一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，在⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点E ，连接AC ，BC ，点F 是BA 延长线上的一点，且∠FCA ＝∠B .(1)求证：CF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，tan ∠ACD ＝ 12，求AB 和FC 的长．【答案】(1)见解析;(2) ⑵AB=20 ， 403CF =【解析】 分析：（1）连接OC ，根据圆周角定理证明OC ⊥CF 即可；（2）通过正切值和圆周角定理，以及∠FCA ＝∠B 求出CE 、BE 的长，即可得到AB 长，然后根据直径和半径的关系求出OE 的长，再根据两角对应相等的两三角形相似（或射影定理）证明△OCE ∽△CFE ，即可根据相似三角形的对应线段成比例求解.详解：⑴证明：连结OC∵AB 是⊙O 的直径∴∠ACB=90°∴∠B+∠BAC=90°∵OA=OC∴∠BAC=∠OCA∵∠B=∠FCA∴∠FCA+∠OCA=90°即∠OCF=90°∵C 在⊙O 上∴CF 是⊙O 的切线⑵∵AE=4，tan ∠ACD12AE EC = ∴CE=8∵直径AB ⊥弦CD 于点E∴AD AC =∵∠FCA ＝∠B∴∠B=∠ACD=∠FCA∴∠EOC=∠ECA∴tan ∠B=tan ∠ACD=1=2CE BE ∴BE=16∴AB=20∴OE=AB÷2-AE=6∵CE ⊥AB∴∠CEO=∠FCE=90°∴△OCE ∽△CFE ∴OC OE CF CE= 即106=8CF ∴40CF 3= 点睛：此题主要考查了圆的综合知识，关键是熟知圆周角定理和切线的判定与性质，结合相似三角形的判定与性质和解直角三角形的知识求解，利用数形结合和方程思想是解题的突破点，有一定的难度，是一道综合性的题目.2．矩形ABCD 中，点C （3，8），E 、F 为AB 、CD 边上的中点，如图1，点A 在原点处，点B 在y 轴正半轴上，点C 在第一象限，若点A 从原点出发，沿x 轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B 随之沿y 轴下滑，并带动矩形ABCD 在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t 秒，当点B 到达原点时停止运动．（1）当t =0时，点F 的坐标为 ；（2）当t =4时，求OE 的长及点B 下滑的距离；（3）求运动过程中，点F 到点O 的最大距离；（4）当以点F 为圆心，FA 为半径的圆与坐标轴相切时，求t 的值．【答案】（1）F （3，4）；（2）8-43；（3）7；（4）t 的值为245或325. 【解析】试题分析：（1）先确定出DF ，进而得出点F 的坐标；（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO =30°，即可得出结论； （3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，即可得出结论；（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．试题解析：解：（1）当t =0时．∵AB =CD =8，F 为CD 中点，∴DF =4，∴F （3，4）； （2）当t =4时，OA =4．在Rt △ABO 中，AB =8，∠AOB =90°，∴∠ABO =30°，点E 是AB 的中点，OE =12AB =4，BO =43，∴点B 下滑的距离为843-．（3）当O 、E 、F 三点共线时，点F 到点O 的距离最大，∴FO=OE+EF=7．（4）在Rt △ADF 中，FD 2+AD 2=AF 2，∴AF 22FD AD +，①设AO =t 1时，⊙F 与x 轴相切，点A 为切点，∴FA ⊥OA ，∴∠OAB +∠FAB =90°．∵∠FAD +∠FAB =90°，∴∠BAO =∠FAD ．∵∠BOA =∠D =90°，∴Rt △FAE ∽Rt △ABO ，∴AB AO FA FE =，∴1853t =，∴t 1=245，②设AO =t 2时，⊙F 与y 轴相切，B 为切点，同理可得，t 2=325．综上所述：当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为245或325．点睛：本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．3．已知A（2,0），B（6,0），CB⊥x轴于点B，连接AC画图操作：（1）在y正半轴上求作点P，使得∠APB=∠ACB（尺规作图，保留作图痕迹）理解应用：（2）在（1）的条件下，①若tan∠APB12=，求点P的坐标②当点P的坐标为时，∠APB最大拓展延伸：（3）若在直线y43=x+4上存在点P，使得∠APB最大，求点P的坐标【答案】（1）图形见解析（2）（0，2），（0，4）（0，33953-，1255）【解析】试题分析：（1）以AC为直径画圆交y轴于P，连接PA、PB，∠PAB即为所求；（2）①由题意AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）；②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．想办法求出点P坐标即可解决问题；试题解析：解：（1）∠APB如图所示；（2）①如图2中，∵∠APB=∠ACB，∴tan∠ACB=tan∠APB=12=ABBC．∵A（2，0），B（6，0），∴AB=4，BC=8，∴C（6，8），∴AC的中点K（4，4），以K为圆心AK为半径画圆，交y轴于P和P′，易知P（0，2），P′（0，6）．②当⊙K与y轴相切时，∠APB的值最大，此时AK=PK=4，AC=8，∴BC22AC AB3，∴C（6，3∴K（4，2），∴P（0，3案为：（0，3（3）如图3中，当经过AB的园与直线相切时，∠APB最大．∵直线y=43x+4交x轴于M（﹣3，0），交y轴于N（0，4）．∵MP是切线，∴MP2=MA•MB，∴MP5PK⊥OA于K．