2020届三湘名校教育联盟高三第二次大联考文科数学试题(带答案解析)

2020届湖南省五市十校高三第二次联考数 学 试 题（文）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}{}2540;1,A x x x B x x a =-+=-＜＜则“(2,3)a ∈”是“B A ⊆”的( )A ． 充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 记复数z 的虚部为)Im(z ，已知复数522z i i=-+（i 为虚数单位），则)Im(z 为( ) A ． 2 B. 3- C. 3i - D. 33．已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>， 2πϕ<）的零点构成一个公差为2π的等差数列，(0)f =，则()f x 的一个单调递增区间是( )A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-12,125ππB. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,6ππC. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-125,12ππD. ⎪⎭⎫⎝⎛127,12ππ 4.已知点P 为双曲线()222210x y a b a b-=>>右支上一点，点1F ，2F 分别为双曲线的左右焦点，点I是12PF F △的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121213IPF IPF IF F S S S -≥△△△成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ） A ．(]1,2 B ．()1,2 C ．(]0,3D ．(]1,35．一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF BCE -内自由飞翔，由它飞入几何体F AMCD -内的概率为（ ）A ．34B ．23C ．13D ．126．已知圆()()22:1C x a y b -+-=，平面区域60:400x y x y y +-≤⎧⎪Ω-+≥⎨⎪≥⎩，若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则圆心(),C a b 与点()2,8连线斜率的取值范围是（ ）A ．77,,35⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭UB ．77,,35⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭UC ．77,35⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．77,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7．已知正项等比数列{}n a 满足7652a a a -=.若存在两项,m n a a14a =，则9n mmn +的最小值为( )A ．83 B ．114 C ．145 D ．1768. 函数2sin ()2x f x x x x=+-的大致图象为（ ） A ． B ．C ．D ．9．已知()122F x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是R 上的奇函数，()()1101n n a f f f f n n -⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，n *∈N 则数列{}n a 的通项公式为（ ） A ．n a n = B ．()21n a n =+ C ．1n a n =+ D ．223n a n n =-+ 10．平行四边形ABCD 中，AC uuu v ，BD uu u v 在AB uu u v 上投影的数量分别为3，1-，则BD uu u v 在BC uu u v 上的投影的取值范围是（ ） A ．()1,-+∞ B ．()1,3- C ．()0,+∞ D ．()0,311.将边长为2的正ABC △沿着高AD 折起，使120BDC ∠=︒，若折起后A B C D 、、、四点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（ ）A ．7π2B ．7πC ．13π2D ．13π312．定义在R 上的可导函数)(x f 满足1)1(=f ，且1)(2>'x f ， 当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈23,2ππx 时，不等式232sin 2)cos 2(2>+x x f 的解集为( ) 0→ → → → →A ．⎪⎭⎫⎝⎛34,3ππ B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,3ππ C ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛3,0π D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,3ππ 二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大创举.这个伟大创举与我国古老的算法 —“辗转相除法”实质一样.如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入6102,2016a b ==时，输出的a = 14.博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为12,P P ，则12P P += .15. 设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是 . 16.设函数()2(),f x x a x b a b R =+++∈，当[]2,2x ∈-时，记()f x 的最大值为(),M a b ，则(),M a b 的最小值为______．三、解答题（解答应学出文字说明、证明过程或演算步骤，共70分）17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为sin sin sin ,,,0sin sin 3a Ab Bc C a b c a B C +--=且.（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.18. （本题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲,乙两条流水线的生产情况,随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本,测出它们的这一项质量指标值.若该项质量指标值落在(]195,210内,则为合格品,否则为不合格品.表1是甲流水线样本的频数分布表,图1是乙流水线样本的频率分布直方图.