江苏省南通市高考(数学学科基地命题)模拟数学试卷(三)

江苏省南通市（新版）2024高考数学部编版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（）A．B．C．D．3第(2)题若锐角的内角，满足，则的最小值为（）A．B．C．1D．第(3)题（）A．B．C．D．第(4)题在数列中，已知，，且（），则（）A．13B．9C．11D．7第(5)题已知若数列的前项和为，则（）A．B．C．D．第(6)题函数的图像如图所示，图中阴影部分的面积为，则（）A．B．C．D．第(7)题等比数列满足各项均为正数，，数列的前项和为，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(8)题设为上的奇函数，且当时，，则（）A．12B．C．13D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数，则下列说法正确的是（）A．若函数有4个零点，则实数的取值范围为B．关于的方程有个不同的解C．对于实数，不等式恒成立D．当时，函数的图象与轴围成的图形的面积为第(2)题已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则下列说法正确的是（ ）A．B ．f（x）的图像关于点成中心对称C．D．第(3)题下列说法中错误的为（）A．已知，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底C．非零向量，，满足且与同向，则D．非零向量和，满足，则与的夹角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题过直线上一点作圆：的两条切线的夹角为60°，则点的坐标为__________．第(2)题有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的次品率为5%，第2台车床加工的次品率为6%，加工出来的零件混放在一起.已知两台车床加工的零件数分别占总数的45%，55%，则任取一个零件是次品的概率为___.第(3)题已知三棱锥中，，分别为，的中点，，，，，则______．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题随着网络技术的迅速发展，直播带货成为网络销售的新渠道．某服装品牌为了给所有带货网络平台分配合理的服装量，随机抽查了100个带货平台的销售情况，销售每件服装平均所需时间情况如下频率分布直方图．(1)求m的值，并估计这100个带货平台销售每件服装所用时间的平均数a；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）(2)假设该服装品牌所有带货平台销售每件服装平均所需时间X服从正态分布，其中μ近似为a，．若该服装品牌所有带货平台约有10000个，销售每件服装平均所需时间在区间内的平台属于“合格平台”．为了提升平台销售业务，该服装品牌总公司对平台进行奖罚制度，在时间大于44.4分钟的平台中，每卖一件扣除（）元；在时间小于14.4分钟的平台中，每卖一件服装奖励元；对于“合格平台”，每卖一件服装奖励1元．求该服装品牌总公司在所有平台均销售一件服装时至少需要准备多少资金用于本次平台销售业务提升．附：若X服从正态分布，则，，．参考数据：．第(2)题在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的参数方程为为参数).(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线向左平移一个单位,再经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上任一点，求的最小值，并求相应点M的直角坐标.第(3)题某校数学组老师为了解学生数学学科核心素养整体发展水平，组织本校8000名学生进行针对性检测（检测分为初试和复试），并随机抽取了100名学生的初试成绩，绘制了频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求样本平均数的估计值和80%分位数;(2)若所有学生的初试成绩近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，．初试成绩不低于90分的学生才能参加复试，试估计能参加复试的人数;(3)复试共三道题，规定：全部答对获得一等奖;答对两道题获得二等奖;答对一道题获得三等奖;全部答错不获奖．已知某学生进入了复试，他在复试中前两道题答对的概率均为，第三道题答对的概率为．若他获得一等奖的概率为，设他获得二等奖的概率为，求的最小值．附：若随机变量服从正态分布，则，第(4)题如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.(1)证明：；(2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°，求直线AC与平面BCE所成角的正弦值.第(5)题已知数列满足：，，(1)求数列的通项公式；(2)记数列的前n项和为，求.。

