备用题 ezzxX
1三招解决极值点偏移问题
极值点偏移问题简介：
极值点偏移问题是咱们高中非常常见的导数问题，其中解法与题型也非常非常多，比如比值换元，
差值换元，对称化构造，同构方程，对数均值不等式，切线夹，割线放缩，零点差一次拟合，飘带函数放缩，
泰勒二次拟合，零点差一次拟合等等。
很多学生看了题不知道从哪里入手，在此总结了三大类题型，包括了大部分方法，看起来更加清
晰明了，这三类题型也是必须掌握的题型，前两种较基础要掌握，最后一种难度偏高可以选择性记忆。
一.最常见的方法--构造函数极值点偏移模型：
考点1.利用韦达定理，进行构造函数
1已知函数fx=1
2x2+alnx-4xa>0
.
(1)当a=3时，试讨论函数fx
的单调性；
(2)设函数fx
有两个极值点x
1,x
2x
1
2，证明：fx
1+fx
2>lna-10.
22已知函数fx=lnx+x2-axa∈R
.
(1)若a=1，求函数fx
图象在点1,f1
处的切线方程；
(2)设fx
存在两个极值点x
1,x
2且x
1
2，若0
1<12，求证：fx
1-fx
2>3
4-ln2.
考点2. 利用分析法，进行对称构造
3已知函数f(x)=lnx+m
x-1.
(1)若存在实数x，使f(x)<-1成立，求实数m的取值范围；
(2)若f(x)有两个不同零点x
1,x
2，求证：x
1+x
2>2.
34已知函数fx=lnx-ax-2a∈R.
(1)讨论fx
的单调性；
(2)若fx
有两个零点x
1，x
2x
1
2，证明：x
1+3x
2>
3
a+2.
5已知函数fx=2lnx+axa∈R
(1)若fx
≤0在0,+∞
上恒成立，求a的取值范围；
(2)设gx
=x3-fx
，x₁，x₂为函数g(x)的两个零点，证明：x₁x₂<1.
4二.对数均值不等式飘带函数模型：
考点1.同构方程，利用比值换元构造函数
6已知函数fx=x-2ex-ax
a∈R
．
极值点偏移是高中数学中的一个重要概念，也是学生们比较头疼的一个知识点。在解决数学问题时，我们经常会遇到一些与极值点有关的题型，比如函数的极值问题、优化问题等。而在解决这些问题时，极值点偏移方法是一种非常实用的解题技巧。本文将从四种题型出发，对极值点偏移方法进行详细解析，并结合具体例题进行说明。
1. 函数的极值问题
函数的极值问题是高中数学中的一个重要内容。在解决这类问题时，我们常常会用到导数的概念，来求函数的极值点。但有些情况下，我们可以通过极值点偏移方法更快地得到函数的极值点。比如对于一些简单的函数，通过极值点的平移和对称性，可以用更简洁的方法求得函数的极值点。
举例说明：
已知函数 $f(x)=x^3-3x^2+2$，求 $f(x)$ 的极值点。
解：求导得 $f'(x)=3x^2-6x$。令导数为零，得到 $x=0$ 或 $x=2$。根据导数的符号，可知 $x=0$ 是极小值点，$x=2$ 是极大值点。但通过极值点偏移方法，我们可以发现，当 $x=0$ 时，$f(x)=2$；而当
$x=2$ 时，$f(x)=2$。也就是说，极小值点 $x=0$ 对应的函数值和极大值点 $x=2$ 对应的函数值相等。这就是极值点偏移的思想。
2. 优化问题 优化问题是数学建模中常见的类型之一，也是考察学生综合运用数学知识解决实际问题的一种形式。当我们遇到优化问题时，常常需要求解函数的极值点。而极值点偏移方法可以帮助我们更快地找到函数的极值点，从而解决优化问题。
举例说明：
一块长为20厘米的铁皮，可以做成一个底面积为 $x cm^2$ 的正方形盒子和一个底面积为 $y cm^2$ 的开口放平盒子，求怎样分割这块铁皮才能使总体积最大。
解：设正方形盒子的边长为 $a$，开口朝下的放平矩形盒子的底边长为 $b$，高为 $h$。则根据题意可知，$b=a+2h$，且 $x=a^2$，$y=bh$。问题转化为求 $x+y$ 的最大值。
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极值点偏移问题
图说极值点偏移
1.已知函数f(x)的图象的顶点的横坐标就是极值点x0，若f(x)＝c的两根的中点刚好满足x1＋x22＝x0，即极值点在两根的正中间，也就是说极值点没有偏移．此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢相同，如图(1)．
2．若x1＋x22≠x0，则极值点偏移，此时函数f(x)在x＝x0两侧，函数值变化快慢不同，如图(2)(3)．
考点一 对称变换
对称变换，主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：
(1)定函数(极值点为x0)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.