(1)根据图1估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数;(2)若将频率视为概率,某个月内甲,乙两条流水线均生产了5000件产品,则甲,乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件?(3)根据已知条件完成下面22⨯列联表,并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲,乙两条流水线的选择有关”?附: B (其中()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++为样本容量)19. （本题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，M 为棱AC 的中点．=AB BC ，=2AC ，1AA ． （1）求证：1B C ∥平面1A BM ； （2）求证：1AC ⊥平面1A BM ；（3）在棱1BB 上是否存在点N ，使得平面1AC N ⊥平面11AA C C ？如果存在，求此时1BNBB 的值；如果不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的左右顶点是双曲线222:13x C y -=的顶点，且椭圆1C 的上顶点到双曲线2C ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线l 与1C 相交于1M ，2M 两点，与2C 相交于1Q ，2Q 两点，且125OQ OQ ⋅=-，求12M M 的取值范围．21．（本题满分12分）已知函数()()02ln 22>+-=m x mx x x f(1)讨论函数()x f 的单调性； (2)当223≥m 时，若函数()x f 的导函数()x f '的图象与x 轴交于B A ,两点，其横坐标分别为()2121,x x x x <，线段AB 的中点的横坐标为0x ，且21,x x 恰为函数bxcx x x h --=2ln )(的零点，求证：.()()2ln 320'21+-≥-x h x x .选考题（本题满分10分）请考生在22,23两题中任选一题作答。

三湘名校教育联盟、湖湘名校教育联合体2024届高三10月大联考数学一、单选题(共24 分)1.已知集合A={x|x2+5x+6>0}，则∁R A=（）A.[−1,6]B.[−6,1]C.[2,3]D.[−3,−2]【答案】D【解析】【分析】求出集合A，利用补集的定义可得出集合∁R A.【详解】因为A={x|x2+5x+6>0}=(−∞,−3)∪(−2,+∞)，则∁R A=[−3,−2].故选：D．2.已知复数z满足z3+4i =4−3iz，则|z|=（）A.3B.5C.9D.25【答案】B【解析】【分析】根据复数模的运算求得正确答案.【详解】由已知有|z||3+4i|=|4−3i||z|，即|z|5=5|z|，所以|z|=5．故选：B3.已知向量a⃗，b⃗⃗满足|a⃗|=|b⃗⃗|=√2，a⃗⋅b⃗⃗=0．若(a⃗+λb⃗⃗)⊥(μa⃗+b⃗⃗)，则下列各式一定成立的是（）A.λ+μ=0B.λ+μ=−1C.λμ=0D.λμ=−1【答案】A【解析】【分析】根据向量垂直的要求转换为(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=0计算即可.【详解】(a⃗+λb⃗⃗)⋅(μa⃗+b⃗⃗)=μa⃗2+(λμ+1)(a⃗⋅b⃗⃗)+λb⃗⃗2=2(λ+μ)=0，所以λ+μ=0，故选：A.4.已知正实数x，y，z满足(x+2y)(2y+3z)=4，则x+4y+3z的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】B【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】x+4y+3z=(x+2y)+(2y+3z)≥2√(x+2y)(2y+3z)=4，当且仅当x+2y=2y+3z=2时等号成立.故选：B5.在平面α外有两条直线m和n，设m和n在平面α内的射影分别是直线m1和n1，则下列结论正确的是（）A.m1⊥n1是m⊥n的充分条件B.m1⊥n1是m⊥n的必要条件C.m1与n1相交是m与n相交或重合的充分条件D.m1与n1平行或重合是m与n平行的必要条件【答案】D【解析】【分析】根据线线垂直、相交、平行，以及充分、必要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】在如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1中，若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为A1C，BD1，满足m1⊥n1，但是不满足m⊥n，故A错误；若取平面α为平面ADD1A1，m1，n1分别为A1D1，AD1，m，n分别为A1C1，BD1，满足m⊥n，但是不满足m1⊥n1，故B错误；若取平面α为平面ABCD，m1，n1分别为AC，BD，m，n分别为AC1，B1D1，满足m1与n1相交，但是m与n异面，故C错误；当m与n平行时，m1与n1平行或重合，故D正确．故选：D6.已知数列{a n}满足a1=−1，a n+1=(1)a n，则下列结论正确的是（）eA.数列{a n}为单调递增数列B.数列{a n}为单调递减数列C.a2022<a2023D.a2023<a2024【答案】D【解析】【分析】根据给定的递推公式求出a2,a3判断AB；构造函数f(x)=xe x,x>0，由函数性质可得存在x0∈(0,1)使得x0=1，再借助不等e x0式性质探讨a2n−1,a2n与x0的大小关系判断CD.数列{a n }中，a 1=−1，a n+1=(1e )a n ，则a 2=e >−1=a 1，a 3=(1e)e <1e<e =a 2，显然数列{a n }不单调，AB 错误； 当n >1时，a n >0，且a n+1=1e a n ，令函数f(x)=xe x ,x >0，求导得f ′(x)=(x +1)e x >0，则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，又f (0)=0，f (1)=e ，且函数f(x)在(0,+∞)上的图象连续不断， 因此存在x 0∈(0,1)使得f (x 0)=x 0e x 0=1，即x 0=1e x 0，则当a n >x 0时，a n+1=1e a n<1e x 0=x 0，当a n <x 0时，a n+1=1e a n>1e x 0=x 0，由a 1=−1<x 0，a 2=e >x 0，得a 3<x 0，a 4>x 0，a 5<x 0，a 6>x 0，⋯，所以当n 为奇数时，a n <x 0；当n 为偶数时，a n >x 0，即有a 2022>x 0>a 2023，a 2024>x 0>a 2023，C 错误，D 正确. 故选：D7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (−2,0)，B (4,0)，M (1,m )，动点P 满足2|PA |=|PB |，设动点P 的轨迹为曲线C ，若曲线C 上存在两点E ，F ，使得EM ⊥MF ，则实数m 的取值范围是（ ） A.[−4√2,4√2] B.[−7,7]C.[−√7,√7]D.[−32,32]【答案】C 【解析】 【分析】先求P 点的轨迹方程，再运用直线与圆的位置关系和直角三角形斜边上的中线长为斜边长的一半的性质来求解参数范围． 