江苏南通高考数学全真模拟试卷一、填空题：本大题共14个小题,每小题5分,共70分.1.已知集合{0,1,2}A =，则A 的子集个数为 ．2.已知复数12i z a =+,22i z =-（其中0a >，i 为虚数单位）.若12||||z z =，则a 的值为 ．3.执行如图所示的流程图，则输出的结果S = ．4.若直线1ey x b =+（e 是自然对数的底数）是曲线ln y x =的一条切线，则实数b 的值是 ．5.某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ．6.已知数据12,,,n x x x 的方差为3，若数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +(,)a b ∈R 的方差为12，则a 的值为 ．7.我们知道，以正三角形的三边的中点为顶点的三角形与原正三角形的面积之比为1:4，类比该命题得到：以正四面体的四个面的中心为顶点的四面体与原正四面体的体积之比为 ．8.在平面直角坐标系中，如果双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦距为2(0)c c >，那么当,a b 任意变化时，a b c+的最大值是 ．9.已知函数21,0()(1),0x x f x f x x -⎧-+≤=⎨->⎩，若方程()log (2)(01)a f x x a =+<<有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围为 ．10.已知函数()2cos f x x x =-，数列{}n a 是公差为8π的等差数列，若123()()()f a f a f a ++4()f a +5()5f a π+=，则2315[()]f a a a -= ．11.在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆222:((49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为 ．12.已知实数6n ≤，若关于x 的不等式2(2)80xm x n +--≥对任意的[4,2]x ∈-都成立，则443m n m n-的最小值为 ． 13.已知角,αβ满足tan 7tan 13αβ=，若2sin()3αβ+=，则sin()αβ-的值为 ． 14.将圆的六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一个正六角星.如图所示的正六角星的中心为点O ，其中,x y 分别为点O 到两个顶点的向量.若将点O 到正六角星12个顶点的向量都写成ax by +的形式，则a b +的最大值为 ．二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(4,3)B ，若,,A B C 三点按顺时针方向排列构成等边三角形ABC ，且直线BC 与x 轴交于点D .（1）求cos CAD ∠的值；（2）求点C 的坐标.16.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，平面11A ABB ⊥底面ABCD ，且2ABC π∠=.（1） 求证：//BC 平面11AB C ；（2）求证：平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 已知城A 和城B 相距20km ，现计划以AB 为直径的半圆上选择一点C （不与点A ，B 重合）建造垃圾处理厂.垃圾处理厂对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为对城A 与城B 的影响度之和.记点到C 城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比例关系，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比例关系，比例系数为k .当垃圾处理厂建在AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数.（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断在AB 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，请说明理由.18. 已知椭圆:C 2231mx my +=(0)m >的长轴长为，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程和离心率.（2）设点(3,0)A ，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且点P 在y 轴的右侧.若BA BP =，求四边形OPAB 面积的最小值.19. 已知函数32()f x ax bx cx b a =-++=(0)a >.（1）设0c =.①若a b =，曲线()y f x =在0x x =处的切线过点(1,0)，求0x 的值；②若a b >，求()f x 在区间[0,1]上的最大值.（2） 设()f x 在1x x =，2x x =两处取得极值，求证：11()f x x =，22()f x x =不同时成立.20. 若数列{}n a 和{}n b 的项数均为m ，则将数列{}n a 和{}n b 的距离定义为1||m i i i a b =-∑. （1）求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离.（2）记A 为满足递推关系111n n na a a ++=-的所有数列{}n a 的集合，数列{}nb 和{}nc 为A 中的两个元素，且项数均为m .若12b =，13c =，数列{}n b 和{}n c 的距离小于2016，求m 的最大值.（3）记S 是所有7项数列{}n a （其中17n ≤≤，0n a =或1）的集合，T S ⊆，且T 中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB BC ，分别与圆O 相切于点D ，C ，AC 经过圆心O ，且2AC AD =，求证：2BC OD =.B.[选修4-2：矩阵与变换]在平面直角坐标系中，已知点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C ，(0,2)D ，先将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°，再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半、横坐标不变，求连续两次变换所对应的矩阵M .C.