【中考复习方案】(北京专版)中考数学 专题突破三 一次函数与反比例函数的综合运用作业手册

2024年中考数学一轮复习考点精析及真题精讲—反比例函数反比例函数也是非常重要的函数,年年都会考,总分值为15分左右，预计2024年各地中考一定还会考，反比例函数与一次函数结合出现在解答题中是各地中考必考的一个答题，反比例函数的图象与性质和平面几何的知识结合、反比例函数中|k|的几何意义等也会是小题考察的重点.→➊考点精析←一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数．二、反比例函数的图象和性质1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k >0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．表达式kyx=（k是常数，k≠0）k k>0k<0大致图象所在象限第一、三象限第二、四象限增减性在每个象限内，y随x的增大而减小在每个象限内，y随x的增大而增大2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数kyx=交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+；（3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．五、反比例函数与一次函数的综合1．涉及自变量取值范围型当一次函数11y k x b =+与反比例函数22k y x=相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对12y y >时自变量x 的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x 的范围.例如，如下图，当12y y >时，x 的取值范围为A x x >或0B x x <<；同理，当12y y <时，x 的取值范围为0A x x <<或B x x <．2．求一次函数与反比例函数的交点坐标（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k 值的符号来决定.①k 值同号，两个函数必有两个交点；②k 值异号，两个函数可无交点，可有一个交点，可有两个交点；（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．六、反比例函数的实际应用解决反比例函数的实际问题时，先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，特别注意自变量的取值范围．→➋真题精讲←考向一反比例函数的定义1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y ，等号右边是关于自变量x 的分式，分子是不为零的常数k ，分母不能是多项式，只能是x 的一次单项式．2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k ≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x 的指数为1．1．（山东滨州·中考真题）下列函数：①y =2x ﹣1；②5y=x -；③y =x 2+8x ﹣2；④22y=x；⑤1y=2x ；⑥ay=x中，y 是x 的反比例函数的有▲（填序号）【答案】②⑤．【解析】反比例函数的定义．【分析】根据反比例函数的定义逐一作出判断：①y=2x ﹣1是一次函数，不是反比例函数；②5y=x -是反比例函数；③y=x 2+8x ﹣2是二次函数，不是反比例函数；④22y=x不是反比例函数；⑤1y=2x 是反比例函数；⑥ay=x中，a≠0时，是反比例函数，没有此条件则不是反比例函数．故答案为②⑤．2．（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．3．（2023·湖南永州·统考中考真题）已知点()2,M a 在反比例函数ky x=的图象上，其中a ，k 为常数，且0k >﹐则点M 一定在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据反比例函数中的0k >，可知反比例函数经过第一、三象限，再根据点M 点的横坐标判断点M 所在的象限，即可解答【详解】解：0k > ，∴反比例函数ky x=的图象经过第一、三象限，故点M 可能在第一象限或者第三象限，()2,M a 的横坐标大于0，()2,M a ∴一定在第一象限，故选：A ．【点睛】本题考查了判断反比例函数所在的象限，判断点所在的象限，熟知反比例函数的图象所经过的象限与k 值的关系是解题的关键．考向二反比例函数的图象和性质当k >0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k <0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y 随x 的增大而增大．双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．4．（2020·山东威海·中考真题）一次函数y ax a =-与反比例函数(0)ay a x=≠在同一坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【解析】当0a >时，0a -<，则一次函数y ax a =-经过一、三、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过一、三象限，故排除A ，C 选项；当0a <时，0a ->，则一次函数y ax a =-经过一、二、四象限，反比例函数(0)ay a x=≠经过二、四象限，故排除B 选项，故选：D ．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，熟练掌握相关性质与函数图像的关系是解决本题的关键．5．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）已知点()()1122,,,A x y B x y 在反比例函数2y x=-的图像上，且120x x <<，则下列结论一定正确的是（）A ．120y y +<B ．120y y +>C ．120y y -<D ．120y y ->【答案】D【分析】把点A 和点B 的坐标代入解析式，根据条件可判断出1y 、2y 的大小关系．【详解】解：∵点()11,A x y ，()22,B x y ）是反比例函数2y x=-的图像上的两点，∴11222x y x y ==-，∵120x x <<，∴210y y <<，即120y y ->，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题主要考查反比例函数图像上点的坐标特征，掌握图像上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．6.（2023·山西·统考中考真题）已知(2,),(1,),(3,)A a B b C c --都在反比例函数4y x=的图象上，则a 、b 、c 的关系是（）A ．a b c <<B ．b a c<<C ．c b a<<D ．c a b<<【答案】B【分析】先根据反比例函数中0k >判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数4y x=中0k >，∴函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．∵20,10,-<-<∴(2,),(1,)A a B b --位于第三象限，∴0,0,a b <<∵210,-<-<∴0.a b >>∵30,>∴点(3,)C c 位于第一象限，∴0,c >∴.b a c <<故选：B ．【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．7．（2020·湖北武汉·中考真题）若点()11,A a y -，()21,B a y +在反比例函数(0)ky k x=<的图象上，且12y y >，则a 的取值范围是（）A ．1a <-B ．11a -<<C ．1a >D ．1a <-或1a >【答案】B【分析】由反比例函数(0)ky k x=<，可知图象经过第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，由此分三种情况①若点A 、点B 在同在第二或第四象限；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限；③若点A 在第四象限且点B 在第二象限讨论即可．【解析】解：∵反比例函数(0)ky k x=<，∴图象经过第二、四象限，在每个象限内，y随x 的增大而增大，①若点A 、点B 同在第二或第四象限，∵12y y >，∴a-1＞a+1，此不等式无解；②若点A 在第二象限且点B 在第四象限，∵12y y >，∴1010a a -⎧⎨+⎩＜＞，解得：11a -<<；③由y 1＞y 2，可知点A 在第四象限且点B 在第二象限这种情况不可能．综上，a 的取值范围是11a -<<．故选：B ．【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键，注意要分情况讨论，不要遗漏．8.已知点A(m ，2)、B(2，n )都在反比例函数xm y 3+=的图象上．(1)求m 、n 的值；(2)若直线y mx n =-与x 轴交于点C ，求C 关于y 轴对称点C′的坐标．【解析】解：（1）将点A(m ，2)、B(2，n )的坐标代入xm y 3+=得：32m m +=，解得3m =；333322m n ++===，所以3m n ==.（2）直线为33y x =-，令01y x ==，，所以该直线与x 轴的交点坐标为C （1,0），C 关于y 轴对称点C′的坐标为(－1，0)．考向三反比例函数解析式的确定1．反比例函数的解析式ky x=（k ≠0）中，只有一个待定系数k ，确定了k 值，也就确定了反比例函数，因要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x ，y 的对应值或图象上一个点的坐标，代入ky x=中即可．2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y 的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k ，则点在图象上，若乘积不等于k ，则点不在图象上．9．（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，点A （﹣2，1），B （3，2），C （﹣6，m ）分别在三个不同的象限．若反比例函数y ＝kx（k ≠0）的图象经过其中两点，则m 的值为_____．【答案】-1．【分析】根据已知条件得到点(2,1)A -在第二象限，求得点(6,)C m -一定在第三象限，由于反比例函数(0)k y k x =≠的图象经过其中两点，于是得到反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，于是得到结论．【解析】解： 点(2,1)A -，(3,2)B ，(6,)C m -分别在三个不同的象限，点(2,1)A -在第二象限，∴点(6,)C m -一定在第三象限，(3,2)B 在第一象限，反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过其中两点，∴反比例函数(0)ky k x=≠的图象经过(3,2)B ，(6,)C m -，326m ∴⨯=-，1m ∴=-，故答案为：1-．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确的理解题意是解题的关键．10.当k 为何值时22(1)k y k x-=-是反比例函数？【点拨】根据反比例函数解析式(0)ky k x=≠，也可以写成1(0)y kx k -=≠的形式，后一种表达方法中x 的次数为-1，由此可知函数是反比例函数，要具备的两个条件为221k -=-且10k -≠，二者必须同时满足，缺一不可．【解析】解：令221,10,k k ⎧-=-⎨-≠⎩①②由①得，k ＝±1，由②得，k ≠1．综上，k ＝－1，即k ＝－1时，22(1)k y k x-=-是反比例函数．【总结】反比例函数解析式的三种形式：①k y x=；②1y kx -=；③.(0)xy k k =≠．11.已知2(3)m y m x -=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小．【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴1m =.(2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-．∵(－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴120y y <<．而(1，3y )在第四象限，30y <．∴312y y y <<考向四反比例函数中k 的几何意义三角形的面积与k 的关系：（1）因为反比例函数ky x=中的k 有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．（2）若三角形的面积为12|k |，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．12．（2023·湖南·统考中考真题）如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 是反比例函数()0ky k x=≠图像上的一点，过点A 分别作AM x ⊥轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，若四边形AMON 的面积为2．则k 的值是（）A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】A【分析】证明四边形ANOM 是矩形，根据反比例函数的k 值的几何意义，即可解答．【详解】解：AM x ⊥ 轴于点M ，AN y ⊥轴于直N ，90MON ∠=︒，∴四边形AMON 是矩形，四边形AMON 的面积为2，2k ∴=，反比例函数在第一、三象限，2k ∴=，故选：A ．【点睛】本题考查了矩形的判定，反比例函数的k 值的几何意义，熟知在一个反比例函数图像上任取一点，过点分别作x 轴，y 轴的垂线段，与坐标轴围成的矩形面积为k 是解题的关键．13．（2023·广西·统考中考真题）如图，过(0)k y x x=>的图象上点A ，分别作x 轴，y 轴的平行线交1y x=-的图象于B ，D 两点，以AB ，AD 为邻边的矩形ABCD 被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为1S ，2S ，3S ，4S ，若23452S S S ++=，则k 的值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，根据坐标求得1S ab k ==，241S S ==，推得31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即可求得．【详解】设(),A a b ，则1,B b b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,D a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,C b a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭∵点A 在(0)k y x x=>的图象上则1S ab k ==，同理∵B ，D 两点在1y x=-的图象上，则241S S ==故3511122S --==，又∵31211S b a ⎛⎫⎛⎫=-⨯- ⎪ ⎝⎭⎝=⎭，即112ab =，故2ab =，∴2k =，故选：C ．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，矩形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．14．