2010-2018年高考理科数学 导数及其应用专题汇总(含答案) 第七讲导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

1 专题三 导数及其应用

第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)fxxaxax，若()fx为奇函数，则曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为

A．2yx B．yx C．2yx D．yx

2．(2016年四川)设直线1l,2l分别是函数()fx= ln,01,ln,1,xxxx图象上点1P，2P处的切线，1l与2l垂直相交于点P，且1l，2l分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是

A．(0,1) B．(0,2) C．(0,+∞) D．(1,+∞)

3．（2016年山东）若函数()yfx的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()yfx具有T性质．下列函数中具有T性质的是

A．sinyx B．lnyx C．xye D．3yx

4．(2015福建)若定义在R上的函数fx满足01f，其导函数fx满足

1fxk ，则下列结论中一定错误的是

A．11()fkk B．11()1fkk

C．11()11fkk D．1()11kfkk

5．（2014新课标Ⅰ）设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx，则a=

A．0 B．1 C．2 D．3

6．（2014山东）直线xy4与曲线3yx在第一象限内围成的封闭图形的面积为

A．22 B．24 C．2 D．4

7．（2013江西）若22221231111,,,xSxdxSdxSedxx则123,,SSS的大小关系为

A．123SSS B．213SSS C．231SSS D．321SSS 2 8．（2012福建）如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，则点P恰好取自阴影部分的概率为

A．14 B．15 C．16 D．17

9．（2011新课标）由曲线yx，直线2yx及y轴所围成的图形的面积为

A．103 B．4 C．163 D．6

10．（2011福建）10(2)xexdx等于

A．1 B．1e C．e D．1e

11．（2010湖南）421dxx等于

A．2ln2 B．2ln2 C．ln2 D．ln2

12．（2010新课标）曲线3y21xx在点(1,0)处的切线方程为

A．1yx B．1yx C．22yx D．22yx

13．（2010辽宁）已知点P在曲线y=41xe上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是

A．[0,4) B．[,)42 C．3(,]24 D．3[,)4

二、填空题

14．(2018全国卷Ⅱ)曲线2ln(1)yx在点(0,0)处的切线方程为__________．

15．(2018全国卷Ⅲ)曲线(1)xyaxe在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a____．

16．(2016年全国Ⅱ)若直线ykxb是曲线ln2yx的切线，也是曲线ln(1)yx的切线，则b ．

17．(2016年全国Ⅲ) 已知()fx为偶函数，当0x时，()ln()3fxxx，则曲线

()yfx，在点(1,3)处的切线方程是_________．

18．（2015湖南）20(1)xdx= ． 3 19．（2015陕西）设曲线xye在点（0,1）处的切线与曲线1(0)yxx上点P处的切线垂直，则P的坐标为 ．

20．（2015福建）如图，点A的坐标为1,0，点C的坐标为2,4，函数2fxx，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ．

（第15题） （第17题）

21．（2014广东）曲线25xey在点)3,0(处的切线方程为 ．

22．（2014福建）如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为______．

23．（2014江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线xbaxy2(a，b为常数)过点)5,2(P，且该曲线在点P处的切线与直线0327yx平行，则ba的值是 ．

24．（2014安徽）若直线l与曲线C满足下列两个条件：

)(i直线l在点00,yxP处与曲线C相切；)(ii曲线C在P附近位于直线l的两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C．下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号)

