陕西省榆林市一中2019届高考模拟考试理科数一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·乐山调研]若iia b +(),a b ∈R 与()21i -互为共轭复数，则a b -的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．3- D ．3【答案】A 【解析】∵()()2i i i i i i a b a b b a +-+==--，()21i 2i -=-， 又i ia b +与()21i -互为共轭复数，∴0b =，2a =-，则2a b -=-．故选A ． 2．[2019·济南外国语]已知集合{}2A x x =<，{}220x B x x =-->，则A B =（ ）A ．{}2x x << B ．{}12x x -<<C ．{}1x x <- D ．{}12x x -<<【答案】C【解析】∵集合{}2A x x =<，{}220x B x x =-->，∴{}2A x x =<，{}12B x x x =<->或，∴{}21Ax x B =-<<-．故选C ．3．[2019·九江一模]()2ln cos πx f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的部分图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】()()f x f x -=，则函数()f x 是偶函数，图象关于y 轴对称，排除A ，D ，()πln πcos πln π10f =-=+>，排除C ，故选B ．4．[2019·榆林一模]已知向量a ，b 满足1=a ，2=b ，6+=a b -=a b （ ） A ．2B 2C 3D 5【答案】A【解析】根据题意得，()2222-=+-⋅a b a b a b ，又()22221426+=+⋅+=++⋅=a b a a b b a b ，∴21⋅=a b ， ∴()21414-=+-=a b ，∴2-=a b ．故选A ．5．[2019·湘潭一模]以双曲线22145x y -=的焦点为顶点，且渐近线互相垂直的双曲线的标准方程为（ ）A ．221x y -=B ．2219x y -= C ．22193x y -= D ．22199x y -=【答案】D【解析】由题可知，所求双曲线的顶点坐标为()3,0±， 又∵双曲线的渐近线互相垂直，∴3a b ==，则该双曲线的方程为22199x y -=．故选D ．6．[2019·武邑中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，2b 45B =︒，则角A =（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．30︒或150︒ D ．60︒或120︒【答案】A【解析】∵1a =，2b 45B =︒，∴由正弦定理可得21sin 12sin 22a BA b===，∵12a b =<=045A ︒<<︒，∴解得30A =︒．故选A ．7．[2019·新乡调研]某医院今年1月份至6月份中，每个月为感冒来就诊的人数如下表所示：（ ）上图是统计该院这6个月因感冒来就诊人数总数的程序框图，则图中判断框、执行框依次应填（ ）A ．6i <；i s s a =+B ．6i ≤；i s a =C ．6i ≤；i s s a =+D ．6i >；12i s a a a =+++【答案】C【解析】∵要计算1月份至6月份的6个月的因感冒来就诊的人数， ∴该程序框图要算出126s a a a =+++所得到的和，①当1i =时，1s a =，没有算出6个月的人数之和，需要继续计算，因此i 变成2，进入下一步； ②当2i =时，用前一个s 加上2a ，得12s a a =+，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成3，进入下一步； ③当3i =时，用前一个s 加上3a ，得123s a a a =++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成4，进入下一步； ④当4i =时，用前一个s 加上4a ，得1234s a a a a =+++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成5，进入下一步； ⑤当5i =时，用前一个s 加上5a ，得12345s a a a a a =++++，仍然没有算出6个月的人数之和而需要继续计算，因此i 变成6，进入下一步； ⑥当6i =时，用前一个s 加上6a ，得123456s a a a a a a =+++++， 刚好算出6个月的人数之和，因此结束循环体，并输出最后的s 值， 由以上的分析，可得图中判断框应填“6i ≤”，执行框应填“i s s a =+”． 故选C ．8．[2019·优创名校联考]袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ） A ．19B ．318C ．29D ．518【答案】C【解析】∵随机模拟产生18组随机数，由随机产生的随机数可知，恰好第三次就停止的有021，001，031，130共4个基本事件， 根据古典概型概率公式可得，恰好第三次就停止的概率为42189=，故选C ． 9．[2019·成都一诊]在各棱长均相等的四面体A BCD -中，已知M 是棱AD 的中点，则异面直线BM 与AC 所成角的余弦值为（ ）A B 2C 3 D 2 【答案】C【解析】设各棱长均相等的四面体A BCD -中棱长为2，取CD 中点N ，连结MN ，BN ，∴M 是棱AD 的中点，∴MN AC ∥，∴BMN ∠是异面直线BM 与AC 所成角（或所成角的补角）， 413BM BN =-1MN =，∴2223cos 2231BM MN BN BMN BM MN +-∠===⨯⨯⨯⨯，∴异面直线BM 与AC 3，故选C ． 10．[2019·长沙一模]已知()1,2P 是函数()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+>>图象的一个最高点，B ，C 是与P 相邻的两个最低点．