121)438()43124)(1(m kkm mk k m k y y x x ++-++-+=+ （*），因为直线m kx y +=与圆71222=+y x 相切，所以71212=+k m ，即)1(71222k m +=，代入方程（*）化简得02121=+y y x x即1-=⋅OB OA k k ，所以OB OA ⊥．综上①②，证得OB OA ⊥成立(Ⅱ) 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 椭圆C 在极坐标系下的方程是3sin 4cos 1222θθρ+=，因为OB OA ⊥，故可设)2,(),,(21θπρθρ+B A ，所以3)2(sin 4)2(cos )3sin 4cos (11222222θπθπθθ+++++=+OBOA 1273141=+=。

2014年高考冲刺卷七数学命题人：罗攀分值：150分 考试时间：120分钟一、选择题.(5’×10=50’)1．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2 B. 3 C. 2D ．12．函数f (x )＝log 2x ＋x －4的零点所在的区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)3.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)的最小正周期为π，则f (x )的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π3，k π＋5π6(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z) 4.函数f (x )＝ax 2＋bx 与g (x )＝ax ＋b (a ≠0，b ≠0)的图像画在同一坐标系中，只可能是( )A B C D5．已知某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是( )A ．(1)(3)B ．(1)(3)(4)C ．(1)(2)(3)D ．(1)(2)(3)(4)6.已知双曲线x 2＋my 2＝－1的虚轴长是实轴长的2倍，则实数m 的值是( ) A ．4 B.14C ．－14D ．－47.设a ，b 分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x 2＋ax ＋b ＝0有实根的概率是( )A.711B.911C.1118D.7188.如图所示的程序框图输出的所有点都在函数( )A ．y ＝x ＋1的图像上B ．y ＝2x 的图像上C ．y ＝2x 的图像上D ．y ＝2x －1的图像上9.在△ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA ＋PC ＝AB－PB ，那么△PBC 的面积与△ABC 的面积之比是( )A.34B.12C.13D.2310.数列{a n }的通项a n ＝n 2⎝⎛⎭⎫cos 2n π3－sin 2n π3，其前n 项和为S n ，则S 30为( ) A ．470 B ．490 C ．495 D ．510二、填空题.(5’×5=25’)11.已知等比数列{a n }的公比q ＝－12，S n 为其前n 项和，则S 4a 4＝________.12.若点P (m ，n )在由不等式组⎝⎛x ＋y －7≤0，x －2y ＋5≤0，2x －y ＋1≥0所确定的区域内，则n －m 的最大值为________．13.若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.14.已知圆C 的圆心与点P (－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝6，则圆C 的方程为______________________________．15.若x ＞y ，a ＞b ，则在①a －x ＞b －y ，②a ＋x ＞b ＋y ，③ax ＞by ，④x －b ＞y －a ，⑤ay ＞bx 这五个式子中，恒成立的所有不等式的序号是________．三、解答题 （12’+12’+12’+12’+13’+14’=75’）16.已知数列{}2log (1)()n a n N *-∈为等差数列，且133,9a a ==．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明213211a a a a ++-- (11)1n na a ++<-.（12’）17.医生的专业能力参数K 可有效衡量医生的综合能力，K 越大，综合能力越强，并规定: 能力参数K 不少于30称为合格，不少于50称为优秀.某市卫生管理部门随机抽取300名医生进行专业能力参数考核,得到如图所示的能力参数K 的频率分布直方图:（Ⅰ）求出这个样本的合格率、优秀率；（Ⅱ）现用分层抽样的方法从中抽出一个样本容量为20的样本,再从这20名医生中随机选出2名.①求这2名医生的能力参数K 为同一组的概率；②设这2名医生中能力参数K 为优秀的人数为X ,求随机变量X 的分布列和期望. （12’）18.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，1SA AD ==，点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，交SC 于点N ． （1）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；（2）求三棱锥S ACM -的体积．（12’）19.如图所示，扇形AOB,圆心角AOB 的大小等于3π，半径为2，在半径OA 上有一动点C ，过点C 作平行于OB 的直线交弧AB 于点P.（1）若C 是半径OA 的中点，求线段PC 的长；（2）设COP θ∠=,求POC ∆面积的最大值及此时θ的值. （12’）20.已知函数f (x )＝a ln x ＋2a 2x＋x (a ≠0)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －2y ＝0垂直，求实数a 的值； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当a ∈(－∞，0)时，记函数f (x )的最小值为g (a )， 求证：g (a )≤12e 2. （13’）21.已知函数32,1()ln ,1x x bx c x f x a x x ⎧-+++<=⎨≥⎩ 的图像过坐标原点O ，且在点(1,(1))f -- 处的切线斜率为5-. (1) 求实数,b c 的值；(2) 求函数()f x 在区间[1,1]-上的最小值；(3) 若函数()y f x =的图像上存在两点,P Q ，使得对于任意给定的正实数a 都满足POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形，且三角形斜边中点在y 轴上，求点P 的横坐标的取值范围. （14’）2014年高考冲刺卷七 数学答案及解析1.解析：选B 由已知⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，得⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|(a ＋i)·(－i)|＝|1－a i|＝2，∴1＋a 2＝2，∵a >0，∴a ＝ 3.2.解析：选C f ⎝⎛⎭⎫12＝－92，f (1)＝－3，f (2)＝－1，f (3)＝log 23－1>0，f (4)＝2，根据零点存在性定理，所以函数f (x )在区间(2,3)内有零点．3.解析：选D 因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以函数为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6.由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，即函数的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z)． 4.解析：选B 若a >0，选项A 错误；若a <0，选项D 错误；函数f (x )＝ax 2＋bx 图像必过原点，选项C 错误．5.解析：选A 上半部分是球，下半部分是正方体时，俯视图是(1)；上半部分是球，下半部分是圆柱时，俯视图是(3)；(2)中的正视图和侧视图不是轴对称图形；(4)作为俯视图的情况不存在．6.解析：选D 由题意知m <0,2×1＝2×2×－1m ⇒－1m ＝14⇒m ＝－4. 7.解析：选A 若第1次没有5，则第2次必是5，所以试验发生包含的事件数为6＋5＝11.方程x 2＋ax ＋b ＝0有实根要满足a 2－4b ≥0， 当a ＝5时，b ＝1,2,3,4,5,6； 当b ＝5时，a ＝6， 则共有6＋1＝7种结果， ∴满足条件的概率是711.8.解析：选D 依题意，运行程序框图，输出的点依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，易知这四个点均在y ＝2x－1的图像上．9.解析：选A 2PA ＋PC ＝AB －PB ，即2PA ＋PC ＝AB ＋BP ＝AP ，即PC＝3AP ，即点P 在边AC 上且|PC |＝34|AC |，即△PBC 与△ABC 在同一底边上的高的比值是34，故面积之比为34.10.