坐标变换

sin cos
(11)
两相旋转坐标系变换到两相静止坐标系的变换阵是：
cos C2 r / 2s sin
sin cos
(12)
电压和磁链的旋转变换阵也与电流（磁动势）旋转变换阵相同。
3.2 Pake 变换的 MATLAN 实现
在 MATLAB/SIMULINK 环境下，建立 Park 变换模块，并封装为一个子系
α β 坐标系之间的变换，简称 3/2 变换或 Clarke 变换。
2.1 Clarke 变换矩阵
图 1 给出了 A-B-C 坐标系和 α β 坐标系， 为方便起见， 取 A 轴和 α 轴重合。 设三相绕组每相有效匝数为 N 3 ，两相绕组每相有效匝数为 N 2 ，各相磁动势为有 效匝数与电流的乘积，其空间矢量均位于有关相的坐标轴上。由于交流磁动势的 大小随时间在变化着，图中磁动势矢量的长度是随意的。
图 6 两相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
d,q 轴和矢量 Fs 都以转速 ω1 旋转， 分量 i d , i q 的长短不变， 相当于 d q 绕组的
直流磁动势。 但 α, β 轴是静止的，α 轴与 d 轴的夹角 θ 随时间而变化， 因此 i s 在 α, β 轴上的分量的长短也随时间变化，相当于绕组交流磁动势的瞬时值。由图可见，
(a)
(b)
(c)
图(5)Clarke 变换仿真图
(d)
(a)原信号；(b)Clarke 变换后信号；(c)Clarke 逆变换后信号；(d)误差信号
3.两相-两相变换(2s/2r 变换)
两相-两相变换即指在两相静止坐标系 α β 坐标系和两相旋转坐标系 d q 坐标系之间的变换，简称 2s/2r 变换或 Park 变换。
i [i1，i2， ，in ]T ， ，u 'n ]T 在新的坐标系统中电压和电流向量变为 u' [u '1 ，u '2 ， ，i 'n ]T 。新向量与原向量的坐标变换关系为： 和 i ' [i '1 ，i '2 ，
u C u u' i Ci i '
T
(1)
由于变换前后功率不变，则 i T u i 'T u' i T u (C i i ' ) T (C u u' ) i 'T C i C u u' ，从而
(a)
(b)
图(3) 函数设置示意图 (a)alphaFun 模块设置；(b)BetaFun 模块设置
而式(9)表示的逆变换可按照类似的过程生成。利用这两个模块建立如图(4) 所示的仿真模型，进行 Clarke 变换的验证。
Middle
A
alpha
A alpha
A
B B
B
beta C beta C
Output
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统，如图(7)所示。
a lp h a
d
1 a lp h a 2 b e ta 3 th e ta
f(u ) dFcn f(Fra bibliotek ) qFcn
1 d
b e t a q
图 1 三相和两相坐标系与绕组磁动势的空间矢量
设磁动势波形是正弦分布的，当三相总磁动势与二相总磁动势相等时，两套 绕组瞬时磁动势在 α, β 轴上的投影都应相等，即
1 1 N 2i α N 3i A N 3i Bcos60 N 3i C cos60 N 3 (i A i B i C ) 2 2 N i N i sin60 N i sin60 3 N (i i ) 2 β 3 B 3 C 3 B C 2
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A
a lp h a
1 A 2 B 3 C
f(u ) a lp h a F u n f(u ) b e ta F u n
B b e t a
1 a lp h a
C
2 b e ta
C la r k e
(a)
(b) 图(2) Clarke 变换模块 (a)封装示意图；(b)内部示意图
i d , i q 和 i α , i β 之间存在下列关系：
i d i α cos i β sin i q i α sin i β cos
则两相静止坐标系变换到两相旋转坐标系的变换阵是：
(10)
cos C2s / 2 r sin
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坐标变换
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2011-6
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目录
1. 坐标变换的性质及约束条件........................................................................................................2 1.1 功率不变约束.......................................................................................................................3 1.2 合成磁动势不变约束...........................................................................................................3 2. 三相-两相变换(3/2 变换)..............................................................................................................3 2.1 Clarke 变换矩阵................................................................................................................... 4 2.2 Clarke 变换的 MATLAN 实现............................................................................................ 5 3. 两相-两相变换(2s/2r 变换)...........................................................................................................7 3.1 Park 变换矩阵.......................................................................................................................8 3.2 Pake 变换的 MATLAN 实现............................................................................................... 8 4. 三相-两相变换(3s/2r 变换).........................................................................................................11 4.1 3s/2r 变换矩阵.................................................................................................................... 11 4.2 3s/2r 变换的 MATLAB 实现............................................................................................. 11
1 1 2 2 3 3 0 2 1 2 3 2
C3 / 2
(8)
令 C 2 / 3 表示从两相静止坐标系 α β 坐标系到三相静止坐标系 A-B-C 坐标系的变 换矩阵，则
1 2 1 3 2 1 2 0 3 2 3 2
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3.1 Park 变换矩阵
图(6)给出了两相静止坐标系 α β 坐标系和两相旋转坐标系 d q 坐标系。图 中，两相交流电流 i α , i β 和两相直流电流 i d , i q 产生同样的以同步转速 ω1 旋转的合 成磁动势 Fs 。由于各绕组匝数都相等，可以消去磁动势中的匝数，直接用电流表 示。但必须注意，这里的电流都是空间矢量，而不是时间相量。
1.2 合成磁动势不变约束
至于合成磁动势不变约束， 因为绕组电流与磁动势成正比，只要把电流的合 成向量分别在新坐标系和原坐标系进行投影， 就可以确定新向量与原向量之间的
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坐标变换关系。
2.三相-两相变换(3/2 变换)
三相-两相变换即指在三相静止坐标系 A-B-C 坐标系和两相静止坐标系
C
Clarke
inv _Clarke
Input
Add
Plus
图(4) Clarke 变换仿真模型
其中的三个正弦信号分别为 220sin(t),220sin(ωt - 120 ),220sin(ωt 120 ) ，表
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示 A-B-C 坐标系下的分量，频率为 50Hz。经 Clarke 变换后所得变量，再经逆变 换后又可得到原来的三相正弦信号，图(5)为仿真结果。