C. Steger - Extracting Curvilinear Structures_ A Differential Geometric Approach

微分几何在它的第一阶段，研究范围主要局限于三维的局部微分几何，主要 研究曲面的外在性质；建立曲线、曲面的曲率等一些最基本的微分几何概念；确 立曲线、曲面方程的表示方法；在研究方法上，引入了研究几何工作的分析方法 和微分方程方法，并取得初步成果。
在微分几何发展的第二阶段，研究范围虽然还是局部微分几何，但内容却转 入了曲面的内蕴微分几何的研究，而且维数由二、三维推广到任意 n 维；研究方法 上引入了曲线曲面的参数表达方法、弧长元素、高斯曲率(总曲率)和张量演算等基 本度量关系，开始研究几何的不变性质和不变量，发展了一般研究，不再局限于 对一些具体的曲线、曲面的研究。
Northeastern University June 2009
独创性声明
本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中 取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。
As a moving point traverses the given curve, the motion of the moving frame
{α , β ,γ }contains, apart from an instantaneous translation, an instantaneous rotation. We
评 阅 人 ： 李建华、孟庆贤
东北大学 2009 年 6 月
A Thesis in Fundamental Mathematics
Moving Frames and Darboux Vectors of Curve
By Yang Chunhui Supervisor: Professor Liu Huili

计算机图形学复习题及答案第一章计算机图形学概论1.计算机图形学研究的主要内容有哪些？研究图形图像的计算机生成、处理和显示2.图形学中的图形特点是什么？图形图像有什么区别？图形主要是用矢量表示，图像则是由点阵表示3.计算机图形学发展的主要阶段包括哪些？字符显示->矢量显示->2D光栅显示->3D显示->新的计算机形式4.计算机图形学主要应用哪些方面？你对哪些领域比较熟悉？计算机辅助设计、可视化技术、虚拟现实、地理信息系统、计算机动画与艺术5.颜色模型分为面向用户和__面向设备__两种类型，分别是什么含义？颜色模型是一种在某种特定的上下文中对颜色的特性和行为解释方法。

6.解释三基色原理。

三基色：任意互不相关（任意两种的组合不能产生三种的另一种颜色）的三种颜色构成颜色空间的一组基，三基色通过适当的混合能产生所有颜色。

7.解释加色模型和减色模型的概念。

加色模型：若颜色模型在颜色匹配时只需要将光谱光线直接组合而产生新的颜色类型这种颜色模型称为加色模型，形成的颜色空间称为加色空间减色模型：若颜色模型在匹配是某些可见光会被吸收而产生新的颜色类型，这种颜色模型称为减色模型，形成的颜色空间称为减色空间。

8.RGB表示模型中（1,0,0）（1,1,1）（0,0,0）（0.5,0.5,0.5）分别表示什么颜色？红白黑灰第二章计算机图形的显示与生成1.有哪两种主流的扫描显示方式？光栅扫描随机扫描2.解释屏幕分辩率的概念。

荧光屏在水平方向和垂直方向单位长度上能识别的最大光点数称为分辨率3.CRT产生色彩显示有哪两种技术？分别进行解释。

电子束穿透法：用红—绿两层荧光层涂覆在CRT荧光屏的内层，而不同速度的电子束能穿透不同的荧光粉层而发出不同颜色的光。

荫罩法：在荧光屏每个光点处呈三角形排列着红绿蓝三种颜色的荧光点，三支电子枪分别对应三个荧光点，调节各电子枪发出的电子束强度，即可控制各光点中三个荧光点所发出的红绿蓝三色光的强度。