解析：选A 注意到a n ＝n 2cos 2n π3，且函数y ＝cos 2πx3的最小正周期是3，因此当n是正整数时，a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝－12n 2－12(n ＋1)2＋(n ＋2)2＝3n ＋72，其中n ＝1,4，7…，S 30＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5＋a 6)＋…＋(a 28＋a 29＋a 30)＝⎝⎛⎭⎫3×1＋72＋⎝⎛⎭⎫3×4＋72＋…＋⎝⎛⎭⎫3×28＋72＝3×10×(1＋28)2＋72×10＝470.11.解析：由题意知，S 4＝a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－1241－⎝⎛⎭⎫－12＝58a 1，a 4＝a 1⎝⎛⎭⎫－123＝－18a 1，故S4a 4＝－5. 答案：－512.解析：作出可行域，如图中的阴影部分所示，可行域的顶点坐标分别为(1,3)，(2,5)，(3,4)，设目标函数z ＝y －x ，则y ＝x ＋z ，其纵截距为z ，由图易知点P 的坐标为(2,5)时，n －m 最大，为3.13.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球的半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，故S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π14.解析：设圆心C的坐标为(x 0，y 0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧y 0－1x 0＋2＝－1，y 0＋12＝x 0－22＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.令圆C 的半径为r ，圆心C (0，－1)到3x ＋4y －11＝0的距离d ＝3，∴r 2＝32＋32＝18，∴圆C 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝18.答案：x 2＋(y ＋1)2＝1815.解析： 令x ＝－2，y ＝－3，a ＝3，b ＝2， 符合题设条件x ＞y ，a ＞b ，∵a －x ＝3－(－2)＝5，b －y ＝2－(－3)＝5， ∴a －x ＝b －y.因此①不成立．又∵ax ＝－6，by ＝－6，∴ ax ＝by.因此③也不正确． 又∵a y ＝3－3＝－1，b x ＝2－2＝－1，∴a y ＝bx .因此⑤不正确．由不等式的性质可推出②④成立．答案：②④16.解析：（1）设等差数列的公差为d ，由133,9a a ==得2222(log 2)log 2log 8d +=+即d=1； …………3分所以2log (1)1(1)1n a n n -=+-⨯=即21nn a =+． …………6分 （2）证明：nn n n n a a 21221111=-=-++ …………8分所以213211a a a a++--…12311111222n n a a ++=++-…111112221112212n n n-⨯+==-<- …12分17.解析：（I ）解: 各组的频率依次为0.2, 0.3, 0.2, 0.15, 0.1, 0.05, ∴这个样本的合格率为1－0.2=0.8,优秀率为0.15+0.1+0.05=0.3 ―――――――3分（II ）①用分层抽样抽出的样本容量为20的样本中,各组人数依次为4,6,4,3,2,1. 从20名医生中随机选出2名的方法数为190220=C ,选出的2名医生的能力参数K 为同一组的方法数为312223242624=++++C C C C C .故这2名医生的能力参数K 为同一组的概率19031=P ―――――――7分②20名医生中能力参数K 为优秀的有6人,不是优秀的有14人. 依题意, X 的所有可能取值为0,1,2,则()，190910220214===C C X P ()9542122016114===C C C X P ,383)2(22026===C C X P . ∴X 的分布列为∴X 的期望值53829511900=⨯+⨯+⨯=EX .18.证明：（1）∵SA ⊥底面ABCD ，∴SA CD ⊥ 又AD CD ⊥∴CD ⊥面SAD ∴CD AM ⊥······①··········3分又1SA AD ==，且M 是SD 的中点，∴AM SD ⊥·········② 由①②得AM ⊥面SDC ∴AM SC ⊥ 又AN SC ⊥ ∴SC ⊥面AMN ∴平面SAC ⊥平面AMN ····················6分 （2）∵M 是SD 的中点，∴S ACM D ACM M DACV V V ---==.·······9分1111113232212S ACM ACD V S SA -∆∴=⋅=⋅⋅=······12分19.解析：(1)在POC ∆中，32π=∠OCP ,1,2==OC OP ,由32c o s2222πPC OC PC OC OP ⋅-+=032=-+⇒PC PC 2131+-=⇒PC ··············5分（2）CP 平行于OBθπ-=∠=∠⇒3POB CPO在POC ∆中，由正弦定理得θsin sin CP PCD OP =∠，即θπs i n 32s i n 2CP=θs i n 34=∴CP ，又32sin)3sin(θOPOC=-,)3sin(34θπ-=OC . ··············8分记POC ∆的面积为)(θS ，则32sin 21)(πθOC CP S ⋅=)3s i n (34s i n 342321θπθ-⋅⋅⋅=)3s i n (s i n 34θπθ-=332c o s 332s i n -+=θθ=33)62sin(332-+πθ， (10)分∴当6πθ=时，)(θS 取得最大值33. ··············12分20.解析：(1)由已知得，f(x)的定义域为{x|x>0}， f′(x)＝a x －2a2x2＋1(x>0)．根据题意，有f′(1)＝－2，即2a2－a －3＝0， 解得a ＝－1或a ＝32.(2)f′(x)＝a x －2a2x2＋1＝x2＋ax －2a2x2＝x －a x ＋2a x2(x>0)．(ⅰ)当a>0时，由f′(x)>0及x>0得x>a ； 由f′(x)<0及x>0得0<x<a.所以当a>0时，函数f(x)在(a ，＋∞)上单调递增，在(0，a)上单调递减． (ⅱ)当a<0时，由f′(x)>0及x>0得x>－2a ； 由f′(x)<0及x>0得0<x<－2a.所以当a<0时，函数f(x)在(0，－2a)上单调递减，在(－2a ，＋∞)上单调递增． (3)证明：由(2)知，当a ∈(－∞，0)时，函数f(x)的最小值为f(－2a)， 故g(a)＝f(－2a)＝aln(－2a)＋2a2－2a －2a ＝aln(－2a)－3a.g′(a)＝ln(－2a)＋a·－2－2a －3＝ln(－2a)－2，令g′(a)＝0，得a ＝－12e2.当a 变化时，g′(a)，g(a)的变化情况如下表：所以a ＝－12e2是g(a)在(－∞，0)上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是g(a)的最大值点．所以当a ∈(－∞，0)时，g(a)最大值＝g ⎝⎛⎭⎫－12e2＝－12e2ln 2122e ⎡⎤⎛⎫-⨯- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦－3×⎝⎛⎭⎫－12e2＝－12e2ln e2＋32e2＝12e2， 即当a ∈(－∞，0)时，g(a)≤12e2.21．解析：（1）当1x <时，32()f x x x bx c =-+++，2()32f x x x b '∴=-++ 依题意(1)5f '-=-，23(1)2(1)5,0b b --+-+=-∴= 又(0)0,0f c =∴= 故0,0b c == ...............3分（2）当1x <时，322(),()32f x x x f x x x '=-+=-+ 令()0,f x '=有1220,3x x ==，故()f x 在(1,0)-单调递减；在2(0,)3单调递增；在2(,1)3单调递减．又(0)0,f =0)1(=f ,所以当[1,1]x ∈-时，min ()(0)0f x f == ……………………6分（3）设11(,())P x f x ，因为PQ 中点在y 轴上，所以11(,())Q x f x --又1111()(),1f x f x OP OQ x x -⊥∴⋅=-- ①（ⅰ）当11x =时，1()0f x =，当11x =-时，1()0f x -=．故①不成立……7分（ⅱ）当11x -<<时，3232111111(),()f x x x f x x x =-+-=+代人①得：323232322111111111111,()()x x x x x x x x x x x -++⋅=-∴-++=-，421110x x ∴-+=无解 ………8分（ⅲ）当11x >时，3211111()ln ,()f x a x f x x x =-=+代人①得：321111111ln 11(1)ln a x x x x x x x a +⋅=-⇒=+- ②设111111111()(1)ln (1)()ln 0x g x x x x g x x x +'=+>⇒=+>，则1()g x 是增函数.1(1)0,()g g x =∴ 的值域是(0,)+∞．………………………………………10分所以对于任意给定的正实数a ，②恒有解，故满足条件．（ⅳ）由,P Q 横坐标的对称性同理可得，当11x <-时，32111()f x x x =-+11()ln()f x a x -=-，代人①得：321111111ln()11(1)ln()a x x x x x x x a --+⋅=-⇒=-+-- ③设1111()(1)ln()(1)h x x x x =-+-<-，令t x =-，则()(1)l n ,1t t t t ϕ=+>由上面知 ()t ϕ的值域是(0,)+∞1()h x ∴的值域为(0,)+∞.所以对于任意给定的正实数a ，③恒有解，故满足条件。