设BPC θ∠=，若3tan 24θ=，则()f x 的图象对称中心可以是（ ） A ．()0,0 B ．()1,0C ．3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】结合题意，绘图又132tan 244BC θ==，6BC =，∴周期2π6T ω==，解得π3ω=，∴πsin 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，πππ2π2π236k k ϕ=+-=+，令0k =，得到π6ϕ=，∴ππ2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令πππ36x m +=，m ∈Z ，得对称中心13,02m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 令1m =，得到对称中心坐标为5,02⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ．11．[2019·湖北联考]已知偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=，现给出下列命题：①函数()f x 是以2为周期的周期函数；②函数()f x 是以4为周期的周期函数；③函数()1f x -为奇函数；④函数()3f x -为偶函数，则其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=， 即有()()()2f x f x f x -==--，即为()()2f x f x +=-，()()()42f x f x f x +=-+=， 可得()f x 的最小正周期为4，故①错误；②正确； 由()()2f x f x +=-，可得()()11f x f x +=--，又()()11f x f x --=+，即有()()11f x f x --=--，故()1f x -为奇函数，故③正确； 由()()33f x f x --=+，若()3f x -为偶函数，即有()()33f x f x --=-，可得()()33f x f x +=-，即()()6f x f x +=，可得6为()f x 的周期，这与4为最小正周期矛盾，故④错误． 故选B ．12．[2019·宜昌调研]已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>上存在A 、B 两点恰好关于直线l ：10x y --=对称，且直线AB 与直线l 的交点的横坐标为2，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．13B 3C 2D ．12【答案】C【解析】由题意可得直线AB 与直线l 的交点()2,1P ，1AB K =-， 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124x x +=，122y y +=，∵A 、B 是椭圆22221x y a b+=上的点，∴2211221x y a b +=①，2222221x y a b +=②，①﹣②得：()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=，∴()1212222x x y y a b --=-，∴21221221AB y y b K x x a -==-=--，∴222a b =，∴2221c b a a =-，故选C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·泉州质检]若函数()ln f x x x a =+的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,2，则a =______． 【答案】1【解析】函数()ln f x x x a =+，可得()ln 1f x x '=+，∴()11f '=，又()1f a =，∴切线方程为1y x a =-+，切线经过()2,2，∴221a =-+，解得1a =． 故答案为1．14．[2019·湖北联考]设x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则34z x y =-+的最大值为____．【答案】5【解析】作出x ，y 满足约束条件230101x y x y y -+≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，所示的平面区域，如图：作直线340x y -+=，然后把直线L 向可行域平移，结合图形可知，平移到点A 时z 最大， 由23010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得()1,2A ，此时5z =．故答案为5．15．[2019·镇江期末]若π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 2α=_______．【答案】78-【解析】由π2cos 2sin 4αα⎛⎫=- ⎪⎝⎭得ππ2sin 2sin 24αα⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πππ4sin cos sin 444ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又πsin 04α⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭，解得π1cos 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2ππ7sin 2cos 22cos 1248ααα⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16．