《视觉SLAM⼗四讲》课后习题—ch6 7.请更改曲线拟合实验中的曲线模型，并⽤Ceres和g2o进⾏优化实验。

例如，可以使⽤更多的参数和更复杂的模型 Ceres：以使⽤更多的参数为例：y-exp(ax^3+bx^2+cx+d) 仅仅是在程序中将模型参数增加到4维，没什么创新⽽⾔1 #include <iostream>2 #include <opencv2/core/core.hpp>3 #include <ceres/ceres.h>4 #include <chrono>56using namespace std;789//cost function的计算模型10struct CURVE_FITTING_COST11 {12 CURVE_FITTING_COST(double x,double y):_x(x),_y(y){}13//残差的计算14 template <typename T>15bool operator()(16const T* const abcd,//参数模型，有3维17 T* residual) const//残差18 {19//y-exp(ax^3+bx^2+cx+d)20 residual[0]=T(_y)-ceres::exp(abcd[0]*T(_x)*T(_x)*T(_x)+abcd[1]*T(_x)*T(_x)+21 abcd[2]*T(_x)+abcd[3]);22return true;23 }24const double _x,_y;//x,y数据25 };262728int main(int argc, char *argv[])29 {30double a=1.0,b=2.0,c=1.0,d=1.0;//真实参数值31int N=100; //数据点32double w_sigma=1.0; //噪声Sigma值33 cv::RNG rng; //opencv随机数产⽣器34double abcd[4]={0,0,0,0}; //abc参数的估计值35 vector<double> x_data,y_data; //数据3637 cout<<"generating data: "<<endl;38for(int i=0;i<N;++i)39 {40double x=i/100.0;41 x_data.push_back(x);42 y_data.push_back(43 exp(a*x*x*x+b*x*x+c*x+d)+rng.gaussian(w_sigma)44 );45 cout<<x_data[i]<<""<<y_data[i]<<endl;46 }4748//构建最⼩⼆乘问题49 ceres::Problem problem;50for(int i=0;i<N;++i){51 problem.AddResidualBlock(//向问题中添加误差项52//使⽤⾃动求导，模板参数：误差类型，输出维度，输⼊维度，数值参照前⾯struct中写法53new ceres::AutoDiffCostFunction<CURVE_FITTING_COST,1,4>(54new CURVE_FITTING_COST(x_data[i],y_data[i])55 ),56 nullptr,//核函数，这⾥不使⽤，为空57 abcd //待估计参数58 );59 }6061//配置求解器62 ceres::Solver::Options options;//这⾥有很多配置项可以填63 options.linear_solver_type=ceres::DENSE_QR;//增量⽅程如何求解64 options.minimizer_progress_to_stdout=true;//输出到out6566 ceres::Solver::Summary summary;//优化信息67 chrono::steady_clock::time_point t1=chrono::steady_clock::now();68 ceres::Solve(options,&problem,&summary);//开始优化69 chrono::steady_clock::time_point t2=chrono::steady_clock::now();70 chrono::duration<double> time_used=chrono::duration_cast<chrono::duration<double>>(t2-t1);71 cout<<"solve time cost= "<<time_used.count()<<" seconds."<<endl;7273//输出结果74 cout<<summary.BriefReport()<<endl;75 cout<<"eastimated a,b,c,d= ";76for(auto a:abcd) cout<<a<<"";77 cout<<endl;78return0;79 }运⾏结果为： generating data:0 2.718280.01 2.904290.02 2.074510.03 2.377590.04 4.077210.05 2.594330.06 2.259460.07 3.250260.08 3.499160.09 1.880010.1 3.837770.11 3.066390.12 4.465770.13 1.249440.14 1.361490.15 2.777490.16 2.6230.17 5.327020.18 3.76660.19 2.17730.2 5.162080.21 2.910420.22 1.296550.23 2.301670.24 2.565490.25 3.954110.26 5.4590.27 5.000780.28 4.037680.29 3.883330.3 6.346150.31 4.993920.32 6.039290.33 4.231590.34 4.144030.35 6.218830.36 5.338380.37 5.165940.38 5.450640.39 5.406120.4 7.003210.41 6.616340.42 6.230230.43 7.576960.44 6.021860.45 6.392850.46 7.033930.47 8.666770.48 5.807180.49 8.765480.5 8.156410.51 8.79390.52 9.300430.53 8.562260.54 10.43220.55 10.02040.56 12.28580.57 10.79170.58 10.76250.59 12.790.6 13.22310.61 