三角函数的图像与性质 教案
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三角函数的图象与性质
教学目标
1.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质,并能用它研究复合函数的性质.
2.熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、
3.理解图象平移变换、伸缩变换的意义,并会用这两种变换研究函数图象的变化.
重点难点
重点是通过复习,能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点,特别是三角函数的周期性,是需要重点明确的问题.
难点是,在研究复合函数性质时,有些需要先进行三角变换,把问题转化到四种三角函数上,才能进行研究,这就增加了问题的综合性和难度.教学过程
三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题,要熟练、准确地掌握.特别是三角函数的周期性,反映了三角函数的特点,在复习“三角函数的性质与图象”时,要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容,认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用.这样才能把性质理解透彻.
一、三角函数性质的分析
1.三角函数的定义域
这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在y轴上的角.
函数y=cotx的定义域是x≠π或(kπ,kπ+π)(k∈Z),这两种表示法都需要掌握.即角x不能取终边在x轴上的角.
(2)函数y=secx、y=cscx的定义域分别与y=tanx、y=cotx相同.
例1求下列函数的定义域:
π](k∈Z).
形使函数定义域扩大.
的某些区间与-3≤x≤3的交集不空,这些区间可以通过k取特殊值得到.注意不要遗漏.
(3)满足下列条件的x的结果,要熟记(用图形更便于记住它的结果).
是[]
所以选C.
2.三角函数的值域
(1)由|sinx|≤1、|cosx|≤1得函数y=cscx、y=secx的值域是|cscx|≥1、|secx|≥1.
(2)复合三角函数的值域问题较复杂,除了代数求值域的方法都可以适用外,还要注意三角函数本身的特点,特别是经常需要先进行三角变换再求值域.
常用的一些函数的值域要熟记.
③y=tanx+cotx∈(-∞,-2]∪[2,+∞).例4求下列函数的值域:
(2)y=3cos2x+4sinx
①x∈R;
④x是三有形的一个内角.
(3)y=cosx(sinx+cosx);
(5)y=sin(20°-x)+cos(50°+x).
若把上式中的sinx换成cosx,解法、答案均与上面相同.sinx=0时,y max=3,所以y∈[-4,3];
(5)解法一将cos(50°+x)变为sin(40°-x),和差化积得
y=2sin(30°-x)·cos10°∈[-2cos10°,2cos10°].解法二用正弦、余弦的两角和与差的公式展开,得
y=(sin20°cosx-cos20°sinx)+(cos50°cosx-sin50°sinx)
=(sin20°+cos50°)cosx-(cos20°+sin50°)sinx
=(sin20°+sin40°)cosx-(sin70°+sin50°)sinx
=2sin30°·cos10°·cosx-2sin60°·cos10°·sinx
=2cos10°·sin(30°-x)∈[-2cos10°,2cos10°].
评述以上是求三角函数值域的几种基本情况,它们的共同点在于,经过三角变换,都要转化为四种基本三角函数的值域.
求tanβ的最大值.
解α为锐角,tanα>0,所以
3.三角函数的周期性
(1)对周期函数的定义,要抓住两个要点:
①周期性是函数的整体性质,因此f(x+T)=f(x)必须对定义域中任一个x成立时,非零常数T才是f(x)的周期.
②周期是使函数值重复出现的自变量x的增加值.
因为sin(2kπ+x)=sinx对定义域中任一个x成立,所以2kπ(k∈Z,k≠0)是y=sinx的周期,最小正周期是2π.
同理2kπ(k∈Z,k≠0)是y=cosx的周期,最小正周期是2π.
因为tan(kπ+x)=tanx对定义域中任一个x成立,所以kπ(k∈Z,k≠0)是y=tanx的周期,最小正周期是π.
同理kπ(k∈Z,k≠0)是y=cotx的周期,最小正周期是π.
(3)三角函数的周期性在三角函数性质中的作用
①函数的递增或递减区间周期性的出现,每一个三角函数,都有无数个递增或递减区间,这些递增区间互不连接,递减区间也互不连接.
②函数的最大、最小值点或使函数无意义的点周期性变化.
③因为三角函数是周期函数,所以画三角函数图象时,只须画一个周期的图象即可.
例6求下列函数的周期:
上式对定义域中任一个x成立,所以T=π;
4.三角函数的奇偶性,单调性
研究函数的单调性,关键是求函数的单调区间.
[]
A.②B.①②C.②③D.①②③
原点不对称,所以函数①既非奇函数又非偶函数;②因为f(-x)=-f(x),所
但是周期函数,T=2π.因此选C.
评述在判定函数是奇函数或是偶函数时,一定要注意函数的定义域,一个函数是奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称.因此对①,不能根
据f(-x)+f(x)=0就判定①为奇函数.
原来的函数既不是奇函数,也不是偶函数.因此在研究函数性质时,若将函数变形,必须保持变形后的函数与原来的函数是同一个函数,
例8给出4个式子:①sin2>cos2>tan2;②sin2>sin3>sin4;③tan1>sin1>cos1;④cos1>cos2>cos3.正确的序号是______.
而(0,π)是y=cosx的递减区间,所以④正确.
例9函数y=-cosx-sin2x在[-π,π)的递增区间是______.