∵ON∥PK，∴ONPK=OMMK=NMMP，∴4PK=3MK35，∴PK125MK=955，∴OK=55﹣3，∴P（955﹣3，1255）．点睛：本题考查了一次函数综合题、直线与圆的位置关系、平行线的性质、切线的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线解决问题，学会构造辅助圆解决最大角问题，属于中考压轴题．4．如图，AB是⊙O的直径，D、D为⊙O上两点，CF⊥AB于点F，CE⊥AD交AD的延长线于点E，且CE=CF.（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）连接CD、CB，若AD=CD=a，求四边形ABCD面积.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）连接OC，AC，可先证明AC平分∠BAE，结合圆的性质可证明OC∥AE，可得∠OCB＝90°，可证得结论；（2）可先证得四边形AOCD为平行四边形，再证明△OCB为等边三角形，可求得CF、AB，利用梯形的面积公式可求得答案．【详解】（1）证明：连接OC，AC．∵CF⊥AB，CE⊥AD，且CE＝CF．∴∠CAE＝∠CAB．∵OC＝OA，∴∠CAB＝∠OCA．∴∠CAE＝∠OCA．∴OC∥AE．∴∠OCE＋∠AEC＝180°，∵∠AEC＝90°，∴∠OCE＝90°即OC⊥CE，∵OC是⊙O的半径，点C为半径外端，∴CE是⊙O的切线．（2）解：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA＝∠CAB，∴DC∥AB，∵∠CAE＝∠OCA，∴OC∥AD，∴四边形AOCD是平行四边形，∴OC＝AD＝a，AB＝2a，∵∠CAE＝∠CAB，∴CD＝CB＝a，∴CB＝OC＝OB，∴△OCB是等边三角形，在Rt△CFB中，CF＝，∴S四边形ABCD＝（DC＋AB）•CF＝【点睛】本题主要考查切线的判定，掌握切线的两种判定方法是解题的关键，即有切点时连接圆心和切点，然后证明垂直，没有切点时，过圆心作垂直，证明圆心到直线的距离等于半径．5．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD＝23．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F．（1）求证：DF为⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，DE＝7，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）详见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）连结OD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据平行线的性质得到OD⊥DF，根据切线的判定定理证明；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，证明△OBD为等边三角形，得到∠ODB=60°，OB=BD=23，根据勾股定理求出PE，证明△ABE∽△AFD，根据相似三角形的性质求出AE，根据阴影部分的面积=△BDF的面积-弓形BD的面积计算．【详解】证明：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC交⊙O于D，∴∠BAD=∠CAD，∴BD CD，∴OD⊥BC，∵BC∥DF，∴OD⊥DF，∴DF为⊙O的切线；（2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC，∴∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∴△OBD为等边三角形，∴∠ODB=60°，3，∴∠BDF=30°，∵BC∥DF，∴∠DBP=30°，在Rt△DBP中，PD=123，3，在Rt△DEP中，∵37∴22(7)(3)=2，∵OP⊥BC，∴BP=CP=3，∴CE=3﹣2=1，∵∠DBE=∠CAE，∠BED=∠AEC，∴△BDE∽△ACE，∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=17，∴AE=577 ∵BE ∥DF ， ∴△ABE ∽△AFD ，∴BE AE DF AD= ，即57571257DF = ， 解得DF=12，在Rt △BDH 中，BH=12BD=3， ∴阴影部分的面积=△BDF 的面积﹣弓形BD 的面积=△BDF 的面积﹣（扇形BOD 的面积﹣△BOD 的面积）=22160(23)3123(23)23604π⨯⨯⨯--⨯ =93﹣2π． 【点睛】考查的是切线的判定，扇形面积计算，相似三角形的判定和性质，圆周角定理的应用，等边三角形的判定和性质，掌握切线的判定定理，扇形面积公式是解题的关键．6．如图，□ABCD 的边AD 是△ABC 外接圆⊙O 的切线，切点为A ，连接AO 并延长交BC 于点E ，交⊙O 于点F ，过点C 作直线CP 交AO 的延长线于点P ，且∠BCP ＝∠ACD ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线；（2）若∠B ＝67.5°，BC ＝2，求线段PC ，PF 与弧CF 所围成的阴影部分的面积S ．【答案】（1）见解析；（2）14π-【解析】 【分析】（1） 过C 点作直径CM ，连接MB ，根据CM 为直径，可得∠M+∠BCM ＝90°，再根据AB ∥DC 可得∠ACD ＝∠BAC ，由圆周角定理可得∠BAC ＝∠M ，∠BCP ＝∠ACD ，从而可推导得出∠PCM ＝90°，根据切线的判定即可得；（2）连接OB ，由AD 是⊙O 的切线，可得∠PAD ＝90°，再由BC ∥AD ，可得AP ⊥BC ，从而得BE ＝CE ＝ 12BC ＝1，继而可得到∠ABC ＝∠ACB ＝67.5°，从而得到∠BAC ＝45°，由圆周角定理可得∠BOC=90°，从而可得∠BOE ＝∠COE ＝∠OCE ＝ 45°，根据已知条件可推导得出OE ＝CE ＝1，PC ＝OC 22OE CE 2+部分的面积.