[选修4-4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为cos 1sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.现以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程.D.[选修4-5：不等式选讲]已知,a b 为互不相等的正实数，求证：3334()()a b a b +>+.【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =中，抽取三个不同的元素构成子集123{,,}a a a .（1）求对任意的i j ≠满足||2i j a a -≥的概率；（2）若123,,a a a 成等差数列，设其公差为(0)ξξ>，求随机变量ξ的分布列与数学期望.23.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，通项公式为1n a n =，且221,1(),2n nn S n f n S S n -=⎧=⎨-≥⎩. （1）计算(1)(2)(3)f f f ，，的值；（2）比较()f n 与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.参考答案一、填空题1. 82. 13.12 4. 0 5. 14 6. 2± 7. 1:278. 9. 11[,)32 10. 21316π 11. 7 12. 803- 13. 15- 14. 5 二、解答题15.解：（1）设BAD α∠=，CAD β∠=， 由三角函数的定义得4cos 5α=，3sin 5α=，故cos cos(60)βα=-=°1cos 2αα==，即4cos 10CAD +∠=. （2）设点(,)C x y .由（1）知sin sin(60)βα=-=°13cos sin 2210αα-=， 因为5AC AB ==，所以5cos x β==5sin y β=-=，故点C . 16.证明：（1）在四棱柱1111ABCD A B C D -中，11//BC B C .因为BC ⊄平面11AB C ，11B C ⊂平面11AB C ，所以//BC 平面11AB C .（2）因为平面11A ABB ⊥底面ABCD ，平面11A ABB ∩底面ABCD AB =，BC ⊂底面ABCD ， 且由2ABC π∠=知AB BC ⊥，所以BC ⊥平面11A ABB .又11//BC B C ，故11B C ⊥平面11A ABB .而11B C ⊂平面11AB C ，所以平面11A ABB ⊥平面11AB C .17. 解：（1）由题意知AC BC ⊥，AC x =，20AB =，则22400BC x =-， 所以224400k y x x =+-(020)x <<.因为当x =时，0.065y =，代入表达式解得9k =， 所以2249400y x x =+-(020)x <<. （2）因为2249400y x x =+-， 所以32289(2)'(400)x y x x ⨯-=--=-422322188(400)(400)x x x x ---. 令'0y =，得422188(400)x x =-，所以2160x =，即x =.当0x <<'0y <，所以函数2249400y x x=+-为减函数；当20x <<时，'0y >，所以函数2249400y x x =+-为增函数. 所以当x =，即点C 到城A 的距离为km 时，函数2249400y x x =+-(020)x <<有最小值.18. 解：（1）由题意知椭圆:C 221113x y m m+=， 所以21a m =，213b m=，故2a == 解得16m =， 所以椭圆C 的方程为22162x y +=.因为2c ==，所以离心率c e a ==. （2）设线段AP 的中点为D .因为BA BP =，所以BD AP ⊥.由题意知直线BD 的斜率存在，设点P 的坐标为000(,)(0)x y y ≠，则点D 的坐标为003(,)22x y +，直线AP 的斜率003AP y k x =-， 所以直线BD 的斜率0031BD AP x k k y -=-=， 故直线BD 的方程为000033()22y x x y x y -+-=-. 令0x =，得2200092x y y y +-=，故220009(0,)2x y B y +-. 由2200162x y +=，得220063x y =-，化简得202023(0,)2y B y --. 因此，OAP OAB OPAB S S S ∆∆=+四边形200023113||3||222y y y --=⨯⨯+⨯⨯ 2000233(||||)22y y y --=+0033(2||)22||y y =+32≥⨯=． 当且仅当0032||2||y y =时，即0[y =时等号成立． 故四边形OPAB面积的最小值为19.解：（1）当0c =时，32()f x ax bx b a =-+-.①若a b =，则32()f x ax ax =-，从而2'()32f x ax ax =-，故曲线()y f x =在0x x =处的切线方程为3200()y ax ax --=2000(32)()ax ax x x --. 将点(1,0)代入上式并整理得200(1)x x -=000(1)(32)x x x --，解得00x =或01x =.②若a b >，则令2'()320f x ax bx =-=，解得0x =或213b x a=<. （ⅰ）若0b ≤，则当[0,1]x ∈时，'()0f x ≥，所以()f x 为区间[0,1]上的增函数，从而()f x 的最大值为(1)0f =.（ii ）若0b >，列表：所以()f x 的最大值为(1)0f =.综上，()f x 的最大值为0.（2）假设存在实数,,a b c ，使得11()f x x =与22()f x x =同时成立.