[2019·遵义联考]已知三棱锥S ABC -中，SA ⊥面ABC ，且6SA =，4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】52π【解析】取SB 的中点O ，连结OA 、OC ，∵SA ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴SA AB ⊥，可得Rt ASB △中，中线12OA SB =，由4AB =，23BC =，30ABC ∠=︒，可知AC BC ⊥，又∵SA BC ⊥，SA 、AB 是平面SAB 内的相交直线，∴BC ⊥平面SAC ，可得BC SC ⊥，因此Rt BSC △中，中线12OC SB =，∴O 是三棱锥S ABC -的外接球心，∵Rt SBA △中，4AB =，6SA =，∴213SB =，可得外接球半径1132r SB ==因此，外接球的表面积24π52πS r ==， 故答案为52π．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[2019·潍坊期末]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n b 满足21222log log log n n b a a a =++⋅⋅⋅+，求数列的1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n T ．【答案】（1）2n n a =；（2）21nn +． 【解析】（1）∵2，n a ，n S 成等差数列，∴22n n a S =+， 当1n =时，1122a a =+，∴12a =， 当2n ≥时，22n n S a =-，1122n n S a --=-， 两式相减得122n n n a a a -=-，∴12nn a a -=， ∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列， ∴2n n a =．（2）()212221log log log 122n n n n b a a a n +=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=，∴()1211211n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴1211111111122121223111n n n T b b b n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 18．（12分）[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i ）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii ）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为X ，求X 的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数． 参考数据：参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）列联表如下：由列联表可得()212505090020010018.939 6.63525010001501100k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系．（2）（i ）由题意得所求概率为2550100502530.90.80.60.40.32502502502502505P =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． （ii ）设获得高校自主招生通过的人数为X ，则34,5X ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()4432C 55k kk P X k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0k =，1，2，3，4，∴X 的分布列为估计今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数为3150905⨯=．19．（12分）[2019·湖北联考]如图，在四棱锥P A B C D -中，A B P C ⊥，AD BC ∥，AD CD ⊥，且222P C B C A D C D ====2PA =．（1）证明：PA ⊥平面ABCD ；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为60︒？如果存在，求PMPD的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见证明；（2）见解析．【解析】（1）∵在底面ABCD 中，AD BC ∥，AD CD ⊥，且2222BC AD CD === ∴2AB AC ==，22BC =AB AC ⊥， 又∵AB PC ⊥，ACPC C =，AC ⊂平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴AB ⊥平面PAC ，又∵PA ⊂平面PAC ，∴AB PA ⊥， ∵2PA AC ==，22PC =PA AC ⊥， 又∵PA AB ⊥，ABAC A =，AB ⊂平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD ．（2）方法一：在线段AD 上取点N ，使2AN ND =，则MN PA ∥，又由（1）得PA ⊥平面ABCD ，∴MN ⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴MN AC ⊥，作NO AC ⊥于O ， 又∵MNNO N =，MN ⊂平面MNO ，NO ⊂平面MNO ，∴AC ⊥平面MNO ，又∵MO ⊂平面MNO ，∴AC MO ⊥，又∵AC NO ⊥，∴MON ∠是二面角M AC D --的一个平面角， 设PMx PD=，则()122MN x AP x =-=-，22ON xAD x ==， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即22tan tan 603MN x MON ON x -∠===︒=423PMx PD==- ∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 方法二：取BC 的中点E ，则AE 、AD 、AP 三条直线两两垂直 ∴可以分别以直线AE 、AD 、AP 为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，且由（1）知()0,0,2AP =是平面ACD 的一个法向量， 设()0,1PMx PD=∈，则()122MN x AP x =-=-，2AN xAD x ==，∴(),22AM x =-，()2,2,0AC =，设(),,AQ a b c =是平面ACM 的一个法向量， 则()2220220AQ AM xb x c AQ AC a b ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，∴2a b x c =-⎧⎪⎨=⎪⎩，令22b x =-，则()22,22AQ x x x =-+-，它背向二面角， 又∵平面ACD 的法向量()0,0,2AP =，它指向二面角， 这样，二面角M AC D --的大小为60︒， 即()()()222221cos cos602222222,AP AQxAP AQ AP AQx x x===︒=⋅-++-⋅+⋅， 即4x =-∴满足要求的点M 存在，且423PMPD=- 20．（12分）[2019·河北联考]在直角坐标系xOy 中，直线4y x =+与抛物线()2:20C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥．（1）求C 的方程；（2）试问：在x 轴的正半轴上是否存在一点D ，使得ABD △的外心在C 上？若存在，求D 的坐标；若不存在，请说明理由．．【答案】（1）24x y =；（2）在x 轴的正半轴上存在一点()42,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 【解析】（1）联立224x py y x ⎧=⎨=+⎩，得2280x px p --=，则122x x p +=，128x x p =-，从而()()()1212121244416y y x x x x x x =++=+++．∵OA OB ⊥，∴()1212121224160OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++=， 即168160p p -++=，解得2p =，故C 的方程为24x y =． （2）设线段AB 的中点为()00,N x y ， 由（1）知，12022x x x +==，0046y x =+=， 则线段AB 的中垂线方程为()62y x -=--，即8y x =-+． 联立248x y y x ⎧=⎨=-+⎩，得24320x x +-=，解得8x =-或4，从而ABC △的外心P 的坐标为()4,4或()8,16-． 假设存在点()(),00D m m >，设P 的坐标为()4,4，∵21664410AB =+，∴43PA =，则()241643DP m =-+．∵0m >，∴442m =+． 若P 的坐标为()8,16-，则2215PA PN AN=+415DP =>P 的坐标不可能为()8,16-．故在x 轴的正半轴上存在一点()442,0D +，使得ABD △的外心在C 上． 21．（12分）[2019·泉州质检]已知函数()2e 2x a f x x x ax =--． （1）讨论()f x 的单调性； （2）当1x ≥-时，()2102a f x x a +-+≥，求a 的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(],1-∞．【解析】解法一：（1）()()()1x x x f x e xe ax a e a x =+--=-+'， ①当0a ≤时，∴()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增． ②当0a >时，()0f x '=的根为ln x a =或1x =-． 若ln 1a >-，即1ea >，x(),1-∞-1-()1,ln a -ln a()ln ,a +∞()f x ' +0 -+()f x↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗∴()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减． 若ln 1a =-，即1ea =，()0f x '≥在(),-∞+∞上恒成立，∴()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间．若ln 1a <-，即10a <<，∴()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减． 综上：当0a ≤时，()f x 在(),1-∞-上单调递减，在()1,-+∞单调递增； 当10ea <<时，()f x 在(),ln a -∞，()1,-+∞上单调递增，在()ln ,1a -上单调递减； 当1ea =时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，无减区间；当1ea >时，()f x 在(),1-∞-，()ln ,a +∞上单调递增，在()1,ln a -上单调递减．（2）∵e 10x x ax a --+≥，∴()1e 1x a x x +≤+． 当1x =-时，101e≤-+恒成立．当1x >-时，e 11x x a x +≤+．令()e 11x x g x x +=+，()()()22e 111x x x g x x ++-=+'， 设()()2e 11x h x x x =++-，∵()()()e 120x h x x x =++>'在()1,x ∈-+∞上恒成立， 即()()2e 11x h x x x =++-在()1,x ∈-+∞上单调递增．又∵()00h =，∴()e 11x x g x x +=+在()1,0-上单调递减，在()0,+∞上单调递增，则()()min 01g x g ==，∴1a ≤． 