(三轮考前体系通关)2014年高考数学二轮复习简易通 倒数第7天 理 新人教A版

[大题押题练 D 组](建议用时：80分钟)1．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫A ，12，b ，a ，c 成等差数列，且AB →·AC →＝9，求a 的值．解 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6－2x ＋2cos 2x －1＝－12cos 2x ＋32sin 2x ＋cos 2x ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (1)最小正周期T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)由f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12得2A ＋π6＝π6＋2k π或5π6＋2k π(k ∈Z )，即A ＝k π或A ＝π3＋k π，又A 为△ABC 的内角，所以A ＝π3.又因为b ，a ，c 成等差数列，所以2a ＝b ＋c .∵AB →·AC →＝bc cos A ＝12bc ＝9，∴bc ＝18，∴cos A ＝12＝b ＋c 2－a 22bc －1＝4a 2－a 236－1＝a 212－1.∴a ＝3 2.2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n ，点(a n ＋1，S n )在直线3x ＋2y －3＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λ·n ＋λ3n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．解 (1)由题意可得3a n ＋1＋2S n －3＝0，① n ≥2时，3a n ＋2S n －1－3＝0，②①－②得3a n ＋1－3a n ＋2a n ＝0，∴a n ＋1a n ＝13(n ≥2)，a 1＝1,3a 2＋a 1－3＝0，∴a 2＝13，∴{a n }是首项为1，公比为13的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.(2)由(1)知：S n ＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n .若⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λ·n ＋λ3n 为等差数列，则S 1＋λ·1＋λ3，S 2＋λ·2＋λ32，S 3＋λ·3＋λ33成等差数列，∴2⎝⎛⎭⎪⎫S 2＋199λ＝S 1＋43λ＋S 3＋8227λ，解得λ＝32. 又λ＝32时，S n ＋32·n ＋32·3n ＝3n ＋12，显然⎩⎨⎧⎭⎬⎫3n ＋12成等差数列，故存在实数λ＝32，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n ＋λ·n ＋λ3n 成等差数列．3．某校为组建校篮球队，对报名同学进行定点投篮测试，规定每位同学最多投3次，每次在A 或B 处投篮，在A 处投进一球得3分，在B 处投进一球得2分，否则得0分，每次投篮结果相互独立，将得分逐次累加并用X 表示，如果X 的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮方案有以下两种： 方案1：先在A 处投一球，以后都在B 处投； 方案2：都在B 处投篮．已知甲同学在A 处投篮的命中率为0.4，在B 处投篮的命中率为0.6. (1)甲同学若选择方案1，求X ＝2时的概率； (2)甲同学若选择方案2，求X 的分布列和数学期望；(3)甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？请说明理由．解 (1)“在A 处投篮命中”记作事件A ，不中记作A ，“在B 处投篮命中”记作事件B ，不中记作B ，该同学选择方案1，测试结束后所得总分为2为事件(A B B )∪(A B B )，则其概率P 1＝P (A B B )＋P (A B B )＝(1－0.4)×0.6×(1－0.6)＋(1－0.4)×(1－0.6)×0.6＝0.288.(2)该同学选择方案2，测试结束后，所得总分X 所有可能取的值为0,2,4. 则P (X ＝0)＝(1－0.6)×(1－0.6)×(1－0.6)＝0.064，P (X ＝2)＝C 13×0.6×0.42＝0.288，P (X ＝4)＝0.6×0.6＋C 12×0.62×0.4＝0.648，∴X 的分布列是X0 2 4P 0.064 0.288 0.648∴E (X )(3)设该同学选择方案1通过测试的概率为P 2，P 2＝P (A )＋P (A BB )＝0.4＋(1－0.4)×0.6×0.6＝0.616，又选择方案2通过测试的概率P 3＝0.648>0.616，所以该同学选择方案2通过测试的可能性更大．4．如图，在四棱锥P-ABCD 中，已知PB ⊥底面ABCD ，BC ⊥AB ，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝2，CD ⊥PD ，异面直线PA 和CD 所成角等于60°. (1)求证：面PCD ⊥面PBD ；(2)求直线PC 和平面PAD 所成角的正弦值的大小；(3)在棱PA 上是否存在一点E ，使得二面角A-BE-D 的余弦值为66？若存在，指出点E 在棱PA 上的位置，若不存在，说明理由． (1)证明 PB ⊥底面ABCD ，∴PD ⊥CD ， 又∵CD ⊥PD ，PD ∩PB ＝P ，PD ，PB ⊂平面PBD . ∴CD ⊥平面PBD ，又CD ⊂平面PCD ， ∴平面PCD ⊥平面PBD .(2)解 如图，以B 为原点，BA ，BC ，BP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设BC ＝a ，BP ＝b ，则B (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0，a,0)，D (2,2,0)，P (0,0，b )．