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB 三个顶点的坐标分别为(0,0),O A B OAB '△与OAB 关于直线OB 对称，反比例函数(0,0)ky k x x=>>的图象与A B '交于点C ．若A C BC '=，则k 的值为（）A ．BC D 【答案】A【分析】过点B 作BD x ⊥轴，根据题意得出1,BD OD ==腰三角形的判定和性质得出2OB AB ==，30BOA BAO ∠∠==︒，利用各角之间的关系180OBA OBD '∠+∠=︒，确定A '，B ，O 三点共线，结合图形确定)2C，然后代入反比例函数解析式即可．【详解】解：如图所示，过点B 作BD x ⊥轴，∵(0,0),O A B ，∴1,BD OD ==∴AD OD ==，tan BD BOA OD ∠==∴2OB AB ===，30BOA BAO ∠∠==︒，∴60OBD ABD ∠∠==︒，120OBA ∠=︒，∵OA B ' 与OAB 关于直线OB 对称，∴120OBA '∠=︒，∴180OBA OBD '∠+∠=︒，∴A '，B ，O 三点共线，∴2A B AB '==，∵A C BC '=，∴1BC =，∴2CD =，∴)2C，将其代入(0,0)k y k x x=>>得：k =，故选：A ．【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．15．（2023·湖北鄂州·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，则ABP 的面积是___________．【答案】152【分析】把()2,3A -代入到22k y x=可求得2k 的值，再把(),2B m -代入双曲线函数的表达式中，可求得m 的值，进而利用三角形的面积公式进行求解即可．【详解】∵直线11y k x b =+与双曲线22k y x=（其中120k k ⋅≠）相交于()2,3A -，(),2B m -两点，∴2232k m =-⨯=-∴263k m =-=，，∴双曲线的表达式为：26y x=-，()3,2B -，∵过点B 作BP x ∥轴，交y 轴于点P ，∴3BP =，∴1153(32)22ABP S =⨯⨯+= ，故答案为：152．【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解答此题的关键．考向五反比例函数与一次函数的综合反比例函数与一次函数综合的主要题型：（1）利用k 值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．16．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，点()2,2A 在双曲线(0)ky x x=>上，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，交双曲线于点C ．若2BC =，则点C 的坐标是___________．【答案】【分析】求出反比例函数解析式4(0)y x x=>，证明45DOA ∠=︒，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，通过平行线的性质得到45DBC ∠=︒，解直角三角形求点C 的横坐标，结合反比例函数解析式求出C 的坐标，即可解答．【详解】解：把()2,2A 代入(0)k y x x=>，可得22k=，解得4k =，∴反比例函数解析式4(0)y x x=>，如图，过点A 作x 轴的垂线段交x 轴于点E ，过点C 作y 轴的垂线段交y 轴于点D ，()2,2A ，AE OE ∴=，45AOE ∴∠=︒，9045AOD AOE ∴∠=︒-∠=︒，将直线OA 向上平移若干个单位长度交y 轴于点B ，45CBD ∴∠=︒,在Rt CBD △中，sin 452CD CB =︒=，2CD ∴==即点C把x =4(0)y x x=>，可得y =，C∴，故答案为：．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，一次函数的平移，解直角三角形，熟练求得点C 的横坐标是解题的关键．17．（2023·湖南常德·统考中考真题）如图所示，一次函数1y x m =-+与反比例函数2ky x=相交于点A 和点()3,1B -．(1)求m 的值和反比例函数解析式；(2)当12y y >时，求x 的取值范围．【答案】(1)2m =，3y x=-；(2)1x <-或03x <<【分析】（1）根据一次函数1y x m =-+的图象与反比例函数2ky x=的图象交于()3,1A -、B 两点可得m 的值，进而可求反比例函数的表达式；（2）观察函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的自变量的范围即可．【详解】（1）将点()3,1B -代入1y x m =-+得：31m -+=-解得：2m =将()3,1B -代入2ky x=得：()313k =⨯-=-∴23y x=-（2）由12y y =得：32x x--+=，解得121,3x x =-=所以,A B 的坐标分别为()()1,3,3,1A B --由图形可得：当1x <-或03x <<时，12y y >【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解决本题的关键是掌握反比例函数与一次函数的性质．18．（2023·浙江杭州·统考中考真题）在直角坐标系中，已知120k k ≠，设函数11k y x=与函数()2225y k x =-+的图象交于点A 和点B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是4-．(1)求12,k k 的值．(2)过点A 作y 轴的垂线，过点B 作x 轴的垂线，在第二象限交于点C ；过点A 作x 轴的垂线，过点B 作y 轴的垂线，在第四象限交于点D ．求证：直线CD 经过原点．【答案】(1)110k =，22k =；(2)见解析【分析】（1）首先将点A 的横坐标代入()2225y k x =-+求出点A 的坐标，然后代入11k y x=求出110k =，然后将点B 的纵坐标代入110y x =求出5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后代入()2225y k x =-+即可求出22k =；（2）首先根据题意画出图形，然后求出点C 和点D 的坐标，然后利用待定系数法求出CD 所在直线的表达式，进而求解即可．【详解】（1）∵点A 的横坐标是2，∴将2x =代入()22255y k x =-+=∴()2,5A ，∴将()2,5A 代入11k y x=得，110k =，∴110y x =，∵点B 的纵坐标是4-，∴将4y =-代入110y x =得，52x =-，∴5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴将5,42B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入()2225y k x =-+得，254252k ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，∴解得22k =，∴()222521y x x =-+=+；（2）如图所示，由题意可得，5,52C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()2,4D -，∴设CD 所在直线的表达式为y kx b =+，∴55224k b k b ⎧-+=⎪⎨⎪+=-⎩，解得20k b =-⎧⎨=⎩，∴2y x =-，∴当0x =时，0y =，∴直线CD 经过原点．【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数综合，待定系数法求函数表达式等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．考向六反比例函数的应用用反比例函数解决实际问题的步骤（1）审：审清题意，找出题目中的常量、变量，并理清常量与变量之间的关系；（2）设：根据常量与变量之间的关系，设出函数解析式，待定的系数用字母表示；（3）列：由题目中的已知条件列出方程，求出待定系数；（4）写：写出函数解析式，并注意解析式中变量的取值范围；（5）解：用函数解析式去解决实际问题．19.心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）：（1）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？（2）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指标数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？【点拨】（1）先用代定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，再分别求第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断；（2）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能．【解析】解：（1）设线段AB 所在的直线的解析式为y 1=k 1x+20，把B （10，40）代入得，k 1=2，∴y 1=2x+20．设C 、D 所在双曲线的解析式为y 2=x k 2，把C （25，40）代入得，k 2=1000，∴xy 10002=当x 1=5时，y 1=2×5+20=30，当31003010003022===y x 时，，∴y 1＜y 2∴第30分钟注意力更集中．（2）令y 1=36，∴36=2x+20，∴x 1=8令y 2=36，∴x 100036≈，∴8.273610002≈=x ∵27.8﹣8=19.8＞19，∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目．【总结】主要考查了函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式，从实际意义中找到对应的变量的值，利用待定系数法求出函数解析式，再根据自变量的值求算对应的函数值．20.如图，是药品研究所所测得的某种新药在成人用药后，血液中的药物浓度y （微克/毫升）用药后的时间x （小时）变化的图象（图象由线段OA 与部分双曲线AB 组成）．并测得当y=a 时，该药物才具有疗效．若成人用药4小时，药物开始产生疗效，且用药后9小时，药物仍具有疗效，则成人用药后，血液中药物浓则至少需要多长时间达到最大度？【点拨】利用待定系数法分别求出直线OA 与双曲线的函数解析式，再令它们相等得出方程，解方程即可求解．【解析】解：设直线OA 的解析式为y=kx ，把（4，a ）代入，得a=4k ，解得k=4a ，即直线OA 的解析式为y=4a x ．根据题意，（9，a ）在反比例函数的图象上，则反比例函数的解析式为y=xa 9．当4a x=x a 9时，解得x=±6（负值舍去），故成人用药后，血液中药物则至少需要6小时达到最大浓度．【总结】本题考查了反比例函数的应用，直线与双曲线交点的求法，利用待定系数法求出关系式是解题的关键．考向七反比例函数与平面几何综合类型一最值问题21．（2023·四川宜宾·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，等腰直角三角形ABC的直角顶点()30C ，，顶点A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB 所对应的一次函数的表达式；(2)在x 轴上是否存在一点P ，使ABP 周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x =，142y x =-+；(2)在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小,最小值是【分析】（1）过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，证明()AAS ACE CBD ≌，则3,CD AE BD EC m ====，由3OE m =-得到点A 的坐标是()3,3m -，由A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上得到()336m m -=，解得1m =，得到点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，进一步用待定系数法即可得到答案；（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP ，利用轴对称的性质得到AP A P '=，()2,3A '-，则AP PB A B '+=，由AB =AB 是定值，此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，利用待定系数法求出直线A B '的解析式，求出点P 的坐标，再求出周长最小值即可．【详解】（1）解：过点A 作AE x ⊥轴于点E ，过点B 作BD x ⊥轴于点D ，则90AEC CDB ∠=∠=︒，∵点()30C ，，()6B m ，，∴3,6,OC OD ==BD m =，∴3CD OD OC =-=，∵ABC 是等腰直角三角形，∴90,ACB AC BC ∠=︒=，∵90ACE BCD CBD BCD ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACE CBD ∠=∠，∴()AAS ACE CBD ≌，∴3,CD AE BD EC m ====，∴3OE OC EC m =-=-，∴点A 的坐标是()3,3m -，∵A 、()6B m ，恰好落在反比例函数k y x=第一象限的图象上．∴()336m m -=，解得1m =，∴点A 的坐标是()2,3，点B 的坐标是()6,1，∴66k m ==，∴反比例函数的解析式是6y x =，设直线AB 所对应的一次函数的表达式为y px q =+，把点A 和点B 的坐标代入得，2361p q p q +=⎧⎨+=⎩，解得124p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴直线AB 所对应的一次函数的表达式为142y x =-+，（2）延长AE 至点A '，使得EA AE '=，连接A B '交x 轴于点P ，连接AP，∴点A 与点A '关于x 轴对称，∴AP A P '=，()2,3A '-，∵AP PB A P PB A B ''+=+=，∴AP PB +的最小值是A B '的长度，∵AB =AB 是定值，∴此时ABP 的周长为AP PB AB AB A B '++=+最小，设直线A B '的解析式是y nx t =+，则2361n t n t +=-⎧⎨+=⎩，解得15n t =⎧⎨=-⎩，∴直线A B '的解析式是5y x =-，当0y =时，05x =-，解得5x =，即点P 的坐标是()5,0，此时AP PB AB AB A B '++=+==+，综上可知，在x 轴上存在一点()5,0P ，使ABP 周长的值最小，最小值是【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数的图象和性质、用到了待定系数法求函数解析式、勾股定理求两点间距离、轴对称最短路径问题、全等三角形的判定和性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．类型二存在性22．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx b =+与x 轴交于点()4,0A ，与y 轴交于点()0,2B ，与反比例函数m y x =在第四象限内的图象交于点()6,C a ．(1)求反比例函数的表达式：(2)当m kx b x+>时，直接写出x 的取值范围；(3)在双曲线m y x =上是否存在点P ，使ABP 是以点A 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)6y x=-；(2)<2x -或06x <<；(3)()32-，或()16-，【分析】（1）将()4,0A ，()0,2B 代入y kx b =+,求得一次函数表达式，进而可得点C 的坐标，再将点C 的坐标代入反比例函数即可；（2）将一次函数与反比例函数联立方程组，求得交点坐标即可得出结果；（3）过点A 作AP BC ⊥交y 轴于点M ，勾股定理得出点M 的坐标，在求出直线AP 的表达。