【详解】设P (x,y )，由2|PA |=|PB |，得2√(x +2)2+y 2=√(x −4)2+y 2， 化简得(x +4)2+y 2=16，如图，设圆心为Q ，因为△EMF 为直角三角形，∠EMF =90°，若ME ，MF 为切线，则∠QME =45°， 在Rt △QME 中，∠QME =45°，∠QEM =90°，|QE |=4，所以|QM |=4√2， 要使圆Q 上存在点E ，F ，使得EM ⊥MF ， 则过M 到向圆引的两条切线的夹角不小于90°， 即圆心Q (−4,0)到点M (1,m )的距离不大于4√2， 即|QM |=√52+m 2≤4√2，解得m ∈[−√7,√7]． 故选：C ．8.已知函数f (x )=e 2x −2ae x −4a 2x (a >0)，若函数f (x )的值域与f(f (x ))的值域相同，则a 的取值范围是（ ） A.(0,12)B.(0,1]C.(1,+∞)D.[12,+∞)【答案】D 【解析】 【分析】先求出f ′(x )，根据已知结合导函数得出f (x )的单调性，求出函数的最小值.根据已知列出关系式−4a 2ln2a ≤ln2a ，求解即可得出答案. 【详解】有f ′(x )=2e 2x −2ae x −4a 2=2(e x +a )(e x −2a )． 因为a >0时，所以e x +a >0恒成立.由f ′(x )<0，可得e x −2a <0，解得x <ln2a ， 所以f (x )在(−∞,ln2a )上单调递减；由f ′(x )>0，可得e x −2a >0，解得x >ln2a ， 所以f (x )在(ln2a,+∞)上单调递增.所以f (x )min =f (ln2a )=e 2ln2a −2ae ln2a −4a 2ln2a =(2a )2−4a 2−4a 2ln2a =−4a 2ln2a ， 故f (x )的值域为[−4a 2ln2a,+∞).令t =f (x )，则t ∈[−4a 2ln2a,+∞)，要使得f(f (x ))的值域也为[−4a 2ln2a,+∞)， 则−4a 2ln2a ≤ln2a ，即(1+4a 2)ln2a ≥0， 所以ln2a ≥0，解得a ≥12．故选：D ．二、多选题(共 12 分)9.在四棱锥S −ABCD 中，底面ABCD 为正方形，侧棱SC 垂直于底面，且SC =AB ，则（ ） A.直线BD 与SC 所成角为π2B.直线BD 与SD 所成角为π4C.直线BD 与平面SCD 所成角为π6D.平面SBD 与平面ABCD 夹角的正切值为√2【答案】AD 【解析】 【分析】连接AC 与BD 交于点O ，证明BD ⊥平面SAC ，可判断A ；判断△SBD 为正三角形，可判断B ；先证BC ⊥平面SCD ，可得直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ，可判断C ；先证平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ，可求得tan∠SOC ，可判断D. 【详解】如图，连接AC 与BD 交于点O ，因为SC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以SC ⊥BD ，因为BD ⊥AC ，又AC ∩SC =C ，AC,SC ⊂平面SAC ， 所以BD ⊥平面SAC ，而SC ⊂平面SAC ，所以BD ⊥SC ， 即直线BD 与SC 所成的角为π2，A 正确；设AB =1，则SC =1，SD =SB =BD =√2，所以△SBD 为正三角形，所以直线BD 与SD 所成的角为π3，B 错误；因为SC ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以SC ⊥BC ，又BC ⊥CD ，又CD 与SC 是平面SCD 内两条相交直线， 所以BC ⊥平面SCD ，易知直线BD 与平面SCD 所成角即∠BDC ， 所以直线BD 与平面SCD 所成的角为π4，C 错误；设AB =SC =1，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，O 是AC 的中点， ∴可得AO =√22．因为△SBD 为等边三角形且O 为线段BD 中点，所以SO ⊥BD ．因为AO ⊥BD ，且平面SBD ∩平面ABCD =BD ．所以平面SBD 与平面ABCD 的夹角为∠SOC ．而tan∠SOC =√2，所以D 正确． 故选：AD ．10.已知点A (cosα,sinα)，B (cosβ,sinβ)，M (cosγ,sinγ)且0<α<γ<β<π，设OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，O 为坐标原点，则下列结论A.OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.sinγ=sinα+β2C.当λ=1时，β=α+π3D.当β=α+π2时，λ=√22【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量数量积的运算性质可判断A 选项；利用平面向量数量积的坐标运算以及两角差的余弦公式、余弦函数的单调性可判断B 选项；利用平面向量数量积的坐标运算可判断CD 选项. 【详解】对于A ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=λ(1+OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)， OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2)=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+1)=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，故A 正确；对于B ，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗有cosγcosα+sinγsinα=cosγcosβ+sinγsinβ，则cos (γ−α)=cos (β−γ)， 而0<α<γ<β<π，所以，0<γ−α<π，0<β−γ<π， 又因为函数y =cosx 在(0,π)上单调递减，所以，γ−α=β−γ，即γ=α+β2，因此sinγ=sinα+β2，故B 正确；对于CD ，因为|OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=√cos 2α+sin 2α=1，同理可得|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=|OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1， 由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗2=λ2(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗2+2OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，即1=λ2(2+2OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)，所以，OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=12λ2−1， 而OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=cosαcosβ+sinαsinβ=cos (β−α)，因此cos (β−α)=12λ2−1，当λ=1时，cos (β−α)=−12，而0<β−α<π，则β−α=2π3，即β=α+2π3，故C 错误；当β=α+π2，即β−α=π2时，cos (β−α)=cos π2=12λ2−1=0，λ2=12，因为0<α<γ<β<π，则sinα>0，sinβ>0，sinγ>0，由OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗+OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗)可得(cosγ,sinγ)=λ(cosα+cosβ,sinα+sinβ)， 所以，sinγ=λ(sinα+sinβ)，则λ=sinγsinα+sinβ>0，故λ=√22，故D 正确．故选：ABD ．11.已知F 1，F 2为双曲线C 的两个焦点，P 为双曲线C 上一点，且∠F 1PF 2=60°，|PF 1|=m |PF 2| (2≤m ≤3)，则双曲线C 的离心率可以为（ ） A.√2 B.√3 C.2 D.√5【答案】AB 【解析】 【分析】根据双曲的定义并结合余弦定理求出a,c 的关系，从而求出离心率e 的范围求解. 【详解】因为|PF 1|=m |PF 2|，由双曲线的定义可得|PF 1|−|PF 2|=(m −1)|PF 2|=2a ， 所以|PF 2|=2a m−1，|PF 1|=2mam−1，又因为∠F 1PF 2=60°，由余弦定理可得(2a m−1)2+(2ma m−1)2−22a m−1⋅2ma m−1cos60°=4c 2化简可得c 2a 2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2=e 2，设：f(m)=m+1m −2，m∈[2,3]，求导得f′(m)=1−1m2=m2−1m2，当2≤m≤3时，f′(m)>0，所以函数f(m)在区间[2,3]上单调递增，所以1f(m)=1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，所以e2=c2a2=1+m(m−1)2=1+1m+1m−2在区间[2,3]上单调递减，当m=2时，e2有最大值3，又因为e>1，所以离心率e∈(1,√3]，故A项和B项满足题意；故选：AB.12.已知函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则（）A.g(x)无最小值B.f(x)无最小值C.f(2021)+f(2023)>2f(2022)D.f(2021)+f(2023)<2f(2022)【答案】AC【解析】【分析】求出导函数g(x)=e x+lnx−2x+1，求出g′(x)=e x+1x−2>0，即可得出g(x)的单调性，进而判断A项；根据零点存在定理，结合g(x)的单调性，得出f(x)的单调性，即可判断B项；根据g(x)的单调性，即可得出f(x)为凹函数，进而判断C、D. 【详解】对于A项，由于函数f(x)=e x+xlnx−x2的导函数为g(x)，则g(x)=e x+lnx−2x+1.设ℎ(x)=e x−x，则ℎ′(x)=e x−1，当x=0时，有ℎ′(0)=e0−1=0，当x<0时，有ℎ′(x)=e x−1<0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递减；当x>0时，有ℎ′(x)=e x−1>0，所以ℎ(x)在(−∞,0)上单调递增.所以，ℎ(x)在x=0处取得唯一极小值，也是最小值ℎ(0)=1>0，所以，ℎ(x)>0，即e x−x>0，所以e x>x.又x>0时，g′(x)=e x+1x −2>x+1x−2≥0，故g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，因此g(x)无最小值，故A正确；对于B项，因为e 12<2，所以e−4<1e<12=lne12<ln2，所以g(e−4)=e e−4+lne−4−2×e−4+1<e ln2−4−2e−4+1=−1−2e−4<0.又因为g(1)=e+ln1−2+1=e−1>0，根据零点存在定理可知，存在x0∈(e−4,1)，使得g(x0)=0.又由A知g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为增函数，所以，当0<x<x0时，有g(x)<0，所以f(x)在(0,x0)单调递减；当x>x0时，有g(x)>0，所以f(x)在(x0,+∞)单调递增.故f(x)在x=x0处取得最小值，故B错误；又g(x)=e x+lnx−2x+1在定义域(0,+∞)上为单调递增函数，可知f(x)=e x+xlnx−x2在(0,+∞)上为凹函数，可得f(2021)+f(2023)2>f(2021+20232)，即f(2021)+f(2023)>2f(2022)，故C正确，D错误．故选：AC．【点睛】三、填空题(共9 分)13.(1x2−2x)n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则(1x2−2x)n的展开式中系数最大的项的系数为________．【答案】1792【解析】【分析】先求得n，然后根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由C n2=C n6得n=8，所以(1x2−2x)n的展开式的通项为C8r⋅(1x2)8−r⋅(−2x)r，当展开式的项的系数最大时，r为偶数，比较C80⋅(−2)0=1,C82⋅(−2)2=112,C84⋅(−2)4=1120，C86⋅(−2)6=1792,C88⋅(−2)8=256，得当r=6时，展开式中项的系数最大，该项系数为1792．故答案为：179214.小明准备用9万元投资A,B两种股票，已知这两种股票的收益独立，且这两种股票的买入价都是每股1元，每股收益的分布列如下表所示．若投资A种股票a万元，则小明两种股票的收益期望和为________万元．股票A每股收益的分布列股票B每股收益的分布列【答案】10.8【解析】【分析】结合离散型随机变量公式先求出E(X),E(Y)，由题知两种股票的收益期望和为E(aX)+E((90000−a)Y)，化简即可求解.【详解】E(X)=−1×0.3+0×0.2+3×0.5=1.2；E(Y)=−3×0.4+4×0.6=1.2．若投资A股票a元，则投资B股票90000−a元，E(aX)+E((90000−a)Y)=aE(X)+(90000−a)E(Y)=90000×1.2=108000，即小明两种股票的收益期望和为10.8万元．15.已知ω>0，函数f(x)=sinωx与g(x)=cosx的图象在[0,π]上恰有两个交点，则ω的值为________．【答案】32##1.5【解析】作出f(x)，g(x)图象，由两图象在[0,π]上恰有两个交点分析知，第二个交点只能落在(π,−1)上，分析f(x)图象，进而得解.【详解】作出f(x)，g(x)图象，观察图象可知，第二个交点只能落在(π,−1)，f(x)最低点对应横坐标靠前，两图象至少有三交点，靠后两图象只有1交点，因此由f(x)图象可知，34T=34⋅2πω=π，解得ω=32.