综上，a 的取值范围为(],1-∞． 解法二：（1）同解法一；（2）令()()21e 12x ag x f x x a x ax a =+-+=--+，∴()()e e e 1x x x g x x a x a =+-=+-'，当0a ≤时，()0g x '≥，则()g x 在[)1,-+∞上单调递增， ∴()()1110eg x g ≥-=-+>，满足题意．当01a <≤时，令()e e x x h x x a =+-，∵()2e e 0x x h x x ='+>，即()e e x x h x x a =+-在[)1,-+∞上单调递增． 又∵()10h a -=-<，()010h a =-≥，∴()e e 0x x h x x a =+-=在[]1,0-上有唯一的解，记为0x ，x()01,x -0x()0,x +∞()g x '-+()g x↘ 极小值 ↗()()()()0000000000000min e 1e e e e e 1x x x x x x g x g x x ax a x x x x ==--+=-+-++02013e 1e 1024x x x ⎡⎤⎛⎫=-+++≥-+≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，满足题意．当1a >时，()010g a =-+<，不满足题意．综上，a 的取值范围为(],1-∞．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·九江一模]在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系（0ρ>，[)0,2πθ∈），点A 为曲线1C 上的动点，点B 在线段OA 的延长线上，且满足8OA OB ⋅=，点B 的轨迹为2C ． （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）设点C 的极坐标为π2,2⎛⎫⎪⎝⎭，求ABC △面积的最小值．【答案】（1）12:cos C ρθ=；2co 4:s C ρθ=；（2）2．【解析】（1）∵曲线1C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），∴曲线1C 的普通方程为2220x y x -+=，∴曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=， 设点B 的极坐标为(),ρθ，点A 的极坐标为()00,ρθ， 则OB ρ=，0OA ρ=，002cos ρθ=，0θθ=， ∵8OA OB ⋅=，∴08ρρ⋅=，∴82cos θρ=，cos 4ρθ=，∴2C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．（2）由题设知2OC =，212cos cos 42cos ABC OBC OAC B A S S S OC ρθρθθ=-=⋅-=-△△△， 当0θ=时，ABC S △取得最小值为2． 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [2019·湘潭一模]设函数()1f x x x a =++-． （1）当1a =时，求关于x 的不等式()3f x ≥的解集； （2）若()4f x ≤在[]0,2上恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）13a ≤≤．【解析】（1）∵()2,1112,112,1x x f x x x x x x -<-⎧⎪=++-=-≤<⎨⎪≥⎩，∴()3f x ≥的解集为33,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭． （2）∵[]0,2x ∈，∴14x x a ++-≤，即3x a x -≤-，则332a x -≤-≤-， ∴13a ≤≤．。
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若角α的终边经过点P，则sinαtanα的值是．【解答】解：OP=r==1，∴点P在单位圆上，∴sinα=，tanα=，得sinαtanα=（）×（）=．故答案为．14．（5分）有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是丙．【解答】解：若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．故答案为：丙．15．（5分）设l，m是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，则下列命题正确的是②．①若l⊥m，m⊥α，则l⊥α或l∥α②若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β【解答】解：①．若l⊥m，m⊥α，则l⊂α或l∥α，故①错；②由面面垂直的性质定理知，若l⊥γ，α⊥γ，则l∥α或l⊂α，故②对；③若l∥α，m∥α，则l∥m或l与m相交，或l与m异面，故③错；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l⊂β或l∥β或l⊂β，或l与β相交．故④错．故答案为：②16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=e x（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是（e+e﹣1）．【解答】解：设切点坐标为（m，e m）．∴该图象在点P处的切线l的方程为y﹣e m=e m（x﹣m）．令x=0，解得y=（1﹣m）e m．过点P作l的垂线的切线方程为y﹣e m=﹣e﹣m（x﹣m）．令x=0，解得y=e m+me﹣m．∴线段MN的中点的纵坐标为t=[（2﹣m）e m+me﹣m]．t'=[﹣e m+（2﹣m）e m+e﹣m﹣me﹣m]，令t'=0解得：m=1．当m∈（0，1）时，t'＞0，当m∈（1，+∞）时，t'＜0．∴当m=1时t取最大值（e+e﹣1）．