北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB与BC的长度比为3:4，若该矩形的周长为28，则BD 的长为（）A．5B．6C．8D．10 2．如图，已知△ABC是等腰直角三角形，△ABC=90°，A点坐标（－2，0），B点坐标为（1，1），点C在反比例函数y=k x上，则k的值为（）A．−2−√2B．−√2C．-4D．-2 3．已知函数y=k x的图象过点(3，2)，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的是（）A．(3，−2)B．(−2，3)C．(1，−6)D．(−6，−1)4．若反比例函数y＝k+2x的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜－2B．k＞－2C．k＜2D．k＞25．在下列函数图象上任取不同两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，一定能使y2−y1x2−x1<0成立的是（）A．y=3x−1(x<0)B．y=−x2+2x−1(x>0)C．y=−√3D．y=x2−4x−1(x<0)x(x>0)6．若双曲线y=k x（k<0），经过点A(−1，y1)，B(−3，y2)，则y1与y2的大小关系为（）A．y1<y2B．y1>y2C．y1=y2D．无法比较y1与y2的大小7．汽车以60千米／时的速度在公路上匀速行驶，1小时后进入高速路，继续以100千米／时的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s(千米)与行驶的时间t(时)的函数关系的大致图象是（）A．B．C．D．8．函数y=−1x的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若0＜x1＜x2，则（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．y1、y2的大小不确定9．小明从二次函数y=ax2+bx+c的图象（如图）中观察得出了下面五条信息：①c＜0；②abc＞0；③a-b+c＞0；④2a-3b=0；⑤c-4b＞0.你认为其中正确的信息是（）A．①②③⑤B．①②③④C．①③④⑤D．②③④⑤10．已知A（x1，y1）和B（x2，，y2）是反比例函数y=8x的上的两个点，若x2＞x1＞0，则（）A．y2＞y1＞0B．y1＞y2＞0C．0＞y1＞y2D．0＞y2＞y1二、填空题11．如图①，点E、F分别为长方形纸带ABCD的边AD、BC上的点，△DEF=19°，将纸带沿EF折叠成图②（G为ED和EF的交点，再沿BF折叠成图③（H为EF和DG 的交点），则图③中△DHF=°12．已知x=2−√5是一元二次方程x2−4x+m=0的一个根，则m=，方程的另一个根是.13．在▱ABCD中，∠A=30°，AD=4√3，连接BD，若BD=4，则线段CD 的长为.14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠D=90°，AC=25，AD=24.若点E是AB边上一动点，则CE的最小值为．15．直线y=2x﹣4与x轴的交点坐标是三、解答题16．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为（1，3），B点的横坐标为﹣3．（1）求反比例函数和一次函数的解析式．（2）根据图象直接写出使得kx+b<mx时x的取值范围．17．如图，在△ABC中，AB=AC，BD△AC于D，若△ABC=72°，求△ABD的度数．四、综合题18．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a,2)，并且直线y＝kx＋b经过x 轴上点B(2,0)．（1）求直线y＝kx＋b的解析式；（2）求两条直线与y轴围成的三角形面积；（3）直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．19．九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．（1）请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是（）元；②月销量是（）件；（直接写出结果）（2）设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？20．如图，直线y＝12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣12x2+bx+c 经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C．（1）求抛物线的解析式；（2）直线AB上方抛物线上的点D，使得△DBA＝2△BAC，求D点的坐标；（3）M是平面内一点，将△BOC绕点M逆时针旋转90°后，得到△B1O1C1，若△B1O1C1的两个顶点恰好落在抛物线上，请求点B1的坐标．21．在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：（1）请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近（精确到0.1）；（2）试估计袋子中有黑球个；（3）若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球个或减少黑球个．答案解析部分1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】B 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】C 8．【答案】A 9．【答案】A 10．【答案】B 11．【答案】57 12．【答案】-1；2+√5 13．【答案】4或8 14．【答案】7 15．【答案】（2，0）16．【答案】（1）解：将点 A （1，3）代入 ，解得：m ＝3．∴反比例函数解析式为y =3x．∵点 B 的横坐标为﹣3， ∴点 B 坐标（﹣3，﹣1）．把 A （1，3），B （﹣3，﹣1）代入 y ＝kx+b 得：{k +b =3−3k +b =−1解得：{k =1b =2∴一次函数的解析式为 y ＝x+2；（2）解：由图象可知 kx+b ＜mk 时，x ＜﹣3 或 0＜1 17．【答案】解：∵BD△AC 于D ，∴△BDC=90°，∵△B=72°，AB=AC，∴△A=36°，∴△ABD=90°﹣△A=54°18．【答案】（1）解：把A(a,2)代入y＝－2x中，得－2a＝2，∴a＝－1，∴A(－1,2)，把A(－1,2)、B(2,0)代入y＝kx＋b中得{−k+b=22k+b=0，∴k＝－23，b＝43，∴一次函数的解析式是y＝－23x＋43；（2）解：设直线AB与y轴交于点C，则C(0，43)，∴S△ABC＝12×43×1＝23；（3）解：不等式(k＋2)x＋b≥0可以变形为kx＋b≥－2x，结合图象得到解集为：x≥－1. 19．【答案】（1）x﹣60；400﹣2x（2）解：由题意得，y=（x﹣60）（﹣2x+400）=﹣2x2+520x﹣24000=﹣2（x﹣130）2+9800，∴售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元20．【答案】（1）解：y＝12x+2，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝﹣4，∴A（﹣4，0），B（0，2），把A、B的坐标代入y＝﹣12x2+bx+c，得{c=2−12×(−4)2−4b+c=0，解得{b=−32c=2，∴抛物线的解析式为：y＝﹣12x2﹣32x+2（2）解：取点B关于x轴的对称点B′（0，﹣2），连接AB′，过点B作BD△AB′交抛物线于点D，∵B、B′关于x轴对称，∴AB＝AB′，△BAB′＝2△BAC，设AB′：y＝kx﹣2，代入A（﹣4，0）得﹣4k﹣2＝0，解得k＝﹣1 2，则BD：y＝﹣12x+2，解{y=−12x+2y=−12x2−32x+2得{x1=0y1=2，{x2=−2y2=3，∴D（﹣2，3）（3）解：∵△BOC绕点M逆时针旋转90°，∴B1O1△x轴，O1C1△y轴，当B1、O1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则O1的横坐标为x+2，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2，解得x＝﹣5 2，则B1（﹣52，218）；当B1、C1在抛物线上时，设B1的横坐标为x，则C1的横坐标为x+2，C1的纵坐标比B1的纵坐标大1，∴﹣12x2−32x+2＝﹣12（x+2）2﹣32（x+2）+2﹣1，解得x＝﹣3，则B1（﹣3，2），∴B1的坐标为（﹣52，218）或（﹣3，2）．21．【答案】（1）0.6（2）30（3）10；10北师大版数学2024年中考反比例函数专题复习含答案一、选择题1．在平行四边形的复习课上，小明绘制了如下知识框架图，箭头处添加条件错误的是（）A．①：对角线相等B．②：对角互补C．③：一组邻边相等D．④：有一个角是直角2．如图，在同一直角坐标系中，函数y=kx与y=k x(k≠0)的图象大致是（）.A．①②B．①③C．②④D．③④3．设点A（x1，y1）和点B（x2，y2）是反比例函数y= k x图象上的两点，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，则一次函数y=﹣2x+k的图象不经过的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝−4x的图象上，若x1＜x2，则下列关于y1、y2大小关系正确的是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1＝y2D．无法确定5．对于双曲线y= 1−mx，当x＞0时，y随x的增大而减小，则m的取值范围为（）A．m＞0B．m＞1C．m＜0D．m＜1 6．若点A(−2，y1)，B(−1，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则下列结论正确的是（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y2>y 3>y17．函数y=x+m与y= mx（m≠0）在同一坐标系内的图像可以是（）A．B．C．D．8．若点A(−1,y1),B(2,y1),C(3,y3)在反比例函数y=−6x的图像上，则y1,y2,y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y2>y3>y1C．y1>y3>y2D．y3>y 2>y19．一次函数y=ax+b与反比例函数y=cx在同一平面直角坐标系中的图象如左图所示，则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．10．若点A(−3，y1)，B(−2，y2)，C(1，y3)在反比例函数y=−6x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1>y2>y3B．y3>y1>y2C．y2>y1>y3D．y3>y 2>y1二、填空题11．长方形ABCD中,△ADB=20°,现将这一长方形纸片沿AF折叠,当折痕AF与AB的夹角△BAF为时, AB′∥BD.12．点(α，β)在反比例函数y=kx的图像上，其中α，β是方程x2−2x−8=0的两根，则k= ．若点A(−1，y1)，B(−14，y2)，C(1，y3)都在反比例函数y=k x的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是．13．如图，点D是△ ABCD内一点，CD△x轴，BD△y轴，BD＝√2，△ADB＝135°，S△ABD＝2，若反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过A、D两点，则k的值是．14．如图，一个工人拿一个2.5米长的梯子，底端A放在距离墙根C点0.7米处，另一头B点靠墙，如果梯子的顶部下滑0.4米，梯子的底部向外滑米．15．三张完全相同的卡片上分别写有函数y=3x，y=3x，y=x2，从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图象在第一象限内y随x的增大而增大的概率是.三、解答题16．已知反比例函数y=k x过点P（2，﹣3），求这个反比例函数的解析式，并在直角坐标系中作出该函数的图象．17．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，求BC边上的高线AD的长。

提分专练(二) 反比例函数与一次函数综合(18年23题,17年23题,15年23题)(限时:20分钟)|类型1| 确定点的坐标1.[2018·怀柔一模]在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点B(0,1),与反比例函数y=的图象交于点A(3,-2).(1)求反比例函数表达式和一次函数表达式;(2)若点C是y轴上一点,且BC=BA,直接写出点C的坐标.图T2-12.[2018·平谷一模]如图T2-2,在平面直角坐标系xOy中,函数y=(k≠0)的图象与直线y=x+1交于点A(1,a).(1)求a,k的值;(2)连接OA,点P是函数y=(k≠0)的图象上一点,且满足OP=OA,直接写出点P的坐标(点A除外).图T2-23.[2018·门头沟一模]如图T2-3,在平面直角坐标系xOy中的第一象限内,反比例函数图象过点A(2,1)和另一动点B(x,y).(1)求此函数表达式;(2)如果y>1,写出x的取值范围;(3)直线AB与坐标轴交于点P,如果PB=AB,直接写出点P的坐标.图T2-3|类型2| 与面积有关的计算4.[2018·延庆一模]在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A,与y轴交于点B,与反比例函数y=(m≠0)的图象在第一象限交于点P(1,3),连接OP.(1)求反比例函数y=(m≠0)的表达式;(2)若△AOB的面积是△POB的面积的2倍,求直线y=kx+b的表达式.图T2-45.[2018·石景山一模]在平面直角坐标系xOy中,函数y=(x>0)的图象与直线l1:y=x+b交于点A(3,a-2).(1)求a,b的值;(2)直线l2:y=-x+m与x轴交于点B,与直线l1交于点C,若S△ABC≥6,求m的取值范围.6.[2018·朝阳一模]如图T2-5,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与x轴、y轴分别交于点A,B,与反比例函数y=的图象在第四象限交于点C,CD⊥x轴于点D,tan∠OAB=2,OA=2,OD=1.(1)求该反比例函数的表达式;(2)点M是这个反比例函数图象上的点,过点M作MN⊥y轴,垂足为点N,连接OM,AN,如果S△ABN=2S△OMN,直接写出点M的坐标.图T2-5|类型3| 确定参数的取值范围7.[2018·顺义一模]如图T2-6,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与双曲线y=(k≠0)相交于A(-3,a),B两点.(1)求k的值;(2)过点P(0,m)作直线l,使直线l与y轴垂直,直线l与直线AB交于点M,与双曲线y=交于点N,若点P在点M与点N 之间,直接写出m的取值范围.图T2-68.[2018·大兴一模]如图T2-7,点A是直线y=2x与反比例函数y=(x>0,m为常数)的图象的交点.过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2.(1)求点A的坐标及m的值;(2)已知点P(0,n)(0<n≤8),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=2x于点C(x1,y1),交反比例函数y=的图象于点D(x2,y2),交垂线AB于点E(x3,y3).若x2<x3<x1,结合函数的图象,直接写出x1+x2+x3的取值范围.图T2-7参考答案1.解:(1)∵双曲线y=过A(3,-2),将A(3,-2)的坐标代入y=,解得:m=-6.∴所求反比例函数表达式为:y=-.∵点A(3,-2),点B(0,1)在直线y=kx+b上,∴b=1,-2=3k+1.∴k=-1,∴所求一次函数表达式为y=-x+1.(2)C(0,3+1)或C(0,1-3).2.