故答案为：32四、双空题(共3 分)表示位于第i行、第j列的数．表格中a3,4的值为________，2023在该数阵中共出现________次．【答案】(1). 37(2). 6【解析】【分析】根据每行每列都是等差数列，可得第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，可求出a i,j的表达式，求出a3,4；令a i,j=2023，得2023=2ij+i+j+6，即j=−12+40352(2i+1)，i和j都是正整数，4035必是2i+1的倍数，由此讨论即可得解.【详解】第一列第i个数a i,1=10+3(i−1)=3i+7，又因为第一行、第二行、第三行…的公差依次是3，5，7，…，可以得到第i行的公差为2i+1，于是有a i,j=3i+7+(2i+1)(j−1)=2ij+i+j+6．因此a3,4=2×3×4+3+4+6=37．当2023出现在数阵中时，2023=2ij+i+j+6，即j=−1+4035()．因为i和j都是正整数，故4035必是2i+1的倍数，又因为舍去使i 或j 为0的解，共得到6组满足条件的i 和j ，因此2023在数阵中共出现6次． 故答案为：①37 ②6.五、应用题(共 6 分)影响一个城市消费水平的原因有很多，其中一个重要的指标就是该城市的月平均工资.2022年“双十一”已经过去，某机构借助国内几个主要的网购交易平台，统计了部分城市“双十一”当天的人均交易额（单位：百元）如下表：通过查阅人社局的报告，我们得到了上述七个城市的2022年的月平均工资（单位：百元）如下表：17. 从散点图可以发现，月平均工资与双十一交易额之间大致成正相关关系，即月平均工资越高，双十一当天的人均交易额越高，请求出人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程（保留小数点后两位有效数字）； 18. 若长沙市2023年的月平均工资为62百元，请预测长沙市在今年双十一中的人均交易额． 附：参考公式：b̂=∑x i n i=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2ni=1−n⋅x̅2，a ̂=y ̅−b̂⋅x̅． 参考数据：∑x i 27i=1=43136，∑x i 7i=1y i =2605.4，y ̅=4.7，x̅=78． 【答案】17. y ̂=0.07x −0.76 18. 3.58百元 【解析】 【分析】（1）由b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2先求出b ̂，再由a ̂=y ̅−b ̂⋅x̅求出a ̂，即可求出回归方程； （2）将x =62代入回归方程，可求对应y 值. 【17题详解】b ̂=∑x i ni=1y i −n⋅x̅⋅y ̅∑x i 2n i=1−n⋅x̅2=2605.4−7×78×4.743136−7×78×78≈0.07， a ̂=4.7−0.07×78=−0.76，所以人均交易额y （百元）与月平均工资x （百元）的经验回归方程为y =0.07x −0.76； 【18题详解】所以预测长沙市在今年双十一中的人均交易额为3.58百元．六、其它(共 6 分)如图所示，四边形ABCD 是圆台EF 的轴截面，M 是上底面圆周上异于C ，D 的一点，圆台的高EF =√3，AB =2CD =4．19. 证明：△AMB 是直角三角形；20. 是否存在点M 使得平面ADM 与平面DME 的夹角的余弦值为√55？若存在，求出点M 的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】19. 证明见解析 20. 答案见解析 【解析】 【分析】（1）易证EF ⊥ME ，对△EMF 由勾股定理求出FM ，由AF =BF =MF 可得证；（2）取AB ⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点，FN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，设M(sinθ,cosθ,√3)，求出平面ADM 的法向量和平面EDM 的法向量，结合向量夹角公式求出cosθ,sinθ，进而得解. 【19题详解】由题设，EF ⊥上底面圆E ， ∴ME ⊂上底面圆E ，∴EF ⊥ME ， ∵EF =√3，ME =1，∴MF =2， 又AB =4，∴AF =BF =MF ， ∴△AMB 是直角三角形；【20题详解】假设存在点M 使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55， 如图，取AB⌢的中点N ，连接FN ，以F 为原点， FN⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗，FE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 易知A (0,−2,0)，D(0,−1,√3)，E(0,0,√3)，设M(sinθ,cosθ,√3)，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,1,√3)，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(sinθ,cosθ+1,0)， 设m ⃗⃗⃗=(x,y,z )是平面ADM 的法向量， m⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0y +√3z =0令y =−√3sinθ，则m ⃗⃗⃗=(√3(cosθ+1),−√3sinθ,sinθ)， 易知平面EDM 的一个法向量为n ⃗⃗=(0,0,1)， 由题意得cos ⟨m ⃗⃗⃗,n ⃗⃗⟩=|m ⃗⃗⃗⃗⋅n ⃗⃗||m ⃗⃗⃗⃗||n ⃗⃗|√3(cosθ+1)2+3sin 2θ+sin 2θ√55， 解得cosθ=−12，此时sinθ=±√32． 故存在点M (±√32,−12,√3)，使得平面ADM 与平面DME 夹角的余弦值为√55．七、解答题(共 12 分)如图，△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b 2+c 2=a 2−bc ．21. 求角A 的大小；22. 若M 是线段BC 上的点，AM =1，MC =3MB ，求b +3c 的最大值． 【答案】21. A =23π；22. 8. 【解析】 【分析】（1）利用已知，结合余弦定理求解即得.（2）延长AM 至D 使得MD =3AM ，利用比例式与平行线间关系，结合余弦定理、基本不等式求解即得. 【21题详解】在△ABC 中，由b 2+c 2=a 2−bc 及余弦定理得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，而A ∈(0,π)，所以A =23π.【22题详解】延长AM 至D 使得MD =3AM ，连接CD ，显然MD AM=3=MC MB，则AB//CD ，于是CD AB =MC MB =3，即CD =3c ，AD =4，∠ACD =π3，在△ACD 中，由余弦定理得AD 2=AC 2+CD 2−2AC ⋅CD ⋅cos∠ACD ， 即16=b 2+9c 2−3bc ，因此(b +3c )2−16=9bc ≤3×(b+3c 2)2， 解之得b +3c ≤8，当且仅当b =3c =4时取等号， 所以当b =4，c =43时，b +3c 取得最大值8．