①直线0:yl在点0,0P处“切过”曲线C：3yx

②直线1:xl在点0,1P处“切过”曲线C：2)1(xy

③直线xyl:在点0,0P处“切过”曲线C：xysin

④直线xyl:在点0,0P处“切过”曲线C：xytan

⑤直线1:xyl在点0,1P处“切过”曲线C：xyln．

25．（2013江西）若曲线1yx（R）在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则= ．

26．(2013湖南)若209,TxdxT则常数的值为 ． 4 27．（2013福建）当,1xRx时，有如下表达式:211.......1nxxxx

两边同时积分得：111112222220000011.......1ndxxdxxdxxdxdxx

从而得到如下等式：23111111111()()...()...ln2.2223212nn

请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算：

0122311111111()()()2223212nnnnnnCCCCn= ．

28．（2012江西）计算定积分121(sin)xxdx___________．

29．（2012山东）设0a，若曲线xy与直线0,yax所围成封闭图形的面积为2a，则a ．

30．（2012新课标）曲线(3ln1)yxx在点(1,1)处的切线方程为________．

31．（2011陕西）设20lg0()30axxfxxtdtx„，若((1))1ff，则a ．

32．（2010新课标）设()yfx为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0()1fx，可以用随机模拟方法近似计算积分10()fxdx，先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数12,,Nxxx…和12,,Nyyy…，由此得到N个点(,)(1,2,)iixyiN…,，再数出其中满足()(1,2,)iiyfxiN…,的点数1N，那么由随机模拟方案可得积分10()fxdx的近似值为 ．

33．（2010江苏）函数2yx(0x)的图像在点2(,)kkaa处的切线与x轴交点的横坐标为1ka，其中*kN，若116a，则135aaa= ．

三、解答题

34．（2017北京）已知函数()cosxfxexx．

（Ⅰ）求曲线()yfx在点(0,(0))f处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()fx在区间[0,]2上的最大值和最小值．

35．(2016年北京)设函数()axfxxebx，曲线()yfx在点(2,(2))f处的切线方程为 5 (1)4yex，

（I）求a，b的值；

（II）求()fx的单调区间.

36．（2015重庆）设函数23()()exxaxfxaR．

（Ⅰ）若()fx在0x处取得极值，确定a的值，并求此时曲线()yfx在点(1,(1))f

处的切线方程；

（Ⅱ）若()fx在[3,)上为减函数，求a的取值范围．

37．（2015新课标Ⅰ）已知函数31()4fxxax，()lngxx．

（Ⅰ）当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；

（Ⅱ）用min,mn 表示m，n中的最小值，设函数()min(),()hxfxgx

(0)x，讨论()hx零点的个数．

38．(2014新课标Ⅰ)设函数1()lnxxbefxaexx，曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线为(1)2yex．

(Ⅰ)求,ab；

（Ⅱ）证明：()1fx．

39．（2013新课标Ⅱ）已知函数lnxfxexm

(Ι)设0x是fx的极值点，求m,并讨论fx的单调性；

（Ⅱ）当2m时，证明0fx．

40．（2012辽宁）设=ln+1++1++,,,fxxxaxbabRab为常数，曲线=yfx与直线3=2yx在0,0点相切．

（1）求,ab的值；

（2）证明：当0<<2x时，9<+6xfxx． 6 41．（2010福建）（1）已知函数3()=fxxx，其图象记为曲线C．

（i）求函数()fx的单调区间；

（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线C与其在点111(,())Pxfx处的切线交于另一点222(,())Pxfx，曲线C与其在点222(,())Pxfx处的切线交于另一点333(,())Pxfx，线段1223,PPPP与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为1,2SS，则12SS为定值；

（2）对于一般的三次函数32()gxaxbxcxd(0)a，请给出类似于（1）（ii）的正确命题，并予以证明．

专题三 导数及其应用

第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理

答案部分

1．D【解析】通解 因为函数32()(1)fxxaxax为奇函数，所以()()fxfx，

所以3232()(1)()()[(1)]xaxaxxaxax，所以22(1)0ax，

因为Rx，所以1a，所以3()fxxx，所以2()31fxx，所以(0)1f，所以曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为yx．故选D．

优解一 因为函数32()(1)fxxaxax为奇函数，所以(1)(1)0ff，所以11(11)0aaaa，解得1a，所以3()fxxx，

所以2()31fxx，所以(0)1f，所以曲线()yfx在点(0,0)处的切线方程为yx．故选D．