解:(1)∵直线y=x+1经过点A(1,a),∴a=2.∴A(1,2).∵函数y=(k≠0)的图象经过点A(1,2),∴k=2.(2)点P的坐标为(2,1),(-1,-2),(-2,-1).3.解:(1)设反比例函数表达式为y=(k≠0),∵此函数图象过A(2,1),∴1=,解得k=2,∴此函数表达式为y=.(2)0<x<2.(3)P(0,3)或P(6,0).4.解:(1)y=.(2)如图,作PE⊥y轴于点E.∵S△AOB=2S△POB,∴OA=2PE=2,∴A(2,0).将A(2,0)的坐标,P(1,3)的坐标分别代入y=kx+b, 可得∴∴直线AB的表达式为:y=-3x+6.同理:如图,直线AB的表达式为:y=x+2.综上:直线AB的表达式为y=-3x+6或y=x+2.5.解:(1)∵函数y=(x>0)的图象过点A(3,a-2), ∴a-2=,解得a=3.∵直线l1:y=x+b过点A(3,1),∴b=-2.(2)设直线y=x-2与x轴交于点D,则D(2,0), 直线y=-x+m与x轴交于点B(m,0),与直线y=x-2交于点C,.①当S△ABC=S△BCD+S△ABD=6时,如图①.可得(2-m)2+(2-m)×1=6,解得m=-2或m=8(舍).②当S△ABC=S△BCD-S△ABD=6时,如图②.可得(m-2)2-(m-2)×1=6,解得m=8或m=-2(舍).综上所述,当m≥8或m≤-2时,S△ABC≥6.6.解:(1)∵AO=2,OD=1,∴AD=AO+OD=3.∵CD⊥x轴于点D,∴∠ADC=90°.在Rt△ADC中,CD=AD·tan∠OAB=6.∴C(1,-6).∴该反比例函数的表达式是y=-.(2)设点M坐标为(x,y),则MN=|x|,ON=|y|, ∴S△OMN=·ON·MN=|xy|=|k|=3,S△ABN=2S△OMN=6=BN·OA=·BN·2=BN,∴BN=6.在Rt△AOB中,tan∠OAB===2,∴OB=4,∴B(0,-4),∴N1(0,-10),N2(0,2).∴点M的坐标为(-3,2)或,-10.7.解:(1)∵点A(-3,a)在直线y=2x+4上, ∴a=2×(-3)+4=-2,∴点A的坐标为(-3,-2).∵点A(-3,-2)在双曲线y=上,∴-2=,∴k=6.(2)m的取值范围是0<m<4.8.解:(1)由题意得,点A的横坐标是2,由点A在正比例函数y=2x的图象上,得点A的坐标为(2,4).又∵点A在反比例函数y=的图象上,∴4=,∴m=9. (2)6<x1+x2+x3≤7.。

【中考数学】专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如 (k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数.变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k的集合意义在反比例函数kyx=(k为常数，0k≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxxy2-=3.如图，一次函数y=－x+3的图象与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限的图象交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△APC的面积为5，求点P的坐标．4.如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P（a，0）（a>0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N．若PM>PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．5.已知一次函数y =kx +b 的图象与反比例函数y =mx的图象交于点A ，与x 轴交于点B （5，0），若OB =AB ，且S △OAB =152． （1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P 为x 轴上一点，△ABP 是等腰三角形，求点P 的坐标．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝mx (x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点． (1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段． 请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？10.如图，已知点D在反比例函数y=的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y=kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD=OC，OC：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b的表达式；（2）直接写出关于x的不等式＞kx+b的解集．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝mx 的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式； (2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ．（1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．13.如图，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，过点A作AC⊥x轴，垂足是C，AC=OC．一次函数y=kx+b 的图象经过点A，与y轴的正半轴交于点B．（1）求点A的坐标；（2）若四边形ABOC的面积是3，求一次函数y=kx+b的表达式．14.如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．15.一次函数y=kx+b的图象经过点A(-2,12)，B(8,-3)．（1）求该一次函数的解析式；（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点C(x1，y1)，D(x2,y2)，与轴交于点E，且CD=CE，求m的值．16.如图，某反比例函数图象的一支经过点A（2，3）和点B（点B在点A的右侧），作BC⊥y轴，垂足为点C，连结AB，AC．（1）求该反比例函数的解析式；（2）若△ABC的面积为6，求直线AB的表达式．专题07 反比例函数与一次函数的综合【达标要求】1.认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型.2.结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式.3.能画出反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象，根据图象和解析式探索并理解0k > 和0k <时图象的变化情况.4.能用反比例函数解决简单的实际问题.【知识梳理】知识点1 反比例函数的概念形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数，叫做反比例函数，其中x 叫自变量，y 是x 的函数. 变式:1y kx -=或xy k =(k 为常数，0k ≠). 知识点2 反比例函数的图像和性质知识点3 k 的集合意义 在反比例函数ky x=(k 为常数，0k ≠)的图象上任取一点，过这个点分别作x 轴、y 轴的平行线，两平行线与坐标轴围成的矩形的面积的于k ｜｜ .知识点4 用待定系数法求反比例函数的解析式先设函数解析式为kyx=(k为常数，0k≠)，在根据条件求出未知系数k的值，从而写出这个函数解析式.【精练精解】1.在同一平面直角坐标系中，函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵函数y=﹣x+k与y=（k为常数，且k≠0），∴当k>0时，y=﹣x+k经过第一、二、四象限，y=经过第一、三象限，故选项D错误，当k<0时，y=﹣x+k经过第二、三、四象限，y=经过第二、四象限，故选项C正确，选项A、B错误，故选C．【点评】本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数和反比例函数的性质解答．2.若反比例函数的图象上有两个不同的点关于y轴对称点都在一次函数y=–x+m的图象上，则m的取值范围是（）A．m>B．m<-C．m m><-．m-<<kxkxk xkx xy2-=【答案】C【解析】∵反比例函数2y x=-上两个不同的点关于y 轴对称的点，在一次函数y =–x +m 图象上，∴反比例函数2y x=-与一次函数y =–x +m 有两个不同的交点，联立两个函数解方程22220y x m x mx x x y x m⎧=⎪⇒=-+⇒-+=⎨⎪=-+⎩，∵有两个不同的交点，∴有两个不等的根，∴Δ=m 2–8>0，∴m或m <–，故选C ．3.如图，一次函数y =－x +3的图象与反比例函数y =kx（k ≠0）在第一象限的图象交于A （1，a ）和B 两点，与x 轴交于点C ．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P 在x 轴上，且△APC 的面积为5，求点P 的坐标．【解析】（1）把点A （1，a ）代入y =－x +3，得a =2，∴A （1，2），把A （1，2）代入反比例函数y =kx，∴k =1×2=2； ∴反比例函数的表达式为y =2x； （2）∵一次函数y =－x +3的图象与x 轴交于点C ，∴C （3，0）， 设P （x ，0），∴PC =|3－x |，∴S △APC =12|3－x |×2=5，∴x =－2或x =8， 022=+-mxx∴P 的坐标为（－2，0）或（8，0）．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键．4.如图，已知反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）已知点P （a ，0）（a >0），过点P 作平行于y 轴的直线，在第一象限内交一次函数y =﹣x +b 的图象于点M ，交反比例函数y =kx上的图象于点N ．若PM >PN ，结合函数图象直接写出a 的取值范围．【解析】（1）∵反比例函数y =kx（k ≠0）的图象与一次函数y =﹣x +b 的图象在第一象限交于A （1，3），B （3，1）两点，∴3=1k，3=﹣1+b ，∴k =3，b =4， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y =3x，y =﹣x +4； （2）由图象可得：当1<a <3时，PM >PN ．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．5.已知一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象交于点A，与x轴交于点B（5，0），若OB=AB，且S△OAB=152．（1）求反比例函数与一次函数的表达式；（2）若点P为x轴上一点，△ABP是等腰三角形，求点P的坐标．【解析】（1）如图1，过点A作AD⊥x轴于D，∵B（5，0），∴OB=5，∵S△OAB=152，∴12×5×AD=152，∴AD=3，∵OB=AB，∴AB=5，在Rt△ADB中，BD，∴OD=OB+BD=9，∴A（9，3），将点A坐标代入反比例函数y=mx中得，m=9×3=27，∴反比例函数的解析式为y=27x，将点A（9，3），B（5，0）代入直线y=kx+b中，9350k bk b+=⎧⎨+=⎩，∴3434kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为y=34x﹣34；（2）由（1）知，AB=5，∵△ABP是等腰三角形，∴①当AB=PB时，∴PB=5，∴P（0，0）或（10，0），②当AB=AP时，如图2，由（1）知，BD=4，易知，点P与点B关于AD对称，∴DP=BD=4，∴OP=5+4+4=13，∴P（13，0），③当PB =AP 时，设P （a ，0）， ∵A （9，3），B （5，0），∴AP 2=（9﹣a ）2+9，BP 2=（5﹣a ）2， ∴（9﹣a ）2+9=（5﹣a ）2，∴a =658， ∴P （658，0）， 即：满足条件的点P 的坐标为（0，0）或（10，0）或（13，0）或（658，0）． 【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．6.如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与反比例函数y =2k x的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．（1）根据图象，直接写出满足k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围； （2）求这两个函数的表达式；（3）点P 在线段AB 上，且S △AOP ：S △BOP =1：2，求点P 的坐标．【答案】（1）由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）P （23，73）． 【解析】（1）∵点A 的坐标为（–1，4），点B 的坐标为（4，n ）．由图象可得：k 1x +b ＞2k x的x 的取值范围是x <–1或0<x <4； （2）∵反比例函数y =2k x的图象过点A （–1，4），B （4，n ）， ∴k 2=–1×4=–4，k 2=4n ，∴n =–1，∴B （4，–1）， ∵一次函数y =k 1x +b 的图象过点A ，点B ，∴11441k b k b -+=+=-⎧⎨⎩，解得k =–1，b =3，∴直线解析式y =–x +3，反比例函数的解析式为y =–4x； （3）设直线AB 与y 轴的交点为C ，∴C （0，3），∵S △AOC =12×3×1=32， ∴S △AOB =S △AOC +S △BOC =12×3×1+12×3×4=152， ∵S △AOP ：S △BOP =1：2，∴S △AOP =152×13=52， ∴S △COP =52–32=1，∴12×3x P =1，∴x P =23， ∵点P 在线段AB 上，∴y =–23+3=73，∴P （23，73）．【点评】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，熟练运用图象上的点的坐标满足图象的解析式是本题的关键．7.如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A（–1，n）、B（2，–1）两点，与y轴相交于点C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y=mx上的两点，当x1<x2<0时，比较y2与y1的大小关系．【答案】（1）一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）S△ABD=3．（3）y1<y2．【解析】（1）∵反比例函数y=mx经过点B（2，–1），∴m=–2，∵点A（–1，n）在y=2x-上，∴n=2，∴A（–1，2），把A，B坐标代入y=kx+b，则有221k bk b-+=+=-⎧⎨⎩，解得11kb=-=⎧⎨⎩，∴一次函数的解析式为y=–x+1，反比例函数的解析式为y=–2x．（2）∵直线y=–x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，–1），∵B（2，–1），∴BD∥x轴，∴S △ABD =12×2×3=3． （3）∵M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2）是反比例函数y =–2x 上的两点，且x 1<x 2<0，s ∴y 1<y 2． 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的增减性，比较函数值的大小．8.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A(1，0)，B(3，1)，C(3，3)．