《直线与平面所成的角》教学设计

课 题：9．7直线与平面所成的角和二面角(一)教学目的：1.理解并掌握斜线在平面内的射影、直线和平面所成角的概念2.根据概念先找直线射影后确定线面夹角从而熟练求解直线和平面所成角3.培养化归能力、分析能力、观察思考能力和空间想象能力等4.培养立体感、数学美感，提高学生学习数学特别是立体几何的兴趣 教学重点：线面夹角的概念及利用概念分步求夹角教学难点：直线和平面所成角的概念及12cos cos cos θθθ=⋅的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节有三个知识点：直线与平面所成的角、二面角、两平面垂直的性质要求学生掌握直线和平面、平面和平面所成的角、距离的概念并能灵活运用勾股定理、正余弦定理和向量代数方法计算有关的角和距离了解异面直线距离的概念和计算在学生已初步掌握向量工具的基础上，可用向量工具解决立体几何中的一些较难的问题，一方面可进一步显示向量工具的威力，另外也为解决空间的度量问题找到了通法，减少学生学习度量问题的困难过去学生解这类问题，主要方法是构造三角形，应用勾股定理、余弦定理和正弦定理求解这种解法需要对图形进行平移、投影等转化技能，而且不同的问题需要不同的技巧实践证明，没有向量工具，学生求解这类问题比较困难有了向量运算工具，很多较难的空间计算问题，就有了统一的方法求解、但如果全用向量处理夹角相距离问题，虽有通法，但有时在解决一些较难问题时，运算量较大并需要一定的技巧，学所以在教材具体编写时，不是都用向量计算方法，有些直接使用勾股定理和三角能解决的问题，就不再使用向量方法了教学过程：一、复习引入：1．平面几何中，点、线段在直线上射影的概念及性质：2．直线和平面的位置关系（平行、相交和直线在平面内）二、讲解新课： 1 斜线,垂线,射影⑴垂线 自一点向平面引垂线,垂足叫这点在这个平面上的射影. 这个点和垂足间的线段叫做这点到这个平面的垂线段.⑵斜线 一条直线和一个平面相交,但不和这个平面垂直,斜线和平面的交点叫斜足段叫这点到这个平面的斜线段⑶射影 过斜线上斜足外的一点向平面引垂线,的直线叫做斜线在这个平面内的射影垂足和斜足间线段叫这点到这个平面的斜线段在这个平面内的射影直线与平面平行，直线在平面由射影是一条直线直线与平面垂直射影是点斜线任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上2．射影长相等定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线中 ⑴射影相交两条斜线相交；射影较长的斜线段也较长 ⑵相等的斜线段射影相等，较长的斜线段射影较长 ⑶垂线段比任何一条斜线段都短 ⑴OB=OC ⇒AB=AC OB >OC ⇒AB >AC⑵AB=AC ⇒OB=OC AB >AC ⇒OB >OC ⑶OA <AB ，OA <AC3．直线和平面所成角（1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角一直线垂直于平面，所成的角是直角一直线平行于平面或在平面内，所成角为0︒角直线和平面所成角范围： [0，2π]（2）定理：斜线和平面所成角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角证明：设平面α的一条斜线l 在α内的射影为l '，角θ是l 与l '所成的角直线OD 是平面α内与l '不同的任意一条直线，过点l 上的点A 引AC 垂直于OD ，垂足为C因为AB<AC ， 所以AOAC AOAB <，即AOC ∠<sin sin θ,因此AOC ∠<θ4．公式已知平面α的斜线a 与α内一直线b 相交成θ角，且a 与α相交成ϕ1角，a 在α上的射影c 与b 相交成ϕ2角，则有θϕϕcos cos cos 21=OCBAα用几何法研究：在平面α的斜线a 上取一点P ，过点P 分别作直线c 、b 的垂线PO 、PB ，垂足为O 、B连接OB ，则OB ⊥b.在直角△AOP 中，AP AO =1cos ϕ. 在直角△ABC 中，AO AB =2cos ϕ.在直角△ABP 中，AP AB =θcos .所以 θϕϕcos cos cos 21==⋅=APAB AOAB APAO所以θϕϕcos cos cos 21=成立用向量运算研究：如图，A P 是平面α的斜线，A 是斜足，P O 垂直于平面α，O 为垂足，则直线A O 是斜线在平面α内的射影A B 是平面α内的任意一条直线，且O B A B ⊥，垂足为B ，又设A P 与A O 所成角为1θ，A B 与A O 所成角为2θ，A P 与A B 所成角为θ，则易知：1||||cos AO AP θ= ，212||||cos ||cos cos AB AO AP θθθ==又∵||||cos A B A P θ=，可以得到：12cos cos cos θθθ=⋅，则同样可以得到：平面的斜线和它在平面内的射影所成角，是这条斜线和这个平面内的任一条直线所成角中最小的角； 三、讲解范例：例1 如图，已知A B 是平面α的一条斜线，B 为斜足，,AO O α⊥为垂足，BC 为α内的一条直线，60,45ABC O BC ∠=∠=，求斜线A B 和平面α所成角解：∵A O α⊥，由斜线和平面所成角的定义可知，A B O ∠为A B 和α所成角， 又∵12cos cos cos θθθ=⋅，ODCBA1A∴cos cos 601cos cos cos 45222ABC ABO C BO∠∠===÷=∠，∴45BAO ∠= ，即斜线A B 和平面α所成角为45 ．