实验报告
实验项目名称函数逼近与快速傅里叶变换实验室数学实验室
所属课程名称数值逼近
实验类型算法设计
实验日期2013年10月16日
班级11信息与计算科学
学号2011119404
姓名冯学宁
成绩
512*x^10 - 1280*x^8 + 1120*x^6 - 400*x^4 + 50*x^2 - 1
并得到Figure，图像如下：
实验二：编写程序实现[-1,1]上n阶勒让德多项式，并作画（n=0,1，…，10 在一个figure中）。要求：输入Legendre(-1,1,n)，输出如a n x n+a n-1x n-1+…多项式。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现勒让德多项式的程序代码如下：
function Pn=Legendre(n,x)
syms x;
if n==0
Pn=1;
else if n==1
Pn=x;
else Pn=expand((2*n-1)*x*Legendre(n-1)-(n-1)*Legendre(n-2))/(n);
end
x=[-1:0.1:1];
A=sym2poly(Pn);
yn=polyval(A,x);
plot (x,yn,'-o');
hold on
end
在command Windows中输入命令：Legendre（10），得出的结果为：
Legendre(10)
ans =
(46189*x^10)/256 - (109395*x^8)/256 + (45045*x^6)/128 - (15015*x^4)/128 + (3465*x^2)/256 - 63/256
并得到Figure，图像如下：
实验三：利用切比雪夫零点做拉格朗日插值，并与以前拉格朗日插值结果比较。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现拉格朗日插值多项式的程序代码如下：
function [C,D]=lagr1(X,Y)
n=length(X);
D=zeros(n,n);
D(:,1)=Y';
for j=2:n
for k=j:n
D(k,j)=(D(k,j-1)- D(k-1,j-1))/(X(k)-X(k-j+1));
end
end
C=D(n,n);
for k=(n-1):-1:1
C=conv(C,poly(X(k)));
m=length(C);
C(m)= C(m)+D(k,k);
end
在command Windows 中输入如下命令：
clear,clf,hold on;
k=0:10;
X=cos(((21-2*k)*pi)./22); %这是切比雪夫的零点
Y=1./(1+25*X.^2);
[C,D]=lagr1(X,Y);
x=-1:0.01:1;
y=polyval(C,x);
plot(x,y,X,Y,'.');
grid on;
xp=-1:0.01:1;
z=1./(1+25*xp.^2);
plot(xp,z,'r')
得到Figure ，图像如下所示：
比较后发现，使用切比雪夫零点做拉格朗日插值不会发生龙格现象。 实验四：对于给定函数22511)(x
x f +=在区间1][-1，上取)10,,1,0(2.01⋅⋅⋅=+-=i i x i ，试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第2章计算实习题2的结果比较。
在MATLAB的Editor中输入程序代码，实现3次曲线拟合的程序代码如下：
x=[-1:0.2:1];
y=1./(1+25*x.^2);
p=polyfit(x,y,3);
yp=polyval(p,x);
plot(x,y,'o-',x,yp,'*-')
fp=poly2sym(p)
command Windows中输出：
fp =
(8299760523663595*x)/649037107316853453566312041152512 - (3305*x^2)/5746 - (572862092712169*x^3)/81129638414606681695789005144064 + 4360609662300613/9007199254740992
并得到Figure，图像如下：
第2章计算实习题2的结果如下：
牛顿插值多项式：
三次样条多项式：
比较下来可知：三次样条的拟合效果最好，其次是牛顿插值多项式，最次是3次曲线拟合。
实验五：由实验给出数据表
x 0.0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1.0
y 1.0 0.41 0.50 0.61 0.91 2.02 2.46
试求3次、4次多项式的曲线拟合,再根据数据曲线形状,求一个另外函数的拟合曲线，用图示数据曲线以及相应的三种拟合曲线。
在MATLAB的Editor中建立一个M-文件，输入程序代码，实现3次曲线拟合的程序代码如下：
x=[0 0.1 0.2 0.3 0.5 0.8 1];
y=[1 0.41 0.5 0.61 0.91 2.02 2.46];
p1=polyfit(x,y,3)
p2=polyfit(x,y,4)
y1=polyval(p1,x);
y2=polyval(p2,x);
plot(x,y,'g-',x,y1,'r-',x,y2,'b-')
hold on
p3=polyfit(x,y,2)%观察图形与抛物线接近，故采用2次曲线拟合
y3=polyval(p3,x);
plot(x,y3,'c-')
得到Figure，图像如下：
实验六：使用快速傅里叶变换确定函数f(x)=x^2*cosx在[-π,π]上的16次三角插值多项式。