反比例函数y ＝m x(x ＞0)的图象经过点D ，点P 是一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象与该反比例函数图象的一个公共点．(1)求反比例函数的解析式；(2)通过计算，说明一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定经过点C ；(3)对于一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)，当y 随x 的增大而增大时，确定点P 横坐标的取值范围．(不必写出过程)【解析】：(1)∵B(3，1)，C(3，3)，四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ＝BC ＝2，BC ⊥x 轴．∴AD ⊥x 轴．又∵A(1，0)，∴D(1，2)．∵D 在反比例函数y ＝m x的图象上， ∴m ＝1×2＝2.∴反比例函数的解析式为y ＝2x. (2)当x ＝3时，y ＝kx ＋3－3k ＝3，∴一次函数y ＝kx ＋3－3k(k ≠0)的图象一定过点C.(3)设点P 的横坐标为a ，则23＜a ＜3. 归纳：反比例函数中，y 随x 的大小变化的情况，应分x ＞0与x ＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k ＜0时，y 随x 的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y 随x 的变化是一致的．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．9.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y(℃)与时间x(h)之间的函数关系，其中线段AB ，BC 表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD 表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：(1)求这天的温度y 与时间x(0≤x ≤24)的函数关系式；(2)求恒温系统设定的恒定温度；(3)若大棚内的温度低于10 ℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？【点拨】 (1)用待定系数法分段求函数解析式；(2)观察图象可得；(3)代入临界值y ＝10即可．【解答】 解：(1)设线段AB 解析式为y ＝k 1x ＋b(k ≠0)，∵线段AB 过点(0，10)，(2，14)，代入，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝10，2k 1＋b ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝2，b ＝10. ∴AB 解析式为y ＝2x ＋10(0≤x ＜5)．∵B 在线段AB 上，当x ＝5时，y ＝20.∴B 坐标为(5，20)．∴线段BC 的解析式为y ＝20(5≤x ＜10)． 设双曲线CD 的解析式为y ＝k 2x(k 2≠0)． ∵C(10，20)，∴k 2＝200.∴双曲线CD 解析式为y ＝200x(10≤x ≤24)． ∴y 关于x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋10（0≤x<5），20（5≤x<10），200x （10≤x ≤24）.(2)由(1)可知，恒温系统设定恒定温度为20 ℃.(3)把y ＝10代入y ＝200x中，解得x ＝20. ∴20－10＝10.答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．归纳：反比例函数实际应用题是近年中考常见的题型，解题时首先要仔细审读题目(或图象)中给予的信息，挖掘题目(或图象)中隐含的条件，提取有用信息，综合运用所学知识解决问题． 10.如图，已知点D 在反比例函数y=的图象上，过点D 作DB ⊥y 轴，垂足为B （0，3），直线y=kx+b 经过点A （5，0），与y 轴交于点C ，且BD=OC ，OC ：OA=2：5．（1）求反比例函数y=和一次函数y=kx+b 的表达式；（2）直接写出关于x 的不等式＞kx+b 的解集．【分析】（1）由OC、OA、BD之间的关系结合点A、B的坐标可得出点C、D的坐标，由点D的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出a值，进而可得出反比例函数的表达式，再由点A、C的坐标利用待定系数法，即可求出一次函数的表达式；（2）将一次函数表达式代入反比例函数表达式中，利用根的判别式△＜0可得出两函数图象无交点，再观察图形，利用两函数图象的上下位置关系即可找出不等式＞kx+b的解集．解：（1）∵BD=OC，OC：OA=2：5，点A（5，0），点B（0，3），∴OA=5，OC=BD=2，OB=3，又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．∵点D（﹣2，3）在反比例函数y=的图象上，∴a=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的表达式为y=﹣．将A（5，0）、B（0，﹣2）代入y=kx+b，，解得：，∴一次函数的表达式为y=x﹣2．（2）将y=x ﹣2代入y=﹣，整理得： x 2﹣2x+6=0， ∵△=（﹣2）2﹣4××6=﹣＜0，∴一次函数图象与反比例函数图象无交点．观察图形，可知：当x ＜0时，反比例函数图象在一次函数图象上方，∴不等式＞kx+b 的解集为x ＜0．11.如图，矩形ABCD 的两边AD ，AB 的长分别为3，8，E 是DC 的中点，反比例函数y ＝m x的图象经过点E ，与AB 交于点F.(1)若点B 坐标为(－6，0)，求m 的值及图象经过A ，E 两点的一次函数的解析式；(2)若AF －AE ＝2，求反比例函数的解析式．【解析】：(1)点B 坐标为(－6，0)，AD ＝3，AB ＝8，E 为CD 的中点，∴点A(－6，8)，E(－3，4)．∵函数图象经过点E ，∴m ＝－3×4＝－12.设AE 的解析式为y ＝kx ＋b ，将点A ，E 坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧－6k ＋b ＝8，－3k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－43，b ＝0.∴一次函数的解析式为y ＝－43x. (2)AD ＝3，DE ＝4，∴AE ＝AD 2＋DE 2＝5.∵AF －AE ＝2，∴AF ＝7，BF ＝1.设点E 坐标为(a ，4)，则点F 坐标为(a －3，1)，∵E ，F 两点在函数y ＝m x图象上， ∴4a ＝a －3，解得a ＝－1.∴E(－1，4)．∴m ＝－1×4＝－4.∴反比例函数的解析式为y ＝－4x. 12.如图，直线AB 与x 轴交于点A （1，0），与y 轴交于点B （0，2），将线段AB 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AC ，反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的图象经过点C ． （1）求直线AB 和反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）的解析式；（2）已知点P 是反比例函数y ＝（k ≠0，x ＞0）图象上的一个动点，求点P 到直线AB 距离最短时的坐标．【答案】见解析。

专题复习三 一次函数与反比例函数综合题型【教学笔记】一、求一次函数与反比例函数的解析式 1、待定系数法.2、一次函数需要两个坐标点，反比例函数只需要一个坐标点. 二、图象中涉及的三角形及有关图形面积的问题 1、反比例函数k .2、将大三角形面积看作几个小三角形面积之和3、图形面积与坐标点之间的关系 三、交点问题 根据已知量求未知量四、根据图象直接写出自变量的取值范围 数形结合的思想【典型例题】考点一：求一次函数与反比例函数的解析式【例1】（2015•资阳）如图10，直线y ＝ax ＋1与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，与双曲线y ＝k x（x＞0）相交于点P ，PC ⊥x 轴于点C ，且PC =2，点A 的坐标为2,0 （）．（1）求双曲线的解析式；（2）若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点，且QH ⊥x 轴于H ，当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与△AOB 相似时，求点Q 的坐标.解：（1）把A （﹣2，0）代入y=ax+1中，求得a=，∴y=x+1，由PC=2，把y=2代入y=x+1中，得x=2，即P（2，2），把P代入y=得：k=4，则双曲线解析式为y=；（2）设Q（a，b），∵Q（a，b）在y=上，∴b=，当△QCH∽△BAO时，可得=，即=，∴a﹣2=2b，即a﹣2=，解得：a=4或a=﹣2（舍去），∴Q（4，1）；当△QCH∽△ABO时，可得=，即=，整理得：2a﹣4=，解得：a=1+或a=1﹣（舍），∴Q（1+，2﹣2）．综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．【例2】（2016•资阳）如图，在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D．（1）求双曲线的解析式；（2）作直线AC交y轴于点E，连结DE，求△CDE的面积．【解答】解：（1）∵在平行四边形ABCD中，点A、B、C的坐标分别是（1，0）、（3，1）、（3，3），∴点D的坐标是（1，2），∵双曲线y=（k≠0，x＞0）过点D，∴2=，得k=2，即双曲线的解析式是：y=；（2）∵直线AC交y轴于点E，∴S △C D E =S △E D A +S △A D C =，即△CDE 的面积是3．【课后练习】1、（2014•资阳）如图，一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0），且与反比例函数y=（m≠0）的图象相交于点A （﹣2，1）和点B ． （1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）求点B 的坐标，并根据图象回答：当x 在什么范围内取值时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值解：（1）一次函数y=kx+b （k≠0）的图象过点P （﹣，0）和A （﹣2，1），∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣2x ﹣3，反比例函数y=（m≠0）的图象过点A （﹣2，1）， ∴，解得m=﹣2，∴反比例函数的解析式为y=﹣；（2），解得，或，∴B （，﹣4）由图象可知，当﹣2＜x ＜0或x ＞时，一次函数的函数值小于反比例函数的函数值．2、如图，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与x 轴，y 轴分别交于A (1，0)，B (0，－1)两点，且与反比例函数y ＝mx(m ≠0)的图象在第一象限交于C 点，C 点的横坐标为2.(1)求一次函数的解析式；(2)求C 点坐标及反比例函数的解析式．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1，一次函数的解析式为y ＝x －1；(2)当x ＝2时，y ＝2－1＝1，所以C 点坐标为(2，1)；又C 点在反比例函数y ＝m x (m ≠0)的图象上，∴1＝m2，解得m ＝2.所以反比例函数的解析式为y ＝2x.3、(2016乐山中考)如图，反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝ax ＋b 的图象交于点A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n . (1)求这两个函数解析式；(2)将一次函数y ＝ax ＋b 的图象沿y 轴向下平移m 个单位长度，使平移后的图象与反比例函数y ＝kx的图象有且只有一个交点，求m 的值．解：(1)∵A (2，2)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴k ＝4.∴反比例函数的解析式为y ＝4x .又∵点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，n 在反比例函数y ＝4x 的图象上，∴12n ＝4，解得n ＝8，即点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8.由A (2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，8在一次函数y ＝ax ＋b 的图象上，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝2a ＋b ，8＝12a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝10，∴一次函数的解析式为y ＝－4x ＋10； (2)将直线y ＝－4x ＋10向下平移m 个单位长度得直线的解析式为y ＝－4x ＋10－m ，∵直线y ＝－4x ＋10－m 与双曲线y ＝4x 有且只有一个交点，令－4x ＋10－m ＝4x ，得4x 2＋(m －10)x ＋4＝0，∴Δ＝(m －10)2－64＝0，解得m ＝2或18.4、如图，一次函数5+=kx y （k 为常数，且0≠k ）的图像与反比例函数xy 8-=的图像交于()b A ,2-，B 两点.（1）求一次函数的表达式；（2）若将直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后与反比例ABOy x函数的图像有且只有一个公共点，求m 的值. 解：（1）将()b A ,2-代入反比例函数xy 8-=，得： 428=--=b∴()4,2-A将()4,2-A 代入一次函数5+=kx y ，得： 4=-2k+5，解得21=k ∴一次函数的表达式为521+=x y （2）直线AB 向下平移)0(>m m 个单位长度后的表达式为m x y -+=521， 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=x y m x y 8521得：08)5(212=+-+x m x ，16)5(8214)5(4222--=⨯⨯--=-=∆m m ac b∵平移)0(>m m 个单位长度后的直线与反比例函数的图像有且只有一个公共点；∴Δ=0，即016)5(2=--m ，解得9,121==m m ， ∴m 的值为1或9.5、(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xoy 中，正比例函数y kx =的图象与反比例函数直线my x=的图象都经过点A(2，-2)．(1)分别求这两个函数的表达式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交 于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点 为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△ABC 的面积。

初三中考复习——函数专题一次函数与反比例函数【知识要点】：1.定义：若两个变量的关系可以表示成的形式,则称是的一次函数。

(为自变量, 为因变量).★中考考点：①.②.自变量和因变量例1.已知是一次函数，那么m=___________例2.某种报纸的价格是每份0.4元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y．在这个表格中，________________是自变量，____________是因变量，之间的关系是_________________．2.坐标系：①.象限点的特征：例1.点，在第______象限例2. 点在第_______象限。