例2．如图，在正方体1AC 中，求面对角线1A B 与对角面11BB D D 所成的角解法一：连结11A C 与11B D 交于O ，连结O B ，∵111DD A C ⊥，1111B D A C ⊥，∴1A O ⊥平面11BB D D ， ∴1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角， 在1Rt A BO ∆中，1112A O AB =，∴130A B O ∠=．解法二：由法一得1A BO ∠是1A B 与对角面11BB D D 所成的角，又∵11cos cos 452ABB ∠==，11cos 3B B B BO BO∠==，∴1111cos cos cos 23A B B A B O B B O∠∠===∠，∴130A B O ∠= ．说明：求直线与平面所成角的一般方法是先找斜线在平面中的射影，后求斜线与其射影的夹角另外，在条件允许的情况下，用公式21cos cos cos θθθ=⋅求线面角显得更加方便解法三：建立空间直角坐标系，用向量计算例3．已知空间四边形A B C D 的各边及对角线相等，求A C 与平面BC D 所成角的余弦值解：过A 作A O ⊥平面BC D 于点O ，连接,,CO BO DO ，∵A B A C A D ==，∴O 是正三角形BC D 的外心， 设四面体的边长为a ，则3C O a =，CA∵90AOC ∠= ，∴A CO ∠即为A C 与平面BC D 所成角，∴cos 3AC O ∠=，所以，A C 与平面BCD 所3．例4 如图，已知AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，求AD 与平面PBC 所成角的余弦值. 解：∵AP ⊥BP ，PA ⊥PC ，∴AP ⊥PBC 连PD ，则PD 就是AD 在平面PBC 上的射影 ∴∠PDA 就是AD 与平面PBC 所成角又∵∠ABP =∠ACP =60º，PB =PC =2BC ，D 是BC 中点，∴PD=BC 27, PA=6BC ∴AD=BC 231∴31217cos ==∠ADPD PDA∴AD 与平面PBC 217四、课堂练习： 1 选择题（1）一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是（ ）（A ）（0º,90º） （B ）[0º,90º] （C ）[0º,180º] （D ）[0º,180º)（2）两条平行直线在平面内的射影可能是①两条平行线；②两条相交直线；③一条直线；④两个点. 上述四个结论中，可能成立的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 （3）从平面外一点P 引与平面相交的直线，使P 点与交点的距离等于1，则满足条件的直线条数不可能是（ ）（A ）0条或1条 （B ）0条或无数条（C ）1条或2条 （D ）0条或1条或无数条答案：（1）B (2)C (3)D 2．填空题（1）设斜线与平面α所成角为θ，斜线长为l ，则它在平面内的射影长是 . （2）一条与平面相交的线段，其长度为10cm ，两端点到平面的距离分别是2cm ，E13cm ，这条线段与平面α所成的角是 .（3）若（2）中的线段与平面不相交，两端点到平面的距离分别是2cm ，3cm ，则线段所在直线与平面α所成的角是 .答案：（1）θcos l （2）030 （3）101arcsin3．若P 为⊿ABC 所在平面外一点，且P A =PB =PC ，求证点P 在⊿ABC 所在平面内的射影是⊿ABC 的外心.分析：斜线段长相等，则射影长也相等从而由PA =PB =PC ，点P 的射影到⊿ABC 的三个顶点的距离相等，所以射影为⊿ABC 的外心.五、小结 ：我们学习了有关平面的斜线、射影和直线与平面成角的几个概念，射影定理中的三个结论成立的前提是这些斜线段及垂线段必须是从平面外同一点向平面所引而得到的．否则，结论不成立．线面夹角的概念及解题步骤：先找垂线，后找射影最后确定夹角在具体解题时，关键是求斜线在平面内的射影六、课后作业：在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、A 1D 1的中点，求：（1）D 1B 1与面AC 所成角的余弦值； （2）EF 与面A 1C 1所成的角； （3）EF 与面AC所成的角．解：（1）设正方体的边长为a ，则在1Rt D BD ∆中，1,DB D B ==.∴1cos 3D B D ∠==.（2）45°．（3）45°． 七、板书设计（略）八、课后记：在具体解题时往往找不出夹角，关键是不能求斜线在平面内的射影，通过练习，使学生在不同的视图中能较熟练地找出射影。