【详解】（1）过C点作直径CM，连接MB，∵CM为直径，∴∠MBC＝90°，即∠M+∠BCM＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AD∥BC，∴∠ACD＝∠BAC，∵∠BAC＝∠M，∠BCP＝∠ACD，∴∠M＝∠BCP，∴∠BCP+∠BCM＝90°，即∠PCM＝90°，∴CM⊥PC，∴PC与⊙O相切；（2）连接OB，∵AD是⊙O的切线，切点为A，∴OA⊥AD，即∠PAD＝90°，∵BC∥AD，∠AEB=∠PAD＝90°，∴AP⊥BC．∴BE＝CE＝12BC＝1，∴AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝67.5°，∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝45°，∴∠BOC＝2∠BAC＝90°，∵OB＝OC，AP⊥BC，∴∠BOE＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∵∠PCM＝90°，∴∠CPO＝∠COE＝∠OCE＝ 45°，∴OE＝CE＝1，PC＝OC＝22OE CE2+=，∴S＝S△POC－S扇形OFC＝()245π21π221 23604⨯⨯⨯-=-．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、扇形面积等，综合性较强，准确添加辅助线是解题的关键.7．如图，已知△ABC，23BC=，∠B=45°，点D在边BC上，联结AD，以点A 为圆心，AD为半径画圆，与边AC交于点E，点F在圆A上，且AF⊥AD．（1）设BD为x，点D、F之间的距离为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）如果E是DF的中点，求:BD CD的值；（3）联结CF，如果四边形ADCF是梯形，求BD的长．【答案】(1) 2442y x x (0≤x≤3); (2) 45; (3) BD 的长是1或1+52. 【解析】【分析】 （1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．构造直角三角形，利用解直角三角形和勾股定理求得AD 的长度．联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度，在Rt △ADF 中，利用锐角三角形函数的定义求得DF 的长度，易得函数关系式．（2）由勾股定理求得：AC=22AH DH +．设DF 与AE 相交于点Q ，通过解Rt △DCQ 和Rt △AHC 推知12DQ CQ =．故设DQ=k ，CQ=2k ，AQ=DQ=k ，所以再次利用勾股定理推知DC 的长度，结合图形求得线段BD 的长度，易得答案．（3）如果四边形ADCF 是梯形，则需要分类讨论：①当AF ∥DC 、②当AD ∥FC ．根据相似三角形的判定与性质，结合图形解答．【详解】（1）过点A 作AH ⊥BC ，垂足为点H ．∵∠B =45°，AB 2∴·cos 1BH AH AB B ===．∵BD 为x ，∴1DH x =-．在Rt △ADH 中，90AHD ∠=︒，∴22222AD AH DH x x =+=-+． 联结DF ，点D 、F 之间的距离y 即为DF 的长度．∵点F 在圆A 上，且AF ⊥AD ，∴AD AF =，45ADF ∠=︒．在Rt △ADF 中，90DAF ∠=︒，∴2442cos AD DF x x ADF==-+∠ ∴2442y x x =-+．()03x ≤≤ ;（2）∵E 是DF 的中点，∴AE DF ⊥，AE 平分DF ．∵BC=3，∴312HC =-=．∴AC =．设DF 与AE 相交于点Q ，在Rt △DCQ 中，90DQC ∠=︒，tan DQ DCQ CQ ∠=． 在Rt △AHC 中，90AHC ∠=︒，1tan 2AH ACH HC ∠==． ∵DCQ ACH ∠=∠，∴12DQ CQ =． 设,2DQ k CQ k ==，AQ DQ k ==，∵3k =k =，∴53DC ==． ∵43BD BC DC =-=，∴4:5BD CD =． （3）如果四边形ADCF 是梯形 则①当AF ∥DC 时，45AFD FDC ∠=∠=︒．∵45ADF ∠=︒，∴AD BC ⊥，即点D 与点H 重合． ∴1BD =．②当AD ∥FC 时，45ADF CFD ∠=∠=︒．∵45B ∠=︒，∴B CFD ∠=∠．∵B BAD ADF FDC ∠+∠=∠+∠，∴BAD FDC ∠=∠．∴ABD ∆∽DFC ∆．∴AB AD DF DC =． ∵DF =，DC BC BD =-．∴2AD BC BD =-．即23x =-,整理得 210x x --=，解得 x =综上所述，如果四边形ADCF 是梯形，BD 的长是1或2． 【点睛】此题属于圆的综合题，涉及了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角函数值以及勾股定理等知识，综合性较强，解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．8．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC 为直径，BD AD =，DE ⊥BC ，垂足为E ．（1）判断直线ED 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若CE =1，AC =4，求阴影部分的面积．【答案】（1）ED 与O 相切.理由见解析；（2）2=33S π-阴影. 【解析】【分析】 （1）连结OD ，如图，根据圆周角定理，由BD AD =得到∠BAD =∠ACD ，再根据圆内接四边形的性质得∠DCE =∠BAD ，所以∠ACD =∠DCE ；利用内错角相等证明OD ∥BC ，而DE ⊥BC ，则OD ⊥DE ，于是根据切线的判定定理可得DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，易得四边形ODEH 为矩形，所以OD =EH =2，则CH =HE ﹣CE =1，于是有∠HOC =30°，得到∠COD =60°，然后根据扇形面积公式、等边三角形的面积公式和阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD 进行计算即可．