1.1.2 充分条件和必要条件

1.1.2充分条件和必要条件

一、基础过关

1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的______________条件．

2．若集合A＝{1，m2}，B＝{2,4}，则“m＝2”是“A∩B＝{4}”的______________条件．

3．设条件p：x2＋3x－4>0，结论q：x＝2，则p是q的____________条件．4．下列命题中，正确的是________(填序号)．

①“x2>0”是“x>0”的充分条件；

②“xy＝0”是“x＝0”的必要条件；

③“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件；

④“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件．

5．设a，b为实数，则“0

是“a<1

b或b>

1

a”的______________

条件．

6．设0

2，则“x sin

2x<1”是

“x sin x<1”的________________条件．

7．不等式(a＋x)(1＋x)<0成立的一个充分而不必要条件是－2

－1，则a的取值范围是

________．

二、能力提升

8．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则对于下列条件：

①α⊥β，α∩β＝l，m⊥l；②α∩γ＝m，α⊥β，γ⊥β；

③α⊥γ，β⊥γ，m⊥α；④n⊥α，n⊥β，m⊥α.

其中为m⊥β的充分条件的是________(将你认为正确的所有序号

都填上)．

9．“a>1”是“函数f(x)＝log a x－x ＋2 (a>0，且a≠1)有两个零点”的________条件．

10．下列各题中，p是q的什么条件？说明理由．

(1)p：a2＋b2＝0；q：a＋b＝0.

(2)p：p≤－2或p≥2；q：方程x2＋px＋p＋3＝0有实根．

(3)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切；q：c2＝(a2＋b2)r2. 11．设命题p：2x2－3x＋1≤0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，

若p是q的充分不必要条件，求

实数a的取值范围．

12．在△ABC中，设命题p：a

sin B＝

b

sin C＝

c

sin A，命题q：△ABC是

等边三角形，那么命题p是命题q的什么条件？并说明理由．

三、探究与拓展

13．设计如下图所示的两个电路图，条件A：“开关S1闭合”；条件

B：“灯泡L亮”，问A是B的

什么条件？

答案

1．必要不充分

2．充分不必要

3．必要不充分 4.②

5．充分不必要

6．必要不充分 7.a >2 8.②④

9．充要

10．解 (1)因为a 2＋b 2＝0?a ＋b ＝0，a ＋b ＝0D ?/a 2＋b 2＝0，

所以p 是q 的充分不必要条件．

(2)当p ≤－2或p ≥2时，如p ＝3，则方程x 2＋3x ＋6＝0无实根，而x 2＋px ＋p ＋3＝0有实根时，Δ≥0，得p ≤－2或p ≥6，可推出p ≤－2或p ≥2.所以p 是q 的必要不充分条件．

(3)若圆x 2＋y 2＝r 2与直线ax ＋by ＋c ＝0相切，圆心到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于r ，

即r ＝|c |a 2＋b

2，从而c 2＝(a 2＋b 2)r 2，反之，也成立．所以p 是q 的充要条件． 11．解 设A ＝{x |2x 2－3x ＋1≤0} ＝????

??x |12≤x ≤1， B ＝{x |x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0}＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，

∵p 是q 的充分不必要条件，∴A B . ∴????? a ≤12，a ＋1>1，或?????

a <12a ＋1≥1， 解得0≤a ≤12

. 12．解 q ?p ：由△ABC 是等边三角形，

则a ＝b ＝c ，∠A ＝∠B ＝∠C ，显然成立．

p ?q ：由三角形的性质可知：

b sin B ＝

c sin C ＝a sin A ， 又已知a sin B ＝b sin C ＝c sin A

， 两式相除得：b a ＝c b ＝a c

， 令b a ＝c b ＝a c

＝t ， 则a ＝ct ，b ＝at ，c ＝bt ，所以abc ＝abct 3，

得t ＝1，因此a ＝b ＝c ，即△ABC 是等边三角形．

因此p 是q 的充分必要条件．

13．解 图甲中，A 是B 的充分不必要条件；

图乙中，A 是B 的必要不充分条件．