(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数F(x)＝f(x)－f(2x0－x)，若证x1x2＞x20，则令F(x)＝f(x)－fx20x.
(3)判断单调性，即利用导数讨论F(x)的单调性．
(4)比较大小，即判断函数F(x)在某段区间上的正负，并得出f(x)与f(2x0－x)的大小关系．
(5)转化，即利用函数f(x)的单调性，将f(x)与f(2x0－x)的大小关系转化为x与2x0－x之间的关系，进而得到所证或所求． 全国名校高考数学复习优质学案专题汇编（附详解）
[提醒] 若要证明f′x1＋x22的符号问题，还需进一步讨论x1＋x22与x0的大小，得出x1＋x22所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．
[典例] 已知函数h(x)与函数f(x)＝xex(x∈R)的图象关于原点对称，如果x1≠x2，且h(x1)＝h(x2)，求证：x1＋x2＞2.
[解题观摩] 由题意知，h(x)＝－f(－x)＝xe－x，h′(x)＝e－x(1－x)，令h′(x)＝0，解得x＝1.
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x (－∞，1) 1 (1，＋∞)
h′(x) ＋ 0 －
■河南省濮阳市第一高级中学 袁 媛 极值点偏移问题是高考考查的重难点,
通常作为压轴题出现,往往对思维要求较高,
解题过程较为烦琐,难度较大,同学们处理起
来比较困难,甚至无从下手。此类问题以导
数为背景考查同学们运用函数与方程、数形
结合、转化与化归思想解决函数问题的能力,
层次性强。下面通过一题多解,系统地讲解
处理极值点偏移问题的几种方法,使大家能
够全面、准确地认识极值点偏移问题,掌握其
解题技巧和方法,并且根据题目的特点,选择
合适的方法,化难为易、化繁为简。
一、极值点偏移的定义
已知函数y=f(x)是连续可导函数,在
区间(a,b)内只有一个极值点x0,f(x1)=
f(x2),且x0在x1与x2之间,由于函数在
极值点左右两侧的变化速度不同,导致函数
图像不对称,使得极值点偏向变化速度快的
一侧,常常有x0≠x1+x22这种情况,称为极
值点偏移。
若x0
间(x1,x2)上极值点x0向左偏移,简称极值
点左偏;若x0>x1+x22,则称函数y=f(x)
在区间(x1,x2)上极值点x0向右偏移,简称
极值点右偏。
二、极值点偏移问题的解题方法
例1 f(x)=xlnx-2ax2+x,a∈R,若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:x1+
x2>12a。证明:因为f(x)有两个极值点x1,x2,
所以f'(x)=lnx-4ax+2有两个零点x1,
x2。
令g(x)=lnx-4ax+2,则g'(x)=
1x-4a=1-4axx。
分析可知a>0。
当x∈0,14a 时,g'(x)>0,g(x)单调
递增;当x∈14a,+∞ 时,g'(x)<0,g(x)
单调递减。
不妨令0
方法一(对称化构造):
要证x1+x2>12a,即证x2>12a-x1,也
即证g(x1)=g(x2)
g12a-x1 <0。
令h(x)=g(x)-g12a-x ,x∈
0,14a ,则h'(x)=g'(x)+g'12a-x =
1x-4a+112a-x-4a=12a
x12a-x -8a>