∵PD →＝(2,2，－b )，CD →＝(2,2－a,0)，CD ⊥PD ， ∴CD →·PD →＝0，∴4＋4－2a ＝0，a ＝4， 又PA →＝(2,0，－b )，CD →＝(2，－2,0)， 异面直线PA 和CD 所成角等于60°， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PA →·CD →|PA→|·|CD →|＝12， 即4b 2＋4·22＝12，解得b ＝2， PC →＝(0,4，－2)，AD →＝(0,2,0)，PA →＝(2,0，－2)．设平面PAD 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AD →＝0，n 1·PA →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧y 1＝0，x 1－z 1＝0.取n 1＝(1,0,1)，∵sin θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PC →·n 1|PC →|·|n 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－220·2＝1010，∴直线PC 和平面PAD 所成角的正弦值为1010. (3)解 假设存在，设PE →＝λPA →，且E (x ，y ，z )，则(x ，y ，z －2)＝λ(2,0，－2)，E (2λ，0,2－2λ)，设平面DEB 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·BE →＝0，n 2·BD →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧λx 2＝λ－1z 2，x 2＝－y 2，取n 2＝(λ－1,1－λ，λ)， 又平面ABE 的法向量n 3＝(0,1,0)， 由cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n 2·n 3|n 2||n 3|＝66，得|1－λ|21－λ2＋λ2＝66，解得λ＝23或λ＝2(不合题意)．∴存在这样的E 点，E 为棱PA 上的靠近A 的三等分点． 5．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋aex.(1)函数f (x )在点(0，f (0))的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，求a 的值； (2)当x ∈[0,2]时，f (x )≥1e 2恒成立，求a 的取值范围．解 (1)f ′(x )＝－ax 2＋2a －1x ＋1－aex，f ′(0)＝1－a ，因为函数f (x )在点(0，f (0))的切线与直线2x ＋y －1＝0平行，所以1－a ＝－2，a ＝3. (2)f ′(x )＝－ax ＋1－ax －1ex，令f ′(x )＝0，当a ＝0时，解得x ＝1，在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单增；在(1,2)上，有f ′(x )<0，函数f (x )单减，而f (0)＝0，f (2)＝2e2，函数f (x )的最小值为0，结论不成立．当a ≠0，解得x 1＝1，x 2＝1－1a.若a <0，f (0)＝a <0.结论不成立；若0<a ≤1，则1－1a≤0，在(0,1)上，有f ′(x )>0，函数f (x )单增；在(1,2) 上，有f ′(x )<0，函数f (x )单减．只需⎩⎪⎨⎪⎧f0≥1e 2，f2≥1e2，得到⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1e 2，a ≥－15，所以1e2≤a ≤1；若a >1,0<1－1a<1，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1a 上，有f ′(x )<0，函数f (x )单减；在⎝⎛⎭⎪⎫1－1a，1上，有f ′(x )>0，函数f (x )单增；在(1,2)上有f ′(x )<0，函数f (x )单减．函数在x ＝1－1a有极小值，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a ≥1e2，f 2≥1e2，得到⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥e－1－1a ，a ≥－15，因为2a －1>1，e －1－1a<1，所以a >1.综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞. 6．已知F 1，F 2分别为椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)的上下焦点，其中F 1是抛物线C 2：x 2＝4y的焦点，点M 是C 1与C 2在第二象限的交点，且|MF 1|＝53.(1)试求椭圆C 1的方程；(2)与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切的直线l ：y ＝k (x ＋t )(t ≠0)交椭圆于A ，B 两点，若椭圆上一点P 满足OA →＋OB →＝λOP →，求实数λ的取值范围．解 (1)由C 2：x 2＝4y 知F 1(0,1)，c ＝1， 设M (x 0，y 0)(x 0<0)， 因M 在抛物线C 2上， 故x 20＝4y 0，①又|MF 1|＝53，则y 0＋1＝53②由①②解得x 0＝－263，y 0＝23.而点M 在椭圆上， ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－263－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－263－02＋⎝⎛⎭⎪⎫23＋12＝4.∴a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. 故椭圆C 1的方程为y 24＋x 23＝1.(2)因为直线l ：y ＝k (x ＋t )与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切， 所以|kt ＋1|1＋k 2＝1⇒k ＝2t 1－t 2(t ≠0，k ≠0)． 