②.点到坐标轴的距离点P(m,n)到x轴的距离为; 到y轴的距离为;到原点的距离为例1.已知A（-1，-1），B(1,1)，点A到X轴的距离为_______，点B到Y轴的距离为_______，AB两点间的距离为_______.例2.已知，到X轴的距离为3，则A点坐标为_________.③.点关于对称轴的对称点点P（a，b）关于原点的对称点是（-a,-b），关于x轴的对称点是(a,-b)，关于y轴的对称点是(-a,b).例1.点A(-2,3)关于X轴的对称点为________,关于Y轴的对称点为_______,关于原点的对称点为__________例2.点A(-2,-3)与点B关于Y轴对称，点B坐标为____________④.象限角平分线上点的特征第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等，其方程为：；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数，其方程为：例1．已知A的坐标分别为(－2，0)，点P在直线上，如果△ABP为直角三角形，这样的P点的坐标共有___________个。

3．正比例函数与反比例函数图像与性质：1.正比例函数的定义：当一次函数的时，就得到函数( 是常数，≠0)叫正比例函数；2.正比例函数的图像：正比例函数y=kx的图像是经过原点和(1，k)两点的—条直线；3.反比例函数的定义：一般地，如果两个变量x、y之间关系可以表示成（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数。

反比例函数与一次函数综合复习课学习目标: 能够应用一次函数与反比例函数的图象与性质分析解决一次函数与反比例函数的综合题。

重点：熟练应用一次函数与反比例函数的图象与性质进行解题 难点：进一步利用数形结合的思想方法进行解题一、知识回顾 1．若反比例函数x k y =与一次函数y ＝3x ＋b 都经过点(1，4)，则kb ＝________． 2．反比例函数xy 6-=的图象一定经过点(－2，________)．3．若点A (7，y 1)，B (5，y 2)在双曲线xy 3-=上，则y 1、y 2中较小的是________．4．如图，反比例函数的图象在第一象限内经过点A ，过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线，垂足分别P 、Q ，若矩形APOQ 的面积为8，则这个反比例函数的解析式为________． 二、学习新知：1.如图，已知A(n ，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b 的图象和反比例函数y=xm 的图象的两个交点，直线AB 与y 轴交于点C ．(1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求△AOC 的面积； (3)求不等式kx+b-xm <0的解集(直接写出答案)．第4题2．已知：如图，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且与反比例函数的图像交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．OB ＝10，tan ∠DOB ＝31． （1）求反比例函数的解析式：（2）设点A 的横坐标为m ，△ABO 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （3）当△OCD 的面积等于2S 时，试判断过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段能否等于3．如果能，求此时抛物线的解析式；如果不能，请说明理由． 解：（1）过点B 作BH ⊥x 轴于点H ． ………1分 在Rt △OHB 中， HO ＝3BH ． ………………2分由勾股定理，得 BH 2＋HO 2＝OB 2． 又∵ OB ＝10．∴ BH 2＋（3BH ）2＝（10）2． ∵ BH ＞0， ∴ BH ＝1，HO ＝3． ∴ 点B （－3，－1）． ………………………3分 设反比例函数的解析式为xk y 1=（k ≠0）．∵ 点B 在反比例函数的图象上， ∴ 反比例函数的解析式为xy 3=． ……4分（2）设直线AB 的解析式为y ＝k 2x ＋b （k ≠0）． 由点A 在第一象限，得m ＞0． 又由点A 在函数xy 3=的图像上，可求得点A 的纵坐标为m3．∵ 点B （－3，－1），点A （m ，m3），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-．，m b mk b k 31322 解关于k 2、b 的方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．，m m b mk 312 ∴ 直线AB 的解析式为 mm x my -+=31． ………………………5分令 y ＝0， 求得点D 的横坐标为 x ＝m －3． 过点A 作A G ⊥x 轴于点 G ． S ＝S △BDO ＋S △ADO ＝21DO ·BH ＋21DO ·G A ＝21DO （BH ＋G A ）＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-m m 31321． 由已知，直线经过第一、三、四象限， ∴ b ＞0时，即03>-mm ．∵ m ＞0， ∴ 3－m ＞0．由此得 0＜m ＜3． ………………………6分 ∴ S ＝21（3－m ）（1＋m3）． 即 S ＝mm 292-（0＜m ＜3） ………7分（3）过A 、B 两点的抛物点线在x 轴上截得的线段长不能等于3． 证明如下： S △OCD ＝21DO ·OC ＝21︱m －3︱·mm -3＝()mm 232-．由 S △OCD ＝2S ， 得()mm mm 29212322-⋅=-． 解得 m 1＝1，m 2＝3．经检验，m 1＝1，m 2＝3都是这个方程的根． ∵ 0＜m ＜3，∴ m ＝3不合题意，舍去， ∴ A （1，3）． ……………………………8分 设过A （1，3）、B （－3，－1）两点的抛物线的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）．∴ ⎩⎨⎧-=+-=++．，1393c b a c b a 由此得⎩⎨⎧-=+=．，a c a b 3221即 y ＝ax 2＋（1+2a ）x+2－3a ． …………………………………9分 设抛物线与x 轴两交点的横坐标为x 1，x 2． 则 x 1＋x 2＝aa 21+-，x 1·x 2＝aa 32-． 令 ︱x 1－x 2︱＝3．则 （x 1－x 2）－4x 1x 2＝9． 即 9324212=-⋅-⎪⎭⎫⎝⎛+-a a a a ． 整理，得 7a 2－4a ＋1＝0． ∵ Δ＝（－4）2－4×7×1＝－12＜0， ∴ 方程7a 2－4a ＋1＝0无实数根．因此过A 、B 两点的抛物线在x 轴上截得的线段长不能等于3． ………………10分三、巩固知识中考宝典P40-41 18、19题 四、感受中考20．（本题满分9分）（2009年）如图，已知反比例函数y ＝ mx的图象经过点A (－1，3)，一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A 和点C (0，4），且与反比例函数的图象相交于另一点B ． (1)求这两个函数的解析式； (2)求点B 的坐标． 23、（本题满分9分）（2008年）如图所示，一次函数y x m =+和反比例函数1(1)m y m x+=≠-的图象在第一象限内的交点为(,3)P a ．⑴求a 的值及这两个函数的解析式；⑵根据图象，直接写出在第一象限内，使反 比例函数的值大于一次函数的值的x 的取值范围．20．（本题满分8分）（2010年） 已知点P （1，2）在反比例函数y =xk (0≠k )的图象上．（1）当x 2-=时，求y 的值；（2）当1＜x ＜4时，求y 的取值范围．(,3)P aOxy（2011年）20、如图所示，反比例函数y=的图象与一次函数y=kx-3的图象在第一象限内相交于点A （4，m ）． （1）求m 的值及一次函数的解析式；（2）若直线x=2与反比例和一次函数的图象分别交于点B 、C ，求线段BC 的长． 五、今年中考预测与以往类同，都是利用交点坐标解题 六、课后练习1．若正比例函数x k y 1=的图象与反比例函数xk y 2=的图象相交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为（32,3），则k 1k 2=____________． 2、已知反比例函数k y x=的图象与直线y =2x 和y =x +1的图象过同一点，则k = ．3、如图，是一次函数y=kx+b 与反比例函数y=2x的图象，则关于x 的方程kx+b=2x的解为( )A ．x l =1，x 2= 2 ；B ．x l = -2，x 2= -1 ；C ．x l =1，x 2= -2D ．x l =2，x 2= -1 4、 如图，一次函数与反比例函数的图像相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）．A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜0，或x ＞2D ．x ＜－1，或0＜x ＜2 5、已知120k k <<，则函数1y k x =和2k y x=的图象大致是（ ）6、.已知关于x 的一次函数y ＝－2x ＋m 和反比例函数xn y 1+=的图象都经过A (－2，1)，则m ＝__，n ＝___．7、.直线y ＝2x 与双曲线xy 8=有一交点(2，4)，则它们的另一交点为________．8、已知y ＝(a －1)x a 是反比例函数，则它的图象在( )． (A)第一、三象限 (B)第二、四象限 (C)第一、二象限 (D)第三、四象限9、观察函数xy 2-=的图象，当x ＝2时，y ＝________；当x ＜2时，y 的取值范围是________；当y ≥－1时，x 的取值范围是________． 10、.函数xy 2=在第一象限内的图象如图所示，在同一直角坐标系中，将直线y ＝－x ＋1沿y 轴向上平移2个单位，所得直线与函数xy 2=的图象的交点共有________个．11、如图，一次函数y ＝kx ＋b 的图象与反比例函数xm y =的图象相交于A 、B 两点，(1)利用图中条件，求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围．xxxx）（D ）第4题12、已知一次函数x y 2=的图象与反比例函数xk y =的图象交于M 、N 两点，且52=MN ．（l ）求反比例函数的解析式；（2）若抛物线c bx ax y ++=2经过M 、N 两点，证明：这条抛物线与x 轴一定有两个交点； （3）设（2）中的抛物线与x 轴的两个交点为A 、B （点A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，连结AC 、BC.若3tan tan =∠+∠CBA CAB ，求抛物线的解析式．。

1 / 38专题04 一次函数与反比例函数综合一．解答题（共15小题）1．（2020•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为M ． （1）求点A 的坐标；（2）连接OM ，如果MOA ∆的面积等于2，求k 的值．2．（2020•北京一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:2l y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点(2,)A a ． （1）求a ，k 的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点(,)P m n 为射线OA 上一点，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，分别交函数(0)k y x x =>的图象于点B ，C ．由线段PB ，PC 和函数(0)ky x x=>的图象在点B ，C 之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W ． ①若PA OA =，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．2 / 383．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线3x =与直线112y x =+交于点A ，函数(0,0)k y k x x =>>的图象与直线3x =，直线112y x =+分别交于点B ，C ． （1）求点A 的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(0,0)ky k x x=>>的图象在点B ，C 之间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1k =时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数； ②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．4．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象G 与直线:24l y x =-交于点(3,)A a ． （1）求k 的值；（2）已知点(0P ，)(0)n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，与图象G 交于点B ，与直线l 交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段AC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当5n =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．3 / 385．（2020•顺义区一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，函数(0,0)ny n x x=≠>的图象过点(3,2)A ，与直线:l y kx b =+交于点C ，直线l 与y 轴交于点(0,1)B -． （1）求n 、b 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(0,0)ny n x x=≠>的图象在点A ，C 之间的部分与线段BA ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点(2,0)时，直接写出区域W 内的整点个数，并写出区域W 内的整点的坐标； ②若区域W 内的整点不少于5个，结合函数图象，求k 的取值范围．6．（2020•东城区一模）如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数(0,0)my m x x=≠>的图象在第一象限内交于点A ，B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．已知(1,4)A ，14CD CE =． （1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）若点M 为反比例函数图象在A ，B 之间的动点，作射线OM 交直线AB 于点N ，当MN 长度最大时，直接写出点M 的坐标．4 / 387．（2020•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与函数(0)ky x x=>的图象交于点(1,)A m ，与x 轴交于点B ．（1）求m ，k 的值；（2）过动点(0P ，)(0)n n >作平行于x 轴的直线，交函数(0)ky x x=>的图象于点C ，交直线3y x =+于点D ．①当2n =时，求线段CD 的长；②若CD OB …，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．8．（2020•西城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2(0)l y kx k k =+>与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)my x x=>的图象的交点P 位于第一象限． （1）若点P 的坐标为(1,6)， ①求m 的值及点A 的坐标；5 / 38②PBPA= ； （2）直线2:22l y kx =-与y 轴交于点C ，与直线1l 交于点Q ，若点P 的横坐标为1， ①写出点P 的坐标（用含k 的式子表示）； ②当PQ PA …时，求m 的取值范围．