故答案为：（e+e﹣1）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，（I）求角A的大小；（II）若a=2，求的面积S的最大值．【解答】解：（I）已知，正弦定理化简可得：，即sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sinC∵0＜C＜π，sinC≠0，∴cosA=1．即cosA=．∴A=．（II）∵a=2，A=．余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA可得：b2+c2=4+bc．∴4+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号．解得：bc≤2（2+）那么三角形面积S=bcsinA≤=．18．（12分）数列{a n}满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）若，求T2n．【解答】证明：（1）由已知可得，即，∴是以为首项，1为公差的等差数列．解：（2）由（1）得，∴，∵，∴T2n=a1﹣a2+a3﹣a4+…+a2n﹣1﹣a2n=12﹣22+32﹣42+（2n﹣1）2﹣（2n）2，=﹣（2﹣1）（2+1）+（4﹣3）（4+3）+…+（2n+2n﹣1）（2n﹣2n+1），=﹣（3+7+…+2n﹣1），=﹣，=﹣2n2﹣n19．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ABD=90°，EB⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，EB=，且M是BD的中点．（1）求证：EM∥平面ADF；（2）求二面角A﹣FD﹣B的余弦值的大小．【解答】（1）证明：法一、取AD的中点N，连接MN，NF，在DAB中，M是BD的中点，N是AD的中点，∴，又∵，∴MN∥EF且MN=EF．∴四边形MNFE为平行四边形，则EM∥FN，又∵FN⊂平面ADF，EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．法二、∵EB⊥平面ABD，AB⊥BD，故以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz．∵AB=2，EB=，∴B（0，0，0），D（3，0，0），A（0，0，2），E（0，0，），F（0，1，），M（，0，0），，，，设平面ADF的一个法向量是．由，令y=3，得．又∵，∴，又EM⊄平面ADF，故EM∥平面ADF．（2）解：由（1）可知平面ADF的一个法向量是．，，设平面BFD的一个法向量是，由，令z=1，得，∴cos＜＞==，又二面角A﹣FD﹣B为锐角，故二面角A﹣FD﹣B的余弦值大小为．20．（12分）已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点k，过点k做圆C：（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为．（1）求抛物线E的方程；（2）若直线AB是讲过定点Q（2，0）的一条直线，且与抛物线E交于A，B两点，过定点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．【解答】解：（1）根据题意，抛物线的E的方程为y2=2px（p＞0），则设MN与x轴交于点R，由圆的对称性可知，．于是，所以∠CMR=30°，∠MCR=60°，所以|CK|=6，所以p=2．故抛物线E的方程为y2=4x．（2）设直线AB的方程为x=my+2，设A=（x1，y1），B=（x2，y2），联立得y2﹣4my﹣8=0，则y1+y2=4m，y1y2=﹣8．∴设G=（x3，y3），D=（x4，y4），同理得，则四边形AGBD的面积=令，则是关于μ的增函数，故S min=48，当且仅当m=±1时取得最小值48．21．（12分）已知函数，记F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）求证：F（x）在区间（1，+∞）内有且仅有一个实根；（2）用min{a，b}表示a，b中的最小值，设函数m（x）=min{f（x），g（x）}，若方程m（x）=c在区间（1，+∞）内有两个不相等的实根x1，x2（x1＜x2），记F（x）在（1，+∞）内的实根为x0．求证：．【解答】证明：（1），定义域为x∈（0，+∞），，当x＞1时，F'（x）＞0，∴F（x）在（1，+∞）上单调递增，又，而F（x）在（1，+∞）上连续，根据零点存在定理可得：F（x）在区间（1，+∞）有且仅有一个实根．（2）当0＜x≤1时，f（x）=xlnx≤0，而，故此时有f（x）＜g（x），由（1）知，F（x）在（1，+∞）上单调递增，有x0为F（x）在（1，+∞）内的实根，所以F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故当1＜x＜x0时，F（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当x＞x0时，F（x）＞0，即f（x）＞g（x）．因而，当1＜x＜x0时，m（x）=xlnx，m'（x）=1+lnx＞0，因而m（x）在（1，x0）上递增；当x＞x0时，，因而m（x）在（x0，+∞）上递减；若方程m（x）=c在（1，+∞）有两不等实根x1，x2，则满足x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞）要证：，即证：x1+x2＞2x0，即证：x2＞2x0﹣x1＞x0，而m（x）在（x0，+∞）上递减，即证：m（x2）＜m（2x0﹣x1），又因为m（x1）=m（x2），即证：m（x1）＜m（2x0﹣x1），即证：记，由F（x0）=0得：，∴h（x0）=0，，，则，当0＜x＜1时，g'（x）＞0；当x＞1时，g'（x）＜0．故，所以当x＞0时，，∵2x0﹣x＞0，∴，因此，即h（x）在递增．从而当1＜x1＜x0时，h（x）＜h（x0）=0，即，故得证．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，曲线C1的参考方程为（θ为参数）．