2014高考数学考前押题：直接证明与间接证明直接证明1.如图,已知△ABC中的两条角平分线AD和CE相交于H,∠B=60°,F在AC上,且AE=AF.(1)证明:B,D,H,E四点共圆;(2)证明:CE平分∠DEF.证明:(1)在△ABC中,∵∠B=60°,∴∠BAC+∠BCA=120°.∵AD,CE是角平分线,∴∠HAC+∠HCA=60°,∴∠AHC=120°.∴∠EHD=∠AHC=120°.∵∠EBD+∠EHD=180°,∴B,D,H,E四点共圆.(2)如图所示,连结BH,则BH为∠ABC的平分线,得∠HBD=30°.由(1)知B,D,H,E四点共圆,∴∠CED=∠HBD=30°.又∠AEH=∠EBD=60°,AE=AF,AH平分∠EAF,∴EF⊥AD.可得∠CEF=30°.∴CE平分∠DEF.2.(2010年某某卷,文21)已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),f′(x)= (x-1)(3x-5),故f′(2)=1.又f(2)=0,所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-23a b),由于a<b且a,b∈R,故a<23a b +,所以f(x)的两个极值点为x=a,x=23a b +.不妨设x1=a,x2=23a b +,因为x3≠x1,x3≠x2, 且x3是f(x)的零点, 故x3=b.又因为23a b+-a=2(b-23a b+),x4=12(a+23a b+)=23a b+,此时a,23a b+,23a b+,b依次成等差数列,所以存在实数x4满足题意,且x4=23a b+.考点二间接证明1.(2010年某某卷,文22)正实数数列{an}中,a1=1,a2=5,且{2na}成等差数列.(1)证明:数列{an}中有无穷多项为无理数;(2)当n为何值时,an为整数?并求出使an<200的所有整数项的和.(1)证明:由已知有:2na=1+24(n-1),从而取n-1=242k-1,则(k∈N*).用反证法证明这些an都是无理数.假设为有理数,则an必为正整数,且an>24k,故an-24k≥1,an+24k>1,与(an-24k)(an+24k)=1矛盾,所以(k∈N*)都是无理数,即数列{an}中有无穷多项为无理数.(2)解:要使an为整数,由(an-1)(an+1)=24(n-1)可知:an-1,an+1同为偶数,且其中一个必为3的倍数,所以有an-1=6m或an+1=6m.当an=6m+1时,有2na=36m2+12m+1=1+12m(3m+1)(m∈N).又m(3m+1)必为偶数,所以an=6m+1(m∈N)满足2na=1+24(n-1),即n=()312m m++1(m∈N)时,an为整数;同理an=6m-1(m∈N*)时,有2na=36m2-12m+1=1+12m(3m-1)(m∈N*)也满足2na=1+24(n-1),即n=()312m m-+1(m∈N*)时,an为整数;显然an=6m-1(m∈N*)和an=6m+1(m∈N)是数列中的不同项,所以当n=()312m m++1(m∈N)和n=()312m m-+1(m∈N*)时,an为整数.由an=6m+1<200(m∈N)有0≤m≤33,由an=6m-1<200(m∈N*)有1≤m≤33.设an中满足an<200的所有整数项的和为S,则S=(1+7+13+…+199)+(5+11+…+197)=11992+×34+51972+×33=6733.2.如图所示,已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M,N分别为AB,DF的中点.(1)若CD=2,平面ABCD⊥平面DCEF,求MN的长;(2)用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线.(1)解:取CD的中点G,连结MG,NG.因为四边形ABCD,DCEF为正方形,且边长为2,所以MG⊥2.因为平面ABCD⊥平面DCEF,所以MG⊥平面DCEF.可得MG⊥NG.所以.(2)证明:假设直线ME与BN共面,则AB⊂平面MBEN,且平面MBEN与平面DCEF交于EN.由题意知两正方形不共面,故AB⊄平面DCEF.又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线,所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF,所以EN∥EF,这与EN∩EF=E矛盾,故假设不成立.所以ME与BN不共面,它们是异面直线.直接证明1.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是( )(A)f(2.5)<f(1)<f(3.5)(B)f(2.5)>f(1)>f(3.5)(C)f(3.5)>f(2.5)>f(1)(D)f(1)>f(3.5)>f(2.5)解析:因为函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,所以直线x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,则f(2.5)>f(1)>f(3.5).故选B.答案:B2.若(a≥0),则P、Q的大小关系是( )(A)P>Q (B)P=Q(C)P<Q (D)由a的取值确定解析:要证P<Q,只需证P2<Q2,即证,只需证a2+7a<a2+7a+12,只需证0<12成立,∵0<12成立,∴P<Q成立.故选C.答案:C3.设a、b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( )(A)b-a>0 (B)a3+b3<0(C)a2-b2<0 (D)b+a>0解析:∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.答案:D间接证明1.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,那么( )(A)△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形(B)△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形(C)△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形(D)△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,假设△A2B2C2是锐角三角形,由211211211πsin cos sin,2πsin cos sin,2πsin cos sin2A A AB B BC C C ⎧⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭⎩得212121π2π,2π,2A AB BC C⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩则A2+B2+C2=π2,这与三角形内角和为180°相矛盾,所以假设不成立,所以△A2B2C2是钝角三角形或直角三角形.假设△A2B2C2是直角三角形,则直角的正弦值为1,则△A1B1C1某角余弦值为1,这与三角形余弦值不可能为1矛盾,所以△A2B2C2不可能是直角三角形,即△A2B2C2是钝角三角形.故选D.答案:D2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时,假设正确的是( )(A)假设三个内角都不大于60度(B)假设三个内角都大于60度(C)假设三个内角至多有一个大于60度(D)假设三个内角有两个大于60度解析:根据反证法的步骤,假设是对原命题结论的否定,对“三角形的内角中至少有一个不大于60度”的否定,即“三个内角都大于60度”.答案:B综合检测1.设a,b,c,d∈(0,+∞),若a+d=b+c且|a-d|<|b-c|,则有( )(A)ad=bc (B)ad<bc(C)ad>bc (D)ad≤bc解析:∵|a-d|<|b-c|,∴(a-d)2<(b-c)2,即a2+d2-2ad<b2+c2-2bc, 又∵a+d=b+c,a,b,c,d>0, ∴(a+d)2=(b+c)2,即a2+d2+2ad=b2+c2+2bc, ∴-4ad<-4bc,∴ad>bc.答案:C2.设x>0,y>0,a=x+y,b=2cosxθ·2sinyθ,则a与b的大小关系是.解析:当sin θ=0时,cos2θ=1,∴b=x<x+y=a即b<a,当cos θ=0时,sin2θ=1,b=y<x+y=a,即b<a, 当sin θ≠0且cos θ≠0时,∵x>0,y>0,∴x<x+y,y<x+y,∴2cosxθ<()2cosx yθ+,2sinyθ<()2sinx yθ+,∴b=2cosxθ·2sinyθ<()2cosx yθ+·()2sinx yθ+=()22sin cosx yθθ++=x+y=a.综上b<a.答案:b<a3.命题:“若空间两条直线a,b分别垂直平面α,则a∥b”,学生小夏这样证明:设a,b与平面α分别相交于A,B,连接AB,∵a⊥α,b⊥α,AB⊂α,①∴a⊥AB,b⊥AB,②∴a∥b.③这里的证明有两个推理,即:①⇒②和②⇒③,老师认为小夏的推理证明不正确,这两个推理中不正确的是.解析:在空间中,垂直于同一条直线的两条直线不一定相互平行,故②⇒③错误.答案:②⇒③4.凸函数的性质定理:如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有()()()12nf x f x f xn+++≤f12nx x xn+++⎛⎫⎪⎝⎭,已知函数y=sin x在区间(0,π)上是凸函数,则在△ABC中,sin A+sin B+sin C的最大值为. 解析:∵f(x)=sin x在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),∴()()()3f A f B f C++≤f3A B C++⎛⎫⎪⎝⎭=fπ3⎛⎫⎪⎝⎭,即sin A+sin B+sin C≤3sin π3∴sin A+sin B+sin C答案。

