第一章函数、极限与连续
内容概要
课后习题全解
习题1-1
★1．求下列函数的定义域：
知识点：自然定义域指实数范围内使函数表达式有意义的自变量x 的取值的集合； 思路：常见的表达式有 ① a log □,（ □0>） ② /N □, （ □0≠） ③
(
0)≥
④ arcsin
（
[]1,1-∈）等
解：（1）[)(]1,00,11
10010112
2
⋃-∈⇒⎩⎨⎧≤≤-≠⇒⎩⎨⎧≥-≠⇒--=x x x x x x x y ；
（2）
3112
1
121arcsin
≤≤-⇒≤-≤-⇒-=x x x y ； （3）
()()3,00,030031
arctan 3⋃∞-∈⇒⎩
⎨⎧≠≤⇒⎩⎨⎧≠≥-⇒+-=x x x x x x x y ；
（4）
()()3,11,1,,13
10301lg 3⋃-∞-∈⇒⎩⎨⎧-<<<⇒⎩
⎨⎧-<-<⇒-=
-x x or x x x x x y x
；
（5）()()4,22,11601
11
0)16(log 22
1⋃∈⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-<-≠-<⇒-=-x x x x x y x ； ★ 2．下列各题中，函数是否相同？为什么？
（1）
2lg )(x x f =与x x g lg 2)(=；（2）12+=x y 与12+=y x
知识点：函数相等的条件；
思路：函数的两个要素是f （作用法则）及定义域D （作用范围），当两个函数作用法则f 相同（化简
后代数表达式相同）且定义域相同时，两函数相同；
解：（1）2
lg )(x x f =的定义域D={}R x x x ∈≠,0，x x g lg )(=的定义域{
},0R x x x D ∈>=，
虽然作用法则相同x x lg 2lg 2=，但显然两者定义域不同，故不是同一函数；
（2）
12+=x y ，以x 为自变量，显然定义域为实数R ；
12+=y x ，以x 为自变量，显然定义域也为实数R ；两者作用法则相同“2□1+”
与自变量用何记号表示无关，故两者为同一函数；
★ 3．设⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
≥<=3,03
,sin )(ππϕx x x x ，求)2()4
()4()6(
--ϕπ
ϕπϕπ
ϕ，，，，并做出函数
)(x y ϕ=的图形
知识点：分段函数；
思路：注意自变量的不同范围； 解：216
sin
)6
(=
=π
πϕ，224sin 4==⎪⎭
⎫
⎝⎛ππϕ，224sin 4=
⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-
ππϕ
()02=-ϕ；如图：
★ 4．试证下列各函数在指定区间内的单调性 ：
（1）
()1,1∞--=
x
x
y （2）x x y ln 2+=，()+∞,0 知识点：单调性定义。单调性是局部性质，函数在定义域内不一定有单调性，但是可以考查定义域的
某个子区间上函数的单调性的问题 。
思路：利用单调性的定义即可。
解： （1）设1x ，2x ()1,∞-∈，当21x x <时，
()()
01111212
1221121<---=---=
-x x x x x x x x y y ，由单调性的定义知是单调增函数；
（2）设1x ，2
x ()+∞∈,0，21x x <，
2
121221121ln
)()ln ()ln (x x x x x x x x y y +-=+-+=-
由1x ，2
x ()+∞∈,0，21x x <，知
1211（对数函数的性质），则有 021<-y y ， 得结论是单调增函数；
★ 5．设
)(x f 为定义在()l l ,-内的奇函数，若)(x f 在()l ,0内单调增加，证明：)(x f 在()0,l -
内也单调增加
知识点：单调性和奇偶性的定义。
思路：从单调增加的定义出发，证明过程中利用奇函数的条件； 证明：设()2
121,
0,,
x x l x x <-∈， 则1221),,0(, x x l x x -<-∈--
，
由
()x f 在()l ,0内单调增加得，()()12x f x f -<-()1 ，又()x f 为定义在()l l ,-内的奇函
数，则（1）式变形为()()12x f x f -<-
，即()()12x f x f >，则结论成立。
★ 6．设下面所考虑函数的定义域关于原点对称，证明：
（2） 两个偶函数的和仍然是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；
（3） 两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
知识点：函数奇偶性定义，奇偶性是函数的整体性质。
本题可作为结论应用。
思路：按定义证明即可。 证明：设函数()()x g x f ,
定义域分别是21,D D （21,D D 是关于原点对称区间）；
（1）设()()()x g x f x F
+=，定义域为21D D ⋂，显然21D D ⋂也关于原点对称，
当
()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F =+=-+-=-， 得
()x F 为偶函数；
当
()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x F x g x f x g x f x F -=--=-+-=-，得
()x F 为奇函数；
（2）令()()()x g x f x G =，定义域为21D D ⋂，21D D ⋂关于原点对称，
当
()()x g x f ,均为奇函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G =--=--=-)(，得
()x F 为偶函数；
当
()()x g x f ,均为偶函数时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G ==--=-，得()x F 为
偶函数；
当
()()x g x f ,为一奇一偶时，()()()()()()x G x g x f x g x f x G -=-=--=-， 得()x G
为奇函数；