9．（2020•通州区一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意的实数(0)a a ≠，直线2y ax a =+-都经过平面内一个定点A ． （1）求点A 的坐标； （2）反比例函数by x=的图象与直线2y ax a =+-交于点A 和另外一点(,)P m n ． ①求b 的值；②当2n >-时，求m 的取值范围．10．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,4)A 向下平移2个单位得到点C ，反比例函数(0)my m x=≠的图象经过点C ，过点C 作CB x ⊥轴于点B ． （1）求m 的值；（2）一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C ，交x 轴于点D ，线段CD ，BD ，BC 围成的区域（不含边界）为G ；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①3b =时，直接写出区域G 内的整点个数．②若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围．6 / 3811．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与一次函数21y x =-的图象交于A 、B 两点，已知(,3)A m -． （1）求k 及点B 的坐标；（2）若点C 是y 轴上一点，且5ABC S ∆=，直接写出点C 的坐标．12．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y x m m =+≠的图象与y 轴交于点A ，过点(0,2)B m 且平行于x 轴的直线与一次函数(0)y x m m =+≠的图象，反比例函数4my x=的图象分别交于点C ，D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当1m =时，用等式表示线段BD 与CD 长度之间的数量关系，并说明理由；7 / 38（3）当BD CD …时，直接写出m 的取值范围．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点(1,1)A 与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围．14．（2020•密云区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l y x =-的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点(3,)A m ． （1）求m 、k 的值；（2）点(p P x ，0)是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线l 于点M ，交反比例函数(0)ky x x =>的图象于点N ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记(0)ky x x=>的图象在点A ，N 之间的部分与线段AM ，MN 围成的区域（不含边界）为W ．①当5p x =时，直接写出区域W 内的整点的坐标为；8 / 38②若区域W 内恰有6个整点，结合函数图象，求出p x 的取值范围．15．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线5x =与直线3y =，x 轴分别交于点A ，B ，直线(0)y kx b k =+≠经过点A 且与x 轴交于点(9,0)C ．（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①结合函数图象，直接写出区域W 内的整点个数；②将直线y kx b =+向下平移n 个单位，当平移后的直线与区域W 没有公共点时，请结合图象直接写出n 的取值范围．专题04 一次函数与反比例函数综合一．解答题（共15小题）9 / 381．（2020•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数4y x =+的图象与y 轴交于点A ，与反比例函数ky x=的图象的一个交点为M ． （1）求点A 的坐标；（2）连接OM ，如果MOA ∆的面积等于2，求k 的值．【分析】（1）通过计算自变量为0对应的一次函数值得到A 点坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征，设M 点的坐标为(,4)t t +，根据三角形面积公式得到14||22t ⨯⨯=，求出t 得到M 点的坐标，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k 的值． 【解答】解：（1）当0x =，44y x =+=， (0,4)A ∴；（2）设M 点的坐标为(,4)t t +， MOA ∆Q 的面积等于2，∴14||22t ⨯⨯=，解得1t =或1t =-， M ∴点的坐标为(1,5)或(1,3)-，当M 点的坐标为(1,5)时，155k =⨯=； 当M 点的坐标为(1,3)-时，133k =-⨯=-， 综上所述，k 的值为5或3-．10 / 382．（2020•北京一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3:2l y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点(2,)A a ． （1）求a ，k 的值；（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点(,)P m n 为射线OA 上一点，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，分别交函数(0)k y x x =>的图象于点B ，C ．由线段PB ，PC 和函数(0)ky x x=>的图象在点B ，C 之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W ． ①若PA OA =，求区域W 内的整点个数；②若区域W 内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）将点A 坐标代入解析式，可求a ，k 的值；11 / 38（2）①先求出点P 坐标，结合函数图象可求解； ②分两种情况讨论，结合函数图象可求解．【解答】解：（1）Q 直线3:2l y x =与反比例函数(0)ky x x =>的图象交于点(2,)A a ．∴3232a =⨯=， ∴点(2,3)A ，Q 反比例函数ky x=过点A ， 326k ∴=⨯=；（2）①Q 点P 为射线OA 上一点，且PA OA =，A ∴为OP 中点，(2,3)A Q ，∴点P 的坐标为(4,6)，将4x =代入6y x =中，得32y =， 将6y =代入6y x=中，得1x =， PB Q ，PC 分别垂直于x 轴和y 轴，3(4,)2B ∴，(1,6)C ，如图，12 / 38结合函数图象可知，区域W 内有5个整点； ②当点P 在点A 下方时，如图，结合函数图象可知，当213m …时，区域W 内有5个整点；当点P 在点A 上方时，如图，13 / 38结合函数图象可知，当1043m <…时，区域W 内有5个整点； 综上所述：当213m <…或1043m <…时，区域W 内有5个整点；3．（2020•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线3x =与直线112y x =+交于点A ，函数(0,0)k y k x x =>>的图象与直线3x =，直线112y x =+分别交于点B ，C ． （1）求点A 的坐标．（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(0,0)ky k x x=>>的图象在点B ，C 之间的部分与线段AB ，AC 围成的区域（不含边界）为W ．①当1k =时，结合函数图象，求区域W 内整点的个数； ②若区域W 内恰有1个整点，直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意列方程即可得到结论；（2）①当1k=时，求得B、C的坐标，根据图象得到结论；②分两种情况根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）直线3x=与直线112y x=+交于点A，∴3112xy x=⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得352xy=⎧⎪⎨=⎪⎩，5(3,)2A∴；（2）①当1k=时，根据题意1(3,)3B，(1C-+，14/ 3815 / 38在W 区域内有1个整数点：(2,1)； ②若区域W 内恰有1个整点，当C 点在直线3x =的左边时，如图1，在W 区域内有1个整数点：(2,1)，12k ∴<…；当C 点在直线3x =的右边时，如图2，在W 区域内有1个整数点：(4,4)，1620k ∴<…；综上，当区域W 内恰有1个整点时，12k <…或1620k <…4．（2020•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky x x=>的图象G 与直线:24l y x =-交16 / 38于点(3,)A a ． （1）求k 的值；（2）已知点(0P ，)(0)n n >，过点P 作平行于x 轴的直线，与图象G 交于点B ，与直线l 交于点C ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G 在点A ，B 之间的部分与线段AC ，BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当5n =时，直接写出区域W 内的整点个数；②若区域W 内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）把(3,)A a 代入24y x =-求得2a =，然后根据待定系数法即可求得k 的值； （2）①当5n =时，得到B 为6(5，5)，9(2C ，5)，结合图象于是得到结论；②分两种情况，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）反比例函数(0)ky x x =>的图象G 与直线:24l y x =-交于点(3,)A a ．2342a ∴=⨯-=，(3,2)A ∴，17 / 38Q 反比例函数(0)ky x x=>的图象G 经过(3,2)A ， 326k ∴=⨯=；（2）①当5n =时，则B 为6(5，5)，9(2C ，5)，∴在W 区域内有3个整数点：(2,4)，(3,3)，(3,4)；②由图1可知，若区域W 内的整点恰好为3个，当P 点在A 点的上方时，则45n <…； 当P 点在A 点的下方时，则01n <<，综上所述，若区域W 内恰有3个整点，n 的取值范围为：45n <…或01n <<5．（2020•顺义区一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，函数(0,0)ny n x x=≠>的图象过点(3,2)A ，与直线:l y kx b =+交于点C ，直线l 与y 轴交于点(0,1)B -． （1）求n 、b 的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记函数(0,0)ny n x x=≠>的图象在点A ，C 之间的部分与线段BA，18 / 38BC 围成的区域（不含边界）为W ．①当直线l 过点(2,0)时，直接写出区域W 内的整点个数，并写出区域W 内的整点的坐标； ②若区域W 内的整点不少于5个，结合函数图象，求k 的取值范围．【分析】（1）把(3,2)A 代入(0,0)ny n x x=≠>中可得n 的值；把点(0,1)B -代入y kx b =+中可得b 的值；（2）①将(2,0)代入1y kx =-可得：直线解析式为112y x =-，画图可得整点的个数； ②分两种情况：直线l 在OA 的下方和上方，画图计算边界时k 的值，可得k 的取值． 【解答】解：（1）Q 点(3,2)A 在函数ny x=的图象上， 6n ∴=，Q 点(0,1)B -在直线:l y kx b =+上，1b ∴=-；（2）①当直线l 过点(2,0)时，直线解析式为112y x =-， 解方程6112x x =-得11x =-，21x =+(1C +， 而(0,1)B -，如图1所示，区域W 内的整点有(3,1)一个；19 / 38②（ⅰ）当直线l 在BA 下方时，若直线l 与x 轴交于点(3,0)，结合图象，区域W 内有4个整点， 此时：310k -=，∴13k =．当直线l 与x 轴的交点在(3,0)右侧时，区域W 内整点个数不少于5个，103k ∴<<．20 / 38（ⅱ）当直线l 在BA 上方时，若直线l 过点(1,4)，结合图象，区域W 内有4个整点， 此时14k -=，解得5k =．结合图象，可得5k >时，区域W 内整点个数不少于5个， 综上，k 的取值范围是103k <<或5k >． 6．（2020•东城区一模）如图，一次函数(0)y kx b k =+≠的图象与反比例函数(0,0)my m x x=≠>的图象在第一象限内交于点A ，B ，且该一次函数的图象与y 轴正半轴交于点C ，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为D ，E ．已知(1,4)A ，14CD CE =． （1）求m 的值和一次函数的解析式；（2）若点M 为反比例函数图象在A ，B 之间的动点，作射线OM 交直线AB 于点N ，当MN 长度最大时，直接写出点M 的坐标．【分析】（1）先把A 点坐标代入my x=中求出m 得到反比例函数解析式为4y x =；再证明CDA CEB ∆∆∽，利用相似比求出4BE =，则利用反比例函数解析式确定B 点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用点A 与点B 关于直线y x =对称，反比例函数4y x=-关于y x =对称可判断当OM 的解析式为y x =时，MN 的长度最大，然后解方程组4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得此时M 点的坐标．【解答】解：（1）把(1,4)A 代入my x=得144m =⨯=，21 / 38∴反比例函数解析式为4y x=； BD y ⊥Q 轴，AD y ⊥轴， //AD BE ∴， CDA CEB ∴∆∆∽，∴CD AD CE BE =，即114BE =，4BE ∴=，当4x =时，4414y x ===， (4,1)B ∴，把(1,4)A ，(4,1)B 代入y kx b =+得441k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得15k b =-⎧⎨=⎩，∴一次函数解析式为5y x =-+；（2）Q 点A 与点B 关于直线y x =对称，反比例函数4y x=-关于y x =对称，∴当OM 的解析式为y x =时，MN 的长度最大，解方程组4y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩得22x y =⎧⎨=⎩或22x y =-⎧⎨=-⎩， ∴此时M 点的坐标为(2,2)．7．（2020•石景山区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =+与函数(0)ky x x=>的图象交于点(1,)A m ，与x 轴交于点B ．（1）求m ，k 的值；22 / 38（2）过动点(0P ，)(0)n n >作平行于x 轴的直线，交函数(0)ky x x=>的图象于点C ，交直线3y x =+于点D ．①当2n =时，求线段CD 的长；②若CD OB …，结合函数的图象，直接写出n 的取值范围．