2014高考数学冲刺绝密档案14
1.已知集合，集合，则= .
2．函数的定义域是 .
3．复数(为虚数单位)的实部是 .
4．已知椭圆的中心在原点、焦点在轴上，若其离心率是，焦距是8，则该椭圆的方程为 ．
5．在等差数列{}中，若，则数列{}前15项的和为 .
6.在中，如果∶∶=5∶6∶8，那么此三角形最大角的余弦值是 ．
7．若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是 .
8．一个用流程图表示的算法如图所示，则其运行后输出的结果为 .
9.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出两个小球,则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是 .
10．若方程的解为，则不小于的最小整数是 ．
11．如图，函数的图象在点P 处的切线是，则= ．
12.已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是： ．
13.若数列满足且,则 .
14.已知是两个互相垂直的单位向量, 且,,,则对任意的正实数,的最小值是 .
1. 2. ∪ 3. 4. y 264 + x 248
=1 5. 360 6. 7. ∪ 8.1320 9.25
10.5 11. 98 12. 正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高 13. 14.。

2014年高考冲刺数学：复习黄金方案
2014年高考冲刺数学：复习黄金方案
在最后冲刺阶段如何高效利用时间?普通成绩平平的考生该如何提高成绩?考试吧高考频道小编为高三同学总结归纳2014年高考最后两个月数学复习黄金方案。

希望对2014届高三考生在备考中有所帮助，欢迎大家阅读作为参考。

1、牢记知识点：数学，虽然是理科，但也要融入一些文科的学习方法。

比如说，对于一些基础知识点、易错点、易混点，甚至这个知识点常出现的一些题型，我们都可以把它记下来，这些基础和知识点我们必须记下来，是我们做题的根据。

2、吃透书本：数学书也是非常重要的，一个是所有的基础知识点，还有一个是例题、方法，可以运用到我们的考试或者平时的练习中，另外有一些拓展题，比如说数列，还有平时没有注意到的小细节也可能成为最后一题的来源，有一些高考题都可以在书上就是找到原本的根据。

3、做题在精不在多：通常做题，买了挺多本，但最后都是做了一点点，后面就没有坚持，所以，建议大家能尽力而为，认准一本或两本，把这一本都弄懂了，而不要一段时间比较闲就做，一段时间没空了就不做。

因为每一本书的知识体系，都是有联系的、固定的，你把这一本书掌握好了，其实就挺够用的了。

这个是我们在平时，还在学习新知识的时候，建议大家这样做。

最后复习阶段，就是所有的知识基本上都已经比较熟练了，要练习的时候，可以用套卷和具体专项
相结合的形式，一周一到两套，也不要太多，然后每做一张考卷要分析一下，自己哪里错了，哪一个知识点还没弄通，或者哪一个类型比较薄弱，再根据这个去选择相应的专项练习。