设数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n 2，n ∈N ∗．23. 求{a n }的通项公式； 24. 若数列{b n }满足b n =a na n+1−1，其前n 项和为S n ，数列{c n }满足c n =a na n +1，其前n 项积为T n ，求证：S n +2T n =2．【答案】23. a n =22n−1，n ∈N ∗24. 证明见解析 【解析】 【分析】（1）通过两边取对数构造等比数列，先求等比数列通项，再求{a n }； （2）用裂项法求S n ，再求出T n ，最后求和证明结论. 【23题详解】由题意可知a n >0，n ∈N ∗，则由a n+1=a n 2，两边取对数可知lna n+1=2lna n ，故{lna n }是首项为lna 1=ln2，公比为2的等比数列， 所以lna n =2n−1ln2=ln22n−1，即a n =22n−1，n ∈N ∗；【24题详解】由（1）可知a n =22n−1，故b n =a n a n+1−1=22n−122n−1，c n =a n a n +1=22n−122n−1+1，故T n =c 1c 2⋯c n =22+1×2222+1×222222+1×⋯×22n−122n−1+1=21+2+22+⋯+2n−1(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(2−1)(2+1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −1(22−1)(22+1)⋯(22n−1+1)=22n −122n−1，而b n =22n−122n−1=(22n−1+1)−1(22n−1−1)(22n−1+1)=122n−1−1−122n−1，故S n =b 1+b 2+⋯+b n =(121−1−122−1)+(122−1−1222−1)+⋯+(122n−1−1−122n−1)=1−122n −1，所以S n +2T n =1−122n−1+2×22n −122n−1=1−122n−1+22n22n−1=1+22n −122n−1=2，得证！八、问答题(共 6 分)已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的长轴长为4，离心率为12，定点P (−4,0)．25. 求椭圆C 的方程；26. 设直线AB 与椭圆C 分别交于点A,B （P 不在直线AB 上），若直线PA ，PB 与椭圆C 分别交于点M ，N ，且直线AB 过定点Q (−52,32)，问直线MN 的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由．【答案】25.x 24+y 23=126. 直线MN 的斜率为定值1 【解析】 【分析】（1）由长轴长和离心率可求出a,c ，结合关系式可求出b ，进而求出椭圆C 的方程； （2）可设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗得{−4=x 1+λx 31+λ0=y 1+λy 31+λ，将A ，M 代入椭圆整理得x 1−λx 31−λ=−1，联立x 1+λx 31+λ=−4求得x 1,x 3，同理求得x 2,x 4，结合k AQ =k BQ ，化简求出y 4−y 3，x 4−x 3由k MN =y 4−y 3x 4−x 3即可求解.【25题详解】由椭圆C 的长轴长为4可知a =2， 又椭圆C 的离心率为12，所以ca=12，所以c =1，b =√3，因此椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；【26题详解】直线MN 的斜率为定值，定值为1，证明：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 3,y 3)，N (x 4,y 4)，， AP⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=μPN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗， 由AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=λPM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗，有{−4=x 1+λx31+λ0=y 1+λy 31+λ ， 因为A ，M 在椭圆上， 所以x 124+y 123=1，x 324+y 323=1，因此1−λ2=(x 124+y 123)−λ2(x 324+y 323)，整理得1−λ2=x 12−λ2x 324+y 12−λ2y 323=x 12−λ2x 324， 即4=x 12−λ2x 321−λ2=x 1+λx 31+λ⋅x 1−λx 31−λ，因此x 1−λx 31−λ=−1，联立x1+λx31+λ=−4，解之有{x1=−52−32λx3=−52−32λ，同理{x2=−52−32μx4=−52−32μ，又因为直线AB过定点Q(−52,32)，所以y2−32x2+52=y1−32x1+52，将y1+λy3=0，y2+μy4=0，x1=−52−32λ，x2=−52−32μ代入，有−μy4−32−32μ=−λy3−32−32λ，整理得y4−y3=32λ−32μ，又x4−x3=(−52−32μ)−(−52−32λ)=32λ−32μ，所以k MN=y4−y3x4−x3=1．综上，直线MN的斜率为定值1．九、解答题(共6 分)已知函数f(x)=lnx+ax(a∈R)．27. 讨论函数y=f(x)−a的零点个数；28. 若a>−1且函数y=f(x)−a有两个零点x1，x2，证明：|x1−x2|<(2a +1)2．【答案】27. 答案见解析28. 证明见解析【解析】【分析】（1）采用分类讨论的方法，分a≥0和a<0两种情况，分别利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理，即可判断函数的零点个数；（2）结合（1）知a的范围，利用导数求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程y=a2x+ln(−2a)−1，从而求出a=a2x+ln(−2a )−1的解x3=2+2a−2aln(−2a)，进而推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，即可证明原不等式.【27题详解】由题意知f(1)=a，故f(1)−a=0，因此函数y=f(x)−a必有一个零点x=1，由f(x)=lnx+ax(a∈R)有f′(x)=1x +a=1+axx(x>0)，当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，设ℎ(x)=f(x)−a，函数ℎ(x)在(0,+∞)上单调递增，则ℎ(e−2)=−2+a(e−2−1)<0，ℎ(2)=ln2+a>0，结合f(1)−a=0，此时函数y=f(x)−a在(0,+∞)上恰有一个零点1；当a<0时，令f′(x)>0有0<x<−1a ，令f′(x)<0有x>−1a，因此函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，此时函数ℎ(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，当a=−1时，f(x)max=f(1)=1，函数y=f(x)−a=lnx−x+1恰有一个零点1；当a<0且a≠−1时，f(−1a )>f(1)=a，则ℎ(−1a)=f(−1a)−a>0，又x>0且x取值无限小时，lnx取负的无限小值，ax无限趋近0，ℎ(x)可取负的无限小值，由一次函数y=−ax(a<0)的增长速度远远大于对数函数y=lnx的增长速度可知，当x→+∞时，ℎ(x)=f(x)−a=lnx+ax−a可取负的无限小值，因此，当a<0时，函数y=f(x)−a恰有两个零点．