（1）求曲线C1上的点到直线l的距离的最大值与最小值；（2）过点B（﹣2，2）与直线l平行的直线l1与曲C1线交于M，N两点，求|BM|•|BN|的值．【解答】解：（1）∵点A的极坐标为，直线l的极坐标方程为，且l过点A，∴由直线l过点A可得，故，∴直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=8，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣8=0．∵曲线C1的参考方程为（θ为参数）．∴根据点到直线的距离方程可得曲线C1上的点到直线l的距离：，∴．（2）由（1）知直线l的倾斜角为，则直线l1的参数方程为（t为参数）．又曲线C1的普通方程为．把直线l1的参数方程代入曲线C1的普通方程可得：，∴，依据参数t的几何意义可知．[选修4-5：不等式选讲]23．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab=1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．。
2020年陕西省榆林市高考数学模拟试卷(理科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x >0}，B ={x|x 2+2x −15<0,x ∈Z}，则A ∩B =( )A. {1,2}B. {1,2，3}C. {1,2，3，4}D. {1,2，3，4，5}2. 若复数，则|z|=( ) A. 14 B. 12 C. 21009 D. 23. 甲、乙、丙三人，一人在看书，一人在画画，一人在听音乐．已知：①甲不看书；②若丙不画画，则乙不听音乐；③若乙在看书，则丙不听音乐，则( )A. 甲一定在画画B. 甲一定在听音乐C. 乙一定不看书D. 丙一定不画画 4. 已知sinα=−45，α∈(π,3π2)，则tan α2等于( ) A. −2 B. 12 C. −12或2 D. −2或12 5. 已知△ABC ，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. 1B. 2C. 3D. 4 6. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点A 和右焦点F ，过坐标原点O 的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，线段AP 的中点为M.若Q ，F ，M 三点共线，则椭圆C 的离心率为( )A. 13B. 23C. 83D. 32或83 7. 杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律.现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1…….记作数列{a n }，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 80=( )A. 2059B. 4108C. 2048D. 40958.已知函数f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=e x，则f(−1)=()A. 1e B. −1eC. eD. −e9.求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为()A. 1：27B. 1：9C. 1：3D. 9：110.设函数f(x)=sin(ωx+π6)−ω(ω>0)的导函数f′(x)的最大值为3，则f(x)的最大值为()A. 0B. 1C. −2D. −111.如图所示几何体中，AB//CD//EG，∠ABC=90°，CD=EG=12AB，平面BCEF⊥平面ABCD，点M为侧面BCEF内的一个动点，若点M到直线EG的距离与到平面ABCD的距离相等，则点M在侧面BCEF内的轨迹是()A. 一条线段B. 圆的一部分C. 抛物线的一部分D. 椭圆的一部分12.已知函数f(x)=mln(1−2x)−4x2+(4−2m)x+m−1有且只有一个零点，则正实数m的值等于()．A. 1B. 2C. eD. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知随机变量X～B(9,23)，Y=2X−1，则D(Y)=______ ．14.在△ABC中，已知A=2B，cosC=0，则a︰b︰c=________．15.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的顶点到渐近线的距离等于a2，则双曲线的离心率e是______ ．16.已知函数f(x)=ln(x+√x2+1)，若实数a,b满足f(a)+f(b−2)=0，则a+b=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，S3=15，a n>0，d>1，且______.从“①等比数列{b n}的公比q=12，b1=a2，b3=a3；②a1−1，a2−1，a3+1为等比数列{b n}的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{a n}存在并作答．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{1a n a n+1}的前n项和为T n，求证：T n≥115．18.如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．(1)求证：PD⊥平面ABE；(2)求二面角A−PD−C的平面角的正弦值．19.已知动圆C过定点F(0,1)，且与直线l1：y=−1相切，圆心C的轨迹为E．(1)求动点C的轨迹E的方程；(2)已知直线l2交轨迹E于两点P，Q，且PQ中点的纵坐标为2，求|PQ|的最大值．20.某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据：(1)画出表中数据的散点图； (2)求出y 对x 的回归直线方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？