伯努利方程的解法及其应用

编号 学士学位论文 伯努利方程的解法及其应用 学生姓名： ** 学 号： *********** 系 部： 数学系 专 业： 数学与应用数学 年 级： 2007级（2）班 指导教师： *** 完成日期： 2011 年 5 月 14 日 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

I 中文摘要 在参考现有伯努利方程解法的基础上，归纳了几类求解伯努利方程的方法，并探讨了伯努利方程在解某些微分方程中的应用。

关键词：伯努利方程；变量代换；常数变易；积分因子；应用． 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

II The Solving Methods and the Applications of Bernoulli equation

Abstract In the foundation of referring the solving methods to Bernoulli equation ，this paper summarizes some classes methods to solve Bernoulli equation， and discusses the application of Bernoulli equation for solving some differential equations．

key words： Bernoulli equation； Variable substitution； Constant change；Integrating factor；Application ． 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

III 目 录 中文摘要 ........................................................... I ABSTRACT .......................................................... II 引言 ............................................................... 4 1.伯努利方程的解法 ................................................. 4 1.1变量代换法 .................................................... 4 1.1.1一般解法 .................................................. 4 1.1.2函数变换法 ................................................ 5 1.1.3 求导法 .................................................... 6 1.1.4恰当导数法 ................................................ 6 1.2常数变易法 .................................................... 7 1.3积分因子法 .................................................... 9 1.4解法举例 ..................................................... 10 2.伯努利方程的应用 ................................................ 13 2.1在一阶微分方程中的应用 ....................................... 13

2.1.1在形如()()00()()()yxyxnyypxydyqxydy（()0yxydy存在且不为零）方程中的应用 ......................................... 13

2.1.2在形如1[()()]()()yyyyfxhygyxhxxxx方程中的应用 ........ 14 2.1.3在黎卡提方程中的应用 ..................................... 15

3．总结 ........................................................... 16 参考文献 .......................................................... 17 致谢 .............................................................. 18 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

4 引言 在数学科学体系中，微分方程是其中的一类，而伯努利方程又是微分方程中的一个类型，这类方程形如()()nyPxyQxy，其中()Px、()Qx为x的连续函数，n为常数且n0，1。伯努利方程是一种特殊的一阶非线性常微分方程，一般地，该方程可以通过某些数学方法转化为线性微分方程，进而用初等积分法来求解。在数学发展史上，常有一种问题多种解决办法的传统，因此，许多

学者都致力于研究伯努利方程的求解41。本文在充分分析这些参考文献的基础上，根据其解法特征，将它们进行了分类整理，便于对各种解法的理解和认识。同时，探讨了伯努利方程在求解其他类型常微分方程中的应用。

本文主要分成两个部分，结构如下：第一部分是伯努利方程的解法，主要给出了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法等三种方法；第二部分是伯努利方程的应用，主要探讨了伯努利方程在一阶微分方程和高阶微分方程的求解中的应用。

1.伯努利方程的解法 1.1变量代换法 1.1.1、变量代换法、常数变易法的混合运用 伯努利方程： ()()ndyPxyQxydx（n0，1）………（1.0）

其一般解法步骤如下： ⑴ 方程两端同除以ny得： 1()()nndyypxyQxdx. 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

5 ⑵ 变量代换 令z1ny即可化为一阶线性微分方程：

(1)()(1)()dznPxznQxdx． ⑶ 常数变易 通过对一阶线性齐次方程的通解进行常数变易求得一阶线性非齐次方程的通解． ⑷ 变量代换

最后将z代换1ny得原方程的通解： (1)()(1)()1(1)[()]npxdxnpxdxnyneQxedxc



．[1]C为任意常数

1.1.2函数变换法 设()()yuxvx是（1.0）式的解，则对()()yuxvx

两边求导得：

()()()()yuxvxuxvx，

将上式代入方程得： ()()()()()()()()()()nnuxvxuxvxpxuxvxQxuxvx，

整理得： ()()()[()()()]()()()nnuxvxuxvxpxvxQxuxvx ……… （1.1）

令()()()0vxpxvx解得： ()()pxdxvxe

，将其代入（1.1）式得：

()()()()()pxdxnpxdxnuxeQxuxe

，

整理得： (1)()()()()npxdxnuxuxQxe





，

两边积分得： (1)()1()(1)[()]npxdxnuxnQxedxc



， 学 士 学 位 论 文 BACHELOR ’S THESIS

6 故伯努利方程的通解为： (1)()(1)()1(1)[()]npxdxnpxdxnyneQxedxc



．[2]C为任意常数

1.1.3 求导法 令1()()nzAxyBx，

对上式两边求导得： 1()()(1)()nnzAxyAxnyyBx



，

即有：

11[()()](1)()nnyyzBxAxynAx



，

代入（1.0）式得： 1[(1)()()()]()(1)()()0nznAxpxAxyBxnQxAx



．

令(1)()()()0nAxpxAx ， ()(1)()()0BxnQxAx

．

解得： (1)()()npxdxAxe ， (1)()()(1)()npxdxBxnQxedx．

这时伯努利方程变为0z，解得zc. 于是得到伯努利方程的通解为：

(1)()(1)()1[(1)()]npxdxnpxdxnyenQxedxc



．[3]C为任意常数

1.1.4恰当导数法 令()()pxdxuxe，有()()()pxdxuxpxe， 即： ()()()uxpxux．

则（1.0）式变形为： 11()()()()()nnnuxyyyQxuxuxux

，