综上：当a<0且a≠−1时，函数y=f(x)−a恰有两个零点，当a≥0或a=−1时，函数y=f(x)−a恰有一个零点；【28题详解】由（1）可知，−1<a<0且函数y=f(x)−a必有一个零点1，不妨令x1=1，函数f(x)在(0,−1a )上单调递增，在(−1a,+∞)上单调递减，f′(−2a )=a2，因此f(x)在点(−2a,f(−2a))处的切线方程为y=a2x+ln(−2a)−1，令a=a2x+ln(−2a)−1，解之有x3=2+2a−2aln(−2a)，当−1<a<0时，1<−1a <−2a，知x2<x3，所以要证明|x1−x2|<(2a +1)2，只需证明x3−1<(2a+1)2，即证明1+2a −2aln(−2a)<(2a+1)2；令t=−2a (t>2)，则1+2a−2aln(−2a)<(2a+1)2等价于1−t+tlnt<(t−1)2，令g(t)=1−t+tlnt−(t−1)2=tlnt+t−t2=t(lnt+1−t)，令G(t)=lnt+1−t，G′(t)=1t −1=1−tt<0，因此函数G(t)在(1,+∞)上单调递减，因为G(t)=lnt+1−t<G(1)=0，故g(t)<0，所以当−1<a<0时，|x1−x2|<(2a +1)2；【点睛】难点点睛：本题考查应用导数研究函数的单调性和证明不等式，考查学生的逻辑推理以及数学运算能力．难点在于第二问不等式的证明，解答时要利用导数的几何意义求得f(x)在点(−2a ,f(−2a))处的切线方程，从而求出a=a2x+ln(−2a)−1的解x3=2+2 a −2aln(−2a)，推出x2<x3，即可将原不等式转化为x3−1<(2a+1)2，利用构造函数，结合函数的单调性，解决问题.。

1 cos A b2 c2 16 0 结合 b c 解得 2 b 2 2. 2bc
16.【答案】②③【详解】在 ABC 中，∵ BC AC ，由正弦定理可得：，
当 1时，BC AC ，过 AB 的中点作线段 AB 的垂面 ，则点 C 在 与 的交线上，即点 C 的轨迹是一条直线；当 2 时， BC 2AC ，设 B 在平面 内 的 射 影 为 D ， 连 接 BD ， CD ， 设 BD h ， AD 2a ， 则 BC CD2 h2 ，在平面 内，以 AD 所在直线为 x 轴，以 AD 的中点为 y
联立
y 1
x
2
x0 2y
(x
x0
)
可得
x2
2 x0
x
2 x0 2
2
0,
则
8
4 x0 2
0
x1 x2 2x0 ,
x1x2
2 x0 2
2
………(6
分)
进而可得 AB 1 x02 x1 x2 1 x02 8 4x02 ,
点
N
到
直
线
AB
的
距
离
为
d 0 2 1 x02 1 x02
1 x02 1 x02
5.【答案】A
与
D
均算对.【详解】
a
lg
2 3
0
b
log5
2
log5
5 1 , c 0.50.5 0.51 1 ．故
2
2
abc．
6.【答案】B【详解】从三个阳数 1,3,5,7,9 中随机抽取三个数共有 10 种取法，合题意的有 2 种：{1,5,9}
和{3,5,7}，由此可得所求概率为 1 . 5

2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3} 2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．111．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为．14．已知向量，，且，则＝．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．2019-2020学年湖南省三湘名校教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x（x﹣2）≤0}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则（∁U A）∩B＝（）A．{﹣1}B．{﹣1，3}C．{1，2，3}D．{﹣1，0，2，3}【解答】解：A＝[0，2]，∁U A＝（﹣∞，0）∪（2，+∞），（∁U A）∩B＝{﹣1，3}．故选：B．2．若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，得z＝，∴，则在复平面内对应的点的坐标为（，），位于第三象限．故选：C．3．“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由log2（x+1）＜1得0＜x+1＜2，解得﹣1＜x＜1，则“0＜x＜1”是“log2（x+1）＜1”的充分不必要条件，故选：A．4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，文各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，丙所得为（）A．钱B．钱C．钱D．1钱【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，∴在这个问题中，丙所得为1钱．故选：D．5．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．6．已知，均为单位向量，|+|＝，则（2+）•（﹣）＝（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：∵，均为单位向量，且|+|＝，∴3＝，∴＝，则（2+）•（﹣）＝＝，故选：B．7．在△ABC中，AB＝1，AC＝3，＝1，则△ABC的面积为（）A．B．1C．D．【解答】解：∵AB＝1，AC＝3，＝1，∴cos（π﹣B）＝＝，∴a cos B＝﹣1，由余弦定理可得，a×＝﹣1，∴a2+1﹣9＝﹣2，∴a2＝6即a＝，cos B＝﹣，则△ABC的面积S＝＝＝．故选：C．8．要得到函数的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位【解答】解：函数＝cos2x﹣＝＝sin（2x+），要得到f（x）的图象，只需将函数g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位即可得到．故选：A．9．设a＝log43，b＝log86，c＝20.1，则（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：由指数函数y＝2x在R上单调递增，得20.1＞20，即c＞1，由对数函数y＝log4x，y＝log8x在（0，+∞）上单调递增，得：log41＜log43＜log44，log81＜log86＜log88，即0＜a＜1，0＜b＜1，∴c最大，又∵a＝log43＝log23＝log2，b＝log86＝3log26＝log2，且，∴a＜b，∴c＞b＞a，故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝x（3﹣2x），则＝（）A．