案例剖析ANLI POUXI“向量法解决直线与平面所成角问题#，/学与思考◎李琳（广州市第七十五中学，广东广州510000）立体几何模块是高中阶段学习的重点,学生在《数学必修2》的学习上，结合空间向量又在选修2-1中补充学习，这不是简单的重复学习，而是的视角对的位置关系与度量问题进行学习，而且为解决立体几何中某些用综合法解题时技巧性较大、随机性较强的问题提供了一些，从而进一步提升学生的空间想象能力和几观能力•教师在教学过程中如何做到既注重基础知识的教学，又能拓展学生的思维进培养学生能力的目的？笔者以“向量法解决直线与平面所成角问题”的教学为例展开论述.一、教学设计（一）课前导入有的放矢由于本节课不是概念课，也不是新授课,师生已经对教材（人教A版选修2-1）《立体几何中的向量方法》进行了学习，对空间向量这个工具的使用有了一定的认识，所以笔者设计了以下三道小题给学生课前完成：1•已知空间向量a=（1，1，0），b=（#，- 1，1），若〈a，"〉=■"，贝》#=（）.A.0或4B.0C.4D.12.已知2（3，-1，4）,3（2，1，3），若子=#壶，则0点的坐标是（）•A.（3-#，2#-1，4-入）B.（入，#-1，2入）C.（入,2#,2-A）D.（3#,2-#,#,）3•如图1所示，在棱长为4的正方体中，点0在上，且C+=宁C++,则直线02与平面A3CD所成角的余弦值为_______•图1习题1的设计是检测学生向量夹角公式的掌握情况，结果绝大部分学生错选成了A,究其原因是学生忽视了向量的范围，在计程中对方程平方会扩大变量的范围•如果学生在求解过程中列岀了式子:*?，注意到向量夹角为锐角时其数量积为正数，就/2/#+2可得岀#〉1，可以选岀正确答案C；习题2的设计是为后面例题1的变式做铺垫的,检测的知识点是向量共线的应用，答题效果比较好.习题3的设计是借助一个正方体求直线与平面所的余弦值，这有两个设计：其一是用向量法和综合法都很容易入手，学生可以自由选择方法,其二是题目求的是与平面所成角的余弦值，若学生用量法解题的话这里是个点，不少学生对向量法求岀的值到底是正弦值还是余弦值还有些混淆•因此，本节课的 课前导入就是通过习题帮助学生查缺补漏，并围绕本节课的教学重点进行归纳小结,让学生知识点、考点，学习程中做中有数.（二）课中题型精选典型数学教学离不开解题教学，解题教学的首要工作就是精选•高中的数学学习更多的是培养学生的思维品质,达到提升学生学习能力的目的，因此，教师选取的例题需有基础性、典型性和示范性的特征•笔者选取了如作为课堂例题：例1如图2所示，在三棱锥0-M3C中，0A丄平面ABC,AC丄3C,D为0C的中点,0A=AC=4,3C=2.N为AD 的中点，求0N与平面AD3所成角的正弦值•12用向量法求直线与平面所成角本身难度不大,学生的难点主要集中在建立空间直角坐标系和找空间点的坐标这两项•笔者选取的这道例题无论是建系还是找点的坐标学生都容""解答方也有型的功能•设计是强化用向量法求与平面所的“三步曲”:化为向量问题---进行向量运算----回到图形问题•第一步是向学生渗透化归与转化的思想，第二步考查学生的能力和综合能力，强化学生对知识的理解和掌握•为了拓展学生的思维,例题讲完后笔者设计了一道探究题:你还有哪些方法得岀N点的坐标？由于学生最容易想到直接求N点坐标，所以容易想到的方法有:用中点坐标公式求的;先找N点在底面投影再求N点坐标的；这时笔者提示学生:根据A,N,D三点共线及课前演练的第二小题,数学学习与研究2019.20案例剖析ANLI POUXI你有什么启发吗？有些学生马上领悟到可用向量共线设二入直接求岀n 点坐标进而求0N 的坐标形式;又有 学生提岀可由=+ #0?直接表示岀0N 的坐标.接下来笔者向学生提问:这些方法中各有何优缺点？我们在日后的学习和解题过程中如何快速选取更优的方法？经过学生 的思考和探讨，学生明白了:1.当且仅当点N 为中点时方可用中点坐标公式得岀N 点坐标;2.当点N 在#9'平面上的影位置 特殊（如在坐标轴上等）时可以用投影法求点N 的坐标;3.建立坐标系的方式与求点N 坐标的难度有关,比如,以2为原点比以C 为原点更好求点N 的坐标;4.无论点N 在 （ ）2M 上 置，都用向量 求其坐标，且计算难度与N 点位置没有 关系.经过这样一番思考与，笔马上 学生解 1的变式 ？习:变式 在上述例题中，线段2M 上是否存在一点T ,使 得直线0T 与平面2M3所成角的正弦值为李？若存在，请6求岀T 点坐标，若不存在请说明理由.练习 如图3所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，4BCM = 135。