精心整理，仅供学习参考。

2014高考百天仿真冲刺卷数学卷一一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．. 1． 已知数集{}1 0 2M x =--，，中有3个元素，则实数x 不能取的值构成的集合为 ▲ ． 2． 设集合{}2(1)375A x x x x =-<+，且≥，则A =N ▲ ．3．已知x y 、为正实数，满足26x y xy +=+，则xy 的最小值为 ▲ ．4. 在等腰直角△ABC 中，过直角顶点C 在ACB ∠内部任作一条射线CM ，与线段AB 交于点M ，则AM AC <的概率为 ▲ ．5.已知0a b >>，则216()a b a b +-的最小值为 ▲ ． 6. 过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为▲ .7. 已知存在实数a ，满足对任意的实数b ，直线y x b =-+都不是曲线33y x ax =-的切线，则实数a 的取值X 围是 ▲ ．8. 在△ABC 中，若tan tan tan A B C ++=1，则tan tan tan A B C = ▲ ．9.设函数1()2f x =-对于任意[11] x ∈-，，都有()0f x ≤成立，则实数a = ▲ . 10. 已知{}n a 是首项为a,公差为1的等差数列,1n n na b a +=.若对任意的*n N ∈,都有8n b b ≥成立,则实数a 的取值X 围是▲ .11. 在平面直角坐标系中，若点,A B 同时满足：①点,A B 都在函数)(x f y =图象上；②点,A B 关于原点对称.则称点对(),A B 是函数)(x f y =的一个“姐妹点对”，当函数a x a x g x --=)(，(0,1)a a >≠有“姐妹点对”时，a 的取值X 围是 ▲ .12.线所成角的余弦值为 ▲ ．13. 设,m k 为整数，方程2220mx kx -+=在区间(0,1)内有两个不同的根，则m k +的最小值为 ▲ ．14. 在平面直角坐标系xOy 中，过原点O 的直线与函数8log y x =的图象交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），分别过A 、B 作y 轴的平行线分别与函数2log y x =的图象交于C 、D 两点，若BC //x 轴，则四边形ABCD 的面积为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c（1）求证：acosB+bcosA=c ；（2）若acosB ﹣bcosA=c ，试求的值．16．（14分）如图，在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C⊥平面ABCD ，且AB=BC=CA=，AD=CD=1．（1）求证：BD⊥AA 1；（2）若E 为棱BC 上的一点，且AE∥平面DCC 1D 1，求线段BE 的长度．17. 如图，海岸线MAN ，，现用长为6的拦网围成一养殖场，其中B ∈MA C ∈NA ，．（1）若BC=6，求养殖场面积最大值；（2）若AB=2，AC=4，在折线MB内选点D，使BD+DC=6，求四边形养殖场DBAC的最大面积（保留根号）．18.（16分）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知F1，F2分别是椭圆E：的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且．（1）求椭圆E的离心率；（2）已知点D（1，0）为线段OF2的中点，M 为椭圆E上的动点（异于点A、B），连接MF1并延长交椭圆E于点N，连接MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连接PQ，设直线MN、PQ 的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数λ，使得k1+λk2=0恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．19（本题满分16分）定义在正实数集上的函数()f x 满足下列条件：①存在常数a ）（10<<a ，使得1)(=a f ；②对任意实数m ，当0x >时，恒有()()m f x mf x =． （1）求证：对于任意正实数x y 、，()()()f xy f x f y =+；（2）证明：()f x 在(0)+∞，上是单调减函数；（3）若不等式()()()28log 42log (4)3a a f x f x -+--≤恒成立，某某数a 的取值X 围．20.已知数列{}n a 中,11a = , ()211a a a =-≠,前n 项和n S 恒为正值，且当2n ≥时,1111n n n S a a +=-. （1）求证:数列{}n S 是等比数列.（2）设n a 与2n a +的等差中项为A ,比较A 与1n a +的大小.（3）设m 是给定的正整数，2a =.现按如下方法构造项数为2m 有穷数列{}n b ：当1,22k m m m =++时，1k k k b a a +=⋅.当1,2k m =时，21k m k b b -+=.求数列{}n b 的前n 项和().12,*n T n m n N ≤≤∈.参考答案1. {}1 2，；2. {}5；3.18 ；4.34；5. 16；6. 32；7.13a <； 8. 1； 9. 1； 10 .()8,7--；11.(1,)+∞； 12.155； 13.11； 14.243log 33；15：证明：（1）∵acosB+bcosA==c（2）由（1）acosB+bcosA=c∵acosB﹣bcosA= c∴acosB=，bcosA= ∴5cosAsinB=sinC=sin（A+B ）=sinAcosB+sinBcosA∴4sinBcosA=sinAcosB∴=416 证明：（1）取AC 的中点O ，连接DO ，BO由AD=CD ，AB=BC 可得DO⊥AC，BO⊥AC，故B 、O 、D 三点共线即BD⊥AC，又∵平面AA 1C 1C⊥平面ABCD ，平面AA 1C 1C∩平面ABCD=AC ，BD ⊂平面ABCD∴BD⊥平面AA 1C 1C又∵AA 1⊂平面AA 1C 1C∴BD⊥AA1；解：（2）∵AB=BC=CA=，AD=CD=1故∠DCA=∠DAC=30°，△ABC为等边三角形∵AE∥平面DCC1D1，AE⊂平面ABCD，平面ABCD∩平面DCC1D1=CD故AE∥CD，故∠CAE=30°根据等边三角形三线合一，可得AE为△ABC中BC边上的中线故BE=BC=17：（1）设AB=x，AC=y，x＞0，y＞0．BC2=x2+y2﹣2xycos≥2xy﹣2xy（﹣），∴xy≤12，S=xysin≤3所以，△ABC面积的最大值为 3，当且仅当x=y时取到．（2）∵AB=2，AC=4，BC==2，由DB+DC=6，知点D在以B、C为焦点的椭圆上，∵S△ABC=2为定值只需故四边形养殖场DBAC的面积最大时，仅需△DBC面积最大，需此时点D到BC的距离最大，即D必为椭圆短轴顶点，S△BCD面积的最大值为，因此，四边形ACDB面积的最大值为 2+18：解：（1）∵，∴．∴a+c=5（a﹣c），化简得2a=3c，故椭圆E的离心率为．（2）存在满足条件的常数λ，．∵点D（1，0）为线段OF2的中点，∴c=2，从而a=3，，左焦点F1（﹣2，0），椭圆E的方程为．设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x3，y3），Q（x4，y4），则直线MD的方程为，代入椭圆方程，整理得，．∵，∴． 从而，故点．同理，点． ∵三点M 、F 1、N 共线，∴，从而x 1y 2﹣x 2y 1=2（y 1﹣y 2）． 从而．故，从而存在满足条件的常数λ，．19解：（1）证明：令n m a y a x ==，，则()()()()()()()m n m n f a m n f a mf a nf a f a f a +=+=+=+，所以)()()(y f x f xy f +=，即证；（5分）（2）证明：设120x x ∀<<，则必0s ∃>，满足12s x a x =， 而()1122()()()()0s x f x f x ff a sf a s x -====>， 即12()()f x f x >， 所以()f x 在(0)+∞，上是单调减函数.（10分）（3）令log (4)0a t x =->，则()()2283f t f t +-≤，故()()2328t f f a t +≤，即()3128a t t +≤，所以3a 01a <<，故0a <<．（15分）20解:⑴当3≥n 时, 11111111n n n n n n nS a a S S S S +-+=-=---, 化简得112+-=n n n S S S )3(≥n , 又由11=a ,12-=a a 得31111a a a --=, 解得)1(3-=a a a , ∴2321,,1a S a S S ===，也满足112+-=n n n S S S ,而n S 恒为正值, ∴数列{}n S 是等比数列. ⑵{}n S 的首项为1，公比为a ，1-=n n a S .当2≥n 时,21)1(---=-=n n n n a a S S a ,∴⎩⎨⎧≥-==-2,)1(1,12n a a n a n n . 当1=n 时,221312331333[()]222248n a a a a A a a a ++-+-=-==-+≥, 此时1+>n a A当2≥n 时, 12121)1(2)1()1(2--+++---+-=-+=-n n n n n n n a a a a a a a a a a A 2)1(2)12()1(2322---=+--=n n a a a a a a . ∵n S 恒为正值∴0>a 且1≠a ,若10<<a ,则01<-+n a A , 若1a >,则01>-+n a A . 综上可得,当1=n 时, 1+>n a A ；当2≥n 时，若10<<a ，则1+<n a A ，若1a >,则1+>n a A ⑶∵2=a ∴⎩⎨⎧≥==-2,21,12n n a n n ,当m k m 21≤≤+时, 3212-+=⋅=k k k k a a b .若*∈≤N n m n ,,则由题设得1212221,,,+--===n m n m m b b b b b b=+++=+++=+--1212221n m m m n n b b b b b b T 3)21(241)41(22222141341245434n m n m n m m m ----------=--=+++ 若*∈≤≤+N n m n m ,21,则n m m m n b b b T T ++++=++ 21 3212122142223)21(2-+---++++-=n m m m m 41)41(23)21(212214--+-=----m n m m m 41212222,3m n m --+-=.综上得：412412122(12),13222,123m n n m n m n m T m n m ----⎧-≤≤⎪⎪=⎨+-⎪+≤≤⎪⎩。