【详解】（1）直线ED 与⊙O 相切．理由如下：连结OD ，如图，∵BD AD =，∴∠BAD =∠ACD ．∵∠DCE =∠BAD ，∴∠ACD =∠DCE ．∵OC =OD ，∴∠OCD =∠ODC ，而∠OCD =∠DCE ，∴∠DCE =∠ODC ，∴OD ∥BC ． ∵DE ⊥BC ，∴OD ⊥DE ，∴DE 为⊙O 的切线；（2）作OH ⊥BC 于H ，则四边形ODEH 为矩形，∴OD =EH ．∵CE =1，AC =4，∴OC =OD =2，∴CH =HE ﹣CE =2﹣1=1．在Rt △OHC 中，∵OC =2，CH =1，∠OHC =90°，∠HOC =30°，∴∠COD =60°，∴阴影部分的面积=S 扇形OCD ﹣S △OCD260233604π⋅⋅=-•22 23=π3-．【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了扇形面积的计算．9．如图，AB是半圆⊙O的直径，点C是半圆⊙O上的点，连接AC，BC，点E是AC的中点，点F是射线OE上一点．（1）如图1，连接FA，FC，若∠AFC＝2∠BAC，求证：FA⊥AB；（2）如图2，过点C作CD⊥AB于点D，点G是线段CD上一点（不与点C重合），连接FA，FG，FG与AC相交于点P，且AF＝FG．①试猜想∠AFG和∠B的数量关系，并证明；②连接OG，若OE＝BD，∠GOE＝90°，⊙O的半径为2，求EP的长．【答案】（1）见解析；（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．理由见解析；②PE＝36．【解析】【分析】（1）证明∠OFA＝∠BAC，由∠EAO+∠EOA＝90°，推出∠OFA+∠AOE＝90°，推出∠FAO＝90°即可解决问题．（2）①结论：∠GFA＝2∠ABC．连接FC．由FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．因为AG AG，推出∠GFA＝2∠ACG，再证明∠ACG＝∠ABC．②图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．想办法证明∠GFA＝120°，求出EF，OF，OG即可解决问题．【详解】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，EC＝EA，∴OF⊥AC，∴FC＝FA，∴∠OFA＝∠OFC，∵∠CFA＝2∠BAC，∴∠OFA＝∠BAC，∵∠OEA＝90°，∴∠EAO+∠EOA＝90°，∴∠OFA+∠AOE＝90°，∴∠FAO＝90°，∴AF⊥AB．（2）①解：结论：∠GFA＝2∠ABC．理由：连接FC．∵OF垂直平分线段AC，∴FG＝FA，∵FG＝FA，∴FC＝FG＝FA，以F为圆心FC为半径作⊙F．∵AG AG，∴∠GFA＝2∠ACG，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵CD⊥AB，∴∠ABC+∠BCA＝90°，∵∠BCD+∠ACD＝90°，∴∠ABC＝∠ACG，∴∠GFA＝2∠ABC．②如图2﹣1中，连接AG，作FH⊥AG于H．∵BD＝OE，∠CDB＝∠AEO＝90°，∠B＝∠AOE，∴△CDB≌△AEO（AAS），∴CD＝AE，∵EC＝EA，∴AC＝2CD．∴∠BAC ＝30°，∠ABC ＝60°，∴∠GFA ＝120°，∵OA ＝OB ＝2，∴OE ＝1，AE ＝，BA ＝4，BD ＝OD ＝1， ∵∠GOE ＝∠AEO ＝90°，∴OG ∥AC ， 323DG OG ∴==, 22221AG DG AD ∴=+=， ∵FG ＝FA ，FH ⊥AG ，∴AH ＝HG 21∠AFH ＝60°， ∴AF ＝27sin 603AH ︒=， 在Rt △AEF 中，EF 2213AF AE -=， ∴OF ＝OE +EF ＝43 ， ∵PE ∥OG ， ∴PE EF OG 0F=， ∴134233=， ∴PE 3． 【点睛】圆综合题，考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题.10．已知：如图，以等边三角形ABC 一边AB 为直径的⊙O 与边AC 、BC 分别交于点D 、E ，过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ．（1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若等边三角形ABC 的边长为4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（2）332 23π-【解析】试题分析：（1）连接DO，要证明DF为⊙O的切线只要证明∠FDP=90°即可；（2）首先由已知可得到CD，CF的长，从而利用勾股定理可求得DF的长；再连接OE，求得CF，EF的长，从而利用S直角梯形FDOE﹣S扇形OED求得阴影部分的面积．试题解析：（1）证明：连接DO．∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠C=60°．∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形．∴∠ADO=60°，∵DF⊥BC，∴∠CDF=90°﹣∠C=30°，∴∠FDO=180°﹣∠ADO﹣∠CDF=90°，∴DF为⊙O的切线；（2）∵△OAD是等边三角形，∴AD=AO=AB=2．∴CD=AC﹣AD=2．Rt△CDF中，∵∠CDF=30°，∴CF=CD=1．∴DF=，连接OE，则CE=2．∴CF=1，∴EF=1．∴S直角梯形FDOE=（EF+OD）•DF=，∴S扇形OED==，∴S阴影=S直角梯形FDOE﹣S扇形OED=﹣．【点睛】此题考查学生对切线的判定及扇形的面积等知识点的掌握情况，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了等边三角形的性质和利用割补法计算补规则图形的面积．。