13.8990.62 13.34770.63 13.91560.64 15.32540.65 14.99430.66 15.79690.67 18.78250.68 19.17310.69 19.8720.7 19.38180.71 23.00330.72 24.15260.73 25.59620.74 25.04040.75 25.95590.76 29.73160.77 30.83040.78 31.28140.79 33.6270.8 36.19120.81 37.66640.82 41.62950.83 43.91260.84 46.7420.85 48.88380.86 54.12650.87 58.21420.88 60.20130.89 65.86820.9 72.31780.91 77.75780.92 82.43110.93 86.74930.94 94.66510.95 98.74120.96 109.8230.97 117.3950.98 128.150.99 135.634iter cost cost_change |gradient| |step| tr_ratio tr_radius ls_iter iter_time total_time0 6.898490e+04 0.00e+00 2.14e+03 0.00e+00 0.00e+00 1.00e+04 0 1.17e-04 2.15e-041 7.950822e+100 -7.95e+100 0.00e+00 5.63e+02 -1.17e+96 5.00e+03 1 1.61e-04 4.42e-042 3.478360e+99 -3.48e+99 0.00e+00 4.95e+02 -5.12e+94 1.25e+03 1 8.29e-05 5.58e-043 3.566582e+95 -3.57e+95 0.00e+00 3.09e+02 -5.30e+90 1.56e+02 1 5.68e-05 6.41e-044 1.183153e+89 -1.18e+89 0.00e+00 1.51e+02 -1.78e+84 9.77e+00 1 5.18e-05 7.13e-045 3.087066e+73 -3.09e+73 0.00e+00 7.00e+01 -4.91e+68 3.05e-01 1 5.72e-05 7.89e-046 4.413641e+31 -4.41e+31 0.00e+00 2.13e+01 -1.04e+27 4.77e-03 1 5.10e-05 8.59e-047 6.604687e+04 2.94e+03 4.98e+03 6.39e-01 1.65e+00 1.43e-02 1 1.23e-04 1.00e-038 5.395798e+04 1.21e+04 1.59e+04 8.07e-01 2.02e+00 4.29e-02 1 1.14e-04 1.13e-039 3.089338e+04 2.31e+04 3.19e+04 5.71e-01 1.62e+00 1.29e-01 1 1.13e-04 1.26e-0310 8.430982e+03 2.25e+04 3.21e+04 3.74e-01 1.30e+00 3.86e-01 1 1.12e-04 1.39e-0311 8.852002e+02 7.55e+03 1.29e+04 1.77e-01 1.08e+00 1.16e+00 1 1.11e-04 1.52e-0312 2.313901e+02 6.54e+02 2.59e+03 4.89e-02 1.01e+00 3.48e+00 1 1.11e-04 1.65e-0313 1.935710e+02 3.78e+01 8.37e+02 2.72e-02 1.01e+00 1.04e+01 1 1.11e-04 1.77e-0314 1.413188e+02 5.23e+01 6.05e+02 6.43e-02 1.01e+00 3.13e+01 1 1.11e-04 1.90e-0315 8.033187e+01 6.10e+01 3.36e+02 1.08e-01 1.01e+00 9.39e+01 1 1.11e-04 2.03e-0316 5.660145e+01 2.37e+01 7.69e+01 9.43e-02 9.99e-01 2.82e+02 1 1.11e-04 2.15e-0317 5.390796e+01 2.69e+00 1.52e+01 5.86e-02 9.97e-01 8.45e+02 1 1.18e-04 2.29e-0318 5.233724e+01 1.57e+00 9.31e+00 9.73e-02 9.96e-01 2.53e+03 1 1.12e-04 2.42e-0319 5.125192e+01 1.09e+00 3.58e+00 1.21e-01 9.98e-01 7.60e+03 1 1.11e-04 2.54e-0320 5.098190e+01 2.70e-01 1.08e+00 9.37e-02 1.00e+00 2.28e+04 1 1.25e-04 2.68e-0321 5.086440e+01 1.18e-01 6.49e-01 1.47e-01 1.00e+00 6.84e+04 1 1.28e-04 2.84e-0322 5.070258e+01 1.62e-01 4.62e-01 2.86e-01 1.00e+00 2.05e+05 1 1.12e-04 2.97e-0323 5.059978e+01 1.03e-01 2.40e-01 3.30e-01 1.00e+00 6.16e+05 1 1.11e-04 3.09e-0324 5.058282e+01 1.70e-02 7.40e-02 1.68e-01 1.00e+00 1.85e+06 1 1.11e-04 3.22e-0325 5.058233e+01 4.94e-04 1.16e-02 3.17e-02 1.00e+00 5.54e+06 1 1.25e-04 3.36e-03solve time cost= 0.00346683 seconds.Ceres Solver Report: Iterations: 26, Initial cost: 6.898490e+04, Final cost: 5.058233e+01, Termination: CONVERGENCE eastimated a,b,c,d= 0.796567 2.2634 0.969126 0.969952与我们设定的真值a=1,b=2,c=1,d=1相差不多。