山东省德州市2014届高三数学考前50题1.如图，我国的海监船在D岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B处有一外国船只，且D岛位于海监船正东142海里处．(1)求此时该外国船只与D岛的距离；(2)观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D岛12海里处，不让其进入D岛12海里内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin 36°52′≈0.6，sin 53°08′≈0.8)解：(1)依题意，在△ABD中，∠DAB＝45°，由余弦定理得，DB2＝AD2＋AB2－2AD·AB·cos∠DAB＝(142)2＋162－2×142×16×22＝200，(4分)所以DB＝10 2.即此时该外国船只与D岛的距离为102海里．(5分)(2)过点B作BC⊥AD于点C.因为在Rt△BAC中，AC＝AB·cos∠BAD＝16×22＝82，BC＝AB·sin∠BAD＝16×22＝82，所以CD＝AD－AC＝142－82＝6 2.(7分)以D为圆心，12为半径作圆交BC于点E，连接AE，DE.在Rt△CED中，CE＝ED2－CD2＝62，如此BE＝82－62＝2 2.在Rt△AEC中，AE＝AC2＋CE2＝102，sin∠EAC＝CEAE ＝35，所以∠EAC≈36°52′.(9分)又外国船只到达点E的时间t＝BE4＝224＝22(小时)，(10分)所以海监船速度v ≥AE t ＝10222＝20(海里/小时)．故海监船的航向为北偏东约90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为每小时20海里．(13分) 2. 设角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角．(1)设f (A )＝sin A ＋2sin A2，当A 取A 0时，f (A )取极大值f (A 0)，试求A 0和f (A 0)的值；(2)当A 取A 0时，AB →·AC →＝－1，求BC 边长的最小值． 解：(1)f ′(A )＝cos A ＋cos A2＝2cos 2A 2＋cos A2－1＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos A 2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A2＋1.(2分) 因为0＜A ＜π，所以cos A2＋1＞0.由f ′(A )＞0，得cos A 2＞12，所以0＜A 2＜π3，即0＜A ＜2π3.(4分)所以当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3时，f (A )为增函数；当A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π时，f (A )为减函数．故A 0＝2π3时，f (A )取极大值f (A 0)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＝332.(6分) (2)设a ，b ，c 是角A ，B ，C 的对边．由AB →·AC →＝－1知bc ＝2，(8分) 而a ＝b 2＋c 2＋bc ≥3bc ＝6，(10分)当且仅当b ＝c ＝2时，BC 边长的最小值为 6.(12分) 3.关于f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，有以下命题： ①假设f (x 1)＝f (x 2)＝0，如此x 1－x 2＝k π(k ∈Z)； ②f (x )图象与g (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4图象一样；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数；④f (x )图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8，0对称．其中正确的命题是________．解析：①不正确，∵x 1，x 2可关于对称轴对称；∵g (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋3π4＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－〔－2x ＋3π4〕＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故②正确；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8时，2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π2，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π8，－3π8上是减函数，故③正确；当x ＝－π8时，2x ＋π4＝0，∴④正确． 答案：②③④ 4.函数f (x )＝f ′〔1〕e ·e x－f (0)·x ＋12x 2(e 是自然对数的底数)．(1)求函数f (x )的解析式和单调区间；(2)假设函数g (x )＝12x 2＋a 与函数f (x )的图象在区间[－1，2]上恰有两个不同的交点，求实数a 的取值范围．解：(1)由得f ′(x )＝f ′〔1〕ee x－f (0)＋x ，∴f ′(1)＝f ′(1)－f (0)＋1，即f (0)＝1.(2分) 又f (0)＝f ′〔1〕e，∴f ′(1)＝e.从而f (x )＝e x－x ＋12x 2.(4分)显然f ′(x )＝e x－1＋x 在R 上单调递增且f ′(0)＝0，故当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.∴f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，单调递增区间是(0，＋∞)．(7分) (2)由f (x )＝g (x )得a ＝e x－x .令h (x )＝e x－x ，如此h ′(x )＝e x－1.由h ′(x )＝0得x ＝0.(9分)当x ∈(－1，0)时，h ′(x )＜0；当x ∈(0，2)时，h ′(x )＞0. ∴h (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，2)上单调递增， 又h (0)＝1，h (－1)＝1＋1e，h (2)＝e 2－2且h (－1)＜h (2)，∴两个图象恰有两个不同的交点时，实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1e .(13分) 5.f 0(x )＝x e x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n (x )＝f ′n －1(x )，n ∈N *.(1)请写出f n (x )的表达式(不需要证明)； (2)求f n (x )的极小值；(3)设g n (x )＝－x 2－2(n ＋1)x －8n ＋8，g n (x )的最大值为a ，f n (x )的最小值为b ，证明：a －b ≥e －4.解：(1)f n (x )＝(x ＋n )·e x(n ∈N *)．(3分) (2)因为f n (x )＝(x ＋n )·e x ，所以f ′n (x )＝(x ＋n ＋1)·e x.因为x＞－(n＋1)时，f′n(x)＞0；x＜－(n＋1)时，f′n(x)＜0，所以当x＝－(n＋1)时，f n(x)取得极小值f n(－(n＋1))＝－e－(n＋1)．(6分)(3)依题意，a＝g n(－n＋1)＝(n－3)2，又b＝f n(－(n＋1))＝－e－(n＋1)，所以a－b＝(n－3)2＋e－(n＋1)．令h(x)＝(x－3)2＋e－(x＋1)(x≥0)，(8分)如此h′(x)＝2(x－3)－e－(x＋1)，又h′(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，所以h′(x)≥h′(0)＝－6－e－1.又h′(3)＝－e－4＜0，h′(4)＝2－e－5＞0，所以存在x0∈(3，4)使得h′(x0)＝0.(11分)所以当0≤x＜x0时，h′(x)＜0；当x＞x0时，h′(x)＞0.即h(x)在区间[x0，＋∞)上单调递增，在区间[0，x0)上单调递减，所以h(x)min＝h(x0)．(12分)又h(3)＝e－4，h(4)＝1＋e－5，h(4)＞h(3)，所以当n＝3时，a－b取得最小值e－4，即a－b≥e－4.(14分)6．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集、R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b∈R，如此a－b＝0⇒a＝b〞类比推出“假设a，b∈C，如此a－b＝0⇒a ＝b〞；②“假设a，b，c，d∈R，如此复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d〞类比推出“假设a，b，c，d∈Q，如此a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d〞；③“假设a，b∈R，如此a－b＞0⇒a＞b〞类比推出“假设a，b∈C，如此a－b＞0⇒a ＞b〞．其中类比得到的正确结论有________．(填上所有正确的序号)①②7.函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d (b ，c ，d 为常数)，当k ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)时，f (x )－k ＝0只有一个实根；当k ∈(0，4)时，f (x )－k ＝0有3个相异实根． 现给出如下四个命题：①f (x )－4＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根； ②f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根；③f (x )－3＝0的任一实根大于f (x )－1＝0的任一实根； ④f (x )＋5＝0的任一实根小于f (x )－2＝0的任一实根． 其中正确命题的序号是________．解析：令x 1，x 2(x 1＜x 2)为函数f (x )的极值点，由可得函数f (x )的极大值为f (x 1)＝4，极小值为f (x 2)＝0，又f ′(x 1)＝0，f ′(x 2)＝0，故①对；f (x )＝0和f ′(x )＝0有一个一样的实根x 2，②对；结合函数的图象可知f (x )＋5＝0的解均小于f (x )－2＝0的任一实根，④对；f (x )－3＝0和f (x )－1＝0均有3个实根，无法比拟大小，故正确的有①②④. 