中考数学专项复习《圆的综合题》练习题(附答案)一、单选题1．连接圆上的任意两点的线段叫做圆的（）.A．半径B．直径C．弦D．弧2．如图为△ABC和一圆的重叠情形，此圆与直线BC相切于C点，且与AC交于另一点D．若∠A=70∘，∠B=60°，则CD̂的度数为何（）A．50∘B．60∘C．100∘D．120∘3．挂钟分针的长10cm，经过20分钟，它的针尖转过的路程是() A．20π3cm B．10πcm C．20πcm D．5πcm 4．已知，AB是∠O的直径，且C是圆上一点，小聪透过平举的放大镜从正上方看到水平桌面上的三角形图案的∠B（如图所示），那么下列关于∠A与放大镜中的∠B关系描述正确的是（）A．∠A+∠B=900B．∠A=∠BC．∠A+∠B＞900D．∠A+∠B的值无法确定5．已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（）A．2√3B．3√3C．4√3D．6√3 6．若一圆锥的底面圆的周长是4πcm，母线长是6cm，则该圆锥的侧面展开图的圆心角的度数是()A．40°B．80°C．120°D．150°7．如图，AB是∠O的直径，∠CDB=40°，则∠ABC=（）A．40°B．50°C．60°D．80°8．如图，在平面直角坐标系中已知B(2，0)，四边形ABCD和AEFG都是正方形，点A、D、E共线，点G、A、B在x轴上，点C，E，F在以O为圆心OC为半径的圆⌢的长为（）.上，则FCA．√5πB．√5πC．5π2D．5π29．如图所示，矩形纸片ABCD中AB＝4cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则底面圆的直径的长为（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm 10．如图，半径为5的⊙O中有两条互相垂直的弦AB、CD，垂足为点E，且AB=CD=8，则OE的长为（）A．3B．√3C．2 √3D．3 √2 11．已知在∠ABC中AB=AC=13，BC=10，那么∠ABC的内切圆的半径为（）A．103B．125C．2D．3 12．如图，AB为∠O直径，∠BCD＝30°，则∠ABD为（）A．30°B．40°C．50°D．60°二、填空题13．在∠O中已知半径为5，弦AB的长为8，那么圆心O到AB的距离为. 14．如图，AB是∠O的直径，AC是∠O的切线，OC交∠O于点D，若∠C=40°，⌢的长为．（结果保留π）OA=9，则BD15．如果圆O的半径为3，圆P的半径为2，且OP=5，那么圆O和圆P的位置关系是．16．如图，由边长为1的小正方形构成的网格中点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C，D，则tan∠ADC的值为．17．小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为cm2．（结果保留π）18．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在半圆上．点A、B的读数分别为86°、30°，则∠ACB =.三、综合题19．如图，扇形OAB的半径OA＝3，圆心角∠AOB＝90°，点C是AB⌢上异于A、B 的动点，过点C作CD∠OA于点D，作CE∠OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG＝GH＝HE．（1）求证：四边形OGCH是平行四边形；⌢上运动时在CD、CG、DG中是否存在长度不变的线段？若存（2）当点C在AB在，请求出该线段的长度；（3）若CD＝x，直接写出CD2+3CH2的结果．20．如图，∠ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与∠O相切于点D，OB与∠O相交于点E．（1）求证：AC是∠O的切线；（2）若BD= √3，BE=1．求阴影部分的面积．21．在数学活动课中同学们准备了一些等腰直角三角形纸片，从每张纸片中剪出一个扇形制作圆锥玩具模型．如图，已知∠ABC是腰长为4的等腰直角三角形．（1）在等腰直角三角形ABC纸片中以C为圆心，剪出一个面积最大的扇形（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）请求出所制作圆锥底面的半径长．22．如图，是一个地下排水管的横截面图，已知∠O的半径OA等于50cm，水的深度等于25cm（水的深度指AB⌢的中点到弦AB的距离）．求：（1）水面的宽度AB．（2）横截面浸没在水中的AB⌢的长（结果保留π）．23．如图，AB是∠O的直径，CD与∠O相切于点C，与AB的延长线交于D．（1）求证：∠ADC∠∠CDB；（2）若AC=2，AB= 32CD，求∠O半径．24．如图1，BC是∠O的直径，点A在∠O上，AD∠BC，垂足为D，AE⌢=AB⌢BE 分别交AD、AC于点F、G.（1）判断∠FAG的形状，并说明理由；（2）如图2，若点E和点A在BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（3）在（2）的条件下，若BG＝26，BD﹣DF＝7，求AB的长.参考答案1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】A 4．【答案】A 5．【答案】B 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】D 11．【答案】A 12．【答案】D 13．【答案】3 14．【答案】132π15．【答案】外切 16．【答案】2317．【答案】270π 18．【答案】28°19．【答案】（1）证明：连接OC 交DE 于M ．由矩形得OM ＝CM ，EM ＝DM ． ∵DG ＝HE ．∴EM ﹣EH ＝DM ﹣DG ． ∴HM ＝GM ．∴四边形OGCH 是平行四边形 （2）解：DG 不变．