【分析】（1）先利用一次函数解析式确定m 的值得到A 点坐标，然后把A 点坐标代入ky x=得到k 的值； （2）①利用C 、D 的纵坐标都为2得到C 点和D 点的横坐标，然后求两横坐标之差得到线段CD 的长； ②先确定(3,0)-，由于C 、D 的纵坐标都为n ，根据一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征可表示出4(C n，)n ，(3,)D n n -，讨论：当点C 在点D 的右侧时，先利用CD OB =得到4(3)3n n --=，解得12n =，22n =-（舍去），再结合图象可判断当02n <…时，CD OB …；当点C 在点D 的左侧时，先利用CD OB =得到433n n--=，解得13n =+23n =，再结合图象可判断当3n +…CD OB …． 【解答】解：（1）Q 直线3y x =+经过点(1,)A m ， 134m ∴=+=， Q 反比例函数ky x=的图象经过点(1,4)A ， 144k ∴=⨯=；（2）①当2n =时，点P 的坐标为(0,2)，23 / 38当2y =时，42x=，解得2x =， ∴点C 的坐标为(2,2)，当2y =时，32x +=，解得1x =-，∴点D 的坐标为(1,2)-，2(1)3CD ∴=--=；②当0y =时，30x +=，解得3x =-，则(3,0)B -当y n =时，4n x =，解得4x n=， ∴点C 的坐标为4(n，)n ，当y n =时，3x n +=，解得3x n =-，∴点D 的坐标为(3,)n n -，当点C 在点D 的右侧时， 若CD OB =，即4(3)3n n--=，解得12n =，22n =-（舍去）， ∴当02n <…时，CD OB …；当点C 在点D 的左侧时， 若CD OB =，即433n n--=，解得13n =+23n =， ∴当3n …时，CD OB …，综上所述，n 的取值范围为02n <…或3n +…24 / 388．（2020•西城区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1:2(0)l y kx k k =+>与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，与函数(0)my x x=>的图象的交点P 位于第一象限． （1）若点P 的坐标为(1,6)， ①求m 的值及点A 的坐标； ②PB PA = 13； （2）直线2:22l y kx =-与y 轴交于点C ，与直线1l 交于点Q ，若点P 的横坐标为1， ①写出点P 的坐标（用含k 的式子表示）； ②当PQ PA …时，求m 的取值范围．【分析】（1）①把(1,6)P 代入函数(0)my x x=>即可求得m 的值，直线1:2(0)l y kx k k =+>中，令0y =，即可求得x 的值，从而求得A 的坐标；②把P 的坐标代入2y kx k =+即可求得k 的值，进而求得B 的坐标，然后根据勾股定理求得PB 和PA ，即可求得PBPA的值； （2）①把1x =代入2y kx k =+，求得3y k =，即可求得(1,3)P k ；②分别过点P 、Q 作PM x ⊥轴于M ，QN x ⊥轴于N ，则点M 、点N 的横坐标1，22k+，若PQ PA =，则1PQ PA =，根据平行线分线段成比例定理则1PQ MN PA MA ==，得出3MN MA ==，即可得到2213k+-=，解25 / 38得1k =，根据题意即可得到当1PQ MNPA MA=…时，1k …，则33m k =…． 【解答】解：（1）①令0y =，则20kx k +=， 0k >Q ，解得2x =-，∴点A 的坐标为(2,0)-，Q 点P 的坐标为(1,6)，166m ∴=⨯=；②Q 直线1:2(0)l y kx k k =+>函数(0)my x x=>的图象的交点P ，且(1,6)P ， 62k k ∴=+，解得2k =，24y x ∴=+，令0x =，则4y =， (0,4)B ∴，Q 点A 的坐标为(2,0)-，PA ∴==PB ==，∴13PB PA ==， 故答案为13；（2）①把1x =代入2y kx k =+得3y k =， (1.3)P k ∴；②由题意得，222kx k kx +=-，26 / 38解得22x k=+， ∴点Q 的横坐标为22k+， 221(0)k k+>>Q ， ∴点Q 在点P 的右侧，如图，分别过点P 、Q 作PM x ⊥轴于M ，QN x ⊥轴于N ，则点M 、点N 的横坐标1，22k+， 若PQ PA =，则1PQPA=， ∴1PQ MNPA MA==， MN MA ∴=，2213k∴+-=，解得1k =， 3MA =Q ，∴当1PQ MNPA MA=…时，1k …， 33m k ∴=…，∴当PQ PA …时，3m …．27 / 389．（2020•通州区一模）已知：在平面直角坐标系xOy 中，对于任意的实数(0)a a ≠，直线2y ax a =+-都经过平面内一个定点A ． （1）求点A 的坐标； （2）反比例函数by x=的图象与直线2y ax a =+-交于点A 和另外一点(,)P m n ． ①求b 的值；②当2n >-时，求m 的取值范围．【分析】（1）解析式化为2(1)2y ax a a x =+-=+-，即可求得；（2）①根据待定系数法即可求得；②根据反比例函数的性质即可判定点(,)P m n 在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．【解答】解：（1）2(1)2y ax a a x =+-=+-Q ，∴当1x =-时，2y =-，∴直线2y ax a =+-都经过平面内一个定点(1,2)A --；（2）①Q 反比例函数by x=的图象经过点A ，28 / 381(2)2b ∴=-⨯-=；②若点(,)P m n 在第一象限，当2n >-时，0m >， 若点(,)P m n 在第三象限，当2n >-时，1m <-， 综上，当2n >-时，0m >或1m <-．10．（2020•延庆区一模）在平面直角坐标系xOy 中，将点(2,4)A 向下平移2个单位得到点C ，反比例函数(0)my m x=≠的图象经过点C ，过点C 作CB x ⊥轴于点B ． （1）求m 的值；（2）一次函数(0)y kx b k =+<的图象经过点C ，交x 轴于点D ，线段CD ，BD ，BC 围成的区域（不含边界）为G ；若横、纵坐标都是整数的点叫做整点． ①3b =时，直接写出区域G 内的整点个数．②若区域G 内没有整点，结合函数图象，确定k 的取值范围．【分析】（1）点(2,4)A 向下平移2个单位得到点(2,2)C ，将点C 的坐标代入函数表达式，即可求解； （2）①将点C 的坐标和b 代入一次函数表达式，求出132y x =-+，从而得出(6,0)D ，由图象可得，区域G内只有一个整点(3,1)H ，即可求解；②参考上图可知，区域G 内的有一个整点时，该点坐标为(3,1)，将坐标(3,1)代入一次函数表达式y kx b =+，求出1k =-，故若区域G 内没有整点，则1k -…．29 / 38【解答】解：（1）Q 点(2,4)A 向下平移2个单位得到点C ，∴点(2,2)C ．Q 反比例函数(0)my m x=≠的图象经过点C ， 将点C 的坐标代入上式得：22m =， 解得：4m =；（2）①将点C 的坐标代入一次函数y kx b =+得：22k b =+①， 当3b =时，则12k =-，故一次函数的表达式为：132y x =-+，令0y =，则1302x -+=，解得：6x =，即点(6,0)D ，由一次函数表达式作出下图，由图象可得，区域G 内只有一个整点(3,1)H ， 故区域G 内的整点个数为1；30 / 38②参考上图可知，区域G 内的有一个整点时，该点坐标为：(3,1)， 将坐标(3,1)代入一次函数表达式y kx b =+得：13k b =+②，联立①②并解得：14k b =-⎧⎨=⎩，即1k =-，故若区域G 内没有整点，则1k -…．11．（2020•房山区一模）在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数ky x=的图象与一次函数21y x =-的图象交于A 、B 两点，已知(,3)A m -． （1）求k 及点B 的坐标；（2）若点C 是y 轴上一点，且5ABC S ∆=，直接写出点C 的坐标．【分析】（1）由直线21y x =-经过点(,3)A m -，把3y =-代入解析式即可求出m 的值；再根据反比例函数经过点A 即可得出k 的值；联立两个函数解析式即可求出点B 的坐标；（2）求出直线AB 与y 轴的交点坐标，再根据A 、B 两点的横坐标以及三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：（1）把3y =-代入21y x =-得1x =-， (1,3)A ∴--；31 / 38又反比例函数ky x=的图象经过点A ， 3k ∴=，321y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，解得1113x y =-⎧⎨=-⎩，22322x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 3(2B ∴，2)．（2）设直线AB 的解析式为y kx b =+， 则3322k b k b -+=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得21k b =⎧⎨=-⎩．∴直线AB 的解析式为21y x =-，所以直线AB 与y 轴交于点(0,1)-， 设点C 的纵坐标为y ，当点C 在y 轴的正半轴时，13(1)(1)522y +⨯+=，解得3y =，当点C 在y 轴的负半轴时，13(1)(1)522y --⨯+=，解答5y =-，∴点C 的坐标为(0,3)或(0,5)-．12．（2020•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy 中，一次函数(0)y x m m =+≠的图象与y 轴交于点A ，过点(0,2)B m 且平行于x 轴的直线与一次函数(0)y x m m =+≠的图象，反比例函数4my x=的图象分别交于点C ，D ．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当1m =时，用等式表示线段BD 与CD 长度之间的数量关系，并说明理由；32 / 38（3）当BD CD …时，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）直接将点B 的坐标代入反比例函数4my x=中可得点D 的坐标； （2）把1m =代入可得B 和D 的坐标，从而得C 的坐标，根据两点的距离公式可得2BD CD =； （3）根据两点的距离公式，由BD CD …列不等式，解出即可，因为4my x=中0m ≠，可得结论． 【解答】解：（1）Q 过点(0,2)B m 且平行于x 轴的直线与反比例函数4my x=的图象交于点D ， ∴点D 的纵坐标为2m ，42mm x∴=，2x =， (2,2)D m ∴；（2）当1m =时，(0,2)B ，(2,2)D ，Q 过点(0,2)B m 且平行于x 轴的直线与一次函数(0)y x m m =+≠的图象交于点C ，2m x m ∴=+，x m =，(,2)C m m ∴，33 / 38(1,2)C ∴，2BD ∴=，1CD ，2BD CD ∴=；（3）(0,2)B m Q ，(,2)C m m ，(2,2)D m ，2BD ∴=，|2|CD m =-， BD CD Q …，|2|2m ∴-…，4m ∴…或0m <．13．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线1y =与一次函数y x m =-+的图象交于点P ，与反比例函数my x=的图象交于点Q ，点(1,1)A 与点B 关于y 轴对称． （1）直接写出点B 的坐标；（2）求点P ，Q 的坐标（用含m 的式子表示）；（3）若P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）根据关于y 轴对称的两点，其纵坐标相等横坐标互为相反数，即可写出点B 的坐标；（2）把1y =代入y x m =-+，求出x ，进而得到点P 的坐标；把1y =代入my x=，求出x ，进而得到点Q 的坐标；（3）由点P ，Q 的坐标，可知点P 在点Q 的左边．当P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上时，分两种情况进行讨论：①只有P 点在线段AB 上；②只有Q 点在线段AB 上．分别列出关于m 的不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）Q 点(1,1)A 与点B 关于y 轴对称，∴点B 的坐标是(1,1)-；34 / 38（2）把1y =代入y x m =-+，得1x m =-+，解得1x m =-，∴点P 的坐标为(1,1)m -；把1y =代入my x=，得1m x =，解得x m =，∴点Q 的坐标为(,1)m ；（3）Q 点P 的坐标为(1,1)m -，点Q 的坐标为(,1)m ，∴点P 在点Q 的左边．当P ，Q 两点中只有一个点在线段AB 上时，分两种情况： ①只有P 点在线段AB 上时，由题意，得1111m m --⎧⎨>⎩剟，解得12m <…；②只有Q 点在线段AB 上时，由题意，得1111m m -<-⎧⎨-⎩剟，解得10m -<…．综上可知，所求m 的取值范围是10m -<…或12m <…．14．（2020•密云区一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线:1l y x =-的图象与反比例函数(0)ky x x=>的图象交于点(3,)A m ． （1）求m 、k 的值；（2）点(p P x ，0)是x 轴上的一点，过点P 作x 轴的垂线，交直线l 于点M ，交反比例函数(0)ky x x=>的35 / 38图象于点N ．横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记(0)ky x x =>的图象在点A ，N 之间的部分与线段AM ，MN 围成的区域（不含边界）为W ．①当5p x =时，直接写出区域W 内的整点的坐标为；②若区域W 内恰有6个整点，结合函数图象，求出p x 的取值范围．【分析】（1）将点A 坐标代入解析式，可求m ，k 的值；（2）①根据题意先求M ，N 两点，根据A 、M 、N 点的坐标即求出整点个数．②分两种情况讨论，结合函数图象可求解．【解答】解：（1）Q 直线:1l y x =-的图象与反比例函数(0)k y x x=>的图象交于点(3,)A m ．312m ∴=-=，∴点(3,2)A ，Q 反比例函数ky x=过点A ， 326k ∴=⨯=；（2）①当5p x =时，M 、N 两点的坐标为(5,4)M 、6(5,)5N ．(3,2)A Q ．36 / 38∴区域W 内的整点的坐标为(4,2)．②当点P 在点A 左边时，如图1，结合函数图象可知，当01p x <<时，区域W 内有6个整点；当点P 在点A 右时，如图2，结合函数图象可知，当67P x <…时，区域W 内有6个整点； 综上所述：当01p x <<或67P x <…时，区域W 内有6个整点．15．（2020•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线5x =与直线3y =，x 轴分别交于点A ，B ，直线(0)y kx b k =+≠经过点A 且与x 轴交于点(9,0)C ．37 / 38（1）求直线y kx b =+的表达式；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段AB ，BC ，CA 围成的区域（不含边界）为W ． ①结合函数图象，直接写出区域W 内的整点个数；②将直线y kx b =+向下平移n 个单位，当平移后的直线与区域W 没有公共点时，请结合图象直接写出n 的取值范围．【分析】（1）根据图形，可以得到点A 的坐标，再根据直线y kx b =+过点A 和点C ，从而可以得到直线y kx b =+的表达式；（2）①根据题意和图象，可以得到区域W 内的整点个数； ②根据平移的特点和图象，可以得到n 的取值范围． 【解答】解：（1）由图可得，点A 的坐标为(5,3)， Q 直线y kx b =+过点(5,3)A ，点(9,0)C ，∴5390k b k b +=⎧⎨+=⎩，得34274k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即直线y kx b =+的表达式是32744y x =-+；（2）①由图象可得，区域W内的整点的坐标分别为(6,1)，(6,2)，(7,1)，即区域W内的整点个数是3个；②由图象可知，当点A向下平移3个单位长度时，直线y kx b=+与区域W没有公共点，n…．即n的取值范围是338/ 38。