把y ＝k (x ＋t )代入x 23＋y 24＝1并整理，得 (4＋3k 2)x 2＋6k 2tx ＋3k 2t 2－12＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝－6k 2t 4＋3k 2，y 1＋y 2＝kx 1＋kt ＋kx 2＋kt ＝k (x 1＋x 2)＋2kt ＝8kt 4＋3k 2，因为，λOP →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)所以，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6k 2t 4＋3k 2λ，8kt 4＋3k 2λ又因为点P 在椭圆上， 所以，12k 4t24＋3k 22λ2＋16k 2t 24＋3k 22λ2＝1⇒λ2＝4k 2t 24＋3k 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1(t ≠0)因为t 2>0，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1t 2＋1>1，所以0<λ2<4，当k ＝0时，因为直线l 与圆x 2＋(y ＋1)2＝1相切， 则t ＝0(舍去)或t ＝－1， 当t ＝－1时，y ＝－1与椭圆有一个交点，不满足题意，舍去．所以λ的取值范围是(－2,0)∪(0,2)．。

第二辑 概率与统计问题[通关演练 A 组] (建议用时：40分钟)1．中国航母“辽宁号”是中国第一艘航母，“辽宁号”以4台蒸汽轮机为动力，为保证航母的动力安全性，科学家对蒸汽轮机进行了170余项技术改进，增加了某项新技术，该项新技术要进入试用阶段前必须对其中的三项不同指标甲、乙、丙进行通过量化检测．假如该项新技术的指标甲、乙、丙独立通过检测合格的概率分别为34，23，12.指标甲、乙、丙合格分别记为4分、2分、4分；若某项指标不合格，则该项指标记0分，各项指标检测结果互不影响．(1)求该项技术量化得分不低于8分的概率；(2)记该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望．解 (1)该项新技术的三项不同指标甲、乙、丙独立通过检测合格分别为事件A 、B 、C ，则事件“得分不低于8分”表示ABC ＋A B C .∴P (ABC ＋A B C )＝P (ABC )＋P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＝34×23×12＋34×13×12＝38. (2)该项新技术的三个指标中被检测合格的指标个数X 的取值为0,1,2,3.P (X ＝0)＝P (A B C )＝14×13×12＝124，P (X ＝1)＝P (A B C ＋A B C ＋A B C )＝34×13×12＋14×23×12＋14×13×12＝14， P (X ＝2)＝P (AB C ＋A BC ＋A B C )＝34×23×12＋14×23×12＋34×13×12＝1124， P (X ＝3)＝P (ABC )＝34×23×12＝14，随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×124＋1×14＋2×24＋3×4＝12.2．甲、乙两人玩猜数字游戏，规则如下：①连续竞猜3次，每次相互独立；②每次竞猜时，先由甲写出一个数字，记为a ，再由乙猜甲写的数字，记为b ，已知a ，b ∈{0,1,2,3,4,5}，若|a －b |≤1，则本次竞猜成功；③在3次竞猜中，至少有2次竞猜成功，则两人获奖． 求甲乙两人玩此游戏获奖的概率．解 由题意基本事件的总数为C 16×C 16＝36(个)，记事件A 为“甲乙两人一次竞猜成功”，若|a －b |＝0，则共有6种竞猜成功；若|a －b |＝1，a ＝1,2,3,4时，b 分别有2个值；而a ＝0或5时，b 只有一种取值．利用古典概型的概率计算公式即可得出P (A )＝6＋5×236＝49.设随机变量X 表示在3次竞猜中竞猜成功的次数，则甲、乙两人获奖的概率P (X ≥2)＝1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫490⎝ ⎛⎭⎪⎫1－493－C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫491⎝ ⎛⎭⎪⎫1－492＝304729.3．某学生参加某高校的自主招生考试，须依次参加A ，B ，C ，D ，E 五项考试，如果前四项中有两项不合格或第五项不合格，则该考生就被淘汰，考试即结束；考生未被淘汰时，一定继续参加后面的考试．已知每一项测试都是相互独立的，该生参加A ，B ，C ，D 四项考试不合格的概率均为12，参加第五项不合格的概率为23.(1)求该生被录取的概率；(2)记该生参加考试的项数为X ，求X 的分布列和期望．解 (1)该生被录取，则A ，B ，C ，D 四项考试有4项合格或3项合格，并且第五项也合格，所以该生被录取的概率为P ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝548.(2)该生参加考试的项数X 可以是2,3,4,5.P (X ＝2)＝12×12＝14；P (X ＝3)＝C 12⎝⎛⎭⎪⎫1－12×12×12＝14；P (X ＝4)＝C 13⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12＝316； P (X ＝5)＝1－14－14－316＝516. X 的分布列为：E (X )＝2×14＋3×14＋4×16＋5×16＝16.[通关演练 B 组](建议用时：40分钟)1．某次考试中，从甲，乙两个班各抽取10名学生的成绩进行统计分析，两班10名学生成绩的茎叶图如图所示，成绩不小于90分为及格．(1)从每班抽取的学生中各抽取一人，求至少有一个及格的概率；(2)从甲班10人中取两人，乙班10人中取一人，三人中及格人数记为X ，求X 的分布列和数学期望．解 (1)由茎叶图可知甲班有4人及格，乙班5人及格．事件“从两班10名学生中各抽取一人，至少有一人及格”记作A ，则P (A )＝1－C 16·C 15C 110·C 110＝1－30100＝710.(2)X 取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 26C 210·C 15C 110＝16，P (X ＝1)＝C 14C 16C 210·C 15C 110＋C 26C 210·C 15C 110＝1330，P (X ＝2)＝C 24C 210·C 15C 110＋C 14C 16C 210·C 15C 110＝13，P (X ＝3)＝C 24C 210·C 15C 110＝115.所以X 的分布列为因此E (X )＝0×16＋1×30＋2×3＋3×15＝10.2．盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字－1,0,1,2.称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验(设每次试验的结果互不影响)． (1)在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；(2)在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；(3)在两次试验中，记卡片上的数字分别为X ，η，试求随机变量X ＝X ·η的分布列与数学期望E (X )．解 (1)记事件A 为“在一次试验中，卡片上的数字为正数”，则P (A )＝24＝12.(2)记事件B 为“在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数”．由(1)可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12.所以P (B )＝1－⎣⎢⎡⎦⎥⎤C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫120·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋C 1412·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝1116.(3)由题意可知，X ，η的可能取值都为－1,0,1,2， 所以随机变量X 的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P (X ＝－2)＝14×14×2＝18； P (X ＝－1)＝14×14×2＝18； P (X ＝0)＝14×14×7＝716； P (X ＝1)＝14×14×2＝18； P (X ＝2)＝14×14×2＝18； P (X ＝4)＝14×14＝116.所以随机变量X 的分布列为所以E (X )＝－2×8－1×8＋0×16＋1×8＋2×8＋4×16＝4.3．现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击两次，每次命中的概率为34，每命中一次得1分，没有命中得0分；向乙靶射击一次，命中的概率为23，命中得2分，没有命中得0分，该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击． (1)求该射手恰好命中两次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )； (3)求该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率．解 (1)记：“该射手恰好命中两次”为事件A ，“该射手第一次射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第二次射击甲靶命中”为事件C ，“该射手射击乙靶命中”为事件D .由题意知，P (B )＝P (C )＝34，P (D )＝23，所以P (A )＝P (BC D )＋P (B C D )＋P (B CD )＝P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＋P (B )P (C )P (D )＝34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝716. (2)根据题意，X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.P (X ＝0)＝P (B C D )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝148； P (X ＝1)＝P (B C D )＋P (B C D )＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＝18；P (X ＝2)＝P (BC D )＋P (B C D )＝34×34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＝1148；P (X ＝3)＝P (B C D )＋P (B CD )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23＋⎝⎛⎭⎪⎫1－34×34×23＝14；P (X ＝4)＝P (BCD )＝34×34×23＝38.故X 的分布列为所以E (X )＝0×148＋1×8＋2×48＋3×4＋4×8＝6.(3)设“该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次”为事件A 1，“该射手向甲靶射击命中一次且向乙靶射击未命中”为事件B 1，“该射手向甲靶射击命中2次且向乙靶射击命中”为事件B 2，则A 1＝B 1∪B 2，B 1，B 2为互斥事件．P (A 1)＝P (B 1)＋P (B 2)＝34×⎝⎛⎭⎪⎫1－34×⎝⎛⎭⎪⎫1－23＋34×34×23＝12.所以，该射手向甲靶射击比向乙靶射击多击中一次的概率为12.。

【最后一搏典型题推荐】解析几何本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·济南模拟)若k，－1，b三个数成等差数列，则直线y＝kx＋b必经过定点()A．(1，－2)B．(1,2)C．(－1,2) D．(－1，－2)【解析】依题意，k＋b＝－2，∴b＝－2－k，∴y＝kx＋b＝k(x－1)－2，∴直线y＝k(x－1)－2必过定点(1，－2)．【答案】 A2．(2013·福建高考)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．【答案】 A3．(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假．命题是()A．若|z1－z2|＝0，则z1＝z2B．若z1＝z2，则z1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·z1＝z2·z2D．