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有限元编程综述

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有限元编程综述

——平面四节点等参单元分析

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有限元编程综述

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摘 要： 有限元法，主要用来解决复杂结构中力与位移的关系。其基本思想是将具有无限个自由度的连续的求解区域离散为具有有限个自由度、且按一定方式(节点)相互连接在一起的离散体(单元)，即将连续体假想划分为数目有限的离散单元，而单元之间只在数目有限的指定点处相互联结，用离散单元的集合体代替原来的连续体。本文主要介绍有限元分析的基本思想及有限元编程的主要流程，并通过一个平面四节点等参单元来具体论述相关内容。

关键词：有限元 基本原理 平面四节点等参单元 分析流程

1 基本原理及概述

所谓有限元法（FEA），其基本原理是把连续的几何机构离散成有限个单元，并在每一个单元中设定有限个节点，从而将连续体看作仅在节点处相连接的一组单元的集合体，同时选定场函数的节点值作为基本未知量并在每一单元中假设一个近似插值函数以表示单元中场函数的分布规律，再建立用于求解节点未知量的有限元方程组，从而将一个连续域中的无限自由度问题转化为离散域中的有限自由度问题。求解得到节点值后就可以通过设定的插值函数确定单元上以至个集合体上的场函数。对每个单元，选取适当的插值函数，使得该函数在子域内部、在子域分界面上以及子域与外界面上都满足一定的条件。单元组合体在已知外载荷作用下处于平衡状态时，列出一系列以节点、位移为未知量的线性方程组，利用计算机解出节点位移后，再用弹性力学的有关公式，计算出各单元的应力、应变，当各单元小到一定程度，那么它就代表连续体各处的真实情况。

通常情况下的有限元分析过程是运用可视化分析软件(如ANSYS、ABAQUS、SAP等)进行前处理和后处理，而中间的计算部分一般采用自己编制的程序来运算。具有较强数值计算和处理能力的Fortran语言是传统有限元计算的首选语言。随着有限元技术的逐步成熟,它被应用在越来越复杂的问题处理中，但在实际应用中也暴露出一些问题。有时网格离散化的区域较大,而又限于研究精度的要求，使得划分的网格数目极其庞大，结点数可多达数万个，从而造成计算中要运算的数据量巨大，程序运行的时间较长的弊端，这就延长了问题解决的时间，使得求解效率降低。因为运行周期长，不利于程序的调试，特别是对于要计算多种运行工况时的情况；同时大数据量处理对计算机的内存和CPU 提出了有限元编程综述

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更高的要求，而在实际应用中，单靠计算机硬件水平的提高来解决问题的能力是有限的。因此，必须寻找新的编程语言。

随着有限元前后处理的不断发展和完善，以及大型工程分析软件对有限元接口的要求，有限元分析程序不应只满足解题功能，它还应满足软件工程所要求的结构化程序设计条件，能够对存储进行动态分配，以充分利用计算机资源，它还应很容易地与其它软件如CAD 的实体造型，优化设计等接口。现在可编写工程应用软件的计算机语言较多，其中C语言是一个较为优秀的语言，很容易满足现在有限元分析程序编程的要求。

C语言最初是为操作系统、编译器以及文字处理等编程而发明的。随着不断完善，它已应用到其它领域，包括工程应用软件的编程。近年来，C语言已经成为计算机领域最普及的一个编程语言，几乎世界上所有的计算机都装有C的编译器，从PC机到巨型机到超巨型的并行机，C与所有的硬件和操作系统联系在一起。用C 编写的程序，可移植性极好，几乎不用作多少修改，就可在任何一台装有ANSI、C编译器的计算机上运行。C既是高级语言，也是低级语言，也就是说，可用它作数值计算，也可用它对计算机存储进行操作。

2 编程思想

本程序采用C语言编程，编制平面四边形四节点等参元程序，用以求解平面结构问题。程序采用二维等带宽存储整体刚度矩阵，乘大数法引入约束，等带宽高斯消去法求解位移，然后求中间高斯点的应力，最后用绕节点平均法讲单元应力等效到节点上，再将结果写到tecplot文件中。

