1 概率论与数理统计期末复习知识点

运算的优先次序： 逆，积，和，差
定义7 （概率的统计定义） 定义8 （概率的公理化定义） 设试验E的样本
空间为Ω，对任意事件A，赋予一实数 P(A)，若
它满足
非负性公理：0≤P(A) ≤1;
规范性公理：P(Ω)=1;
可列可加性公理：若A1, A2, …两两互斥, 则
P ( Ai ) P ( Ai ).
二、随机事件的关系与运算
1. 事件的关系
(1) 包含关系 若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件A包含于B，
记为 A B.
(2) 互斥（互不相容）： 若两个事件A、B不可能同时发生，则称事件A与B互斥 （互不相容）. 必然事件与不可能事件互斥; 基本事件之间是互斥的.
2. 事件的运算
(1) 事件的并（和） 若C表示“事件A与事件B至少有一个发生”这一事件，
fY
(
y)
f
X
[h(
y)] | 0,
h(
y)
|,
y ,
其他.
第三章 二维随机变量及其分布
1. 二维随机变量
(X, Y )：X, Y 是定义在同一样本空间 上的两个随机变量.
2. 联合分布函数、性质 F(x, y) =P{X x, Y y}, (任意实数x, y).
3. 边缘分布函数 FX (x) = F(x, +), FY (y) = F(+, y).
P p1
p2 … pn …
注 ：如果 g( xk ) 中有些项相同，则需将它们 作适当并项.
(2) 连续型随机变量函数的分布 (i) 定义法
FY ( y) P{Y y} P{g( X ) y}
{ x|g( x) y} f X ( x)dx.

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 (2)§2．样本空间、随机事件 (2)§4等可能概型（古典概型） (3)§5．条件概率 (4)§6．独立性 (4)第二章随机变量及其分布 (5)§1随机变量 (5)§2离散性随机变量及其分布律 (5)§3随机变量的分布函数 (6)§4连续性随机变量及其概率密度 (6)§5随机变量的函数的分布 (7)第三章多维随机变量 (7)§1二维随机变量 (7)§2边缘分布 (8)§3条件分布 (8)§4相互独立的随机变量 (9)§5两个随机变量的函数的分布 (9)第四章随机变量的数字特征 (10)§1．数学期望 (10)§2方差 (11)§3协方差及相关系数 (11)第五章 大数定律与中心极限定理 (12)§1． 大数定律 ...................................................................................... 12 §2中心极限定理 . (13)第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()( （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21 是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(（n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

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全概率公式
划分：设S为试验E的样本空间，B1, B2,L , Bn 为E的一 组事件，若
① Bi Bj ,i j,i, j 1, 2,L , n ② B1 U B2 UL U Bn S 则称 B1, B2,L , Bn 为样本空间S的一个划分.
例 E：掷骰子观察点数
S {1，2，3，4，5，6}
条件概率小结
缩减样本空间
条件概率 乘法公式
定义式
全概率公式
贝叶斯公式
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独立性
独立事件：两事件A、B，A发生对B发生没有影响， B发生也对A没有影响，则称两事件相互独立.即 P(A|B)=P(A)且P(B|A)=P(B)，则 P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
例 抛甲，乙两枚硬币，A={甲出现正面H}，B={乙 出现正面H}，问A，B同时发生的概率.
注：全概率公式给出我们一个用来计算在众多原 因 B1, B2,L , Bn 的作用下事件A发生概率的方法. （由因得果）
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贝叶斯公式（由果溯因）
设E的样本空间为S，A为E的事件. B1, B2 ,L , Bn 为S的一个划分，且 P(A)>0,P(Bi ) 0.(i 1, 2,L , n) ，
即在f (x)的连续点
x1 x2
f (x) F '(x) lim F(x x) F(x) lim P{x X x x}
k
均有：P Ai1 Ai2 L Aik P Aij j 1
则称A1, A2,L , An相互独立
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定义 随机试验的结果可以用一个实值变量表示， 这个变量的取值是随机的，但又服从一定的统计规 律性，这种变量称为随机变量，通常用X，Y，Z表 示。

概率论与数理统计知识点总结免费超详细版概率论与数理统计是一门研究随机现象及其统计规律的数学学科，在自然科学、工程技术、社会科学、经济管理等众多领域都有着广泛的应用。

以下是对概率论与数理统计中一些重要知识点的详细总结。

一、随机事件与概率1、随机试验随机试验是指在相同条件下可以重复进行，试验结果不止一个且事先不能确定的试验。

2、样本空间样本空间是随机试验所有可能结果组成的集合。

3、随机事件随机事件是样本空间的子集。

4、事件的关系与运算包括包含、相等、和事件、积事件、差事件、互斥事件、对立事件等。

5、概率的定义概率是对随机事件发生可能性大小的度量。

6、古典概型具有有限个等可能结果的随机试验。

7、几何概型样本空间是某个区域，且每个样本点出现的可能性与区域的面积、体积等成正比。

8、条件概率在已知某事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

9、乘法公式用于计算两个事件同时发生的概率。

10、全概率公式将复杂事件的概率通过划分样本空间分解为简单事件的概率之和。

11、贝叶斯公式在已知结果的情况下，反推导致该结果的原因的概率。

二、随机变量及其分布1、随机变量用数值来描述随机试验的结果。

2、离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量。

3、离散型随机变量的概率分布列出随机变量的取值以及对应的概率。

4、常见的离散型随机变量分布包括 0-1 分布、二项分布、泊松分布等。

5、连续型随机变量取值充满某个区间的随机变量。

6、连续型随机变量的概率密度函数用于描述连续型随机变量的概率分布。

7、常见的连续型随机变量分布包括均匀分布、正态分布、指数分布等。

8、随机变量的函数的分布已知随机变量的分布，求其函数的分布。

三、多维随机变量及其分布1、二维随机变量由两个随机变量组成的向量。

2、二维随机变量的联合分布函数描述二维随机变量的概率分布。

3、二维离散型随机变量的联合概率分布列出二维离散型随机变量的取值组合以及对应的概率。

4、二维连续型随机变量的联合概率密度函数用于描述二维连续型随机变量的概率分布。