答案：①②④8.设函数f (x )＝2 013x ＋1＋2 0122 013x＋1＋2 014sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________．解析：依题意得，f (x )＝2 013－12 013x ＋1＋2 014sin x ，注意到12 013x ＋1＋12 013－x＋1＝1，且函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数(注：函数y ＝－12 013x＋1与y ＝2 014sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上都是增函数)，故M ＋N ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝4 026－1＝4 025. 答案：4 0259.设函数f (x )＝e 2x 2＋1x ，g (x )＝e 2x e x ，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g 〔x 1〕k ≤f 〔x 2〕k ＋1恒成立，如此正数k 的取值范围是________．解析：∵k 为正数，∴对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，不等式g 〔x 1〕k ≤f 〔x 2〕k ＋1恒成立⇒⎣⎢⎡⎦⎥⎤g 〔x 〕kmax ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 〔x 〕k ＋1min由g′(x)＝e x ＋2〔1－x 〕e 2x＝0得x ＝1，x ∈(0，1)，g ′(x)＞0，x ∈(1，＋∞)，g ′(x)＜0， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤g 〔x 〕k max ＝g 〔1〕k ＝e k . 同理f′(x)＝e 2x 2－1x2＝0⇒x ＝1e，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1e ，f ′(x)＜0， x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e，＋∞， f ′(x)＞0，⎣⎢⎡⎦⎥⎤f 〔x 〕k ＋1min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ek ＋1＝2ek ＋1， ∴e k ≤2ek ＋1，k ＞0，∴k ≥1. 答案：[1，＋∞) 10.函数f (x )＝x a的图象过点(4，2)，令a n ＝1f 〔n ＋1〕＋f 〔n 〕，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，如此S 2 013＝( )A. 2 012－1B. 2 013－1C. 2 014－1D. 2 014＋1解析：选C.由f(4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，如此f(x)＝x 12.∴a n ＝1f 〔n ＋1〕＋f 〔n 〕＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－2 013)＝ 2 014－1.11.数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2.假设函数f (x )＝sin 2x ＋2cos 2x2，记y n ＝f (a n )，如此数列{y n }的前9项和为( )A ．0B ．－9C ．9D ．1解析：选C.由数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *可知该数列是等差数列，根据题意可知只要该数列中a 5＝π2，数列{y n }的前9项和就能计算得到一个定值，又因为f (x )＝sin 2x ＋1＋cos x ，如此可令数列{a n }的公差为0，如此数列{y n }的前9项和为S 9＝(sin 2a 1＋sin 2a 2＋…＋sin 2a 9)＋(cos a 1＋cos a 2＋…＋cos a 9)＋9＝9sin2a 5＋9cos a 5＋9＝9sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π2＋9cos π2＋9＝9.12.如下命题正确的序号为________．①函数y ＝ln(3－x )的定义域为(－∞，3]；②定义在[a ，b ]上的偶函数f (x )＝x 2＋(a ＋5)x ＋b 的最小值为5；③假设命题p ：对∀x ∈R ，都有x 2－x ＋2≥0，如此命题綈p ：∃x ∈R ，有x 2－x ＋2＜0； ④假设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝4，如此1a ＋1b的最小值为1.解析：命题①中，函数的定义域是(－∞，3)，故命题①不正确；命题②中，假设函数是偶函数，如此必有a ＝－5，b ＝5，即函数f (x )＝x 2＋5，x ∈[－5，5]，其最小值为5，命题②正确；全称命题的否认是特称命题，命题③正确；命题④中，1a ＋1b ＝14(a ＋b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b a ＋a b ≥14⎝⎛⎭⎪⎫2＋2b a ·a b ＝1(当且仅当a ＝b ＝2时，等号成立)，命题④正确． 答案：②③④13.集合{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0}表示的平面区域为Ω，假设在区域Ω内任取一点P (x ，y )，如此点P 的坐标满足不等式x 2＋y 2≤2的概率为( )A.3π32B.3π16C.π32D.π16解析：选A.作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4≤0x ＋y ≥0x －y ≥0表示的平面区域，如图三角形ABO ，且有A ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，B (4，－4)，所以S △ABO ＝12×423×42＝163，点P 的坐标满足不等式x 2＋y2≤2的面积S 扇形＝14×π(2)2＝π2，所以所求概率P ＝π2163＝π2×316＝3π32.14. x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，如此x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92D.112解析：选B .x ＋2y ＝8－x·(2y)≥8－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，整理得(x ＋2y)2＋4(x ＋2y)－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y ＞0，∴x ＋2y ≥4. 15. 随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的25.男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有13的人的休闲方式是运动．(1)完成如下2×2列联表：(2)那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：K 2＝n 〔ad －bc 〕2〔a ＋b 〕〔c ＋d 〕〔a ＋c 〕〔b ＋d 〕，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：解：(1)依题意，被调查的男性人数为2n 5，其中有n5人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为3n 5，其中有n5人的休闲方式是运动，如此2×2列联表如下：(4分)(2)由表中数据，得K 2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n 5·2n 5－n 5·n 522n 5·3n 5·2n 5·3n 5＝n36，要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“性别与休闲方式有关〞，如此K 2≥3.841，所以n36≥3.841，解得n ≥138.276.又n ∈N *且n5∈N *，所以n ≥140，即本次被调查的人数至少是140.(9分)(3)由(2)可知：140×25＝56，即本次被调查的人中，至少有56人的休闲方式是运动．(12分)16.定义差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，现有三个集合A ，B ，C 分别用圆表示，如此集合C －(A －B )可表示如下图中阴影局部的为( )解析：选A.如下列图，A －B 表示图中阴影局部，故C －(A －B )所含元素属于C ，但不属于图中阴影局部，应当选A.17.某几何体的三视图如下列图，其中俯视图中圆的直径为4， 该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，如此V 1∶V 2＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：选A.由三视图知，该几何体为圆柱内挖去一个底面一样的圆锥，因此V 1＝8π－8π3＝16π3，V 2＝4π3×23＝32π3，V 1∶V 2＝1∶2. 18.点P 是底边长为23，高为2的正三棱柱外表上的动点，MN 是该棱 柱内切球的一条直径，如此PM →·PN →的取值范围是( )A ．[0，2]B ．[0，3]C ．[0，4]D ．[－2，2]解析：选C.由题意知内切球的半径为1，设球心为O ，如此PM →·PN →＝(PO →＋OM →)·(PO →＋ON →)＝PO →2＋PO →·(OM →＋ON →)＋OM →·ON →＝|PO →|2－1，且1≤|OP |≤5，∴PM →·PN →∈[0，4]．19.椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于A ，B 两点，且|AF |＋|BF |＝22，|AB |的最小值为2.(1)求椭圆E 的方程；(2)假设圆x 2＋y 2＝23的切线L 与椭圆E 相交于P ，Q 两点，当P ，Q 两点横坐标不相等时，OP (O 为坐标原点)与OQ 是否垂直？假设垂直，请给出证明；假设不垂直，请说明理由．解：(1)设A (x 0，y 0)，如此B (－x 0，－y 0)，F (c ，0)(c 2＝a 2－b 2)，|AF |＋|BF |＝2a ＝22，∴a ＝ 2.