在矩形ODCE 中∵DE ＝OC ＝3． ∴DG ＝1（3）证明：设CD ＝x ，则CE ＝ √9−x 2 ．过C 作CN∠DE 于N ． 由DE•CN ＝CD•EC 得CN ＝ x √9−x 23 ．∴√x 2−(x √9−x 23)2＝ x 23 ．∴HN ＝3﹣1﹣ x 23 ＝ 6−x 23．∴3CH 2＝3[（ 6−x 23 ）2+（ x √9−x 23 ）2]＝12﹣x 2． ∴CD 2+3CH 2＝x 2+12﹣x 2＝12．20．【答案】（1）证明：连接OD ，作OF∠AC 于F ，如图，∵∠ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点 ∴AO∠BC ，AO 平分∠BAC ∵AB 与∠O 相切于点D ，∴OD∠AB 而OF∠AC ∴OF=OD∴AC 是∠O 的切线（2）解：在Rt∠BOD 中设∠O 的半径为r ，则OD=OE=r ，∴r 2+（ √3 ）2=（r+1）2，解得r=1，∴OD=1，OB=2，∴∠B=30°，∠BOD=60°，∴∠AOD=30°，在Rt∠AOD 中AD= √33 OD= √33∴阴影部分的面积=2S∠AOD ﹣S 扇形DOF=2× 12 ×1× √33 ﹣ 60⋅π⋅12360= √33 ﹣ π621．【答案】（1）解：如图所示：扇形CEF 为所求作的图形；（2）解：∵∠ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4∴AB= 4√2由（1）可知CD平分∠ACB∴CD∠AB∴CD= 2√2设圆锥底面的半径长为r，依题意得：2πr= 90π×2√2180∴r= √22答：所制作圆锥底面的半径长为√2222．【答案】（1）解：过O作OH∠AB于H，并延长交∠O于D∴∠OHA＝90°，AH＝12AB∵水的深度等于25cm，即HD＝25cm又∵OA＝OD＝50cm∴OH＝OD-HD＝25cm∴AH＝√OA2−OH2=√502−252=25√3cm ∴AB＝50 √3cm；（2）解：连接OB∵OA ＝50cm ，OH ＝25cm∴OH ＝ 12OA∵∠OHA ＝90° ∴∠OAH ＝30° ∴∠AOH ＝60° ∵OA ＝OB ，OH∠AB ∴∠BOH ＝∠AOH ＝60° ∴∠AOB ＝120°∴AB⌢ 的长是： 120π×50180=100π3 cm ． 23．【答案】（1）证明：如图，连接CO∵CD 与∠O 相切于点C ∴∠OCD=90° ∵AB 是圆O 的直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO=∠BCD ∵∠ACO=∠CAD ∴∠CAD=∠BCD 在∠ADC 和∠CDB 中{∠CAD =∠BCD ∠ADC =∠CDB∴∠ADC∠∠CDB ． （2）解：设CD 为x则AB= 32 x ，OC=OB= 34 x∵∠OCD=90°∴OD= √OC 2+CD 2 = √(34x)2+x 2 = 54 x∴BD=OD ﹣OB= 54x ﹣ 34 x= 12 x由（1）知，∠ADC∠∠CDB∴AC CB = CD BD即 2CB =x 12x解得CB=1∴AB= √AC 2+BC 2 = √5∴∠O 半径是 √5224．【答案】（1）解：结论：∠FAG 是等腰三角形；理由：如图1∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90° ∴∠BAD =∠C ∵AE⌢=AB ⌢ ∴∠ABE =∠C ∴∠ABE =∠BAD ∴AF =BF∵∠BAD +∠CAD =90° ∴∠DAC =∠AGB ∴FA =FG∴△FAG 是等腰三角形； （2）解：（1）中的结论成立； ∵BC 为直径∴∠BAD +∠CAD =90°∴∠BAD=∠C∵AE⌢=AB⌢∴∠ABE=∠C∴∠ABE=∠BAD∴AF=BF∵∠BAD+∠CAD=90°∴∠DAC=∠AGB∴FA=FG∴△FAG是等腰三角形；（3）解：由（2）得：AF=BF=FG∵BG=26∴FB=13∴{BD−DF=7BD2+DF2=169解得：BD=12∴AD=AF−DF=13−5=8∴AB=√AD2+BD2=√82+122=4√13.第11页共11。
【中考压轴题专题突破30】圆中的综合创新实践题（2）1．（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．2．同学们，我们知道图形是由点、线、面组成，结合具体实例，已经感受到“点动成线，线动成面”的现象，下面我们一起来进一步探究：【概念认识】已知点P和图形M，点B是图形M上任意一点，我们把线段PB长度的最小值叫做点P 与图形M之间的距离．例如，以点M为圆心，1cm为半径画圆如图1，那么点M到该圆的距离等于1cm；若点N是圆上一点，那么点N到该圆的距离等于0cm；连接MN，若点Q为线段MN中点，那么点Q到该圆的距离等于0.5cm，反过来，若点P到已知点M的距离等于1cm，那么满足条件的所有点P就构成了以点M为圆心，1cm为半径的圆．【初步运用】（1）如图2，若点P到已知直线m的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．【深入探究】（2）如图3，若点P到已知线段的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．（3）如图4，若点P到已知正方形的距离等于1cm，请画出满足条件的所有点P．3．如图1：在Rt△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点（不与点B，C重合），试探索AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论．小明同学的思路是这样的：将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE．继续推理就可以使问题得到解决．