若|z1|＝|z2|，则z21＝z22【解析】A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒z1＝z2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题；C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D ，当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．【答案】 D4．若圆心在x 轴上、半径为5的圆O 位于y 轴左侧，且与直线x ＋2y ＝0相切，则圆O 的方程是( )A ．(x －5)2＋y 2＝5B ．(x ＋5)2＋y 2＝5C ．(x －5)2＋y 2＝5D ．(x ＋5)2＋y 2＝5【解析】 设圆心为(a,0)(a <0)，则r ＝|a ＋2×0|12＋22＝5，解得a ＝－5，所以，所求圆的方程为：(x ＋5)2＋y 2＝5，故选D.【答案】 D5．(2013·北京高考)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x【解析】 ∵e ＝3，∴ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝3，∴b 2＝2a 2，∴双曲线方程为x 2a 2－y22a 2＝1，∴渐近线方程为y ＝±2x . 【答案】 B6．(2013·课标全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝2px (p ≥0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5.若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8xB ．y 2＝2x 或y 2＝8xC ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16x【解析】 设M (x 0，y 0)，A (0,2)，MF 的中点为N .由y 2＝2px ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，∴N 点的坐标为x 0＋p22，y 02. 由抛物线的定义知，x 0＋p2＝5， ∴x 0＝5－p2.∴y 0＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2. ∵|AN |＝|MF |2＝52，∴|AN |2＝254. ∴x 0＋p 222＋y 02－22＝254.即⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2＋p 224＋2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 22－22＝254. ∴2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 22－2＝0.整理得p 2－10p ＋16＝0. 解得p ＝2或p ＝8.∴抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝16x . 【答案】 C7．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤2，x ≥1，y ≥0，则z ＝2x ＋y 的最大值和最小值分别为( )A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和0【解析】 作直线2x ＋y ＝0，并向右上平移，过点A 时z 取最小值，过点B 时z 取最大值，可求得A (1,0)，B (2,0)，∴z min ＝2，z max ＝4. 【答案】 B8．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2C.83D.1623【解析】 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)． 直线l 的方程为y ＝1. 所求面积S ＝⎠⎛2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 24d x ＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 3122－2＝83.【答案】 C9．(2013·皖南八校联考)双曲线x 2m －y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2＝4mx 的焦点重合，则n 的值为( )A ．1B ．4C ．8D ．12 【解析】 抛物线焦点F (m,0)为双曲线的一个焦点， ∴m ＋n ＝m 2.又双曲线离心率为2， ∴1＋nm ＝4，即n ＝3m .所以4m ＝m 2，可得m ＝4，n ＝12. 【答案】 D10．(2013·杭州质检)已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3 【解析】 根据已知条件c ＝16－m 2，则点(16－m 2，2216－m 2)在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)上，∴16－m 216＋16－m 22m 2＝1，可得m ＝2 2. 【答案】 B第Ⅱ卷二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上)11．已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为________．【解析】 因为直线过椭圆的左焦点(－3，0)，所以△ABM 的周长为|AB |＋|AM |＋|BM |＝4a ＝8.【答案】 812．l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1，l 2间的距离最大时，直线l 1的方程是________．【解析】 当AB ⊥l 1，且AB ⊥l 2时，l 1与l 2间的距离最大． 又k AB ＝－1－10－1＝2， ∴直线l 1的斜率k ＝－12，则l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0. 【答案】 x ＋2y －3＝013．(2013·福建高考改编)双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．