参考公式：b =∑x i n i=1y i −n⋅x −⋅y −∑x i 2n i=1−nx −，a =y −−bx −．21. 已知函数f (x )=(x −1)lnx +ax 2+(1−a )x −1.(1)当a =−1时，判断函数的单调性；(2)讨论f (x )零点的个数．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线C 1：y =x.在以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系中，曲线C 2：ρ2−2ρcosθ−4ρsinθ+4=0．(1)求C 1的极坐标方程和C 2的直角坐标方程；(2)设C 1与C 2的交点为M ，N ，求|MN|．23.已知函数f(x)=|x+2a|+|x−a|．(1)当a=1时，求不等式f(x)≥4−|x+2|的解集；(2)设a>0，b>0，f(x)的最小值为t，若t+3b=3，求1a +2b的最小值。
陕西省高考数学一模试卷（理科）23C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的子集的个数为（）A . 16B . 8C . 7D . 42. （2分）已知，其中为虚数单位，则＝（）A . －1B . 1C . 2D . 33. （2分）数据a1,a2,a3,...an的方差为，则数据2a1,2a2,2a3,...2an的方差为（）A .B .C .D .4. （2分）设等差数列的前n项和为，若，则当取最小值时，n等于（）A . 6B . 7C . 8D . 95. （2分） (2019高二上·浙江期中) 双曲线的离心率为（）A .B .C .D .6. （2分） (2017高一上·丰台期中) 已知a=50.3 ， b=0.35 ， c=log0.35，则（）A . a＞c＞bB . a＞b＞cC . c＞b＞aD . c＞a＞b7. （2分） (2017高一上·福州期末) 圆上存在两点关于直线对称，则实数的值为（）A . 6B . －4C . 8D . 无法确定8. （2分）(2017·辽宁模拟) 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B . 3πC .D . 6π9. （2分） (2018高二下·中山月考) 是的展开式中存在常数项的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件10. （2分） (2015高二上·宝安期末) 在△ABC中，a=2，c=1，则角C的取值范围是（）A . （0，）B . （，）C . （，）D . （0， ]11. （2分） (2017高二下·太和期中) 曲线y=eaxcosx在x=0处的切线与直线x+2y=0垂直，则a=（）A . ﹣2B . ﹣1C . 1D . 212. （2分）已知A,B分别为椭圆的左、右顶点，点C(0,b)，直线l：x=2a与轴交于点D，与直线AC交于点P．若，则该椭圆的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·大连期末) 等比数列的前项和记为，若，则 ________．14. （1分）(2014·山东理) 执行如图程序框图，若输入的x的值为1，则输出的n的值为________．15. （1分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，半径为的圆O1在平面A1B1C1D1内，其圆心O1为正方形A1B1C1D1的中心，P为圆O1上的一个动点，则多面体PABCD的外接球的半径为________．16. （1分） (2017高一上·葫芦岛期末) 点B在y轴上运动，点C在直线l：x﹣y﹣2=0上运动，若A（2，3），则△ABC的周长的最小值为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分）(2017·黑龙江模拟) 某同学将“五点法”画函数f（x）=Asin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）在某一个时期内的图象时，列表并填入部分数据，如下表：wx+φ0π2πxAsin（wx+φ）05﹣50（1）请将上述数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；（2）将y=f（x）图象上所有点向左平移个单位长度，得到y=g（x）图象，求y=g（x）的图象离原点O 最近的对称中心．18. （10分） (2017·太原模拟) 某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．20. （10分） (2017高一下·资阳期末) 已知圆O：x2+y2=2，直线l：y=kx﹣2．（1）若直线l与圆O交于不同的两点A，B，且，求k的值；（2）若，P是直线l上的动点，过P作圆O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标．21. （5分）(2017·石景山模拟) 已知函数f（x）=1nx．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当x＞0时，；（Ⅲ）若x﹣1＞a1nx对任意x＞1恒成立，求实数a的最大值．22. （10分）(2018·安徽模拟) 平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线：平分曲线，且与曲线交于点，曲线上的点满足，求 .23. （10分） (2018高二下·永春期末) 已知函数，，．（1）当时，解关于的不等式；（2）若对任意，都存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、答案：略17-2、答案：略18-1、18-2、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、22-1、22-2、23-1、23-2、。