在有限元程序中，变量数据需赋值的可分为节点信息，单元信息，载荷信息等。对于一个节点来说，需以下信息：节点编号（整型），节点坐标（实型），节点已知位移（实型），节点载荷（实型），边界条件（实型）等。同样，对于一个单元来说，需以下信息：单元的节点联接信息（整型），材料信息（弹性模量，泊松比等）（实型）等。

在FORTRAN 程序中，以上这些变量混合在一起，很难辨认，使程序的可读性不好，如需要进行单元网络的自适应划分，节点及单元的修改将非常困难。在进行C语言编译过程中，采用结构struct 使每个节点信息存储在一个结构体有限元编程综述

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数组中，提高程序的可读性，使数据结构更趋于合理。

3 平面四节点等参单元介绍

四节点等参单元实际单元与基本单元的映射关系如图 3-1所示

坐标的映射关系为：

其位移模式和坐标的映射有相同的插值函数，形函数为：

单元应变矩阵为：

xyxyuxuyuvyx

上式一般简写为：

B

其中B的子块矩阵为 图 3-1 有限元编程综述

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iiiiiNxNByNNyx

由于iN是、的函数，在iB中的x、y要按照复合函数来求导，即

iiiiiiNNNxyxxJNNNxyyy

从而有：

1iiiiNNxJNNy

因此，单元应力矩阵为：

DB

单元刚度矩阵为：

TeAKBDBhdxdy

其中积分采用三点高斯积分，

3311,11111(,)()(,)nipijijiiijifddfWf

其中，2nipn（高斯积分点的总数），i和j或iW是加权系数，i和j是单元内的坐标.。对于三点高斯积分，高斯积分点的位置： 110.6,5.09.0，220.0,8.09.0，330.6,5.09.0。

结构刚度矩阵为：

eeKK

结构结点荷载列阵为：

eePP 有限元编程综述

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注意，对于上两式中e的理解不是简单的叠加而是按照对应的自由度集成。

总刚平衡方程：

KP

从式上式求出：

1KP

4 有限元分析流程

一个典型的有限元分析过程主要包括以下几个步骤：

1) 读输入数据，定义节点及单元数组。

2) 由边界条件计算方程个数，赋值荷载列阵。

3) 读入在带状存储的总刚度矩阵中单元和载荷信息。

4) 定义总刚度阵数组。

5) 组装总刚度阵。

6) 解方程组。

其流程图可见下图：

输入边界条件(力、位移)