【解析】 由x 24－y 2＝1知顶点(2,0)，渐近线x ±2y ＝0，∴顶点到渐近线的距离d ＝25＝255. 【答案】25514．执行如图1所示的程序框图，若输入n 的值为4，则输出s 的值为________．图1【解析】 i ＝1，s ＝1→s ＝1，i ＝2→s ＝2，i ＝3→s ＝4，i ＝4→s ＝7，i ＝5结束．【答案】 715．三角形ABC 中，已知AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6，且角C 为直角，则角C 的对边c 的长为__________．【解析】 由AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB →＝－6， 得AB →·(BC →＋CA →)＋BC →·CA →＝－6， 即AB →·BA →＋BC →·CA →＝－6， ∵C ＝90°，∴－c 2＝－6，c ＝ 6. 【答案】6三、解答题(本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)已知圆C 的方程为：x 2＋y 2－2mx －2y ＋4m －4＝0(m ∈R )．(1)试求m 的值，使圆C 的面积最小；(2)求与满足(1)中条件的圆C 相切，且过点(1，－2)的直线方程． 【解】 圆C 的方程：(x －m )2＋(y －1)2＝(m －2)2＋1. (1)当m ＝2时，圆的半径有最小值1，此时圆的面积最小． (2)当m ＝2时，圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝1， 设所求的直线方程为y ＋2＝k (x －1)， 即kx －y －k －2＝0，由直线与圆相切，得|2k －1－k －2|k 2＋1＝1，k ＝43， 所以切线方程为y ＋2＝43(x －1)，即4x －3y －10＝0， 又因为过点(1，－2)且与x 轴垂直的直线x ＝1与圆也相切， 所以所求的切线方程为x ＝1或4x －3y －10＝0.17．(本小题满分12分)(2013·山东高考改编)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设A ，B 是椭圆C 上的两点，△AOB 的面积为64.若A 、B 两点关于x 轴对称，E 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .如果OP →＝tOE →，求实数t的值．【解】 (1)设椭圆C 的方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝a 2－b 2，c a ＝22，2b ＝2，解得a ＝2，b ＝1，故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由于A 、B 两点关于x 轴对称，可设直线AB 的方程为x ＝m (－2＜x ＜2，且m ≠0)．将x ＝m 代入椭圆方程得|y |＝2－m 22，所以S △AOB ＝|m |2－m 22＝64.解得m 2＝32或m 2＝12.①又OP→＝tOE →＝12t (OA →＋OB →)＝12t (2m,0)＝(mt,0)， 又点P 在椭圆上，所以(mt )22＝1.②由①②得t 2＝4或t 2＝43.又因为t ＞0，所以t ＝2或t ＝233.18．(本小题满分12分)如图2，四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.图2(1)证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D ；(2)求平面OCB 1与平面BB 1D 1D 的夹角θ的大小．【解】 (1)证明 法一：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点建立如图所示的空间直角坐标系．∵AB ＝AA 1＝2， ∴OA ＝OB ＝OA 1＝1，∴A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (－1,0,0)，D (0，－1,0)，A 1(0,0,1)． 由A 1B 1→＝AB →，易得B 1(－1,1,1)．∵A 1C →＝(－1,0，－1)，BD →＝(0，－2,0)，BB 1→＝(－1,0,1)， ∴A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→＝0， ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1，又BD ∩BB 1＝B ，A 1C ⊄平面BB 1D 1D ， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .法二：∵A 1O ⊥平面ABCD ，∴A 1O ⊥BD .又∵ABCD 是正方形，∴BD ⊥AC ，∴BD ⊥平面A 1OC ，∴BD ⊥A 1C . 又OA 1是AC 的中垂线，∴A 1A ＝A 1C ＝2，且AC ＝2，∴AC 2＝AA 21＋A 1C 2，∴△AA 1C 是直角三角形，∴AA 1⊥A 1C . 又BB 1∥AA 1，∴A 1C ⊥BB 1， ∴A 1C ⊥平面BB 1D 1D .(2)设平面OCB 1的法向量n ＝(x ，y ，z )． ∵OC →＝(－1,0,0)，OB 1→＝(－1,1,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·OC →＝－x ＝0，n ·OB 1→＝－x ＋y ＋z ＝0，∴⎩⎨⎧x ＝0，y ＝－z .取n ＝(0,1，－1)，由(1)知，A 1C →＝(－1,0，－1)是平面BB 1D 1D 的法向量， ∴cos θ＝|cos 〈n ，A 1C →〉|＝12×2＝12. 又∵0≤θ≤π2，∴θ＝π3.19．(本小题满分12分)(2013·广东高考)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.【解】 (1)证明：由4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，得4S 1＝a 22－4－1， 即4a 1＝a 22－4－1，所以a 22＝4a 1＋5.因为a n >0，所以a 2＝4a 1＋5. (2)因为4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，①所以当n ≥2时，4S n －1＝a 2n －4(n －1)－1，②由①－②得4a n ＝a 2n ＋1－a 2n －4， 即a 2n ＋1＝a 2n ＋4a n ＋4＝(a n ＋2)2(n ≥2)．