ｒａｎｄｏｍ
ｆｉｃＩｄ）．统计学
方法的实质是从统计学的角度出发对数字图像进行 建模，把图像中各个像素点的灰度值看作是具有一 定概率分布的随机变量．从观察到的图像中恢复实 际物体或正确分割观察到的图像从统计学的角度看 就是要找出最有可能，即以最大的概率得到该图像 的物体组合来．从贝叶斯定理的角度看，就是要求出 具有最大后验概率的分布 ＭＲＦ本身是一个条件概率模型，其中每个像素 的概率只与相邻点相关直观的理解是，在ＭＲＦ假 设下，大多数像素和其邻近的像素属于同一类以Ｌ ＝｛（ｉ，Ｊ）：１≤ｉ≤Ｎ】，１≤Ｊ≤Ｎ２｝表示一个Ｎｌ× Ｎ：的图像网络以Ｘ＝｛Ｘ。｝表示一个离散取值的 随机场，随机变量Ｘ。可取图像可能的灰度值集合Ｇ ＝Ｉｇｌ，９２，…，ｇＭ｝中的一个，以ｒ。表示ｘ。的一个
２基于区域的分割方法
图像分割通常会用到不同对象间特征的不连续 性和同一对象内部的特征相似性．基于区域的算法 侧重于利用区域内特征的相似性．
２
１阈值法 阈值分割是最常见的并行的直接检测区域的分
割方法ｂ１如果只需选取一个阈值称为单阈值分割， 它将图像分为目标和背景两大类；如果选取多个阈 值分割称为多阈值方法，图像将被分割为多个目标 区域和背景；为区分目标，还需要对各个区域进行标 记．阈值分割方法基于对灰度图像的一种假设：目标 或背景内的相邻像素间的灰度值是相似的，但不同 目标或背景的像素在灰度上有差异，反映在图像直 方图上，不同目标和背景则对应不同的峰．选取的阈 值应位于两个峰之间的谷，从而将各个峰分开． 阈值分割的优点是实现简单，对于不同类的物 体灰度值或其它特征值相差很大时，它能很有效地 对图像进行分割．阈值分割通常作为医学图像的预 处理，然后应用其它一系列分割方法进行后处理．它 也常被用于ＣＴ图像中皮肤、骨骼的分割． 阈值分割的缺点是不适用于多通道和特征值相 差不大的图像，对于图像中不存在明显灰度差异或 灰度值范围有较大重叠的图像分割问题难以得到准 确的结果．另外，由于它仅仅考虑了图像的灰度信息 而不考虑图像的空间信息，阚值分割对噪声和灰度 不均匀很敏感．针对阈值分割方法的缺点，不少学者 提出了许多改进方法，如基于过渡区的方法【６ Ｊ、利用 像素点空间位置信息的变化阈值法＂ｌ、结台连通信 息Ｌ８ ｏ的阈值方法． 对于多目标的图像来讲，如何选取合适的阈值 是基于阈值分割方法的困难所在．至今仍有不少学 者针对该问题进行深入的研究，提出了许多新方法． 在近年来的自动选取阈值方法中，基于最大熵原则