﹣1B．C．D．1【解答】解：根据题意，f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），又由f（1﹣x）＝f（1+x），则f（x+1）＝﹣f（x﹣1）＝f（x﹣3），则有f（x）＝f（x+4），即函数f（x）是周期为4的周期函数，则有；故选：A．11．设函数，若关于x的方程f（x）+m＝0对任意的m∈（0，1）有三个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]B．[2，+∞）C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解答】解：当x≤0时，∀m∈（0，1），e x﹣1＝﹣m有一根，∴当x＞0时，x2﹣ax＝﹣m有两根，作图可知，解得a≥2．故选：B．12．已知f'（x）是f（x）（x∈R）的导函数，且f'（x）＞f（x），f（1）＝e，则不等式f（x）﹣e x＜0的解集为（）A．（﹣∞，e）B．（e，+∞）C．（﹣∞，1）D．（1，+∞）【解答】解：构造函数，则，∴F（x）在R上为增函数，又∵F（1）＝＝1，∴原不等式f（x）﹣e x＜0可化为F（x）•e x﹣e x＜0，∴e x[F（x）﹣1]＜0，∴F（x）＜1，∴F（x）＜F（1），又∵F（x）在R上为增函数，∴x＜1，故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lg（x2+2x﹣3），必有x2+2x﹣3＞0，解可得x＜﹣3或x＞1，即函数的定义域为（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），设t＝x2+2x﹣3，则y＝lgt，又由t＝x2+2x﹣3在（﹣∞，﹣3）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而y＝lgt在区间（0，+∞）上为增函数，则f（x）＝lg（x2+2x﹣3）的单调递减区间为（﹣∞，﹣3）；故答案为：（﹣∞，﹣3）14．已知向量，，且，则＝．【解答】解：∵向量，，且，∴，∴sinα＝2cosα，∴sin2α+cos2α＝sin2α+α＝1，解得sin2α＝，∴＝﹣sinα（﹣sinα）＝sin2α＝．故答案为：．15．已知f（x）＝ln（e ax+1）﹣bx（b≠0）是偶函数，则＝2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），即＝ln（e ax+1）﹣ax+bx＝ln（e ax+1）﹣bx，∴ax﹣bx＝bx，∴ax＝2bx，∴a＝2b，且b≠0，∴．故答案为：2．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，，，则当S n 取最大值时，n的值为674．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n，，，可得a n＝S n﹣S n﹣1＝S n S n﹣1，则﹣＝﹣1，可得＝﹣（n﹣1）＝，则S n＝，当1≤n≤674时，S n＞0；n≥675时，S n＜0．且1≤n≤674时，S n递增，当S n取最大值时，n的值为674．故答案为：674．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a5＝19，S5＝55．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．【解答】解：（1）设公差为d，则，解得，∴a n＝3+4（n﹣1）＝4n﹣1；（2），∴＝（﹣）＝．18．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，2（a2﹣b2）＝2ac cos B+bc．（1）求A；（2）若D是BC边上一点，且BD＝3DC，，求tan C．【解答】解：（1）∵由已知及余弦定理可得2（a2﹣b2）＝a2+c2﹣b2+bc，∴b2+c2﹣a2＝﹣bc，∴，∵A∈（0，π），∴．（2）∵，，可得∠DAC＝，可得sin∠DAC＝，∴在△ACD中，，在△ABD中，，∵BD＝3DC，∴3sin B＝2sin C，即，化简得．19．设函数．（1）求f（x）的最小正周期、最大值及取最大值时x的取值集合；（2）讨论f（x）在区间上的单调性．【解答】解：（1）＝＝，∴f（x）的最小正周期T＝π，当，即时，f（x）取最大值为．（2）x∈，，结合正弦函数图象可得f（x）在区间上单调递增，在区间与上单调递减．20．已知数列{a n}满足a n＞1且＝．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝a n•log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）由a n＞1，当n＝1时，，a1＝2，当n≥2时，＝，∴＝n2，∴，∵n＝1也适合，∴；（2），∴，，两式相减得＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴．21．设函数f（x）＝x2﹣ax+2+lnx．（1）若f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；（2）当a＝3时，f（x）在[e n，+∞）（n∈Z）上存在两个零点，求n的最大值．【解答】解：（1）∵定义域为（0，+∞），，∵f（x）在其定义域上是增函数，∴f'（x）≥0，，∵，∴实数a的取值范围是．（2）当a＝3时，，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，∴f（x）在处取得极大值，在x＝1处取得极小值f（1）＝0，∴x＝1是一个零点，当x＞1，f（x）＞0，故只需且f（e n）≤0，∵，，∴n的最大值为﹣2．22．已知函数f（x）＝e x+ax+a+2．（1）若a＝0，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）当x≤0时，f（x）≥2，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝e x+2，f（1）＝e+2．f'（x）＝e x，f'（1）＝e，∴切线方程为y﹣（e+2）＝e（x﹣1），即y＝ex+2．（2）当x≤0时，e x+ax+a+2≥2，即e x+ax+a≥0，令h（x）＝e x+ax+a，则h（0）≥0，a≥﹣1，当a＝0时，h（x）＝e x＞0，满足题意；当a＞0时，h'（x）＝e x+a＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上递增，由y＝e x与y＝﹣a（x+1）的图象可得h（x）≥0在（﹣∞，0]上不恒成立；当﹣1≤a＜0时，由h'（x）＝e x+a＝0，解得x＝ln（﹣a），当x＜ln（﹣a）时，h'（x）＜0，当ln（﹣a）＜x≤0时，h'（x）＞0，∴h（x）在（﹣∞，0]上的最小值为h（ln（﹣a）），∴h（ln（﹣a））＝aln（﹣a）≥0，解得﹣1≤a＜0．综上可得实数a的取值范围是[﹣1，0]．。