因为a n >0，所以a n ＋1＝a n ＋2，即a n ＋1－a n ＝2(n ≥2)． 因为a 2，a 5，a 14成等比数列，所以a 25＝a 2a 14，即(a 2＋3×2)2＝a 2(a 2＋12×2)，解得a 2＝3.又由(1)知a 2＝4a 1＋5，所以a 1＝1，所以a 2－a 1＝2. 综上知a n ＋1－a n ＝2(n ∈N *)，所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列． 所以a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)． (3)证明：由(2)知1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1， 所以1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝12－14n ＋2<12. 20．(本小题满分13分)(2013·安徽高考)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q .证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．【解】 (1)因为椭圆的焦点在x 轴上且焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1. 由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率kF 1P ＝y 0x 0＋c ，直线F 2P 的斜率kF 2P ＝y 0x 0－c.故直线F2P的方程为y＝y0x0－c(x－c)．当x＝0时，y＝cy0c－x0，即点Q坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，cy0c－x0.因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝y0c－x0.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝y0x0＋c·y0c－x0＝－1.化简得y20＝x20－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．21．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为3 4.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解】(1)依题意知F(0，p2)，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝p4上，因为抛物线C的准线方程为y＝－p 2，所以3p4＝34，即p＝1.因此抛物线C的方程为x2＝2y.(2)假设存在点M(x0，x202)(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′|x＝x0＝(x22)′|x＝x0＝x0，所以直线MQ的方程为y－x202＝x0(x－x0)．令y＝14得x Q＝x02＋14x0，所以Q(x02＋14x0，14)．又|QM |＝|OQ |，故(14x 0－x 02)2＋(14－x 202)2＝(14x 0＋x 02)2＋116， 因此(14－x 202)2＝916.又x 0>0，所以x 0＝2，此时M (2，1)．故存在点M (2，1)，使得直线MQ 与抛物线C 相切于点M .。

倒数第8天 三角函数、平面向量[保温特训] (时间：45分钟)1．已知sin α＝23，则cos (π－2α)＝( )．A ．－53B ．－19 C.19 D.53 解析 cos (π－2α)＝－cos 2α＝2sin 2 α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫232－1＝－19.答案 B2．为了得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象( )．A ．向左平移π4个单位长度 B ．向右平移π4个单位长度 C ．向左平移π2个单位长度 D ．向右平移π2个单位长度解析 注意到把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝sin [2(x－π4)＋π6]＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，故选B.答案 B3．已知向量a 与b 均为单位向量，它们的夹角为π3，那么|a ＋3b |等于( )．A.7B.10C.13 D ．13解析 |a ＋3b |2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝10＋6×1×1×cos π3＝13.∴|a ＋3b |＝13. 答案 C4．函数y ＝sin x ＋cos x 的最大值和最小正周期分别是( )．A.2，π B ．2，π C.2，2π D ．2,2π 解析 y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，故y max ＝2，最小正周期为T ＝2π.答案 C5．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝( )．A ．(－3，－5)B ．(3,5)C ．(2,4)D ．(－2，－4)解析 BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，BD →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．答案 A6．函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别为( )．A ．2,0B ．2，π4C ．2，－π3D ．2，π6 解析 由图可知，A ＝1，34T ＝11π12－π6＝3π4，所以T ＝π，∴ω＝2πT ＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，∴π3＋φ＝π2，∴φ＝π6.