形成各荷载工况的节点荷载总刚分解

回代求出位移及输出

计算应变、应力 形成单元刚单刚向总刚投坐标变换 输入原始参数

计算总刚规模

形成总刚方程

向总节点荷载阵投放 形成单元荷载阵

调整几何、弹性矩阵 调整单元位移列阵 有限元编程综述

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5计算流程图

开始

输出节点位移

计算局部坐标系下的单元刚度矩阵

坐标变换矩阵 输入控制信息

n=nf·np

ndf=nd·nf

计算单元的IS(ndf)数组

取出单元在总体坐标系下的节点位移

计算局部坐标系下单元节点位移 输入原始数据

形成LD（n）数组

计算局部坐标下的单元刚度矩阵

坐标变换矩阵

总体坐标下的单元刚度矩阵

形成单元的IS(ndf)数组

单元刚度矩阵向结构刚度矩阵叠加

进行约束处理

求解线性方程组求得结构节点位移 计算局部坐标系下单元节点力应力

输出节点位移和应力

结束 有限元编程综述

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6 程序变量及函数说明

6.1 控制信息

np：结构节点总数

ne：结构离散单元总数

nr1，nr2：总的约束的节点数，nr1，x方向；nr2，y方向

nd：每个单元的节点数

nf：每个节点的自由度数

ld：集中力载荷的个数

nm：材料的种类

nu1，nu2：非零位移边界条件的节点数，nu1，x方向；nu2，y方向

u1，u2：非零位移的大小，u1，x方向；u2，y方向

n=nf*np ：结构的节点位移总数

ndf=nd*nf ：每个单元的节点自由度数

6.2 输入的原始数据

x(np):节点的x方向坐标

y(np):节点的y方向坐标

me（nd，ne）：单元节点的总体编号

nrr(nr1+nr2) ：约束为零的位移所对应的总体位移编号

p（n）：载荷向量

nu（nu1+nu2）：位移载荷

mat（6，nm）：材料参数

6.3程序中的其他标识符

LD（n）：存放结构刚度阵所以主对角线元素在A（nn）中的序号

IS（ndf）：单元节点位移和节点力在总体位移阵列和载荷阵列中对应的序号

EK（ndf，ndf）：总体坐标系下的单元刚度矩阵

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非线性有限元法综述

非线性有限元法综述

非线性有限元法综述

摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。

关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论

1引言

几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.

2非线性有限元法研究思路

非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。

非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。

图1 单元的变形

C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。

2.1UL法和TL法研究思路

UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。两种拉格朗日法的主要形式如下：

（1）TL列式

（2）UL列式

从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。实质上就是TL法考虑了所有的线性项和非线性项，而UL法则忽略了高阶非线性项。因此UL法相对于TL法，列式更加简洁，计算效率就较高，但是需要划分较多的迭代步，所以在处理大变形问题时可能会出现不收敛的情况。 完全拉格朗日法和更新拉格朗日法是较早被提出的几何非线性分析方法，被各国学者广泛研究与应用。Bathe[1]发展了UL列式和TL列式，并应用到三维梁单元上，同时证明了两种拉格朗日法获得的结果基本一致，但是TL法在计算上更加有效。之后诸多学者在前人的基础上发展和改进了UL法，探讨了UL法和TL法在不同结构形式上的应用情况，论证了UL法和TL法的广泛适用性，并应用在不同情况下的不同单元上。同时指出：UL法对于大转动、大变形问题较TL法更加适用，但需要控制好加载步长[3]；而TL法对于中等程度的转动问题较适用，但其在计算时不受加载步长大小的影响[4]。

有限元分析基础知识

有限元分析基础知识

有限元分析基础知识

目录

1. 有限元分析概述..........................................2

1.1 有限元分析的概念.....................................3

1.2 有限元分析的应用领域.................................3

1.3 有限元分析的优点与局限性.............................5

2. 有限元分析的基本步骤....................................6

3. 有限元方法的核心要素....................................6

3.1 基函数与形状函数.....................................8

3.2 位移离散化...........................................9

3.3 本构关系与刚度矩阵..................................11

3.4 载荷矩阵与边界条件..................................12

4. 有限元分析的软件工具...................................13

4.1 常见的有限元分析软件................................14

4.2 软件的基本操作界面..................................16 4.3 用户界面与数学建模..................................17

5. 有限元分析的验证与应用.................................19

5.1 有限元分析的验证方法................................21

污水搅拌器有限元分析-文献综述2.11

污水搅拌器有限元分析-文献综述2.11

一．引言

随着我国城市建设的发展和城市化进程的加快,造成的污染越来越多，其中城市水污染问题尤其突出。长期以来，我国城市基础设施的发展与人口、资源、环境和工业建设不协调，导致基础设施长期超负荷承载。全国绝大多数城市的污水处理能力远远满足不了实际需要。

另一方面，近来极端天气的出现，加剧了水资源的短缺，对工业的发展和人们的生活带来了极大的不利。水资源短缺会严重影响工农业生产和城市建设，许多工厂由于缺水而被迫减少生产，甚至停产，由此，每年造成的经济损失达200多亿元。现在，中国北方和西北地区农村，尚有5000多万人和3600多万头牲畜得不到饮水保障。[1]2000年北方地区百年不遇的大旱，使许多水库河流出现从没有过的断流和枯干，城市供水出现了前所未有的紧张局面，天津、长春、烟台、威海等城市的用水告急【1】。而就在刚刚过去的2010年，百年甚至几百年一遇的干旱，再次绷紧了人们的神经。抗旱的在人们的生活中出现的频率越来越多了。