3 所以，二面角 C1-DB-B1 的余弦值为 3
sin | cos AB , n | AB n AB n
x y, z y
| 01 a 1 01 | | a | 12 12 12 3 3
3 3


直线 AB 与平面 BDA1 所成的角 的正弦值为
(2)求二面角 C1-DB-B1 的余弦值． （图 3-23）
数学.选修2-1湘教版
3.6 直线与平面、
平面与平面所成的角
1、两个向量的夹角
如图, 已知两个非零向量 a , b , 在空间任取一点 O , 作 OA a , OB b , 则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作: a , b .
1、 0 a, b 2、 cos a , b
l
v

v, n

2


n

cos v, n cos( ) sin 2
设直线l的方向向量为v，平面α 的法向量为n，且直线l与 π 平面α 所成的角为θ (0 ≤θ ≤ ),则 2
sin cos v , n
vn v n
探究点2
二面角
n

v


α, β 的夹角为θ ， n, v

O
l
B

小组探究：
运用两个向量的夹角、直线的方向向量
和平面的法向量等知识探究直线与平面、
平面与平面所成的角的新方法
探究 1：在空间直角坐标系中，平面 a 的一个法向量为
3 1 1 A , P , PA ( , , 2) ，则 PA, n n (0, , 2) ， 2 2 2

教学设计（一）新知导学问题1:异面直线所成角的定义是什么?问题2:当直线与平面相交时,它们可能垂直,也可能不垂直。

如果一条直线和一个平面相交但不垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点叫做斜足.那么过一点作一个平面的斜线有多少条?问题3:过斜线上斜足外一点向平面引垂线,连结垂足和斜足的直线叫做这条斜线在这个平面上的射影,那么一条斜线在一个平面内的射影有几条?问题4:平面的一条斜线与这个平面总存在一个相对倾斜度,我们设想用一个平面角来反映这个倾斜度,并且这个角的大小由斜线与平面的相对位置关系所确定,那么角的顶点宜选在何处?问题5: OA为平面α的一条斜线, O为斜足, OM为平面α内的任意一条直线,能否用∠AOM 的大小来反映斜线OA与平面α的相对倾斜度?为什么?能不能找到更合适的位置呢?请做出来?说说它的优点。

探究最小角定理的证明过程。

引出斜线与平面所成角的定义。

问题6:我们把斜线和它在平面内的射影所成的角,叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。

特别地,如果一条直线与一个平面垂直,规定这条直线与平面的夹角为90度;如果一条直线与一个平面平行或在平面内时,规定这条直线与平面的夹角为0度。

这样,任何一条直线和一个平面的相对倾斜度都可以用一个角来反映,那么直线与平面所成的角的取值范围是什么?问题7:在实际应用或解题中,怎样去求这个角呢?类比异面直线求角步骤,请设想一个求线面角的步骤?并思考哪一步最关键呢?设计意图：异面直线所成的角是划归为相交直线夹角求解的，而直线与平面所成的角及后面将学习的二面角都是空间角，划归为平面角。

最终划归为相交直线夹角求解的。

通过复习，让学生产生对比联系，为后续学习作好铺垫。

当直线与平面相交而不垂直时指把这条直线称为这平面的斜线，从而提出第二个要复习的问题，设计的要复习问题的逻辑性，学生思考的层次一步步引导（二）新知探究：探究1．概念形成（1）斜线与平面所成的角及范围（2）直线与平面所成的角及范围教师结合课件，为学生展示直线与平面所成角即线面角是由线线角来定义的。