不妨设12x x <，则12()()f x f x <.因为1x x =，2x x =为()f x 的两个极值点，所以2'()32f x ax bx c =-+123()()a x x x x =--.因为0a >，所以当12[,]x x x ∈时，'()0f x ≤，故()f x 为区间12[,]x x 上的减函数，从而12()()f x f x >，这与12()()f x f x <矛盾，故假设不成立.既不存在实数a ，b ，c ，使得11()f x x =，22()f x x =同时成立.20. 解：（1）由题得数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离为7.（2）设1a p =，其中0p ≠且1p ≠±. 由111n n na a a ++=-， 得211p a p +=-，31a p =-，411p a p -=+，5a p =，…. 所以15a a =，26a a =，….因此集合A 中的所有数列都具有周期性，且周期为4.所以数列{}n b 中，32a b -=，23a b -=-，112a b -=-，13a b =*()k N ∈， 数列{}n c 中，33a c -=，22a c -=-，113a c -=-，12a c =*()k N ∈. 因为111||||k k i i i i i i b c b c +==-≥-∑∑， 所以项数m 越大，数列{}n b 和{}n c 的距离越大. 因为17||3k i ii b c =-=∑，所以3456485411||||i i i ii i b c b c ⨯⨯==-=-=∑∑786420163⨯=， 因此，当3456m <时，1||2016mi i i b c =-<∑. 故m 的最大值为3455. （3）假设T 中的元素个数大于或等于17.因为数列{}n a 中，0n a =或1，所以仅由数列前三项组成的数组（1a ，2a ，3a ）有且只有8个：（0，0，0），（1，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1），（1，1，1）. 那么这17个元素之中必有3个具有相同的1a ，2a ，3a .设这3个元素分别为{}n c ：1c ，2c ，3c ，4c ，5c ，6c ，7c ；{}n d ：1d ，2d ，3d ，4d ，5d ，6d ，7d ；{}n f ：1f ，2f ，3f ，4f ，5f ，6f ，7f ，其中111c d f ==，222c d f ==，333c d f ==. 因为这3个元素中每两个元素的距离大于或等于3，所以在{}n c 与{}n d 中，i i c d ≠(4,5,6,7)i =至少有3个成立.不妨设44c d ≠，55c d ≠，66c d ≠.由题意得4c ，4d 中一个等于0，另一个等于1.又因为40f =或1，所以44f c =和44f d =中必有一个成立.同理得：55f c =和55f d =中必有一个成立，66f c =和66f d =中必有一个成立， 所以“i i f c =(4,5,6)i =中至少有两个成立”和“i i f d =(4,5,6)i =中至少有两个成立”中必有一个成立.故71||2i i i fc =-≤∑和71||2i i i f d =-≤∑中必有一个成立，这与题意矛盾. 所以T 中的元素个数小于或等于16.（附加题）21.【选做题】A.解：易得90ADO ACB ∠=∠=°，又A A ∠=∠，故Rt Rt ADO ACB ∆∆∽， 所以BC AC OD AD=. 又2AC AD =，故2BC OD =.B.解：设将正方形ABCD 绕原点A 逆时针旋转90°所对应的矩阵为A ，则cos90sin9001sin90cos9010A --⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦°°°°. 设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B ， 则10102B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， 所以连续两次变换所对应的矩阵10010111100022M BA -⎡⎤⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. C.解：依题意知cos 1sin x y αα=-⎧⎨=⎩（α为参数）， 因为22sin cos 1αα+=，所以22(1)1x y -+=，即2220x y x +-=，化为极坐标方程得22cos 0ρρθ-=，即2cos ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos ρθ=.D.证明：因为0a >，0b >，所以要证3334()()a b a b +>+，只要证2234()()()a b a ab b a b +-+>+，即要证2224()()a ab b a b -+>+，只需证23()0a b ->，而a b ≠，故23()0a b ->成立.【必做题】22.解：（1）由题意知基本事件数为39C ，而满足条件||2i j a a -≥，即取出的元素不相邻，则用插空法，有37C 种可能， 故所求事件的概率3739C 5C 12P ==. （2）分析123,,a a a 成等差数列的情况；1ξ=的情况有7种:{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，{7,8,9}； 2ξ=的情况有5种：{1,3,5}，{2,4,6}，{3,5,7}，{4,6,8}，{5,7,9}； 3ξ=的情况有3种：{1,4,7}，{2,5,8}，{3,6,9}；4ξ=的情况有1种：{1,5,9}.故随机变量ξ的分布列如下：因此，75()121616E ξ=⨯+⨯31153416168+⨯+⨯=. 23.