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数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1．(训练题
(D)．
(A)cos1997sin1997- (B)cos1997sin1997-- (C)cos1997sin1997-+ (D)cos1997sin1997+
2．(训练题29)复数z 满足1z R z
+∈
且2z -=(D)．
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个
3．(训练题29)已知,a b 都是正实数．则x y a b +>+且xy ab >是x a >且
y b >的(B)．
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分件 (C)充要件 (D)既不充分也不必要条件
4．(训练题29),a b 是两个正整数，最小公倍数为465696．则这样的有序正整数对(,)a b 共有(D) 个．
(A)144 (B)724 (C)1008 (D)1155
5．(训练题29)方程220x px q ++=的根是sin α和cos α．则在poq 坐标平面上，
6．(训练题29) 对一个棱长为1的正方体木块1111ABCD A B C D -，在过顶点1A 的三条棱上分别取点,,P Q R ，使111A P A Q A R ==．削掉四面体
1A PQR -后，以截面PQR ∆为底面，在立方体中打一个三棱柱形的洞，
使棱柱侧面都平行于体对角线1A C ．当洞打穿后，顶点C 处被削掉，出口是一个空间多边形．则这个空间多边形共有(B) 条边．
(A)3 (B)6 (C)8 (D) 9
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题29)19991
111
11n =个，2000()90201997f n n n =++．则()f n 被3除的
余数是 1 ．
2．(训练题29)函数(),()f x g x 是R 上定义的函数，且()0f x ≥的解集为
{|12},()0x x g x ≤<≥的解集是空集，则不等式()()0f x g x >的解集是 {|12}x x x <≥或 ．
3．(训练题29)棱锥S ABC -的底面是正三角形ABC ，侧面SAC 垂直于底面，另两个侧面同底面所成的二面角都是45o ，则二面角A SC B --的
值是 用反三角函数表示)．
4．(训练题29)若21x y +≥，则函数2224u y y x x =-++的最小值等于
9
5
- ．
5．(训练题29)六个正方形,,,,,A B C D E F 放置如图所示，若,,A B C 三个正方形面积之和为1,,,S D E F 三个正
方形面积之和为2S ，则12
S
S = 3 ．
6．(训练题29)已知,,a b c 是一个直角三角形三边之
长，且对大于２的自然数n ，成立2222()2()n n n n n n a b c a b c ++=++．则n = 4 ．
三、(训练题29)(本题满分20分)棱锥S ABC -中，
4,7,9,5,6,8SA SB SC AB BC AC =≥≥=≤≤．试求棱锥S ABC -体积的最大
值．
四、(训练题29)(本题满分20分)数列{}n a ,适合条件
1234561,2,3,4,5,119a a a a a a ======，当5n ≥时，1121n n a a a a +=-，证明
222127012
70a a a a a a ++
+=．
五、(训练题29)(本题满分20分)已知(),()f x g x 和()h x 都是关于x 的二次三项式，证明：方程((()))0f g h x =不能有根１，２，３，４，５，６，７，８．
第二试
一、(训练题29)(本题满分50分)有限数集S 的全部元素的乘积，称为数集S 的“积数”．今给出数集111
11{,,,,
,}234
99100
M =，试确定M 的所有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和的值．24.255 二、(训练题29)(本题满分50分)凸四边形ABCD 的对角线交点为O ．证明：ABCD 是圆外切四边形的充分必要条件是AOB ∆、BOC ∆、COD ∆、
A
B
C D
F E
DOA ∆的内切圆半径1234,,,r r r r 满足关系式
4
2311111r r r r +=+． 三、(训练题29)(本题满分50分) 1211,,,a a a ；1211,,,b b b 是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11的两种不同的排列．证明：11221111,,,a b a b a b 中至少有两个被11除所得的余数相同．