答案 D7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC( )．A ．一定是锐角三角形B ．一定是钝角三角形C ．一定是直角三角形D ．一定是斜三角形解析 根据余弦定理，得c ×b 2＋c 2－a 22bc ＝b ，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 一定是直角三角形． 答案 C8．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP→＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →等于( )．A.49B.43 C ．－43 D ．－49解析 由AP→＝2PM →知，P 为△ABC 的重心，所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·()PB →＋PC →＝2AP →·PM →＝2|AP →|·|PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.答案 A9．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )．A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析 根据正弦定理，得c ＝23b ，又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝c 2－(a 2－b 2)2bc ＝c 2－3bc 2bc ＝32，所以A ＝30°.答案 A10．设向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，cos θ，向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ，13，且a ∥b ，则锐角θ为 ( )．A ．60°B ．30°C ．75°D ．45°解析 ∵a ∥b ，∴32×13－cos θsin θ＝0，∴sin 2θ＝1，又θ为锐角，∴θ＝45°. 答案 D11．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π]，则θ的值为________．解析 由题意可知，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4在第四象限，且点P 落在角θ的终边上，所以tan θ＝－1，故θ＝7π4. 答案 7π412．已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，λa ＋b 与a 垂直，则λ＝________. 解析 λa ＋b ＝(λ＋4，－3λ－2)，∴(λa ＋b )·a ＝(λ＋4，－3λ－2)·(1，－3)＝(λ＋4)－3(－3λ－2)＝10λ＋10＝0，得λ＝－1. 答案 －113．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积S ＝14()b 2＋c 2－a 2，若a ＝10，则bc 的最大值是________．解析 S ＝12bc sin A ＝14()b 2＋c 2－a 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc sin A ，结合余弦定理，得sin A ＝cos A ，故A ＝π4，又根据余弦定理得100＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，故bc ≤1002－2＝100＋50 2. 答案 100＋50 214．已知tan θ＝3，则sin 2θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝________. 解析 sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θ＝sin 2 θ＋2sin θcos θ－cos 2 θsin 2 θ＋cos 2 θ＝tan 2θ＋2tan θ－1tan 2 θ＋1＝9＋2×3－19＋1＝1410＝75.答案 7515．已知函数f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a (ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间[6,16]上的最大值为4，求a 的值．解 (1)f (x )＝2sin ωx －4sin 2ωx2＋2＋a ＝2sin ωx －2(1－cos ωx )＋2＋a ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4＋a ，∴2ω＋π4＝π2，得ω＝π8，∴f (x )的最小正周期T ＝2πω＝16. (2)由(1)可得f (x )＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4＋a ，∵x ∈[6,16]，∴π8x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，9π4，∴当π8x ＋π4＝9π4，即x ＝16时，f (x )最大， 由22sin 9π4＋a ＝4，得a ＝2.[知识排查]1．求三角函数在定义区间上的值域(最值)，一定要结合图象．2．求三角函数的单调区间要注意x 的系数的正负，最好经过变形使x 的系数为正．3．求y ＝sin ωx 的周期一定要注意ω的正负． 4．“五点法”作图你是否准确、熟练地掌握了？ 5．由y ＝sin x ―→y ＝A sin (ωx ＋φ)的变换你掌握了吗？6．你还记得三角化简的通性通法吗？(降幂公式、异角化同角、异名化同名等)． 7．已知三角函数值求角时，要注意角的范围的挖掘． 8．在△ABC 中，A >B ⇔sin A >sin B . 9．使用正弦定理时易忘比值还等于2R .10．在解决三角形问题时，正弦定理、余弦定理、三角形面积公式你记住了吗？ 11．a ＝0，则a ·b ＝0，但由a ·b ＝0，不能得到a ＝0或b ＝0，因为a ⊥b ，a ·b ＝0.12．由a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立．13．两向量平行与垂直的充要条件是什么？坐标表示也应熟记．。