(2分) 又|AB |＝〔2x 0〕2＋〔2y 0〕2＝2x 20＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 20a 2b 2＝2b 2＋c 2x 20a2，0≤x 20≤a 2，∴|AB |min ＝2b ＝2，∴b ＝1， ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1.(5分)(2)由题设条件可知直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为y ＝kx ＋m .∵直线L 与圆x 2＋y 2＝23相切，∴|m |1＋k2＝63，∴m 2＝23(k 2＋1)．(7分) 将y ＝kx ＋m 代入x 22＋y 2＝1中得，(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，Δ＝8(2k 2＋1－m 2)＞0.令P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1≠x 2， 如此x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2，① x 1x 2＝2m 2－21＋2k2，② y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 21＋2k2.③(10分)∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2m 2－21＋2k 2＋m 2－2k 21＋2k 2＝3m 2－2k 2－21＋2k2＝0， ∴OP →⊥OQ →，即OP 与OQ 垂直．(12分)20.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为10 6 m(如下列图)，如此旗杆的高度为( )A ．10 mB ．30 mC ．10 3 mD ．10 6 m解析：选B.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝105°，所以∠ACB ＝30°.由正弦定理得106sin 30°＝BCsin 45°，所以BC ＝206×22＝203(m)， 在Rt △CBD 中，CD ＝BC sin 60°＝203×32＝30(m)． 21.假设(x ＋2＋m)9＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝39，如此实数m 的值为( )A ．1或－3B ．－1或3C ．1D ．－3解析：选A .令x ＝0，得到a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2＋m)9，令x ＝－2，得到a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝m 9，所以有(2＋m)9m 9＝39，即m 2＋2m ＝3，解得m ＝1或－3.22.我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数〞(如2 013是“六合数〞)，如此“六合数〞中首位为2的“六合数〞共有( )A ．18个B ．15个C ．12个D ．9个解析：选B .依题意，这个四位数的百位数、十位数、个位数之和为4.由4、0、0组成3个数分别为400、040、004；由3、1、0组成6个数分别为310、301、130、103、013、031，由2、2、0组成3个数分别为220、202、022；由2、1、1组成3个数分别为211、121、112.共计3＋6＋3＋3＝15个．23.如图，M 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱DD 1的中点，给出如下四个命题：①过M 点有且只有一条直线与直线AB 、B 1C 1都相交； ②过M 点有且只有一条直线与直线AB ，B 1C 1都垂直； ③过M 点有且只有一个平面与直线AB ，B 1C 1都相交；④过M点有且只有一个平面与直线AB，B1C1都平行．其中真命题是( )A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③解析：选C.对于①，取CC1的中点N.连接AM，BN并延长分别交底面A1B1C1D1于P，Q两点，如此Q∈B1C1，MQ与AB交于一点，因此①正确；对于②结合图形知，DD1符合要求，且只有DD1，故②正确；同理④正确；过点M可有无数个平面与直线AB，B1C1都相交，故③不正确，因此选C.24.如图，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．如下说法正确的答案是________(填上所有正确的序号)．①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AB；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.解析：连接MN交AE于点P，如此MP∥DE，NP∥AB，∵AB∥CD，∴NP∥CD.对于①，由题意可得平面MNP∥平面DEC，∴MN∥平面DEC，故①正确；对于②，∵AE⊥MP，AE⊥NP，∴AE⊥平面MNP，∴AE⊥MN，故②正确；对于③，∵NP∥AB，∴不论D折至何位置(不在平面ABC内)都不可能有MN∥AB，故③不正确；对于④，由题意知EC⊥AE，故在折起的过程中，当EC⊥DE时，EC⊥平面ADE，∴EC⊥AD，故④正确．答案：①②④25.如图是多面体ABC －A 1B 1C 1和它的三视图．(1)线段CC 1上是否存在一点E ，使BE ⊥平面A 1CC 1，假设不存在，请说明理由，假设存在，请找出并证明；(2)求平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值．解：(1)由题意知AA 1，AB ，AC 两两垂直，建立如下列图的空间直角坐标系，如此A (0，0，0)，A 1(0，0，2)，B (－2，0，0)，C (0，－2，0)，C 1(－1，－1，2)，如此CC 1→＝(－1，1，2)，A 1C 1→＝(－1，－1，0)，A 1C →＝(0，－2，－2)．(1分)设E (x ，y ，z )，如此CE →＝(x ，y ＋2，z )，EC 1→＝(－1－x ，－1－y ，2－z )．(3分)设CE →＝λEC 1→，如此⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ－λx y ＋2＝－λ－λy ，z ＝2λ－λz如此E ⎝⎛⎭⎪⎫－λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ，BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋λ1＋λ，－2－λ1＋λ，2λ1＋λ.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧BE →·A 1C 1→＝0BE →·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋λ1＋λ＋2＋λ1＋λ＝0－2－λ1＋λ＋2λ1＋λ＝0，解得λ＝2，所以线段CC 1上存在一点E ，CE →＝2EC 1→，使BE ⊥平面A 1CC 1.(6分) (2)设平面C 1A 1C 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，如此由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A 1C 1→＝0m ·A 1C →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－x －y ＝0－2y －2z ＝0， 取x ＝1，如此y ＝－1，z ＝1.故m ＝(1，－1，1)，(8分)而平面A 1CA 的一个法向量为n ＝(1，0，0)，如此cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝13＝33，(11分)故平面C 1A 1C 与平面A 1CA 夹角的余弦值为33.(12分)26.如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝2a ，D ，E分别为AC ，AB 的中点，沿DE 将△ADE 折起，得到如下列图的四棱锥A ′－BCDE .(1)在棱A ′B 上找一点F ，使EF ∥平面A ′CD ；(2)当四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值时，求平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值．解：(1)点F 为棱A ′B 的中点．证明如下：取A ′C 的中点G ，连接DG ，EF ，GF ，如此由中位线定理得DE ∥BC ，DE ＝12BC ，且GF ∥BC ，GF ＝12BC .(3分)所以DE ∥GF ，DE ＝GF ，从而四边形DEFG 是平行四边形，EF ∥DG . 又EF ⊄平面A ′CD ，DG ⊂平面A ′CD ，故点F 为棱A ′B 的中点时，EF ∥平面A ′CD .(5分) (2)在平面A ′CD 内作A ′H ⊥CD 于点H ，⎭⎬⎫DE ⊥A ′DDE ⊥CD A ′D ∩CD ＝D ⇒DE ⊥平面A ′CD ⇒DE ⊥A ′H ， 又DE ∩CD ＝D ，故A ′H ⊥底面BCDE ，即A ′H 就是四棱锥A ′－BCDE 的高． 由A ′H ≤AD 知，点H 和D 重合时，四棱锥A ′－BCDE 的体积取最大值．(7分) 分别以DC ，DE ，DA ′所在直线为x ，y ，z 轴，建立如下列图的空间直角坐标系， 如此A ′(0，0，a )，B (a ，2a ，0)，E (0，a ，0)，A ′B →＝(a ，2a ，－a )，A ′E →＝(0，a ，－a )．(9分)设平面A ′BE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′B →＝0m ·A ′E →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋2ay －az ＝0ay －az ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －z ＝0y ＝z ，可取m ＝(－1，1，1)．同理可以求得平面A ′CD 的一个法向量n ＝(0，1，0)． 故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝－1×0＋1×1＋1×03×1＝33，故平面A ′CD 与平面A ′BE 夹角的余弦值为33.(12分)。