专题17 任意角和弧度制及任意角的三角函数-2016年高考数学(理)一轮复习精品资料(解析版)

专题十七 任意角和弧度制及任意角的三角函数 【考情解读】

1.了解任意角的概念； 2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化； 3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义． 【重点知识梳理】

1．角的概念的推广 (1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．

(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角按终边位置不同分为象限角和轴线角 (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝lr(弧长用l表示)

角度与弧度的换算 ①1°＝π180 rad；②1 rad＝180π°

弧长公式 弧长l＝|α|r 扇形面积公式 S＝12lr＝12|α|r2 3.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切

定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么 y叫做α的正弦，记作sin α x叫做α的余弦，记作cos α

y

x叫做α的正

切，记作tan α

各象限符号

Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ －

三角函 数线 有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为

正切线

【高频考点突破】 考点一 象限角与三角函数值的符号判断 【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 (2)若sin α·tan α＜0，且cos αtan α ＜0，则角α是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】(1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z， ∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z. 当k为偶数时，α2是第一象限角； 当k为奇数时，α2是第三象限角． 【答案】(1)C (2)C 【规律方法】 (1)已知θ所在的象限，求θn或nθ(n∈N*)所在的象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角．(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解． 【变式探究1】 (1)设θ是第三象限角，且cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值( ) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在

考点二 三角函数的定义 【例2】 已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sin θ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值． 【规律方法】 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同)． 【变式探究】 已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．

考点三 扇形弧长、面积公式的应用 【例3】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？ 【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则 α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，

S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sin π3 ＝503π－5032＝50π3－32(cm2)．

【规律方法】 涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR. 【变式探究】 已知扇形的周长为4 cm，当它的半径为______ cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________ cm2.

【答案】1 2 1 【真题感悟】

【2015高考新课标1，理2】oooosin20cos10cos160sin10 =( )

（A）32 （B）32 （C）12 （D）12 【答案】D 【解析】原式=oooosin20cos10cos20sin10 =osin30=12，故选D.

（2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为( )

图1-1 A B C D 【答案】C

（2013·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈π2，π，则tan 2α的值是________． 【押题专练】 1．若sin α＜0且tan α＞0，则α是 ( ) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【解析】∵sin α＜0，则α的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴；又tan α＞0，∴α在第一象限或第三象限，故α在第三象限． 【答案】C 2．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为 ( ) A.π3 B.π2 C.3 D．2 【解析】设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r， ∴α＝3. 【答案】C 3．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是 ( ) A．sin α＋cos α＜0 B．tan α－sin α＜0 C．cos α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0 【解析】α是第三象限角，sin α＜0，cos α＜0，tan α＞0，则可排除A，C，D，故选B. 【答案】B 4．已知锐角α的终边上一点P(sin 40°，1＋cos 40°)，则锐角α＝ ( ) A．80° B．70° C．20° D．10°

【解析】根据三角函数定义知，tan α＝1＋cos 40°sin 40°＝2cos220°2sin 20°cos 20°＝cos 20°sin 20°＝sin 70°cos 70°＝tan 70°，故锐角α＝70°. 【答案】B 5．给出下列命题： ①第二象限角大于第一象限角； ②三角形的内角是第一象限角或第二象限角； ③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确． 【答案】A 6．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是 ( ) A．(－2，3] B．(－2，3) C．[－2，3) D．[－2，3]

【解析】由cosα≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3. 【答案】A 7．已知圆O：x2＋y2＝4与y轴正半轴的交点为M，点M沿圆O顺时针运动π2弧长到达点N，以ON为终边的角记为α，则tan α＝ ( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 【解析】圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON为终边的角为αα＝2kπ＋π4，k∈Z，故tan α＝1. 【答案】B 8．已知α是第二象限的角，则180°－α是第________象限的角．

【答案】一 9．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝______． 【解析】因为sin θ＝y42＋y2＝－255， 所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8. 【答案】－8 10．函数y＝2cos x－1的定义域为________． 【解析】∵2cos x－1≥0，∴cos x≥12.