自1985年以来，我国废水年排放总量一直的维持在350~400亿m3 /a左右，1996年全国666个设市城市中532个城市没有污水处理厂，134个城市建成的309座污水处理厂，城市污水处理总量仅为44.6亿m3，其中经二级生化处理的仅占6.9% ，有77. 4%的城市污水未经任何处理直接排入水体。1997年城市排放量达到最髙值416亿m3，1999年城市污水污染负荷首次超过了工业废水污染负荷，我国水污染的重点已经从工业点源为主的控制，逐步转变为以城市污水污染为主的控制。【2】相对于美国平均每1万人拥有1座污水处理厂，法国和瑞典每5000人拥有一座，英国和德国每7000~8000人拥有一座，而我国城市每150万人才拥有1座污水处理厂【3】，足以看出我国城市污水处理厂建设的滞后，污水处理设备发展的广阔空间。“十一五”初期我国污水处理率只有45.6%。一大半污水没有得到处理。中国环保产业协会副秘书长郝淳指出,“十二五”期间，工业污水处理厂、市污水处理厂、农业等领域会有超过1万亿元的投资空间。另据中国水网在《中国水业策与市场分析》中预测，城市污水将成为污水处理重中之重，“2010年至2015年期间，我国城市污水处理行业的投资需求为7000亿元（含污泥处理处理投资1500亿元），平均每年新增投资1100亿元；污水再生利用投资为300亿元。”【4】 由此可知，污水处理发展空间很大，城市污水处理设施也已成为现代化城市经济发展和水资源保护不可或缺的组成部分。而现在最常用的污水处理设备是潜水搅拌器，像近年来我国的许多重点污水处理工程北京高碑店污水处理厂、深圳布吉污水处理厂、威海污水排海工程都采用了潜水搅拌器，并取得了满意的效果。

第一节有限元分析概述

第一节有限元分析概述

第一节有限元分析概述

有限元分析是一种数值计算方法，用于求解连续物体的力学问题。它是将连续体划分成有限个小元素，利用元素间的相互关系来近似描述物体的行为。有限元分析可以用于求解各种力学问题，如固体力学、流体力学、热传导等。

有限元分析的基本步骤包括建立模型、离散化、求解和分析结果。首先，需要根据实际问题建立一个几何形状和边界条件的模型。然后，将模型离散化为有限个小元素，每个元素具有一些简单的形状和几何特征。接下来，需要确定每个元素内部的应力和变形的形式，这通常与所采用的数学模型有关。然后，根据力学原理和边界条件，可以通过数值方法求解每个元素的应力和变形。最后，可以对求解结果进行后处理，分析模型的响应，并检查结果的合理性。

有限元分析的优点之一是可以处理复杂的几何形状。因为问题的几何形状是通过离散化成有限个小元素来描述的，所以可以处理各种形状的物体，包括曲线、曲面和体积。同时，有限元分析还可以考虑非线性和不均匀性。对于具有非线性特性的材料或结构，可以通过数值方法来求解其行为。此外，有限元分析还可以处理多物理场的耦合问题，如流固耦合、热力耦合等。

然而，有限元分析也有一些局限性。首先，离散化过程中需要选择合适的元素类型和大小。选择不当的元素可能导致结果的不准确性。其次，有限元分析需要耗费大量的计算资源。由于模型通常包含大量的节点和单元，需要进行大规模的计算，对计算机的存储和计算能力有一定的要求。最后，有限元分析的结果需要进行验证和验证。由于模型的简化和假设，有限元分析的结果可能与实际情况存在一定的差异，需要通过实验数据进行验证和验证。

总的来说，有限元分析是一种有效的数值计算方法，用于求解连续体的力学问题。它可以处理复杂的几何形状、非线性和不均匀材料，以及多物理场的耦合问题。然而，它也有一定的局限性，需要合适的离散化、大量的计算资源和验证结果的步骤。在实际应用中，需要根据具体问题的性质和要求，选择适当的数值方法和参数，以获得准确可靠的结果。