（1）请根据小明的思路，试探索线段AD，BD，CD之间满足的等量关系，并证明你的结论；（2）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC，D为△ABC外的一点，且∠ADC＝45°，线段AD，BD，CD之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论；（3）如图3，已知AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的点，且∠ADC＝45°．①若AD＝6，BD＝8，求弦CD的长为；②若AD+BD＝14，求的最大值，并求出此时⊙O的半径．4．[探索发现]有张形状为直角三角形的纸片，小俊同学想用些大小不同的圆形纸片去覆盖这张三角形纸片，经过多次操作发现，如图1，以斜边AB为直径作圆，刚好是可以把Rt△ABC覆盖的面积最小的圆，称之为最小覆盖圆．[理解应用]我们也可以用一些大小不同的圆覆盖锐角三角形和钝角三角形，请你通过操作探究解决下列问题（1）如图2．在△ABC中，∠A＝105°，试用直尺和圆规作出这个三角形的最小覆盖圆（不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图3，在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，AB＝，请求出△ABC的最小覆盖圆的半径；[拓展延伸]（3）如图4，在△ABC中，已知AB＝15，AC＝12，BC＝9，半径为1的⊙O在△ABC 的内部任意运动，则⊙O覆盖不到的面积是．5．问题提出（1）如图①，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点O是△ABC的外接圆的圆心，则OB的长为问题探究（2）如图②，已知矩形ABCD，AB＝4，AD＝6，点E为AD的中点，以BC为直径作半圆O，点P为半圆O上一动点，求E、P之间的最大距离；问题解决（3）某地有一块如图③所示的果园，果园是由四边形ABCD和弦CB与其所对的劣弧场地组成的，果园主人现要从入口D到上的一点P修建一条笔直的小路DP．已知AD ∥BC，∠ADB＝45°，BD＝120米，BC＝160米，过弦BC的中点E作EF⊥BC交于点F，又测得EF＝40米．修建小路平均每米需要40元（小路宽度不计），不考虑其他因素，请你根据以上信息，帮助果园主人计算修建这条小路最多要花费多少元？6．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，点M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝DB+BA．下面是运用“截长法”证明CD＝DB+BA的部分证明过程．证明：如图2，在CD上截取CG＝AB，连接MA、MB、MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根据证明过程，分别写出下列步骤的理由：①，②，③；【理解运用】如图1，AB、BC是⊙O的两条弦，AB＝4，BC＝6，点M是的中点，MD⊥BC于点D，则BD＝；【变式探究】如图3，若点M是的中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断CD、DB、BA之间存在怎样的数量关系？并加以证明．【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下列问题：如图4，BC是⊙O的直径，点A圆上一定点，点D圆上一动点，且满足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半径为5，求AD长．【中考压轴题专题突破30】圆中的综合创新实践题（2）参考答案与试题解析1．解：（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，∴∠BDC＝∠BAC＝45°，故答案是：45；（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．∵∠BAD＝∠BCD＝90°，∴点A、B、C、D共圆，∴∠BDC＝∠BAC，∵∠BDC＝25°，∴∠BAC＝25°，（3）如图3，在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS），∴∠1＝∠2，在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS），∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∵∠BAH+∠3＝∠BAD＝90°，∴∠1+∠BAH＝90°，∴∠AHB＝180°﹣90°＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，则OH＝AO＝AB＝1，在Rt△AOD中，OD＝＝＝，根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，最小值＝OD﹣OH＝﹣1．（解法二：可以理解为点H是在Rt△AHB，AB直径的半圆上运动当O、H、D三点共线时，DH长度最小）故答案为：﹣1．2．解：【初步运用】（1）∵点P到已知直线m的距离等于1cm，∴点P的轨迹是平行于直线m且到直线m距离为1cm的两条直线，如图2所示：【深入探究】（2）∵点P到已知线段的距离等于1cm，∴点P的轨迹是平行于线段AB且到线段AB距离为1cm的两条线段和以点A或点B为圆心，1cm为半径的两个半圆，如图3所示，（3）∵点P到已知正方形的距离等于1cm，∴点P的轨迹是平行于正方形其中一条边且到其中一边的距离为1cm的八条线段和以正方形的四个顶点为圆心，1cm为半径的四个四份之一圆，如图3所示，3．