解：（1）213(1)122f S ==+=， 4111113(2)23412f S S =-=++=， 62111119(3)345620f S S =-=+++=. （2）由（1）知(1)1f >，(2)1f >.下面用数学归纳法证明：当3n ≥时，()1f n <.（i ）由（1）知当3n =时，()1f n <.（ii ）假设当(3)n k k =≥时，()1f n <，即111()112f k k k k =+++<+，那么11(1)12f k k k +=++++11122122k k k +++++ 1111()122k k k k =++++++1112122k k k++-++ 11111()()21222k k k k<+-+-++ 2(21)2(22)12(21)2(22)k k k k k k k k -+-+=++++ 11112(21)(22)k k k k =--<++． 所以当1n k =+时，()1f n <也成立.因此，当3n ≥时，()1f n <.综上，当1n =和2n =时，()1f n >；当时，()1f n <.。

江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】 设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E ∠=，即可得出结果.【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E∠===∴13πCA E ∠=.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】 由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】 由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-， 所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈， 解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年【答案】C【解析】【分析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误． 【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．2C 3D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（ ） A ．y x = B ．()sin f x x x = C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'V中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．3C．83D．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+u u u v u u u v u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 【答案】B【解析】【分析】解出AP u u u r ，计算AP BC ⋅u u u r u u u r并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r λ（AB AC AB cosB AC cosC+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r 是关键．11．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

高考高三数学月考模拟试题第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1、()()=+--321i i i （ ）A. i +3B.i --3C. i +-3D. i -3 2、862lim22+--→x x x x 的值为 ( )A ．0B ．1C ．21-D ．31 3、有以下四个命题：其中真命题的序号是 （ ）①若//,//m n αβ且//αβ，则//m n ； ②若,m n αβ⊥⊥且αβ⊥，则m n ⊥；③若,//m n αβ⊥且//αβ，则m n ⊥； ④若//,m n αβ⊥且αβ⊥，则//m n ．、A ①②、B ③④、C ①④、D ②③4、设,x y 满足约束条件04312x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则231x y x +++取值范围是 （ ）.A [3,11].B [2,6].C [3,10].D [1,5]5、某次文艺汇演，要将A 、B 、C 、D 、E 、F 这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号 1 2 3 4 5 6 节目如果A 、B 两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有（ ） A ．192种 B ．144种C ．96种 D ．72种6、已知→→b a ,为非零向量，命题0:>•→→b a p ，命题→→b 、a q :的夹角为锐角，则命题p 是命题q 的( )A.充分不必要的条件B. 既不充分也不必要的条件C.充要条件D. 必要不充分的条件7、已知圆x x g x x f y x y x C 2)(,log )()0,0(4:222==≥≥=+与函数的图象分别交于22212211),,(),,(x x y x B y x A +则的值为 （ ） 16、A 8、B 4、C 2、D8、在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过()n n N +∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数。