解：（1）CD2+BD2＝2AD2，理由：由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∠B＝∠ACE，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠DCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝CD2+BD2，在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝2AD2，∴CD2+BD2＝2AD2；（2）BD2＝CD2+2AD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接EC，DE，同（1）的方法得，ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，在Rt△ADE中，AD＝AE，∴∠ADE＝45°，∴DE2＝2AD2，∵∠ADC＝45°，∴∠CDE＝∠ADC+∠ADE＝90°，根据勾股定理得，CE2＝CD2+DE2＝CD2+2AD2，即：BD2＝CD2+2AD2；（3）如图3，过点C作CE⊥CD交DA的延长线于E，∴∠DCE＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠E＝90°﹣∠ADC＝45°＝∠ADC，∴CD＝CE，根据勾股定理得，DE2＝CD2+CE2＝2CD2，连接AC，BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠ADC＝45°，∴∠BDC＝45°＝∠ADC，∴AC＝BC，∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD，①AD＝6，BD＝8，∴DE＝AD+AE＝AD+BD＝14，∴2CD2＝142，∴CD＝7，故答案为7；②∵AD+BD＝14，∴CD＝7，∴＝AD•（BD+×7）＝AD•（BD+7）＝AD•BD+7AD＝AD（14﹣AD）+7AD＝﹣AD2+21AD＝﹣（AD﹣）2+，∴当AD＝时，的最大值为，∵AD+BD＝14，∴BD＝14﹣＝，在Rt△ABD中，根据勾股定理得，AB＝＝，∴⊙O的半径为OA＝AB＝．4．解：（1）如图2，作BC的垂直平分线，交BC于点O，以点O为圆心，OC的长为半径作圆即可；（2）如图3，△ABC的最小覆盖圆为△ABC的外接圆⊙O，连接OA、OB，过O作OH⊥AB，∵△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∴∠C＝60°，∴∠AOB＝2∠C＝120°，∵OA＝OB，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝2，∴AH＝，∴∠AOH＝60°，∴AO＝r，OH＝r，∴（）2+（r）2＝r2，∴r＝2，∴△ABC的最小覆盖圆的半径为2；（3）在△ABC中，AB＝15，AC＝12，BC＝9，∴AC2+BC2＝122+92＝225，AB2＝225，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，在图4﹣1中，将⊙O及其覆盖不到的面积通过减拼可以得到图4﹣2，则△DEF∽△ABC，且⊙O是△DEF的内切圆，M，N，P分别是切点，∴∠OMF＝∠F＝∠FNO＝90°，∴四边形ONFM是矩形，∵OM＝ON，∴矩形ONFM是正方形，∴OM＝MF＝FN＝ON＝1，设EF＝3x，则DF＝4x，DE＝5x，∴DM＝DP＝4x﹣1，NE＝PE＝3x﹣1，∵PE＝DP+PE，∴（4x﹣1）+（3x﹣1）＝5x，解得，x＝1，∴EF＝3，DF＝4，DE＝5，∴⊙O覆盖不到的面积S＝S△DEF﹣S⊙O＝×3×4﹣π×12＝6﹣π，故答案为6﹣π．5．解：（1）如图，若AO交BC于K，∵点O是△ABC的外接圆的圆心，AB＝AC，∴AK⊥BC，BK＝，∴AK＝，在Rt△BOK中，OB2＝BK2+OK2，设OB＝x，∴x2＝62+（8﹣x）2，解得x＝，∴OB＝；故答案为：．（2）如图，连接EO，延长EO交半圆于点P，可求出此时E、P之间的距离最大，∵在是任意取一点异于点P的P′，连接OP′，P′E，∴EP＝EO+OP＝EO+OP′＞EP′，即EP＞EP′，∵AB＝4，AD＝6，∴EO＝4，OP＝OC＝，∴EP＝OE+OP＝7，∴E、P之间的最大距离为7．（3）作射线FE交BD于点M，∵BE＝CE，EF⊥BC，是劣弧，∴所在圆的圆心在射线FE上，假设圆心为O，半径为r，连接OC，则OC＝r，OE＝r﹣40，BE＝CE＝，在Rt△OEC中，r2＝802+（r﹣40）2，解得：r＝100，∴OE＝OF﹣EF＝60，过点D作DG⊥BC，垂足为G，∵AD∥BC，∠ADB＝45°，∴∠DBC＝45°，在Rt△BDG中，DG＝BG＝，在Rt△BEM中，ME＝BE＝80，∴ME＞OE，∴点O在△BDC内部，∴连接DO并延长交于点P，则DP为入口D到上一点P的最大距离，∵在上任取一点异于点P的点P′，连接OP′，P′D，∴DP＝OD+OP＝OD+OP′＞DP′，即DP＞DP′，过点O作OH⊥DG，垂足为H，则OH＝EG＝40，DH＝DG﹣HG＝DG﹣OE＝60，∴＝＝20，∴DP＝OD+r＝20+100，∴修建这条小路最多要花费40×元．6．【问题呈现】①相等的弧所对的弦相等②同弧所定义的圆周角相等③有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等故答案为：相等的弧所对的弦相等；同弧所定义的圆周角相等；有两组边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等；【理解运用】CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案为：1；【变式探究】DB＝CD+BA．证明：在DB上截去BG＝BA，连接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中点，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；【实践应用】如图，BC是圆的直径，所以∠BAC＝90°．因为AB＝6，圆的半径为5，所以AC＝8．已知∠D1AC＝45°，过点D1作D1G1⊥AC于点G1，则CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+8）＝7．所以AD1＝7．如图∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的长为7或．。
